Прогнозирующее управление стохастическими нелинейными системами с сериально коррелированными параметрами при ограничениях | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 42. DOI: 10.17223/19988605/42/1

Прогнозирующее управление стохастическими нелинейными системами с сериально коррелированными параметрами при ограничениях

Рассматривается задача управления с прогнозированием по квадратичному критерию для нелинейных дискретных систем с сериально коррелированными параметрами. Синтезированы стратегии управления при наличии явных ограничений на управляющие воздействия. Алгоритм синтеза прогнозирующей стратегии сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования.

Model predictive control for nonlinear stochastic systems with serially correlated parameters under constraints.pdf Системам со случайными параметрами уделяется значительное внимание в современной научной литературе. Это связано с тем, что такие системы нашли широкое практическое применение при управлении сложными реальными объектами. Эффективным методом решения задач управления такими системами при наличии ограничений является метод управления с прогнозирующей моделью (управление со скользящим горизонтом, model predictive control, receding horizon control) [1-3]. В работах [4-8] синтезированы алгоритмы прогнозирующего управления линейными стохастическими системами со случайными параметрами при ограничениях на управления. При этом в [4] рассматриваются системы с мультипликативными шумами, в [5] предполагается, что динамика вектора параметров описывается разностным стохастическим уравнением авторегрессии, в работе [6] предполагается, что известны только первые и вторые моменты распределения сериально коррелированных параметров, в [7, 8] рассматривается задача управления системами со скачкообразными параметрами, меняющимися в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи. В работе [9] исследованы алгоритмы синтеза прогнозирующего управления для систем с запаздываниями. Обзор литературы показывает, что большинство работ посвящено управлению линейными системами, в то время как многие реальные процессы описываются уравнениями, содержащими нелинейные компоненты [10]. Метод прогнозирующего управления с генерацией сценариев для стохастических нелинейных систем с независимыми параметрами рассматривается в [11]. В работе [12] синтезированы стратегии управления со скользящим горизонтом для класса стохастических систем с аддитивной нелинейностью без учета ограничений. При этом предполагается, что нелинейная составляющая системы зависит от состояний, управлений и вектора шумов [13]. В [14] рассматривается задача прогнозирующего управления для этого класса нелинейных систем при ограничениях на управляющие переменные. В работе [15] предложен метод синтеза стратегий прогнозирующего управления по квадратичному критерию при ограничениях для дискретных стохастических систем с марковскими переключениями, состоящих из конечного множества нелинейных подсистем с аддитивной нелинейностью. В данной работе рассматривается задача синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью для дискретных нелинейных систем со случайными коррелированными параметрами. Относительно параметров предполагаются известными только первые и вторые условные моменты распределений. Синтезированы стратегии управления с прогнозированием по квадратичному критерию при наличии явных ограничений на управляющие переменные. 1. Постановка задачи Пусть объект управления описывается уравнением x(k +1) = Ax(k) + B[v(k +1), k + 1]u(k) + f (.x(k),u(k), w(k +1)), (1) где x(k) - «х-мерный вектор состояния, u(k) - «„-мерный вектор управления, w(k) - вектор белых шумов размерности nw с нулевым средним и единичной матрицей ковариации, ц(к) - последовательность g-мерных случайных векторов; последовательности w(k) и п(к) независимы; A, В[п(к),к] - матрицы соответствующих размерностей, причем элементы матрицы В[п(к),к] зависят от п(к) линейно. Характер нелинейной зависимости в функции f таков [13], что для любых х(к) E{ f (x(k ),u(k ),w(k+1))/x(k)} = 0, (2) E {f (x(k ),u(k ),w(k+1)) fT (x(k ),u(k ),w(k+1) )/x(k)} = T 0 + £T1 (x T(k )W'x(k )+u T(k )M'u(k)), (3) где £{.../...} - оператор условного математического ожидания; r = n(n + 1) / 2, Tl (i = 0,r), W1 и M1 (i =1 ,r) - неотрицательно определенные симметричные матрицы. Пусть F = (дк)к>1 ~ поток о-алгебр, где каждая из о-алгебр ^ порождается последовательностью {n(s): s = 0, 1, 2, ... , к} и интерпретируется как доступная информация до момента времени к включительно. Для процесса п(к) предполагаются известными условные моменты распределений E {n(k + i)/Fk }=n(k + i), E{Л(k + 1)цт (k + j)/ Fk } = (k), (k = 0,1,2,...), (i, j = 0,1,2,..., d). В дальнейшем будем использовать обозначения: для любой матрицы у[п(к),к], зависящей от п(к), у (k) = E {(k), k ] / Fk }, не указывая зависимость матриц от п(к). На управляющие воздействия наложены ограничения вида: umin(k) < S(k)u(k) 0, R(k+1) > 0 - весовые матрицы соответствующих размерностей; R (k +1) - весовой вектор соответствующей размерности. 2. Синтез стратегий прогнозирующего управления Для решения сформулированной задачи используем методологию управления с прогнозирующей моделью. Данный подход позволяет получить стратегии управления с обратной связью с учетом явных ограничений на управляющие воздействия. Стратегии управления с прогнозированием определяются по следующему правилу. На каждом шаге к минимизируем функционал (5) по последовательности прогнозирующих управлений и(к/к), ... , и(к + m - 1/к), зависящих от состояния системы в момент времени к. В качестве управления в момент времени к берем и(к) = и(к/к). Тем самым получаем управление и(к) как функцию состояний х(к), т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление и(к+1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента к + 1 и т.д. Теорема. Вектор прогнозирующих управлений U(k)=[uT(k/k), ... , uT(k + m - 1/k)]T, минимизирующий критерий (5) при ограничениях вида (4), на каждом шаге к определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида Y(k + m / k) = 2xT(k)G(k) - F(k) U(k) + UT(k)H(k)U(k) при ограничениях Uminik) < 5(k)U(k) < Umx(k), где 5(k) = diag(S(k),5(k + m -1)), -■T r Umin(k) = umin(k l-UL^+m-1) ,Umax(k) = umax(k),-,umax(k+m-1) (6) H(k), G(k), F(k) - блочные матрицы вида "Hn(k) Hi2(k ) Hlm(k) H2Jk) Hmm(k) Gm(k)], Fm(k)], (7) (8) (9) H2i(k ) H22 (k ) H (k) = Hmi(k) H m2 (k ) G(k) = [Gi(k) G2(k) F (k) = [ F(k) F2(k) блоки которых равны: Ht t (k) = R(k +1 -1) + E{B T[^(k +1), k +1]Q(m -1)B[v(k +1), k +1] / Fk } +Ttr Q(m-t)T] }mj , (10) ' J=i 1 ' Ht f (k) = E{BT[v(k +1),k +1](Af-t)TQ(m - f )B[v(k + f),k + f ]/Fk},t < f, H, (k) = Hf ,t (k), t > f, Gt (k) = (At )T Q(m -1 )B(k +1), Ft (k) = Q2 (m - t)B(k +1), t, f = 1m, где Q(i) = ATQ(i -1)A + Z tr|Q(i-1)TJ}wj + R(k + m -i),Q(0) = R1(k + m), Q2(i) = Q2(i-1)A + R2(k + m -i),Q2(0) = R2(k + m). Закон управления с прогнозированием в каждый момент времени к определяется соотношением u(k) =[^ %и ... %и ]U(k), (17) где In - единичная матрица размерности Пи, 0n - квадратная матрица с элементами, равными нулю, размерности Пи. Оптимальная стратегия прогнозирующего управления системой (1) без учета ограничений определяется уравнением (17), где (18) U (k) = -2 н-4k )[2GT(k) x

Ключевые слова

нелинейные стохастические системы, прогнозирующее управление, сериально коррелированные параметры, ограничения, stochastic nonlinear systems, model predictive control, serially correlated parameters, constrains

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Домбровский Владимир ВалентиновичТомский государственный университетпрофессор, доктор технических наук, заведующий кафедрой информационных технологий и бизнес-аналитики Института экономики и менеджментаdombrovs@ef.tsu.ru
Пашинская Татьяна ЮрьевнаТомский государственный университеткандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационных технологий и бизнес-аналитики Института экономики и менеджментаtatyana.obedko@mail.ru
Всего: 2

Ссылки

Mayne D.Q. Model predictive control: Recent developments and future promise // Automatica. 2014. V. 50 (12). P. 2967-2986.
Goodwin G.S., Carrasco D.C., Seron M.M. Predictive control: a historical perspective // Int. J. of Robust and Nonlinear Control. 2012. V. 22. P. 1296-1313.
Farina M., Giulioni L., Scattolini R. Stochastic linear model predictive control with chance constraints : a review // J. of Process Control. 2016. V. 44. P. 53-67.
Primbs J.A., Sung C.H. Stochastic receding horizon control of constrained linear systems with state and control multiplicative noise // IEEE Transactions on Automatic Control. 2009. V. AC-54, No. 2. P. 221-230.
Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием системами со случайными зависи мыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2006. № 12. С. 71-85.
Dombrovskii V., Obyedko T. Model predictive control for constrained systems with serially correlated stochastic parameters and portfolio optimization // Automatica. 2015. V. 54 (4). P. 325-331.
Смагин В.И., Поползухина Е.В. Синтез следящих систем управления для объектов со случайными скачкообразными пара метрами и мультипликативными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. 2000. № 271. С. 171 -174.
Домбровский В.В., Объедко Т.Ю. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2011. № 5. С. 96-112.
Kiseleva M.Y., Smagin V.I. Model Predictive Control of Discrete Systems with State and Input Delays // Вестник Томского гос ударственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 1 (14). С. 5-12.
Mhaskar P., El-Farra N.H., Christofides P.D. Robust hybrid predictive control of nonlinear systems // Automatica. 2005. V. 41. P. 209-217.
Kantas N., Maciejowski J.M., Lecchini-Visintini A. Sequential monte Carlo for model predictive control // Nonlinear Model Predictive Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences / L. Magni, D.M. Raimondo, F. Allgower (eds). Berlin, Heidelberg : Springer, 2009. V. 384. P. 263-273.
Yaz E. A control scheme for a class of discrete nonlinear stochastic systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1987. V. AC-32, No. 1. P. 77-80.
Jacobson D.H. A general result in stochastic optimal control of nonlinear discrete-time systems with quadratic performance criteria // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1974. V. 47 (1). P. 153-161.
Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием нелинейными стохастическими системами при ограничениях // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 18. С. 320-323.
Dombrovskii V., Obyedko T., Samorodova M. Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear stochastic systems and portfolio optimization under market frictions // Automatica. 2018. V. 87 (1). P. 61-68. https://doi.org/10.1016/ j.automatica.2017.09.018.
 Прогнозирующее управление стохастическими нелинейными системами с сериально коррелированными параметрами при ограничениях | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 42. DOI: 10.17223/19988605/42/1

Прогнозирующее управление стохастическими нелинейными системами с сериально коррелированными параметрами при ограничениях | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 42. DOI: 10.17223/19988605/42/1