Optimal сontrol of one-sector economy under random variation labor funds.pdf Проблема управления односекторной экономикой восходит к [1, 2]. Ей посвящено большое количество работ, в которых рассматриваются и решаются разные варианты задач, в том числе и задачи оптимального управления такой экономикой (например, [3-6]). Естественным продолжением этих исследований является решение задач с учетом каких-либо случайных возмущений, действующих в процессе производства. Состояние односекторной экономики определяется двумя величинами: K(t) - основной капитал и L(t) - трудовые ресурсы. Вообще говоря, изменение основного капитала во времени происходит случайным образом из-за таких факторов, как случайный износ основных производственных фондов, приобретение новых фондов, цена на которые зависит от курса валют, производственная неопределенность, экономическая конъюнктура и т.п. Если основной капитал изменяется случайным образом, то фондовооруженность труда k = K/L и непроизводственное потребление c = C/L, приходящиеся на одного работника, также будут изменяться случайным образом. В [7] на основании изучения статистических данных приводится определенное обоснование того, что влияние экзогенных случайных факторов на экономическую динамику можно моделировать процессом броуновского движения. В настоящей работе рассматривается задача оптимального управления односекторной экономикой при случайном изменении фондовооруженности труда. В качестве критерия оптимальности выбирается максимум среднего значения непроизводственного потребления на заданном периоде производства. Решение задачи проводится с помощью метода динамического программирования. 1. Постановка задачи Состояние экономики характеризуется двумя величинами: фондовооруженностью труда k(t) и непроизводственным потреблением c(t), приходящимися на одного работника, а также производственной функцией F(k) - валовым продуктом, произведенным в единицу времени. В детерминированном случае эти переменные удовлетворяют уравнениям k = uF-\хк, к(0) = к0, (1) с = 5с + (1 - u)F, с(0) = 0, (2) где ц - коэффициент амортизации, 5 - норма дисконтирования (ц > 0, 5 > 0), uF - часть продукта, которая идет на увеличение основного капитала, (1 - u)F - часть продукта, которая идет на увеличение непроизводственного потребления. Таким образом, в задаче управляющим параметром является коэффициент u, который должен удовлетворять условию 0 < u < 1. (3) Далее используется производственная функция Кобба-Дугласа, т.е. F(k) = Akа, где А - масштаб темпа производства (А > 0), а - коэффициент эластичности по основным фондам. Предполагается, что планируемый период производства [0, Т] задан и достаточно велик. Согласно (2) общее непроизводственное потребление на интервале [0, Т] при заданном управлении u равно T c(T) = J eS(T-t ) (1 - u)F (k )dt. (4) 0 Детерминированная задача: в течение интервала времени [0, Т] найти такое управление u(t) с учетом (3), при котором функционал (4) достигает максимума. Эта задача с помощью принципа максимума Понтрягина подробно решена в [8]. В [7] предложено учет случайных воздействий на фондовооруженность труда представить в виде уравнения k = uF -\хк + ak%t), к(0) = к0, (5) где ^(t) - стандартный белый гауссовский шум (или ^(t) = dra(t)/dt, где ra(t) - винеровский процесс), с - коэффициент волатильности. Таким образом, процесс k(t) становится случайным. Однако этот процесс измеряется, т.е. в каждый момент времени t значение k(t) известно. Стохастическая задача: в течение интервала времени [0, Т] найти такое управление u(t) для (2) и (5) с учетом (3), при котором среднее значение функционала (4) максимально. В статье задача решается с помощью метода динамического программирования [9]. 2. Решение стохастической задачи Согласно методу динамического программирования, введем функцию Беллмана s(k;t,T ) = max M j J eKT-t) (1 - u)F (k )dt\k,t j - среднее значение величины с(Т) при условии, что процесс продолжается на интервале времени [t, Т] с начальным условием k(t) = k и на этом интервале применяется оптимальное управление. Для этой функции можно записать уравнение Беллмана: ds(k;tJ) = max j^fel) (uF(k) - yk) + е^)(1 -u)F(k)+1 c2k2 6s(ktT) 1 - (6) 2 6t o

Скачать электронную версию публикации