Об одной задаче управления типа А.И. Москаленко | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 40. DOI: 10.17223/19988605/40/2

Об одной задаче управления типа А.И. Москаленко

Рассматривается задача оптимального управления для модели объекта, описываемого совокупностью двух дифференциальных уравнений, связанных друг с другом по независимым переменным и начальным условиям. Доказан соответствующий аналог принципа максимума Понтрягина, рассмотрен случай его вырождения.

About one A.I. Moskalenko control problem.pdf В работах [1, 2] А.И. Москаленко исследованы задачи оптимального управления, занимающих некоторое промежуточное положение между задачами оптимального управления сосредоточенными и распределенными параметрами. В настоящей статье изучается задача типа А.И. Москаленко [1], причем в отличие от этой работы критерий качества является многоточечным. Получены необходимые условия оптимальности первого порядка в форме принципа максимума Понтрягина и изучен случай вырождения условий (особое управление). 1. Постановка задачи Требуется минимизировать многоточечный функционал S (и ) = Ф(у (X1), y (X2),..., y (Xk )) + fF (x, z (T„ x), z (2, x),..., z (Tk, x))dx (1) x0 при ограничениях u(t)e U с Rr, t e T = [t0, tl], v(x)eV сRq, x e X = [x0,xl], (2) = f ((,x,z(, x),u(t)), (t, x) e D = T x X, (3) ot z(tc x) = y(x), x e X , (4) dy = g(x, y(x), v(x)), x e X , (5) dx y(x0 ) = У0. (6) Здесь f (t, x, z, и) (g(x, y, v)) - заданная n -мерная вектор-функция, определенная и непрерывная в D x R" x Rr (x x Rn x Rq) вместе с частными производными по z (y) до второго порядка включится^ t0, t1, x0, xj, y0 заданы; Ti e(t0, tx], i = 1,k (t0 < T < T2 < ... < Tk < tx); X e (x0, xt ], i = 1,k, (x0 0 - некоторые положительные постоянные. С учетом (25), (26) из формулы приращения (17) получим, что вдоль оптимального управления (uo (t^ vo (x)): xj AuSs (uo, vo ) = -s J AuH (9,x)dx + o(s) > 0. (27) x0 Теперь специальное приращение оптимального управления определим по формуле us (t ) = u (t), t eT, k xe[^,4 +s), Vn (x) = ^ (28) [v°(x), xeX\[4, 4 + s), где £ е[ x0, x1) - произвольная точка непрерывности управляющей функции v°(x); v е V - произвольный вектор; р > 0 - произвольное достаточно малое число, такое что £ + р < x1. Через (Azp (t, x), Ayp (x)) обозначим специальное приращение состояния (z°((, x), y°(x)), отвечающее приращению (28) управления (u°(t), v°(x)). Из оценок (23), (24) следует, что \\Aip (t, x)||< L, р, ||Луц ( x)||< L р, (29) где Lj, L8 = const > 0 - некоторые положительные постоянные. Принимая во внимание эти оценки и формулу (27), из (17) получим, что AS (uo, vo) = S (uo, v) - S (uo, vo) = -р AvM (£) + o (р) > 0. (30) Из неравенств (27), (30), в силу произвольности s и р приходим к соотношениям JAUH (0, x)dx < 0, (31) x0 AvM 00 < 0. (32) Сформулируем полученный результат. Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления (u°(t), v°(x)) в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства (31), (32) выполнялись соответственно для всех 0 е [t0,t1), u е U и £ е [x0,x1), v е V . Неравенства (31), (32) являются необходимыми условиями первого порядка и пара неравенств (31), (32) представляет собой аналог принципа максимума Понтрягина для рассматриваемой задачи. Формула приращения (17) позволяет исследовать также случай особых управлений. Определение 1. Если выполняются соотношения x1 J AuH(0,x)dx = 0 для всех 0 е [t0,t1), u е U , (33) x0 AvM(£) = 0 для всех £ е[x0,x1), v е V, (34) то допустимое управление (u° ((), v°(x)) назовем особым, в смысле принципа максимума Понтрягина, управлением. Из определения 1 видно, что для особых управлений условие максимума (31), (32), вырождаясь, становится неэффективным. Поэтому нужны новые необходимые условия оптимальности. Понятие особого управления было введено Л. И. Розоноэром [5]. В дальнейшем особые управления исследовались Г. Келли [6], Р. Коппом и Г. Мойером [7], Ю.И. Параевым [8], Р. Габасовой, Ф.М. Кирилловой [9] и др. Довольно полный обзор соответствующих результатов имеется в работах [9-16] и др. Заметим, что особые управления возникают во многих прикладных задачах управления (см., например, [6, 7, 9, 17, 18] и др.). Перейдем к выводу необходимых условий оптимальности для особых управлений. Из (7), (8) видно, что (Ay(x), Az (t, x)) является решением линеаризованной задачи Ay (x) = gy (x )■Ay (x)+Av(x )g (x)+П2 (x;Av), (35) Ay(x0 ) = 0, (36) OAz^t,x) " f (t, x) Az(t,x) + Ащ/(t, x) + ^ (t,x; Au), (37) Az(t0, x ) = Ay (x). (38) Здесь по определению П2 (x;Av (x)) = A v (x )g (x) Ay (x) + o4 (||Ay (x)||), П3 (t, x;Au (t)) = Au(() fz (t, x)Az ( x) + o5 (IAz (t, x))). Решения уравнений (35), (36) и (37), (38) на основе аналога формулы Коши о представлении решений линейных дифференциальных уравнений (см., например, [19, 20]) имеют вид x Ay (x) = J Ф (x, 5) Av(s)g (s)ds + ^ (x; Av(x)) , (39) x t Az(t, x) = JF(t, x, x)AH_(x)f (t, x)dт + F(t, t0, x)Ay (x) + ^5 (t, x; Au (t)) . (40) Здесь x П4 (x; Av(x))= JФ(x,s)n2 (s; Av(s))ds , x0 t П5 (t, x; Au (t)) = J F(t, x, x)n (x, x; Au (x))dx , h где Ф(x, s), F (t, x, x) - (n x n) матричные функции, являющиеся решениями матричных дифференциальных уравнений Ф s (x, s ) = -ф(x, s ) gy (s ), Ф(x, x ) = E, Fx (t, т, x) = -F (t, т, x) fz (т, x), F (t, t, x) = E, где E - (n x n) единичная матрица. Из (39) с учетом представления (40) получаем t x Az (t , x) = J F(t, т, x) Au(т) f (т, x)dx + J F (t, t00, x)Ф(, s)Av(s)g (s)ds + n (t, x; Au (t), Av(x)) . (41) f0 x0 Здесь по определению П6 (t, x; Au (t), Av(x)) = П5 (t, x; Au (t)) + F(t, t(), x)П4 (x; Av(x)) . С учетом оценок (23), (24) из представлений (39), (41) получаем t Aze(t,x) = JF(t,x,x)A_wf (x,x)dx + o(e; t,x) , Aye (x) = 0, (42) x Az, (t,x)= J F(t,t0,x)Ф(,s) Av,(i)g(s)ds + o(,; t,x) , (43) 0 Ay, (x)= J^ s )Av, (s )g (s )ds + o (,). (44) x0 В особом случае из формулы приращения (13) получаем справедливость разложений S(uo (t) + Aus (t),vo (x)) - AS(uo (t),vo (x)) = = ±£ ] Az'(T, x)°_F((1^8)::::f(ti:x)) ) (t, , x)dx -1j ] J(t, x)Ha(t,x)Azs (t,x)dxdt i, J =1 x0 i J *0 x0 f1 x1 -J J A- (t)H'z (t,x) Aze (t,x)dxdt + o(e2), (45) f0 x0 S(uo (t),vo (x) + Av, (x)) - AS(uo (t),vo (x)) = = 1 £ Ay' (x,)8Му(X1y(X2yX))Ay,(Xj) 2 j 1 ,} 8a, 8aJ j t x, x0 '0 x0 Из(42)следует t Aze(T-,x) = j«, (t)F(T,,т,x)(т,x)dT + °(e), (47) *0 где a, (t) - характеристическая функция отрезка [t0, Tt ]. Используя (47), доказывается справедливость следующих тождеств: x Az, (T,x)d2F(*zTx^ 0 и ц>0, из разложений (58), (59) получаем, что вдоль особого оптимального управления (u°(t), v°(x)) выполняются соотношения ^f[Auf'(0, x)K (0,0, x) A uf (0, x) + AuH; (0, x)Auf (0, x)]dx < 0 (60) x0 для всех 0 e [t0, t1), u e U, a vg'(4) l (4,4) A vg (4) + A M'y (4) A vg (4 )< 0, (6i) для всех v eV , 4 e [ x0, x1) . Сформулируем результат. Теорема 2. Для оптимальности особого, в смысле принципа максимума Понтрягина, управления (u°(t),v°(x)) необходимо, чтобы неравенства (60), (6i) выполнялись для всех u e U , 0 e [t0,t1) и v e V , 4 e[ x0, xi) соответственно. Заметим, что необходимые условия оптимальности (60), (6i) являются аналогами условия оптимальности Габасова-Кирилловой (см., например, [9, i0]). Заключение В работе изучается задача оптимального управления типа А.И. Москаленко для многоточечного критерия качества. Применяя схему, предложенную в работах [11, 14, 15 и др.], установлено необходимое условие оптимальности особых, в смысле принципа максимума Понтрягина, управлений.

Ключевые слова

условие максимума Понтрягина, особый случай, необходимое условие оптимальности, задача оптимального управления с распределенными параметрами, Pontryagin maximum condition, special case, the necessary optimality condition, optimal control problem with distributed parameters

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Мансимов Камиль Байрамали оглыБакинский государственный университет; Институт систем управления НАН Азербайджанадоктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической кибернетики; руководитель лаборатории «Управление в сложных динамических системах»kmansimov@mail.ru
Расулова Шахла Меджид кызыИнститут Систем Управления НАН Азербайджанааспиранткаrasulzade_sh@yahoo.com
Всего: 2

Ссылки

Москаленко А.И. Об одном классе задач оптимального регулирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. № 1. С. 69-95.
Москаленко А.И. Некоторые вопросы теории оптимального управления : автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук. Томск : Том. гос. ун-т, 1971. 20 с.
Плотников В.И., Сумин В.И. Проблема устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу // Дифференциальные уравнения. 1972. № 5. С. 845-856.
Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. № 1. С. 61-77.
Розоноэр Л.И. Принцип максимума в теории оптимальных систем I-III // Автоматика и телемеханика. 1969. № 10-12. С. 1320-1334, 1441-1458, 1561-1578.
Келли Г. Необходимое условие для особых экстремалей, основанное на второй вариации // Ракетная техника и космонавтика. 1964. № 8. С. 26-29.
Копп Р., Мойер Г. Необходимое условие оптимальности особых экстремалей // Ракетная техника и космонавтика. 1965. № 8. С. 84-91.
Параев Ю.И. Об особом управлении в оптимальных процессах, линейных относительно управляющих воздействий // Автоматика и телемеханика. 1962. № 9. С. 1202-1209.
Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М. : Наука, 1973. 256 с.
Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности высокого порядка (обзор) // Препринт ИМ АН БССР. 1982. № 30 (155). 48 с.
Мансимов К.Б. Особые управления в системах с запаздыванием. Баку : Изд-во ЭЛМ, 1999. 171 с.
Марданов М.Дж. Об условиях оптимальности особых управлений // Докл. АН СССР. 1980. Т. 213, № 4. C. 815-818.
Меликов Т. К. Об оптимальности особых управлений в системах с последействием нейтрального типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. № 9. С. 1332-1343.
Марданов М.Дж., Мансимов К. Б., Меликов Т. К. Исследование особых управлений и необходимые условия оптимальности второго порядка в системах с запаздыванием. Баку : Изд-во ЭЛМ, 2013. 356 с.
Мансимов К. Б., Марданов М. Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса-Дарбу. Баку : Изд-во ЭЛМ, 2010. 363 с.
Марданов М. Дж. Исследование оптимальных процессов с запаздываниями при наличии ограничений. Баку : Изд-во ЭЛМ, 2010. 114 с.
Параев Ю.И. Оптимальное управление двухсекторной экономикой // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 3 (28). С. 4-11. URL: http://vital.lib.tsu.ru/vital/access/manager/Repository/vtls:000489175
Параев Ю.И., Грекова Т.И., Данилюк Е.Ю. Аналитическое решение задачи оптимального управления односекторной экономикой на конечном интервале времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 4(17). C. 5-15. URL: http://vital.lib.tsu.ru/vital/access/manager/Repository/vtls:000457826
Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск : Изд-во БГУ, 1973. 246 с.
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. 419 с.
 Об одной задаче управления типа А.И. Москаленко | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. №  40. DOI:  10.17223/19988605/40/2

Об одной задаче управления типа А.И. Москаленко | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 40. DOI: 10.17223/19988605/40/2