Strong and weak convergence theorems for general mixed equilibrium problems and general variational inequality problems .pdf Введение Пусть - вещественное гильбертово пространство с внутренним произведением и индуцированной нормой ||.|| и пусть - непустое замкнутое выпуклое подмножество . Пусть - функция и - нелинейное отображение, а - бифункция от до , где - множество действительных чисел. Рассмотрим следующую обобщенную задачу смешанного равновесия. Найдем такое, что (1) Множество решений (1) обозначим как GMEP. Задача (1) содержит в качестве частных случаев оптимизационные задачи, вариационные неравенства, задачи равновесия Нэша в некооперативных играх и др. (см., например, [1-21]). Пусть будут два отображения. Рассмотрим следующую задачу нахождения такого, что (2) которая называется общей системой вариационных неравенств, где и - множество решений уравнения (2), обозначается как . В частности, если , то задача (2) сводится к нахождению такого, что (3) которая определяется Вермой в работе [16] и называется новой системой вариационных неравенств. Недавно Кумам [13] ввел гибридную итерационную схему для нахождения общего элемента множества неподвижных точек нерасширяющегося отображения и множества решений вариационного неравенства для обратномонотонных отображений в гильбертовом пространстве. Авторы работы [17] ввели итерационный процесс методом расслабленной экстраградиентной и вязкостной аппроксимации для нахождения общего элемента множества неподвижных точек нерасширенного отображения и множества решений общей системы задач вариационного неравенства для двух обратносильно монотонных отображений в реальном гильбертовом пространстве и доказали, что итерационные последовательности сходятся к общему элементу указанных трех множеств. Совсем недавно многие авторы изучали задачи равновесия и задачи с фиксированной точкой для нерасширяющихся полугрупп (см. [22-28]). Именно Эсламян и Абкар [27] предложили следующую итерационную схему, основанную на методе аппроксимации вязкости, для нахождения общего элемента множества решений обобщенной задачи смешанного равновесия и множества всех общих неподвижных точек конечного семейства нерасширяющихся полугрупп: (4) В настоящей работе, мотивированной приведенными фактами, вводятся некоторые итерационные алгоритмы нахождения общего элемента множества решений задачи (1) и множества решений общего вариационного неравенства для двух коэрцитивных отображений и множества общих неподвижных точек двух нерасширяющихся полугрупп в гильбертовом пространстве. Мы получаем как сильные, так и слабые теоремы сходимости для последовательностей, порожденных этими процессами в гильбертовых пространствах. Результаты настоящей работы расширяют и улучшают данные, полученные другими исследователями [10-15, 21, 29]. Предварительные мероприятия Лемма 1. ([30]) является решением задачи (2) тогда и только тогда, когда - неподвижная точка отображения , определяется как гдe . Напомним, что отображение называется неэкспансивным, если Обозначим через множество неподвижных точек отображения . Далее обозначим сильную сходимость и слабую сходимость. Пусть - неограниченное подмножество , напомним, что семейство является нерасширяющейся полугруппой на , если оно удовлетворяет следующим условиям: для всех для всех и для всех непрерывно. Обозначим через множество неподвижных точек и через множество всех общих неподвижных точек т.е. Известно, что закрыто и выпукло (лемма 1 в [31]). Отображение называется монотонным, если Отображение называется d-сильным монотоным, если у каждого есть для константы Это означает, что т.e. есть d-расширение, и когда тоже расширение. Отображение называется -обратно-сильно монотонным, если существует положительное вещественное число а такое, что Ясно, что каждое обратное сильно выраженное отображение является непрерывным по Лившицу. Отображение называется кокоэрцитивным, если существует такая константа , что Отображение называется расслабленным кокоэрцитивным, если существуют две константы , такие, что Для есть d-сильно монотонно. Этот класс отображений является более общим, чем класс сильно монотонных отображений. Отсюда следует вывод: d-сильно монотонность к расслабленной кокоэрцитивности. В реальном гильбертовом пространстве мы имеем ; (5) (6) для всех и Для каждой точки существует единственная ближайшая точка в , обозначаемая через , такая, что называется метрической проекцией на Известно, что - это нерасширяющее отображение на и удовлетворяет (7) для каждого Для характерны следующие свойства: и (8) (9) для всех Хорошо известно, что удовлетворяет специальному условию [32], т.е. для любой последовательности с неравенство выдерживается для каждого с Пусть - это монотонное отображение в В контексте задачи вариационного неравенства характеристика проекции (13) подразумевает ; для Следующие леммы будут полезны для доказательства результатов сходимости. Лемма 2. ([33]) Пусть H - вещественное гильбертово пространство, а D - непустое замкнутое выпуклое подмножество H. Пусть - последовательность в H. Предположим, что для всех для каждого тогда последовательность сильно сходится к некоторому где - метрическая проекция H на D. Лемма 3. ([34]) (Принцип полузакрытости). Пусть X - равномерно выпуклое банахово пространство, C - непустое замкнутое выпуклое подмножество X и - нерасширяющееся отображение. Тогда отображение полузакрыто на C, т.е. если слабо сходится к x и сильно сходится к y, то Лемма 4. ([35]) Пусть X - равномерно выпуклое банахово пространство и - замкнутый шар X. Тогда существует непрерывная строго возрастающая выпуклая функция с g(0) = 0, такая, что для всех и с Для решения задачи смешанного равновесия дадим следующие предположения для бифункции и множества (A1) для всех (A2) монотонна, т.е. для любого (A3) для каждого слабо верхнее полунепрерывное; (A4) для каждого выпуклое; (A5) для каждого нижнее полунепрерывное; (B1) для каждого и существует ограниченное подмножество и , такое, что для любого (B2) - ограниченное множество. Лемма 5. ([4]) Пусть - непустое замкнутое выпуклое подмножество H; F - бифункция от до , удовлетворяющая (A1) - (A5); - собственная нижняя полунепрерывная и выпуклая функция. Предположим, что выполняется либо (B1), либо (B2). Для и определим отображение так: для всех , тогда справедливы следующие выводы: 1) Для каждого 2) является однозначным; 3) твердо нерасширяется, т.е. 4) Фиксированое 5) замкнут и выпукл. Сильные теоремы сходимости В этом разделе показана сильная сходимость итерационного алгоритма, основанного на гибридном методе нахождения общего элемента множества решений общей задачи смешанного равновесия и множества решений общего вариационного неравенства для двух коэрцитивных отображений и множества общих неподвижных точек двух нерасширяющихся полугрупп в гильбертовом пространстве. Теорема 1. Пусть C - непустое замкнутое выпуклое подмножество вещественного гильбертова пространства H. Пусть F - бифункция от до , удовлетворяющая (A1) - (A5), и - правильная нижняя полунепрерывная выпуклая функция. Пусть отображение будет обратно-сильно монотонным. Пусть будет лившицевым и расслабленным кокоэрцитивным отображением и будет лившицевым и расслабленным кокоэрцитивным отображением. Пусть и - наноэкспонаты полугрупп на C, такие, что Предполагается, что содержится (B1) или (B2). Пусть и будут последовательности, порожденные (10) где , и и - три последовательности, удовлетворяющие условиям: - возрастающая последовательность, такая, что и и S удовлетворяют условию равномерной асимптотической регулярности: равномерно в , где - любое ограниченное подмножество C. Тогда и сильно сходятся к Доказательство. Шаг 1. Покажем, что хорошо определено. Сначала отметим, что замкнуто и выпукло для всех Из определения очевидно, что замкнуто для всех Докажем, что выпукло для любого Так как эквивалентно отсюда следует, что выпукло. Далее покажем это для всех . Мы можем сначала доказать, что и также нерасширяемы. Из леммы 5 знаем, что и не является экспансивным. Пусть , из лемм 2 и 5 имеем (11) где Это следует из нерасширенности , и , тогда для любого и, следовательно, Таким образом, хорошо определено. Шаг 2. Докажем, что , как Пусть от и имеем Следовательно, ограничен. Получаем, что и ограничены. Так как и , получим В результате не уменьшается и, следовательно, существует. Так как и , имеем Это означает, что (12) Из этого следует , тогда (13) Комбинируя (12) и (13), получим (14) Шаг 3. Докажем, что , , как , Пусть Из леммы 4 имеем Из этого следует, что Приняв во внимание условие (ii) и (14), получаем Это следует из свойства (15) Аналогичным образом можем определить (16) Далее утверждаем, что . Пусть , из этого следует, что (17) Из выпуклости имеем для (18) Подставляя (17) в (18), получаем из чего следует, что Поскольку условия (i), (ii) подразумевают и, принимая во внимание условия (iii) и (14), имеем Из леммы 5 вытекает (19) Это означает, что (20) Имеем (21) Подставляя выражение (20) в (21), получаем из чего следует, что Так как , с учетом (14) запишем (22) Точно так же можем доказать (23) Из формул (22) и (23) имеем (24) Объединив (15) и (24), получим (25) С учетом выражений (16) и (24) получаем (26) Пусть - любое ограниченное подмножество , содержащее последовательность из которой следует, что Таким образом, условия (iv) и (26) подразумевают, что (27) Подобным же образом имеем По условию (iv) и (26) получаем (28) Шаг 4. Докажем, что существует подпоследовательность от , слабо сходящихся к Так как ограничено, существует подпоследовательность от такая, что Из (22) и (23) получаем и Так как и замкнуто и выпукло, то Принимая во внимание и формулу (27), из леммы 3 следует, что Точно так же, отметив и (28), имеем из леммы 3. Далее докажем, что Поскольку и - нерасширяющие, то - тоже нерасширяющее. Легко видеть, что Можем также показать, что Следовательно, Шаг 5. Наконец, покажем, что , где Рассмотрим последовательность , мы имеем . В силу слабой полунепрерывности нормы и того, что для любого , что подразумевается тем фактом, что у нас есть , имеем Это означает, что , следовательно, в силу единственности ближайшей точечной проекции на Имеем также , следовательно, Так как является произвольной (слабо сходящейся) последовательностью , заключаем, что . Из (22) и (24) имеем и Это завершает доказательство теоремы 1. Пример 1. Пусть и Простое вычисление показывает, что условия на параметры и удовлетворяются в теореме 1. Замечание 1. Теорема 1 расширяет и улучшает теорему 1 Эсламяна [28] в следующих аспектах: (i) От задачи равновесия к общей задаче смешанного равновесия. (ii) Добавляется общее вариационное неравенство в наш алгоритм таким образом, чтобы его можно было применить для нахождения общего элемента множества решений общей задачи смешанного равновесия и множества решений общего вариационного неравенства для двух коэрцитивных отображений и множества общих неподвижных точек двух однопараметрических полугрупп нерасширяющихся отображений.

Скачать электронную версию публикации