Об оптимальности особых управлений в задаче управления ступенчатыми дискретными двухпараметрическими системами | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 42. DOI: 10.17223/19988605/42/2

Об оптимальности особых управлений в задаче управления ступенчатыми дискретными двухпараметрическими системами

Рассматривается ступенчатая задача оптимального управления, описываемая дискретными двухпараметриче-скими системами типа Форназини-Маркезини. Установлено необходимое условие оптимальности первого порядка типа принципа максимума Понтрягина и исследован особый случай.

On optimality of singular controls in control problem of the step discrete two-parametric systems.pdf В работах [1-8 и др.] изучаются различные аспекты задач оптимального управления системами, описываемых дискретными двухпараметрическими системами типа Форназини-Маркезини. В предлагаемой работе исследуется одна ступенчатая задача оптимального управления, описываемая системой Форназини-Маркезини. Получен аналог дискретного принципа максимума. Исследован случай его вырождения (особый случай). Частный случай рассматриваемой задачи изучен в [9, 10 и др.]. 1. Постановка задачи Пусть требуется минимизировать функционал S (u, V) = ф1 ( z (t, X)) + Ф2 (y (t2, X)) (1) при ограничениях: u(t,x)e U с Rr, (t,x)eD1 = {(t,x): t = t0,t0 + 1,...,tx -1; x = x0,x0 +1,...,X -1}, v(t,x)e Vс Rq, (t,x)eD2 = {(t,x): t = t1,t1 + 1,...,t2 -1; x = x0,x0 + 1,...,X-1}, (2) z(t +1, x +1) = f (t, x, z(t, x), u(t, x)), (t, x)e D , (3) z (t0, x) = a (x), x = x0, x0 +1,..., X, z(t,x0) = p1 (t), t = t0,t0 +1,...,t1, (4) a ( x0 ) = P1 (10 ), y(t +1, x +1) = g (t, x, y(t, x), v(t, x)), (t, x)e D, (5) y (t, x) = G ( x, z (t, x )), x = x0, x0 +1,..., X, y(t, x0) = P2 (t), t = t1,t, +1,...,t2, (6) G ( X0, z (t1, X0 )) = P 2 (t1 ) . Здесь f (t, x, z, u), (g(t, x, y, v)) - заданная n ^^мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по z (y) до второго порядка включительно; (z), y) _ заданные дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции; a (x), в (t) , i = 1,2 -заданные дискретные вектор-функции соответствующих размерностей; u(t, x) (v(t, x)) - r (q)-мерный вектор управляющих воздействий; U, V - заданные, непустые и ограниченные множества; G(x, z) -заданная m-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по z до второго порядка включительно; t0, h, t2, x0, X- заданные числа, причем разности t2 - t\ и X - x0 есть натуральные числа. Отметим, что ступенчатый характер модели заключается в скачкообразном изменении модели при переходе точки (t, x) из области D\ в D2. Пару (u(t, x), v(t, x)) с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Допустимое управление (u(t, x), v(t, x)), доставляющее минимум функционалу (1) при ограничениях (2)-(6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (u(t, x), v(t, x), z(t, x), y(t, x)) - оптимальным процессом. 2. Формула для приращения критерия качества. Дискретный принцип максимума Считая (u°(t, x), v°(t, x), z°(t, x), y°(t, x)) фиксированным допустимым процессом, введем обозначения: H (t, x, z, u, ) = f (t, x, z, u), M (t, x, y, v, y°2) = g (t, x, y, v) . Здесь , i = 1,2 - пока неизвестные n- и m-мерные вектор-функции соответственно. Через (u(t, x) = u°(t, x)+Au(t, x), v(t, x) = v°(t, x)+Av(t, x), z(t, x) = z°(t, x)+Az(t, x), y(t, x~) = y°(t, x) + +Ay(t, x)), обозначим произвольный допустимый процесс и запишем приращение функционала качества (1): AS(u°, v°) = S(u, v )-S(u°, v°) = [Ф1 (z(t1, X))-^1 (z°(t1, X))]+ [Ф2 (y(t2, X))-^ (^(h, X))]. (7) Ясно, что приращение (Az(t, x), Ay(t, x)) состояния (z°(t, x), y°(t, x)) является решением краевой задачи Az(t +1, x +1) = f (t, x, z(t, x), u (t, x))-f (t, x, z°(t, x), u°(t, x)), (8) Az(tn, x) = 0, x = xn, xn +1,..., X, ° , 00 (9) Az(t,x0) = 0, t = t0,t0 + 1,...,t1, Ay(t +1, x +1) = g(t, x, y (t, x), v (t, x)) - g (t, x, y2 (t, x), v2 (t, x)), (10) (11) 4-1 X -1 Z Z (12) , x, y(t, x), v (t, x))- g(t, x, y (t, x), v (t, x Ay(t\,x) = G(x,z(^,x))-g(x,z°(tx,x)), x = x0,x0 +1,...,X, Ay(t,x0) = 0, t = tj,^ + 1,...,t2. С учетом (8) и (10) будем иметь ZZtfi t, x )Az (t +1, x +1) = 4-1 X -1 Z Z[H (t, x, z (t, x), u (t, x), rf (t, x )) - H (t, x, z 0 (t, x ), u 0 (t, x), < (t, x })], h -1 X-1 ZZ< (t, x)Ay (t +1, x +1) = (13) t=t x=x t2 -1 X-1 , Z ZH (t, x, y (t, x), v (t, x), 21, x)) " M (t, x, y 0 (t, x), v° (t, x ), 2, x ^^^. t=t x=x Выполнив замену переменных t +1 = т, x +1 = s получим ZZw2'(t,x)Az(t +1,x +1)= t ± ■ X ZZw2(t,x )Az (t +1, x +1)= Z Z v?'( t -1,x - l)Az (t, x )= Z v2'(ti -1, x - l)Az (tj, x )- (14) X 4-1 X - Z Vi2'(to -1, x - 1)Az (t0, x) + Z Z ^2'(t -1,x - 1)Az (t, x) = -1, X - 1)Az (tx, X)- X-1 t1-1 -tfk -1,x0 - 1)Az(t1,x0)+ ZV?(t1 -1,x- 1)Az(t1,x) + ZV?(t-1,X- 1)Az(t,X)x=x t- t-1 X-1 t-1>*0 -l)Az(t,x0) + ZZ vf'(t-M-1) Az(t,x), *2 -1 X -1 h X X ZZl°(t,x)Ay(t +1,x +1)=£ m |°'(t-1,x-1)Ay(t,x)= m V°'(t2 -1,x- 1)Ay(t2,x)- - z i'(t1 -1,x-1)Ay(t1,x)+t2^ mm ^(t-1,x-^(t,x^^-1,x- 1)Ay(t2,x)- X -1 -v2'(t2 -1,x0 -1)Ay(t2,x0)+Z^2'(t2 -1,x-1)Ay(t2,x)-v°'(t1 -1,X- 1)AyX)+ (15) X -1 t2 -1 +|°' (t1 -1, x0 -1) Ay (t1, x0) - Z1°' (t1 -1, x -1) Ay (t1, x) + Z>2' (t -1,X -1) Ay (t,X) - -t 11 -1, x -1) Ay (t, x0) + Z Z I' (t -1, x -1) Ay (t, x). "0 у t=t Полагая N,z,x) =|° (t -1,x-1)y(tj,x) = (t\ -1,x- 1)G(x,z(tj,x)) и учитывая тождества (14), (15), в (7) имеем AS (u ^, = Az (t„ X) +1 Az' (t„ X Az (t„ X) + -ф2( y °(t,, x )) 1 а2ф2( y o(t2, x )) + ф2 (^ )) Ay (t2, X ) +1 Ay' (t2, X Ay (t2, X ) + vf(t1 -1, X - 1)Az (t1, X ) + x -1 4-1 к -1 x-1 + Z Vi°'( 4 -1, x - 1)Az (t, x ) + Zvf(t -1, X - 1)Az (t, X ) + ZZvf( t -1,x - 1)Az (t, x)- 1 -1 X-1 г -Z Z [H (t, x, z0 (t, x),u(t, x), (t, x))- H (t, x, z0 (t, x),u0 (t, x), (t, x))] - 4-1 X -1 -Z Z H\ (t, x, z° (t, x), u ° (t, x), (t, x))Az (t, x) - 4-1 X -1 ' -Z Z [H* (t, x, z0 (t, x),u (t, x), (t, x))- Я (t, x, z0 (t, x),u0 (t,x), (t, x))] Az (t,x) - 1 1-1 X -1 / 4 ~Z Z Az '(t,x)Hzz (t,x,z0 (t,x),u0 (t,x),(t,x))Az(t,x) j t1 -1 X -1 1Z Z Az'(t,x)[ (t,x,z° (t,x),u (t,x),|°(t,x))-Hz (t,x,z°(t,x),u0 (t,x), |°(t,x))]Az(t,x) + +°1 (|A(t1,X)||2) + °2(||Ay(t2,X)||2)-ZZ °з (|Az(t,x)||2) + x-1 +|°'(t2 -1,X - 1)Ay(t2,X)-Z V°'(t2 -1,x-l)Ay(t2,x)-N (у°,z0,X)Az(t1,X) + x -1 +Az ' (t1, X ) Nzz (у°, z °(t1, X ))Az (t1, X )-Z N (|°, z °(t1, x ), x )Az ft, x )- 1 X -1 x -1 , - Z Az '(t1, x)Nzz (|°, z0 (t1, x), x)Az (t1, x)- Z °4 (I Az (t1, x) +| I' (t -1,X - 1)Ay(t,X) + |£ ^(t -1,x-l)Ay(t,x)- (16) Z Z[(t, x, y° (t, x), V (t, x), y2 (t, x)) -M (t, x,y° (t, x), v° (t, x), | (t, x))] - X 1 ' Z Z[My (t, x, y ° (t, ■x), V (t,x ), | (t, x)) - My (t, x, y ° (t, x), v° (t, x ), v2 (t, x ))] Ay (t, x ) - J t2-1 X-1 -1Z Z Az(t,x)Myy (t,x,y° (t,x),v° (t,x),| (t,x))Ay (t,x)- 2 t=tj x=x0 Y h -1 X-1 1 ZZAz '(t,x)[ (t,x,y°(t,x),V(t,x),i2(t,x))-My (t,x,y°(t,x),v°(t,x),i2(t,x))]Ay(t,x)- -XZo, (||Ay(t,x)||2) - £Xм; {t,x,y0 (t,x),v° (t,x),|2(t,x))Ay(t,x). Если предполагать, что (t, x) (t, x)) является решением системы разностных уравнений ¥0(t -1,x-1) = Hz (t,x), (17) |0 (t1 -1, x -1) = G' (x, z° (t1, x)) ¥ (t1 -1, x), tf(t-1, X -1) = 0, |0(t -1,X- 1) = -5ф1 (^X^ + G'(X,z°(t1,X))vo(t1 -1,X-1), v0(t -1,x-1) = My (t,x), (18) ¥0 (t-1, x -1) = о, ¥2 (t2 -1, x-1) = о, 12 -1, X - ^JiMi, cy то формула приращения (16) примет вид h -1 x-1 AS(u°,v°) = -ZZ[H(t,x,z°(t,x),u (t,x),|0(t,x))-H(t,x,z°(t,x),u°{t,x),v1(t,x))] + 1 a 2m.( z °(t, x )) +1 Az' (t1, X Az (t1, X )h -1 - -1 ' -Z Z \_H, (t,x,z° (t,x),u (t,x),| (t,x))-Я (t,x,z° (t,x),u° (t,x),| (t,x))] Az(t,x) + i a y °(t,,-)) i , . +1 Ay '(t2,-) ^y 2 2 J Ay(t2,X)-1 Az '(t1,X)Nzz (|2,z0(t1,X),X)Az(t1,X)t2 -1 X-1 -ZZLM (t, x, y ° (t, x ), V (t, x ), |0 (t, x ))- M (t, x, y ° (t, x ), v ° (t, x ), ¥0(t, x ))]t2 -1 X -1 Z Z [My (t,x,y° (t,x),V(t,x),|0 (t,x)) -My (t,x,y° (t,x),v° (t,x),|0 (t,x))] Ay (t,x) - (19) t2 -1 X -1 1 ZZAy '(t,x)Myy (t,x,y°(t,x),v0(t,x),|0(t,x))Ay (t,x) + 0(||Az(t1,X)|| ) + h -1 X -1 , h -1 X-1 , + 0(|Ay(t2,X)2)-£Z0(|Az(t,x)|2)-£ Z0(|Ay(t,x)2)-0(|Ay(t,x)2). t-tn x-x^ t-ti x-xr\ Предположим, что множества f (t,x,z°(t,x),U)= (yj : Yi = f (t,x,z°(t,x),u(t,x)), u(t,x)eU, (t,x)eDl}, g(t, x, y° (t, x), V) = (y2 : y2 = g(t, x, y° (t, x), v(t, x)), v(t, x)e V, (t, x)e D2 } (20) выпуклы. Пусть se[0,1] - произвольное число, а u(t, x)eU , (t, x) e D, v(t, xjeV, (t, x) e D2 - произвольные допустимые управляющие функции. Используя произвольность допустимых управляющих функций u (t, x), v (t, x), вместо них возьмем допустимые управляющие функции u (t, x; s), v (t, x; s) таким образом, чтобы выполнялись соотношения: z (t +1, x +1;s) = s f (t, x,z (t, x;s),u (t,x)) + (1 -s) f (t,x,z (t,x;s),u° (t,x)) = f (t, x, z (t, x; s),u (t, x; s)), z (t0,x;s) = a(x), x = x0,x0 +1,...,X, z (t,x0;s) = p (t), t = t0,t0 + 1,...,tj, (22) y (t +1, x +1; s) = g (t, x, y (t, x; s), v (t, x; s)) = (23) = sg(t,x,y (t,x; s), v(t,x)) + (1 -s)g(t,x,y (t,x; s), v° (t,x)), z (t,x;s) = G(x,z (t,x;s)), x = x0,x0 +1,...,X, y (t, x0; s ) = p2 (t), t = t1, t1 +1,..., t2. (24) Введем обозначения Oz (t,x; s) (25) (26) 5s 5y (t, x; e) s=0 a( t, x) = P(t, x ) = Og It, x, y (t, x ), v (t, x )) , ч p(t +1, x +1) = ^-V " p(t, x) + Av(t,x)g(t, x,y° (t,x), v° (t,x)) , (31) 5s Учитывая условия, наложенные на правые части уравнений (8), (10), получим, что z (t, x; s) - z ° (t, x) = Aze (t, x; s) = s a (t, x) + ° (s; t, x), (27) y (t, x; s) - y° (t, x) = Ays (t, x; s) = s p(t, x) + ° (s; t, x), (28) где a(t,x) и P(t,x) являются решениями краевых задач ч Of (t, x, z°(t, x), u° (t, x)) / ч , , , , Л a (t +1, x +1) = ^-^-a (t, x) + Au(t x} f (t, x, z° (t, x),u° (t, x)), (29) a(?0,x) = 0, x = xq, x0 +1,...,X, a(t,x0 ) = 0, t = t0, t0 +1,..., tj, (30) 5g (t, x, y °(t,x), v°(t, x)) 5y P(t,x) = Gz (x,z(t,x))a(t,x) , x = xq,xq +1,...,X, P (t, ^ ) = 0, t = tx, ^ +1,..., ^. (32) Учитывая разложения (27), (28), из формулы (19) получим ASe (u° (t, x), v° (t, x)) = S (u (t, x;s), v° (t, x; s)) - S (u° (t, x), v° (t, x)) = 4-1 X -1 = -sZ Z |_Я (t, x, z° (t, x),u (t, x), (t, x)) - H (t, x, z° (t, x),u° (t, x), (t, x))J t2 -1 X -1 -sZ Z [m (t, x, y° (t, x),v (t, x), (t, x)) -M (t, x, y° (t, x),v° (t, x), (t, x))] + (21) 4 -1 X-1 a (t1, X) - ZZ|_a' (t, x) Hz (t, x, z° (t, x), u ° (t, x), (t, x)) a (t, x) 5 2ф1 ( z°( t1, X )) s2 +- 2 '( ^ X ) + a 5z2 +2AH' (t, x, z° (t, x),u° (t, x), (t, x))a (t, x)] + 5 2ф2 ( y °(t2, X )) 4 -1 X-1 P(t2,X) -ZZ Z P'(t,x)My (t,x,y° (t,x),v° (t,x),(t,x)) X 5y2 xp (t, x) + 2Av(t,x)My (t, x,y° (t, x), v° (t, x), y° (t, x)) p (t, x) 2 --a'(t1, X) Nzz (y°, z°(t1, X), X )a(t1, X) + °(s2). (33) Из разложения (33) в силу независимости и произвольности допустимых управлений u(t, x) и v(t, x) получаем справедливость следующего утверждения. Теорема 1. Если множества (20) выпуклы, то для оптимальности допустимого управления (u°(t,x), v°(t,x)) в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства t1 -1X-1 , . ZZ**.x)H(t,x,z°(t,x),u°(t,x),¥°(t,x))< 0 0 -v -Vq t2-1 X-1 Z Z Av(t, x M (t, x, y °(t, x), v°(t, x), ¥°(t, x ))< 0 (34) (35) 1 Л--Л-0 t-t x - x выполнялись для всех u(t, x )eU, (t, x)e D1, v(t, x)eV, (t, x)e D2 соответственно. Пара соотношений (34), (35) является аналогом дискретного условия принципа максимума Понт-рягина для рассматриваемой задачи. 3. Особый случай дискретного принципа максимума Рассмотрим случай вырождения аналога дискретного условия максимума. Определение. Допустимое управление (u°(t ,x), v°(t,x)) назовем особым в смысле принципа максимума Понтрягина управлением в задаче (1)-(6), если для всех u(t, x)eU, (t, x)e D , v(t, x)e V, (t, x) e D2 выполняются соотношения s2 +- 2 P'(t2, X ) t1 -1 X-1 (36) (37) Z Z Au(t,x H(t, x, z° (t, x), u° (t, x), (t, x)) = 0, t=t0 x= x0 t2-1 X-1 x ))= 0. ^ ZAv(t,x )M (t, x, y °(t, x), v°(t, x), y°(t, x)) t=t x=x 10 Случай выполнения тождеств (36), (37) назовем особым случаем. В особом случае из разложения (33) вытекает справедливость утверждения. Теорема 2. При сделанных предположениях для оптимальности особого управления (u°(t ,x), v°(t,x)) необходимо, чтобы вдоль процесса (u°(t,x),v°(t,x),z°(t,x),y°(t,x)) выполнялись неравенства 52ф1 (z0^X)) „ I ° ^ --- Nzz (v2,z (tl,X)) '( X ) ( ^ X )a a tj-1 X -1 ZZ Z [a'(t,x)H„ (t,x,z0 (t,x),u° (t,x),(t,x))a(t,x) + =x0 +2 A H' (t, x, z ° (t, x ), u ° (t, x ), y° (t, x )) a (t, x )] - (38) X-1 ч 52ф(y° (t7,X)) -ZZP1 (t,x)Myy (t,x,y0(t,x),v0(t,x),v2 (t,x))P1 (t,x) + P1 (t2,X) 2 ПP1 (t2,X)> 0, где a(t, x) есть решение краевой задачи (29), (30), а Р1 (t, x) есть решение задачи ft (t +1,x +1) = gy (t,x,y° (t,x),v° (t,x))в (t,x), (39) в (t,x) = G (x,z° (tj,x))a(t,x),x = x0,x0 +1,...,X, в (t,x0) = 0,t = t,t +1,...,t2, (40) д2Ф ( y0 (t X )) t2 -1 X-1 P2 (t2, X ) n y 22, }} P2 (t2, X )-Z[P2 (t, x )Myy (t, x, y0 (t, x ), v0 (t, x ),r2 (t, x ))P2 (t, x ) + dy t=t x=x0 (41) +2Av(t,xM (t,x,y0 (t,x),v0 (t,x), (t,x))P2 (t,x)] > 0, где P2 (t, x) есть решение задачи P2 (t +1, x +1) = gz (t, x,y° (t, x), v° (t, x))P2 (t, x) + Av(t,x)g(t, x,y0 (t, x),v°(t,x)), (42) P2 (t, x) = 0, x = x0, x0 +1,..., X, в (t, x ) = 0, t = t, tx +1,..., t2. (43) Неравенства (38), (41) являются неявными необходимыми условиями оптимальности особых управлений. Используя их, получим явное необходимое условие оптимальности. Решение a(t, x) краевой задачи (29), (30) допускает представление [8] a(t,x) = ZZR (t,x; x,s)Au(^s)f (x,s,z°(x,s),u°(x,s)), (44) X=?0 S= x0 где R (t,x; x,s) - (n x n) матричная функция - решение задачи R(t,x; x-1,s-1) = R(t,x; x,s)f (x,s,z2(x,s),u2(x,s)), R1 (t, x; x - 1, x-1) = 0, R (t, x; t -1, s -1) = 0, R(t,x; t -1,x -1) = E1 (E - (n x n) единичная матрица). Через R (t, x; x, s) обозначим (m x m) матричную функцию, являющуюся решением задачи R2(t,x; x-1,s-1) = R2(t,x; x,s)gy(x,s,y2(x,s),v2(x,s)), R(t,x; x-1,x-1) = 0, R2 (t, x; t -1, s -1) = 0, R2 (t, x; t-1, x-1) = E2 (E2 - (m x m) единичная матрица). Тогда решения задач (39)-(40) и (42), (43) допускают соответственно представления 1 -1 x-1 Р1 (t, x) = Z Z Q(t, x; x, s)Au(x,s J(x, s, z0 (x, s),u° (x, s)) , (45) x=t0 s= x0 P2 (t,x) = Z Z ^ (t,x; x,s)Au(x,s)g(x,s,y2(x,s),v2(x,s)) , (46) x=t1 s=x0 где Q(t, x; x, s) определяется формулой Q(t,x; x,s) = R(t,x; ^ -1,x- 1)GZ(x,z2(^,x))r(^,x; x,s)+ + ZR2(t,x; t1 -1,p- 1)Gz(x,z2(t1,x))R1 (t1,P; x,s). P=s+1 Используя представление (44), (45), получим 4-1 X -1 Z Z а'(t,x)Hzz (t,x,z° (t,x),u° (t,x)(t,x))a(t,x) = 4 -1 X -1 С t-1 x-1 Л = ZZ^ZZR1 (^x; Ts)AuMf (Tz0 (тs),uO (т,S))JHzz (t,x,z° ftx),uO (t,x), < ftx)) X XX^ftx; = yi'=tQ m=XQ J x=tQ s=Xq (=tQ m=x0 X-\ 1 X Z R'(t,x;T,s)Hz(t,x,z0(t,x),u°(t,x),^°(t,x))R(t,x;£,m) x f=max(x,/j')+l x=max(5',m)+l I (47) xA U{f,m)f(l,m,z°{l,m),u°{l,m% t1 -1 X -1 Z Z \t,x)H' (t, x, ftx), u° (t, x), ft x))a ftx) = (48) t=L x=x. t-1 X"-1 С h-1 x-1 Л :ZZ Z ZAu(T,,)Hz (т ^z" (^s ), u° (т s ) X (т s )) R1 ft s;t, x )jAMf ft^z0 ftx ^ u° ft x t=t0 x=x0 \T=t+1 s= x+1 J -2Ф (z° (t X)) 4-1 X-1 4-1 X-1 a 'ft,X) ф1 ( Г )) a(t1,X) = ZZZ Z A'(x,s,zO (x,-),u°(x,-))R (t,X; x,-) x t=4) ^=4) m=;co (49) -1 X-1 , Ч ZZ P1 (t,x)My (t,x,y0 (t,x), v0 (t,x), (t,x))P1 (t,x) = X = ' x=x ' (50) h.-1 X-1 С 4-1 x-1 Л = ZZ^ZZ Q1 (t,x; T,-KM f (T,s,z0 (T,s),u0 (т,s))J My (t,x,y0 (t,x),v0 (t,x),^ (f,x)) x '4-1 x-1 Л 4-1 x-i 4-1 x-i X Z Q(t,x;t,m)A^m}f(t,m,z0(t,m),u0((,m)) = £ZZ Z V^I^M'^M)* У f=tQ m=XQ J x=tQ S=XQ f=tQ m=XQ x Z Z Ql(t,x;T,s)M№(t,x,y°(t,x)y(t,x),4°2(t,x))\b

Ключевые слова

ступенчатая система, дискретная двухпараметрическая система типа Форназини-Маркезини, необходимое условие оптимальности, особые управления, step system, Fornasini-Marchesini type discrete two-parameter system, necessary optimality condition, special controls

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Мамедова Туркан Фарман кызыИнститут систем управления НАН Азербайджанааспирант лаборатории «Управление в сложных динамических системах»kmansimov@mail.ru
Мансимов Камил Байрамали оглыБакинский государственный университет; Институт систем управления НАН Азербайджанапрофессор, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической кибернетики; руководитель лаборатории «Управление в сложных динамических системах»kamilbmansimov@gmail.com
Всего: 2

Ссылки

Fornazini E., Marchesini G. State-space realization theory of two-dimensional filters // IEEE Trans. Automat. Contr. 1976. V. AC-21, No. 4. P. 484-492.
Kaczorek T. Two-dimensional linear systems. Berlin, 1985.
Гайшун И.В., Хоанг Ван Куанг. Условия полной управляемости дискретных двухпараметрических систем // Дифференци альные уравнения. 1991. № 2. С. 187-193.
Гайшун И.В. Многопараметрические системы управления. Минск : Изд-во ИМ НАН Беларуси, 1996. 200 с.
Васильев О.В., Кириллова Ф.М. Об оптимальных процессах в двухпараметрических дискретных системах // Доклады АН СССР. 1967. Т. 175, № 1. С. 17-19.
Васильев О.В. К оптимальным процессам в непрерывных и дискретных двухпараметрических системах // Информацион ный сборник трудов ВЦ Иркутского госуниверситета. Иркутск, 1968. Вып. 2. С. 87-104.
Степанюк Н.Н. Некоторые задачи управляемости и наблюдаемости двухпараметрических дискретных систем // Дифферен циальные уравнения. 1978. № 12. С. 2190-2195.
Мансимов К.Б. Дискретные системы. Баку : Изд-во Бакинск. гос. ун-та, 2013. 151 с.
Мансимов К.Б., Насияти М.М. Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления // Математическое и компьютерное моделирование. 2011. Вып. 5. С. 162-179.
Насияти М.М. Условия оптимальности в ступенчатых дискретных двухпараметрических задачах управления : автореф. дис.. д-ра филос. по математике. Баку, 2015. 22 с.
Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса-Дарбу. Баку : Изд-во ЭЛМ, 2010. 362 с.
 Об оптимальности особых управлений в задаче управления ступенчатыми дискретными двухпараметрическими системами | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 42. DOI: 10.17223/19988605/42/2

Об оптимальности особых управлений в задаче управления ступенчатыми дискретными двухпараметрическими системами | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 42. DOI: 10.17223/19988605/42/2