Необходимые условия оптимальности второго порядка в одной задаче управления с переменной структурой | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 43. DOI: 10.17223/19988605/43/1

Необходимые условия оптимальности второго порядка в одной задаче управления с переменной структурой

Рассматривается одна задача оптимального управления, описываемая совокупностью дифференциальных и интегральных уравнений. Установлены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков.

The second order necessary optimality conditions in a control problem with variable structure.pdf На практике очень важным вопросом является адекватное описание изучаемого процесса. Во многих случаях это приводит к необходимости изучения многоэтапных процессов (составных или ступенчатых), которые очень широко распространены на практике. Такие процессы возникают в космонавтике, теории локомоционнных процессов, химической технологии и др. [1-4]. В работах [1-10] и других изучен ряд задач оптимального управления многоэтапными процессами, описываемых на различных отрезках времени (или же в различных областях) разными дифференциальными (разностными) уравнениями. Подобные задачи оптимального управления называются также задачами оптимального управления с переменной структурой. В предлагаемой работе исследуется одна многоэтапная задача оптимального управления, описываемая совокупностью дифференциальных и интегральных уравнений. При предположении открытости области управления установлен аналог уравнения Эйлера [11-13]. Выведены необходимые условия оптимальности второго порядка. 1. Постановка задачи Допустим, что на заданном отрезке времени T = T ^ T (T =[t0, ti ], T2 = [t,12 ]) управляемый процесс описывается системой уравнений t x(t) = { f (t, s, x(s),u (s))ds, t e T, (1) to y = g(t, y, v), t e T2, (2) У (ti ) = G (x (t)). (3) Здесь f (t, s,x,u) (g (t,y,v)) - заданная n (га)-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (x, u) ((y, v)) до второго порядка включительно, G (x) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая га-мерная вектор-функция, t0, ^, t2 заданы, причем t0 < tj < t2, u (t) (v (t)) - г(д)-мерный кусочно-непрерывный (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и открытого множества U (V), т.е. u (t)eU с Rr, t e T = [t0, 4 ], v (t )eV с Rq, t eT2 , t2 ]. Пару (u° (t), v° (t)) с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Предполагается, что каждому допустимому управлению (u° (t), v° (t)) соответствует единственное непрерывное (кусочно-гладкое) решение x° (t) (y° (t)) уравнения (1) (задачи Коши (2)-(3)). На решениях системы (1)-(3), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим терминального типа функционал I (u,v)=ф (x (t1 )) + ф2 (y (t2 )) . (5) Здесь ф1 (x), ф2 (y) - заданные дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции. Допустимое управление (u° (t),v° (t)) , доставляющее минимум функционалу (5) при ограничениях (1)-(4), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (u° (t),v° (t),x° (t),y° (t)) - оптимальным процессом. Нашей целью является вывод необходимых условий оптимальности при предположении открытости области управления. 2. Вариации функционала и неявные необходимые условия оптимальности Пусть (u° (t), v° (t), x° (t),y° (t)) - фиксированный допустимый процесс. Через (u (t) = u° (t) + Au (t), v (t) = v° (t) + Av(t), x (t) = x° (t) + Ax(t), y (t) = y° (t) + Ay (t)) обозначим произвольный допустимый процесс и, используя формулу Тейлора, запишем приращение критерия качества (5): AI (u 0, v°) = I (u, v )-1 (u 0, v°) = ^ ( x (ti ))-ф ( x°(ti )}] + [ф2 (y (t2 ))-ф2 (y °(t2 ))] = аф1(x°(ti))A , , 1A„ (x°(ti))Л , , 5ф2(y°(t2)) =-^^ Ax (ti) +1 Ax'(ti)-Ax (ti) +--j^- Ay (t2)+ (6) +1 Ay'(t2Ay(t2) + Oi (||Ax(ti)||2) + 02 (||Ay(t2)||2). Здесь и в дальнейшем ||а|| есть норма вектора а = (а,а2,...,а„) , в Rn определяемая формулой n ||а|| = Х|а, |, штрих для матриц - операция транспонирования, а для векторов - знак скалярно произвеi=i дения, а о(р2) есть величина более высокого порядка малости, чем р2, т.е. о(р2)/р2 ^ 0 при р ^ 0 . Далее ясно, что (Ax(t), Ay(t)) будет решением задачи t Ax(t) = J[ f (t,x (s),u(s))- f (t,x0(s),u0(S))]ds , t e Ti, (7) to Aj(0 = g(t,y(t),v(t)) -g(t,y° (t),v° (t)\ (8) Ay (ti ) = G(x (ti))-G ( x° (ti)) . (9) Предположим, что (t) , p0(t) -пока неизвестные n и га-мерные вектор-функции. Умножая обе части соотношения (7) ((8)) слева скалярно на (t) (p° (t)), а затем интегрируя обе части полученного тождества по Т (Т2 ), будем иметь t t t jy°'(t)Ax(t)dt = jy°'(t) j_f (t,s,x{s),и{s))-f (t,s,x°(s),и°(s))]ds t0 'o _ 'o ]p°' (t)Ay(t)dt = )p° (*)[g(*, J(0> V (0) -g(t,y° (t),v° {t))]dt. dt, (10) (11) Полагая N(p°,x) = p° (tx)G(x) и используя формулу интегрирования по частям, в определенном интеграле получим J/?0' (Г) = /7°' (Г2) Ау(^)-[^(р0,^^))(Гх))] - (Г) (12) t t Учитывая тождества (10)-(12), из формулы приращения (6) получим м(и°,v°) = ^X_M Дх(ч ) + 8ф (y (t2)) Ду (t2) + j v°'(t)Ax(t)dt dt + p (t2 )Ду (t2)- 8x 8y -j jv° (s)_f (s,t,x (t),и (t)) - f (s,t,x° (t),и° (t))]ds to _ t дН\р0,х°к)) - Ar ) - J /7°' ) Ay (?) ^ - J (?) [g (f, у (?), v (?)) - g ), v° ))] ^ + 8x 1 82ф ( x °(t1)) i 82 N ( p°, x°(t1)) "2 ^)-Ъ- ДХ (t1)-1 ДХ( t1)- - ДХ (t1)" +1 Ду'( t2 )8 2ф2 ^ °(t2)) Ду (t2 )+°1 (||Ax (t1 )||2 )+°2 (Ду (t: 2 2 2 ),, ,-°3 (Д It, Из (7) ясно, что '1 Ax(t1 ) = j[f(t1,t,x(t),и (t))- f (t1,t,x° (t),u°(t))]dt. 'o Принимая во внимание (13), из (12) будем иметь (12) (13) Д1 (u°,у°) = |8ф (x°(t1))[f (t1,t,x(t),и (t))-f (t1,t,x°(t),и°(t))]dt + 8ф2(y°(t2)) Ду(t2)dt + pd (t2 )Ду (t2 )- +]V(t )Ax (t) dt -j jV°(s )[f (s, t, x (t), и (t))-f (s, t, x°(t), и °(t))] ds -j- & (t)Ay(t)di t- (14) ,v (t))-g (t, у °(t), v°(t))] dt + - Ax'(t1) (x°(t1)) 4 "I p°' Ax (tx)- 8x2 -1 Ax'( t1 )8 2 N ( ^f^)) Дx (t1) +1 Ду'( t2 Ду (t2 ) + °1 (||Ax (t1 )||2) + t2 ) )-°3 (|Ax(t Введем аналоги функции Гамильтона-Понтрягина: H(t,x,u,y°) =---^ f (1 x,M) + J\|/° (5) f (s,t,x,и)ds +--f (1 x,M), M (t,y,v, p°) = p°' g (t, y, v ). С учетом введенных обозначений формула приращения (14) примет вид: ti AI(и°,v°) = -J[H(t,x (t),и (t),(t))-H(t,x° (t),и° (t),(t))]dt to 0 2 (15) -}[M (t, y (t), v (t), p°(t))-M (t, y °(t), v°(t), p°(t))] dt +1 Ax ' (ti )5ф1 ^ °(tl)) Ax (ti) + ti +1 Ay' (t2 / Ф2 (y°(t2)) Ay (t2)-1 Ax' (ti /N (P0f(ti)) Ax (ti ) +J V°'(t) Ay (t) dt + p° (t2 )Ay (t2)y to -}р°(t)Ay(t)dt + 5ф2(y°(t2)) Ay(t2) + °i (||Ax(ti)||2) + °2 (||Ay(t2)||2)-°3(||Ax(t/1^ Из (15), используя формулу Тейлора, будем иметь Al(u°,v°) =--1-^Аy(t2) + P° (t2)Ay(t2)-\p° (t)Ay(t)dt + \y° (t)Ax(t)dt-fy ч ч к к -JH'u (t, x° (t),и° (t), (t)) Am (t)dt - JH' (t, x° (t),и° (t), (t)) Ax (t)dt - 1 ti г - J[Ax'(t)Hx (t,x° (t),и° (t), (t)) Ax(t) + 2 AM(t)H„ (t,x° (t),и° (t), (t)) Ax(t) 2 to +Ax '(t)Hmm (t, x° (t),и° (t), (t)) Am (t)]dt - JM' (t, y° (t), v° (t), p° (t)) Av(t)dt --J My (t, y°( t), v° (t), p°(t ))Ay (t) dt - i J [Ay ' (t) Myy (t, y °(t), v °(t), p °(t ))Ay (t) + 2 ti t0 +2 Av '(t)My (t, y°(t), v°(t), p°(t))Ay (t) + Av'(t)Mw (t,y°(t), v°(t),p°(t))Av (t)]dt + +°i (||Ax (ti )||2 ) + °2 (|| Ay (t2 )||2 )-°з (|Ax (ti )||2) + i Ax' (ti f 4 ^ °(ti)) Ax (ti) + i 82 Ф2 (y °(t2)) 1 82 N (p°, x°(ti)) + 2 Ay (t2)-dp- Ay(t2)-iAx (ti)---Ax(ti)- -J °4 ([|Ax(t)|| + ||Am (t)||]2)dt - J °5 ([IAy (t)|| + ||Av(t)||]2)dt. *0 h Предположим, что (y°(t), P°(t)) удовлетворяет соотношениям V°(t) = Hx (t, x°(t), m° (t), V°(t)) , (17) p°{t) = -My(t,y°(t),v°(t),p°(t)), (18) р^.-^ФМ (19) cy Соотношение (17) есть линейное неоднородное интегральное уравнение типа Вольтерра относительно (t), а соотношение (28) - линейное однородное дифференциальное уравнение относительно p° (t) . Систему (17)-(19) назовем сопряженной системой для задачи (1)-(5). При выполнении соотношений (17)-(19) формула приращения (16) примет вид: AI ( (u°,v°) = -\и'и (t,x° (t),u° (t), (t)) Au (t)dt - \M'v (t,y° (t), v° (t),p° (t)) Av (t)dt ■ 1 / ча2ф1 (xo(t1 )) , ч i , ча2Фг (yo(t2 )) , ч i , ча(po, xo(t1)) / ч +1 Ax'(ti) Ф1 ^2(1)) Ax(ti) +1 Ay'(t2) Ф2(y2 (2)) Ay(t2)-1 Ax'(ti)-^^^Ax(ti)- 1 'i - f[Ax'(t) Hx (t, x °(t), и °(t), V°(t)) Ax (t) + 2 Au'(t) Иш (t, x °(t), и °(t), y°(t ))Ax (t) + 2 „ +Ax'(t) Huu (t, x °(t), u°(t), V°(t)) An (t)] dt -1 j[Ay'(t) My (t, y °(t), v °(t), p °(t ))Ay (t) + 2 t +2 Av'( t) Mvy (t, y °(t), v°(t), p°(t)) Ay (t ) + Av'(t) Mw (t, y °(t), v °(t), p °(t ))Av (t)] dt + (Au, Av ), (20) где по определению Л (Au, Av ) = °i (||Ax (ti )||2 ) + °2 (||Ay (t212 )-°з (||Ax (ti )||2 )-j°4 ([||Ax (t )|| + ||Au (t )||]2) dt to -1°5 ([l|Ay (t )|| +1| Av (t )||]2) dt. (21) _,5|l НЛИ/УЛИЛ-НАЛЛ/ЛИ"12 'i Из (7)-(9), используя условию Липшица, получаем, что ' IAx(t)|| < L 1[||Ax(x)|| + ||Au (x)||]dx , (22) 'о ' |Ay (')||< L21 [II Ay (x)|| + |Av (x)||] dx + L2\Ax ('i )||, (23) 'о где L - const > 0, i - 1,3 - некоторые постоянные. Применяя к неравенству (22) аналог леммы Гронуолла-Беллмана будем иметь 'i I Ax (t )||< La A Au (x)|| d x . (24) 'о А из (23) следует, что '2 |Ay (t)|| < Ls 1||Av(x)||dx + L611Ax('i )||, (25) 'i где L4, L5, L6 - некоторые положительные постоянные. С учетом (24) из (25) получим ||Ay (t)|| < L5'|Av(x)||dx + L6 J||Au (x)||dx, (26) t t где L - const > 0 - некоторое постоянное. По предположению, U и V открытые множества. Поэтому специальное приращение управления (u° (t), v° (t)) можно определить как Aue (t) = s5u(t), t e T, Avs(t) = s5v(t), t eT2, где s - достаточно малое по абсолютной величине число, а 5u(t)e Rr, t e T{ (5v(t)e Rr, t eT2) -произвольная кусочно-непрерывная (с конечным числом точек разрыва первого рода) r (д)-мерная вектор-функция - допустимая вариация управляющей функции и° (t) (v° (t)) . Через (Дхе (t), Aye (t)) обозначим специальное приращение траектории (x° (t),y° (t)), отвечающее приращению (27) управления (и° (t), v° (t)) . Из оценок (24), (26) следует, что ||AXs(t)|| 0 - некоторые постоянные. (28) Используя оценки (18) и учитывая (27), при помощи (7)-(9) по схеме, например, из [14] доказывается Лемма 1. Для (Axs (t),Ays (t)) справедливы разложения ДхЕ (t) = s5x(t) + o(s; t), Ays (t) = s5y(t) + o(s; t), где (5x (t), 5y (t)) - вариация траектории, являющаяся решением уравнения в вариациях t 5x(t) =f [fx xt,s,x° (s),и (s))5x(s) + f (t,s,x° (s),иo (s))5u(s)]ds, t e T , to 5j(0 = gy (t,y° (t),v° (t))Sy(t) + gv (t,y° {t),v° (O)Sv(O, tsT2, 5y(tl) = Gx (x° (tj))5y(tj). Учитывая (27) и разложения (29), (30) в формуле приращения (20) получаем, что Д1е ( uo, v°)= I ( и °+Aue, v°+Ave )-1 (u 0, v°) = {H'u (t,x° (t),иo (t), Vo (t))5и (t)dt + \m'v (t,y0 (t),v0 (t),po (t))5v(t)dt h „о о. 8y2 8x 8x (34) s2 +- 2 (29) (30) (31) (32) (33) = -s , ,(t ^ (x°(tj . ,(t (p0 , x°( tj )),,,,.„ ,(t ,8 2Ф2 (y 0(t2 )) _ (t , 5x (tl )-- 5x (tl )-5x (tl )-^T2- 5x (tl ) + 1y (t2 )--- 5y (t2 )- -j[5x'( t) HxX (t, x°( t), и °(t), (t ))5x (t) + 2 5u'( t) Нш (t, xo(t), и o(t), V°(t ))5x (t) + to +5x'(t)Huu (t,x° (t),иo (t), (t))5u (t)]dt - j[5y'(t)Mw (t,y0 (t),v0 (t),po (t))5y (t) + to +25v'(t)My (t,y° (t),v° (t),p° (t))5y (t) + 5v'(t)Mm (t,y0 (t),v° (t),po (t))5v(t)]dt] + o(s2). Из разложения (34) следует, что первая и вторая вариации (в классическом смысле) функционала качества (5) имеют соответственно вид: ё2 Ф,( x°(t,)) ё2 n (po, x°(t)) 521(u°,v°; 5u,5v) = Sx'(t) 2 ( ^5x(t, )-Sx'(t)-(l П5x(t,)- -j [Sx'(t)Hxx (t,x° (t),u° (t), (t))Sx(t) + to +25u'(t)Hux (t, x° (t),u° (t), (t))Sx(t) + 5x'(t)Huu (t, x° (t),u° (t),(t))Su (t)]dt + (36) +5y'(t2)ё2ф2 ^°(t2)) Sy (t2) - j [8y'(t)Mw (t,y° (t),v° (t),p° (t))Sy (t) + y o. 3. Необходимые условия оптимальности Тождество (37) является неявным необходимым условием оптимальности первого порядка, а неравенство (38) есть неявное необходимое условие оптимальности второго порядка. Используя произвольность и независимость вариаций Su (t), Sv (t) управляющих функций u° (t) и v° (t), при помощи (37) доказывается Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления (u°(t), v°(t)) в задаче (1)-(5) необходимо, чтобы выполнялись соотношения: hu (е, x°(e), u° (е), v°(e)) = o, (39) для всех точек непрерывности ee[to, ti) управления u°(t); Mv (e, y° (e), vo (e), p°(e)) = o, (40) для всех точек непрерывности ee[tj, t2) управления v° (t). Система соотношений (39), (40) есть необходимые условия оптимальности первого порядка и представляют собой аналог уравнения Эйлера. Каждое допустимое управление (u° (t),v° (t)) , удовлетворяющее необходимым условиям оптимальности (39), (40), назовем классической экстремалью. Ясно, что оптимальное управление (если оно существует) находится среди классических экстремалей. Для сужения множества классических экстремалей, подозрительных на оптимальность, надо иметь необходимые условия оптимальности второго порядка, выраженные непосредственно через параметры задачи (1)-(5). С этой целью будем использовать неявное необходимое условие оптимальности второго порядка (38). Пусть R(t,x) (и х и) матричная функция, удовлетворяющая матричным интегральным уравнениям типа Вольтерра [15-17]: t R(t,т) = JR(t,s) f (s,x,x° (т),u° (x))ds + f (t,x,x° (x),u° (x)), x t R (t, x) = J fx (s, x, x° (x), u° (x))R (s, x)ds + fx (s, x, x° (x), u° (x)). X Через F(t, x) обозначим (m х m) матричную функцию, являющуюся решением матричного дифференциального уравнения Fx(t, x) = -F (t, x) gy (x, y°(x), v°(x)) с начальным условием F (t, t) = E, где E - (m х m) единичная матрица. Решение Sx(t) интегрального уравнения (31) допускает представление [15-17] Jfu(s,x,x°(x),u° (x))5u(s)ds + f\t,x,x° (x),u° (x)) 5u(x) 5x (t ) = |д (t, x) dx. (41) Преобразуя правую часть представления (40), используя формулу Дирихле (см. напр.: [11]), получим t 5x (t ) = J Q (t, x)5u (x) dx, (42) *0 где по определению t Q(t,x) = U,x,x°(x),u°(x)) + JR(t,s)U,x,x°(x),u°(x))ds . x А решение задачи Коши (32)-(33) допускает представление [11, 18] t 5y(t) = F(t,t,)5y(t,) + JF(t,x)gv (x,y° (x),v° (x))5v(x)dx . t Следовательно, t 5y (t) = F(t,ti)Gx (x°(tx ))5x(ti ) + JF(t,x)gv (x,y°(x),v°(x))5v(x)dx . (43) t С учетом (42) представление (43) записывается в виде h t 5y(t) = jF(t,ti)Gxxx°{ti))Q{ti,x)5u (x)dx + jF(t,x)g (x,y° (x),v°(x))5v(x)dx . (44) t t Учитывая произвольность вариаций 5u (t) и 5v (t), предположим, что 5v (t ) = 0. Тогда из представления (44) будем иметь t 5y (t) = JL (t, x)5u (x)dx , (45) to где по определению L(t,x) = F(t,ti)Gx (x° (ti))Q(ti,x) . А неравенство (36) примет вид „♦ч-2* ( х°( t)) 5x (ti ) + 8y'(t2) дх дх dy j[5x'(t)Hxx (t,x° (t),u° (t), (t))Sx(t) + 2Su'(t)Hux (t,x° (t),u° (t), (t))Sx(t) -2N (P° , X°(^ )), д2ф2 ( У °(t2)) 5x'(t) 4 5x (t )-5x'(t) 5y (t2)- + +Sx ' (t) Huu (t, x° (t), u °(t), V°(t ))Su (t)] dt-J5y'(t) Myy (t, y °(t), v° (t), p°(t ))Sy (t )> 0. t> Используя представление (42), доказывается, что д2ф, (x°°t,)) У, д2ф(x°°t,)) sx(ti) а/ ))5x(t) = JJ5u'(x)Q(t,x) ^(x2(l))Q(t,s)5u(s)dx, 'o 'o h fSu'(t)H„ (t,x° (t),u° (t), (t))5x(t)dt = t, h Yh = J J5w' (x) Hx (x, x°(x), M°(x), v°(x)) Q (x, t) dx 5м (t) dt, 'o [x -2 (p°,x°(t)) У! -2N (p°,x°(t)) 5x '(ti)-{JP-2x2-5x(ti) = JJ5u'(x)Q(ti,x)-Q('i,s)5u(s)dx , 'o 'O ti J5x '(t)H„ (t,x° (t),u° (t),(t))5x(t)dt = (47) (48) (49) J Q '(t, x)Hxx (t, x° (t),u° (t), (t))Q (t,s)dt 1 1 -JJ5u' (x) 5u ( s ) dsd x, x (x Далее при помощи представления (45) доказывается, что ( у° )) У' -2 ( У° )) 5y'(t2) ф2(У2(2))5y(t2) = jj5u(x)L(t2,x) ф2^2( 2))L(t2,s)5u(s)dx, У 'о 'О У h (50) J5y'(t)My (t,y° (t),v° (t),p° (t))5y (t)dt = 5u ( s ) dsd x. h h JJSu'(x) JL'(t,x)My (t,y° (t),v° (t),p° (t))L(t,s)dt 'o 'o Введя обозначение д2ф(x°(t )) д2y° )) K (x, s ) = -Q ' (ti, x) фl )) Q (ti, s )-L' (t2, x)-^2^^ L (t2, s ) + + J Q'(t, x) Hxx (t, x°(t) ,u°(t), v°(t))Q (t, s) dt - (51) x(x,s) '2 Q(ti,s) + JL'(t,x)Myy (t,y° (t),v° (t),p° (t))L(t,s)dt -2 N ( p°, x°( ti)) -Q'( ti, x) -x2 и учитывая тождества (47)-(50), из неравенства (46) получим, что 1 1 ti ti J j5u'(x)K(x,s)5u (s)dsdx + 2 J J5u'(x)Hm (x,x°(x),u°(x),y°(x))L(x,t)dx 5u (t) dt + (52) o '0 +J5u'(t)Hmm (',x° (t),u° (t),(t))5u (t)dt < 0. Теперь предположим, что Su (t ) = 0, Sv (t ) ^ 0. Тогда из представлений (42), (44) получим, что Sx(t) = 0, t eT , t Sy(t) = JF(t,x)gv(x,y°(x),v°(x))Sv(x)dx . (53) При этом неравенство (36) примет вид Sy'(t2Sy (t2) - |[Sy'(t)My (t,y° (t),v° (t),p° (t))Sy (t) + +2Sv'(t)Mvy (t,y0 (t),v° (t),p° (t))Sy (t) + Sv'(t)Мт (t,y° (t),v° (t),p° (t))Sv(t)]dt > 0. Используя представление (53), доказывается, что . ,(f 2Ф2 (y0(t2 )) _ (f , Sy (t2 )-Z"2-Sy (t2 ) = Cy t2r t2r / ч С2ф( y °(t2)) , ч (54) (55) = ffSu'(x) g (x, y 0 (x), v° (x)) F '(t2, x) ^2 F (t2, s ) gv ( s, y 0 ( s ), v° ( s ))Su ( s ) dsd x, Cy2 4 4 jSv '(t)My (t,y° (t),v° (t),p°(t))Sy (t) (56) : j jSv '(x)Mvy (x,y° (x), v° (x),p° (x))F(x, t)dx tj t-2 t2 jSy '(t)My (t,y0 (t),v° (t),p° (t))Sy (t) = jjSu'(x)gv (x,y0 (x),v0 (x)) x ,(t, y0(t), v0(t ))Su (t) dt, (57) ti ti , (s,y° (s),v° (s))Su (s)dsdx. x max (x, s Введя обозначение M (x, s ) = F' (t2, x)-2\,2Jf F (t2, s ) + j F' (t, x) Myy (t, y ° (t), v° (t), p° (t)) F (t, s ) dt Cy 7 ^ max (x, s) j F'(t, x)My (t,y° (t),v° (t),p° (t))F (t, s)dt С2Ф2 ( y °(t2)) и учитывая тождества (55)-(57), неравенство (54) записывается в виде h h jjSv ' (x) g; (x, y° (x), v° (x)) M (x, s ) gv (s, y ° ( s ), v° (s ))Su (s ) dsd x + ti ti jSv '(x)gv (x,y° (x),v° (x))My (x,y° (x),v° (x),p° (x))F(x,t)dx .ti +jSv '(t)Mvv (t,y° (t),v° (t),p° (t))Sv(t) < 0. +2j ,(t, y °(t), v0(t ))Sv (t) dt + (58) Сформулируем полученный результат. Теорема 2. Для оптимальности классической экстремали (u° (t),v° (t)) в задаче (1)-(5) необходимо, чтобы неравенства (52), (58) выполнялись для всех Su (t )e Rr, t eT, Sv (t) e Rr, t e T2 соответственно. Заметим, что полученный результат является довольно общим. Из него, используя произвольность вариаций Su (t), Sv(t) управляющих функций u°(t) , v°(t) , можно получить ряд более легко проверяемых условий оптимальности и, в частности, исследовать особые в классическом смысле [14, 19, 20] управления. Заключение В статье изучается одна задача оптимального управления, описываемая совокупностью дифференциальных и интегральных уравнений. При предположении открытости области управления установлен аналог уравнения Эйлера. Выведено конструктивно проверяемое необходимое условие оптимальности второго порядка.

Ключевые слова

необходимое условие оптимальности второго порядка, аналог условия Лежандра-Клебша, аналог уравнения Эйлера, необходимое условие оптимальности, дифференциальное уравнение, интегральное уравнение типа Вольтерра, second order necessary optimality conditions, analog Lejandr-Klebch conditions, analog Euler equation, necessary optimality conditions, Volterra type integral equations, differential equations

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Аликберов Айдын Абдулла оглыИнститут систем управления НАН Азербайджанааспирантkmansimov@mail.ru
Мансимов Камиль Байрамали оглыБакинский государственный университет ; Института систем управления НАН Азербайджанапрофессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математической кибернетики; руководитель лаборатории «Управление в сложных динамических системах»kamilbmansimov@gmail.com
Всего: 2

Ссылки

Мансимов К.Б. Особые управления в системах с запаздыванием. Баку : Изд-во ЭЛМ, 1999. 174 с.
Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задаче оптимального управления : автореф. дис.. д-ра физ.-мат. наук. Баку, 1994. 42 с.
Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск : Изд-во Белорус. ун-та, 1973. 256 с.
Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Сер. математический анализ. 1977. T. 15. C. 131-138.
Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. М. : Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1989. 156 с.
Абдуллаев А.А., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерра. Баку : Изд-во ЭЛМ, 2013. 224 с.
Габасов Р., Кириллова Ф.М. и др. Методы оптимизации. Минск : Четыре четверти, 2011. 472 с.
Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М. : Наука, 1973. 256 с.
Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М. : Высшая школа, 2005. 335 с.
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. 429 с.
Мансимов К.Б., Насияти М.М. Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления // Математическое и компьютерное моделирование. Сер. физико-математических наук. 2011. № 5. C. 162-179.
Магеррамов Ш.Ф., Мансимов К.Б. Оптимизация одного класса дискретных ступенчатых систем управления // Журнал вы числительной математики и математияческой физики. 2001. № 3. C. 360-366.
Багирова С.А., Мансимов К.Б. Особые управления в одной ступенчатой задаче управления // Автоматика и вычислительная техника. 2007. № 3. C. 74-81.
Харатишвили Г.Л. Принцип максимума в оптимальных задачах с переключением // Труды ИСУ АН ГССР. 1980. T. 19, № 1. C. 5-17.
Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск : Наука, 1987. 226 с.
Тадумадзе Т.А., Авалишвили Н.М. Регулярные возмущения в оптимальных задачах с переменной структурой // Оптимальные задачи в системах с переменной структурой : сб. Тбилиси : Изд-во Тбилисского гос. ун-та, 1985. C. 100-154.
Никольский М.С. Об одной вариационной задаче с переменной структурой // Вестник Московского университета. Сер. Вычислительная математика и кибернетика. 1987. № 1. C. 36-41.
Величенко В.В. Оптимальное управление составными системами // Доклады АН СССР. 1976. T. 176, № 4. C. 754-756.
Габелко К.Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов // Автоматика и телемеханика. 1974. № 11. C. 72-80.
Кириченко С.Б. Оптимальное управление системами с промежуточными фазовыми ограничениями // Кибернетика и системный анализ. 1994. № 4. C. 104-111.
 Необходимые условия оптимальности второго порядка в одной задаче управления с переменной структурой | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 43. DOI:  10.17223/19988605/43/1

Необходимые условия оптимальности второго порядка в одной задаче управления с переменной структурой | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 43. DOI: 10.17223/19988605/43/1