Об одной задаче управления, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 39. DOI: 10.17223/19988605/39/1

Об одной задаче управления, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений

Рассматривается граничная задача оптимального управления для системы интегро-дифференциальных уравнений. Получены необходимые условия оптимальности.

About one control problem described by system of inteqro-diferential equations.pdf В работах [1-3 и др.] изучен ряд задач оптимального управления динамикой популяции, описываемых определенным классом интегро-дифференциальных уравнений. Установлены необходимые условия оптимальности в форме вариационного принципа максимума, а также линеаризованного условия максимума при предположении, что управляющая функция входит в правую часть уравнения состояния. В предлагаемой работе изучается аналогичная задача при предположении, что вектор управляющих воздействий входит в начальное условие уравнения. Получен ряд необходимых условий оптимальности. 1. Постановка задачи Рассмотрим задачу о минимуме терминального типа функционала x1 S (v) =|ф( x, z(th x))dx (1) x0 при ограничениях zt = f(t,xzy\ x)eD = x1], (2) x x y (t, x) = J g(t, x, s, z(t, s))ds, x e [ x>, xj, z(t0, x) = J F (x, s, z(t0, s), v(s))ds. (3) x0 x0 Здесь f (t, x, z,y),g(t, x, s, z) - заданные n- и га-мерные вектор-функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по векторам состояния, F (x, z, v) - заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по z, t0, tj, x0, xl (t0 < tj; x0 < xx) - заданы; ф(x,z) - заданная скалярная функция, непрерывная по соводф( x, z) й ( купности переменных вместе с -, a v = v(x) - кусочно-непрерывный (с конечным числом точек dz разрыва первого рода) вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого и ограниченного множества V с Rr, т.е. v( x) eV с Rr, x e [ x0, xj. (4) Такие управляющие функции назовем допустимыми. Предполагается, что каждому допустимому управлению v( х) соответствует единственное решение (z(t0, х), z(t, х), y(t, х)) (в классическом смысле) задачи (2)-(3). Допустимое управление v(х) , доставляющее минимум функционалу (1) при ограничениях (2)-(4), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (z(t0, х), z(t, х), y(t, х)) - оптимальным процессом. 2. Формула приращения функционала качества Предположим, что (v(х),z(t0,х),z(t,х),y(t,х)) есть фиксированный допустимый процесс. Через (v (х) = v(х) + Av(х), z (t0, х) = z(t0, х) + Az(t0, х), z (t, х) = z(t, х) + Az(t, х), y (t, х) = y(t, х) + Ay(t, х)) обозначим произвольный допустимый процесс и запишем приращение х1 AJ(v) = J(v) - J(v) = J ((х, z (ti, х)) - ф(х, z(ti, х)))йх (5) х0 функционала качества (1). При этом ясно, что приращение (Az(t0, х), Az(t, х), Ay(t, х)) состояния (z(t0, х), z(t, х), y(t, х)) будет решением системы Azt (t, х) = f (t, х, z (t, х), y(t, х)) - f (t, х, z(t, х), y(t, х)), (6) х Az(t0, х) = J [F (х, s, z (t0, s), v (s)) - F (х, s, z(^, s), v(s))]ds, (7) -10 х. Ay(t, х) = J[g(t, х, s, z(t, s)) - g(х, s, z(t, s),v(s))]ds. (8) х0 Пусть p(t, х), х), q(t, х) - пока неизвестные «-мерные вектор-функции. Из (6)-(8) следует, что ti х t1 х J Jp'(t, х)Azt (t, х)йхЛ = JJp'(t, х)[ f (t, х, z(t, х), y (t, х)) - f (t, х, z(t, х), y(t, х))]йхЛ, (9) и х и х л. л л J y'(х)Az(to, х)йх = J y'(х) х0 х0 J F(х, s, z (t0, s), v(s)) - F(х, s, z(t0, s), v(s))]ds йх, (10) Л0 11 х 11 х I х, JJq'(t, %)Ay(t,х)йх = JJq'(t,х)I J[g(t, х,s, z(t,s)) - g(t, х,s, z(t,s))]ds Lйхй . (11) t0 х0 t0 х0 Ясно, что (12) 0 л0 0 J(v) = J 5ф(x,^bx))Az(t1,x)dx + J Oj(|Az(tj,x) ||)dx + J p'(t1,x)Az(tj,x)dx x0 x0 x0 -J p'(t0, x)Az(t0, x)dx -J J Pt (t, x)Az (t, x )dxdt + J J q'(t, x)Ay (t, x )dxdt x0 t0 x0 t0 x0 h x1 -J J [H(t, x, z(t, x), y(t, x), p(t, x), q(t, x)) - H(t, x, z(t, x),y(t, x), p(t, x), q(t, x))]dxdt t0 x0 + J у'(x)Az(t0,x)dx - J [ J у'(s)[F(s,x,z(t0,x),v(x)) - F(s,x,z(t0,x),v(x))]ds]dx. Положим x1 (14) M(x, z(t0, x), у(x), v(x)) = J у' (s)F(s, x, z(t{), x), v(x))ds. x Используя формулу Тейлора из (13), будем иметь AJ(v) = J дф (x,^bx)) Az(t1,x)dx + J p'(t1,x)Az(t1,x)-J p'(t0,x)Az(t0,x)dxx0 x0 x0 - { j p (t, x)Az(t, x)dxdt + \ { q '(t, x)Ay(t, x)dxdt - \ j H'z (t, x, z(t, x), y(t, x)p(t, x), q(t, x) : t0 x0 t0 x0 t0 x0 h x1 xAz (t,x)dxdt -\\H'y (t,x,z (t,x),y (t,x) p(t,x),q(t, x)Ay (t,x)dxdt + t0 x0 + J у' (x)Az(t0, x)dx - J [M(x, z(t0, x), v(x), у(x)) - M(x, z(t0, x), v(x), у(x))]dx x0 x0 x x x -J M'z (x, z0 (t0, x), v( x), у( x)) Az (t, x)dx + J 01 (|| Az ft, x)||)dx - J 03 (|| Az ft, x)||)dx x0 x0 x0 h x1 -J J o2 (IAz(t, x)||)dx +1|Ay(t, x)\\)dxdt. h x Если предполагать, что p(t, x), q(t, x) и у( x) удовлетворяют соотношениям pt (t, x) = -Hz (t, x, z (t, x), y(t, x), p(t, x), q (t, x)), p(h, x) = -фz (x, zft, x)), q(t, x) = -Hy (t, x, z (t, x), y (t, x), p (t, x), q(t, x)), у( x) = Mz (x, z (t0, x), v( x), у( x)) + p(t0, x), то формула приращения (14) примет вид AJ (v) = -J [M (х, z (t0, хМ х), y( х)) - M (х, z (t0, х), v(х), у( х)) ] 0 и х1 J 01(1 Az(t1, х)\)йх -J J 02(1 Az(t, х)|| +1| Ay(t, х)\)dхdt -J сз(| Az(t0, х)\)йх. t0 х0 3. Оценка остаточного члена Перейдем к оценке нормы приращения (Az(t0, х), Az(t, х), Ay(t, х)) состояния (z(t0, х), z(t, х), y(t, х)), отвечающего приращению Av^), управления v( х). Из (6)-(8) получаем, что (16) (17) (18) || Az(t, х)|| < Z1 J[| Az (х, х)|| + ||Ay(T, х)|| ] d х +1| Az (t0, х)|, 10 х1 \\Ay(t, х)|| < Z2 J Az(t, s)ds, х0 \\Az(t0,х)|| < Z3 J[||Az(t0,+ |Av(s)pds. х0 Здесь Zi = const > 0, i = 1,3, - некоторые постоянные. Применяя к неравенству (18) лемму Гронуолла-Беллмана (см. например, [4, 5]), получим (19) \\Az(t0,х)|| < Z4 J||Av(s)ds, где Z4 = const > 0 - некоторое постоянное. Далее из (16), применяя лемму Гронуолла-Беллмана, будем иметь J||Ay(x, х)\d х + ||Az (t0, х)|| ||Az(t, х)|| < Z5 (20) 0 где Z5 = const > 0. В (20), учитывая неравенство (17), приходим к оценке t х1 J J|Az(х, х)\dхdх +1|Az ( ||Az(t, х)|| < Z 6 , Z6 = const > 0. U0 , х U0 х0 Отсюда J (х1 -х0) max ||Az(х,х)dх + ||Az(t0,х ^ х0

Ключевые слова

необходимое условие оптимальности, интегро-дифференциальное уравнение, линеаризованное условие максимума, Dynamics population, necessary optimality conditions, inteqro-differential equation, Pontryagins maximum principle, linearized maximum principle, принцип максимума Понтрягина

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Агамалиева Айгюн Исфаган кызыБакинский государственный университетдокторантagamaliyeva88@gmail.com
Мансимов Камил Байрамали оглыБакинский государственный университет; Институт систем управления НАН Азербайджанадоктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической кибернетики; руководитель лабораторией «Управление в сложных динамических системах»mansimovbkamil@gmail.com
Всего: 2

Ссылки

Букина А.В., Букин Ю.С. Исследование модели динамики популяции методами теории оптимального управления // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2010. № 3. C. 59-66.
Букина А.В. Идентификация модели видообразования методами теории оптимального управления // Журнал СФУ. Сер. Ма тематика и физика. 2008. № 3. С. 231-235.
Букина А.В. К исследованию задачи оптимального управления интегро-дифференциальной моделью симпатрического видо образования // Математическое моделирование и информационные технологии : материалы VIII школы-семинара молодых ученых. Иркутск, 2006. C. 34-37.
Новоженов М.М., Сумин В.И. Методы оптимального управления системами математической физики. Горький : Изд-во ГГУ, 1986. 87 с.
Плотников В.И., Сумин В.И. Проблема устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу // Дифференциальные уравнения. 1972. № 5. С. 845-856.
Хотеев Л.А. Задача оптимального управления для интегро-дифференциальных уравнений типа Барбашина // Проблемы управления и оптимизации. Минск : ИМ АН БССР, 1976. С. 74-87.
Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М. : Наука, 1973. 256 с.
Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимальности управления системами Гурса-Дарбу. Баку : ЭЛМ, 2013. 363 с.
 Об одной задаче управления, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 39. DOI: 10.17223/19988605/39/1

Об одной задаче управления, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 39. DOI: 10.17223/19988605/39/1