Квазиособые управления в задаче управления дискретными системами с нелокальными краевыми условиями | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 46. DOI: 10.17223/19988605/46/1

Квазиособые управления в задаче управления дискретными системами с нелокальными краевыми условиями

Рассматривается задача оптимального управления дискретными процессами, описываем^іми системой раз-ностн^іх уравнений с неразделенн^іми нелокальн^іми краевыми условиями. При предположении выпуклости области управления доказано необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного условия максимума. Исследован случай вырождения линеаризованного условия максимума (квазиособый случай). Установлено необходимое условие оптимальности квазиособых управлений.

Quasi-singular control in discrete systems control problem with nonlocal boundary conditions.pdf Дискретные динамические модели управляемых систем являются очень важным в теоретическом и практическом отношении классом математических моделей, позволяющим охватить широкий круг реальных объектов и соответствующих им задач управления. Дискретные динамические модели возникают, например, при моделировании задач распределения ресурсов, обработке и передаче информации цифровыми электронными устройствами, а также при дискретизации непрерывных динамических моделей (см.: [1-6]). К настоящему времени разработаны многочисленные точные и приближенные методы решения задач оптимального управления дискретными системами в предположении, что они описываются разностными уравнениями с локальными краевыми условиями (см.: [1-7]). Данная работа посвящена исследованию одной дискретной задачи оптимального управления с неразделенными нелокальными краевыми условиями. С помощью модифицированного варианта метода приращений установлены необходимые условия оптимальности в предположении выпуклости области управления. 1. Постановка задачи Рассмотрим дискретную систему управления X(/ + 1) = f (/, X(/), М (/)) , t G T , (1) с краевыми условиями ф(X(to ), X(ti )) = l . (2) Здесь T = 1^,^ +1,...,t ~1} - конечное множество последовательных натуральных чисел, причем ^ и t заданы, Ф (x0, x1) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных «-мерная вектор-функция, l - заданный постоянный вектор, x (t) - вектор состояния, и (t) - вектор управляющих воздействий, f (t, x, и ) - заданная n -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (х, и ) до второго порядка включительно. 4 Квазиособые управления в задаче управления дискретными системами Пусть U - заданное непустое, ограниченное и выпуклое множество из R ^. Каждую управляющую функцию и (^), удовлетворяющую условию u{t)&U с R", t G T, (3) назовем допустимым управлением. Рассмотрим задачу о минимуме функционала ^ (и ) = ф( X (to), X (tj)) (4) при ограничениях (1)-(3). Здесь ф( х0, Xj) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных скалярная функция. Допустимое управление и (t), доставляющее минимум функционалу (4) при ограничениях (1)-(3), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и (t), x (t)) - оптимальным процессом. 2. Формула для приращения функционала качества Пусть (и (t), X(t)) - фиксированный, а (и (t) = и (t) +Аи (t), X(t) = x(t) +Ax(t)) - произвольн^ій допустимые процессы. Тогда ясно, что приращение Ax (t) состояния x (t) будет решением краевой задачи AX(t + J) = f (t, X (t),и (t)) - f (t, X(t),u (t)), (5) 0(x(to) + Ax(to),X(tj) + Ax(tj))-0(x(to),X(tj)) = 0 . (6) Предположим, что y(t) - пока известная «-мерная вектор-функция, а ^eR” - неизвестный постоянный вектор. Тогда из (5), (6) получим, что ^V'(t )Ax (t + j) = X^'(t )[.^ (t,X {t ^ ,й {t ^^-f (t, X (t) ,и (t ))]^ (7) t=tfo 0= Ofo ^(t=>(t=>^^^^^^Ax(fj))-Ф(X^0),X(fj))]=^ ^ ^ (8) Положим M( X (to), X (tj), Я) = Я'Ф( X (to), X (tj)), H(t,x,u,y) = y^f (t,x,u) . Ясно, что t ^v'(t - j)Ax (t ) = v'(tj - j)Ax (tj )-v'(to - j)Ax (to ) + X'F'(t - j)Ax (t) . (9) t=t С учетом соотношений (7)-(9) приращение функционала качества (4) записывается в виде: AS (и ) = S (и )- S (и ) = ф( X (to), X (tj ))-ф( X (to), X (tj)) + + Я'[ф(X(to) + Ax(to),X(tj) + Ax(tj))-ф(X(to),X(tj))] + v'(tj - j)Ax(tj)-V'(to - j)Ax(to)- (10) tj-j X[H(t,X(t),и (t), v(t))-H (t,X(t),и (t), v(t))]^ Используя формулу Тейлора, из (10) будем иметь AS (и ) = 5ф'(X (to), X (tj )^ 5ф'(х (to), X (tj)) ах (to) -Ах (to)ax(t) Aх{t'•+i Ax^to AX (to I, , 2 Ax'(^)a'ф■X0» Ax(t )+Ax'(t )a'ф(X{t=^>■XAx(t)' ax (^ )ах (t) dx^ (t) 5 X К.Б. Мансимов, М.Я. Наджафова , ^ { ■u (t > ■ ^(t Au (t) Ax. (t^ )d-M( x( to ). x( 'O ,x) a^, (t^ ). 5x" (-o ) , 2A^. (t^ )d=M( x(to). H-) .X) Ax (t )^Ax' (t )d’Ф( x (t°° >; x ■x {t')) Ax U ^ )+"^{ x {t° > ■x {t’)> Ax Uu )=0. cx u^) cx Uu ) ^1^ Используя задачу (14)-(15), доказывается справедливость разложения Ax,Ut) = s.у{t) + oUs,t) , где у U t) есть решение краевой задачи Cx UUo ) dx Uu ) у Uu+1)=fJyt, x Uu ),u Uu )) у Uu )+fuUt, x Uu ) ’u Uu ))U^ U^)-u U^)) ’ c®U x Ut0).x Ut,)) у U^)+c^U x Ut.) ■x U u.)) у Uu)=0. Решение краевой задачи (17)-(18) допускает представление [8]: U.-1 U-1 уUU)=®UU)ZfUtl,^)fuUu,xU^)’uU^))U^U^)"uUt))+Xfux’^)f«U^’xU^)’uU^))U^U^)"uU^))’ (19) T=u где по определению OUt) = "FUt’to - 1) coUxUuo)’xUui)) coUxUuo)’xUui)) -1 F U t ’ to - 1) coUx uuo ) ’x Uui )) cx U^) cx Uu) а FUt,x) - Un Xn) матричная функция, являющаяся решением задачи F UU’ x-.) = fx Ux’x Ux) ’u Ux)). x 0 выполнялось для всех v(t)e U, t e T . Неравенство (24) есть неявное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. Опираясь на него, удается получить необходимое условие оптимальности квазиособых управлений, которое носит явный характер. Используя представление (20), убеждаемся в справедливости соотношений d2ф(x(t0 ) •x (ti )) y'{t0 )- X G'{to: x) y'( t0 ) dx" (t0 ) d 2ф( x (t0 ) • x (t1 )) dx" (t0 ) d 2ф( x (t0 ) • x (t1 )) y {to )=ZZ{v (x)-и (x)) f '(x: x (x) •и (x))x x=t(0 S=t0 G (to: s ) f ( s, x ( s ) : и ( s ))(v ( s )- и ( s )) : t, -1 t, -1 25 X G'(t0: x) dx )dx (t) d 2ф( x (t0) •x (t1 )) dx ( ^ )dx ( ^ ) y (t1 )=ZZ(v (x)-и (x)) fМ{X: x (x) •и (x))x x=t(0 s=t(0 G (t1: s) (s: x (s) •и (s ))(v (s)- и (s)) • (26) 8 Квазиособые управления в задаче управления дискретными системами у\^і у )=ЕЕ(^ (^)-“ (^)) ^ (^) ’u (^))' (tl ) х=го 5=^0 (27) ^ G (^'’ ^) 1 )) G (^'’ 5 ) fu (5’ X (5 ) ’U (5 )) (^ ( 5 )“ U (5 )) ’ у ' (to ) д2М(x(to),x(ti),я) Sr" (to) д 2М( x (to), x (ti), я) ti -1 ti -1 у ' (to) dx" (to ) д2М(х(to),x(ti),я) , у(to) = ZZ(^(^)-u(^)) fu (^’x(^)’u(^))^(t0’^) = 1=^0 5=^о G (t0.5 ) fu ( 5. x ( 5 ) .u ( 5 ))(X ( 5 )-U ( 5 )) . (28) dx (^ )dx (t) д2М(x(to),x(ti)) dx (^ )dx (t) S2M( x (to), x (ti), я) у ' (t )=ti-i t^-!(^ (^)-u (^)) f“(^’x (^),u (^)) G (to, ^)^ x=to s=t(o G(tl,5) fu (5.x(5).u(5))(x(5)-U(5)). (29) у '(ti) ti -i ti -i у (ti )=ZZ(^ (^)-u (^)) fu'(^’x (^) ’u (^))G' (ti’ ^)' X=to S=tQ G (ti. 5 ) fu ( 5. x ( 5 ) . u ( 5 ))(X ( 5 )-U ( 5 )) . Sx^ (^) S 2M( x (to), x (ti), я) Sx^^) - у.(, )d 2 H ('■x < t);u ■ »у (t)=-ii (V (,)-u (.)) u (x)i X (30) t=t (31) :f„'(x,x (x),u (x)) fu{ ^, x ( 5 ) ■ u (5 ))(V ( 5 )- u (5 )) ■ i (V (t)-u (t ))'d2M■U)G(t■ 5)yG(t■ x)dd’x■x'))G(t■ 5) dx ( ^ )dx (t) dx^(t) G (to, x)d:MMoM):^) G (to, 5 )y 2 G (to, x)d’ m(; (") ■; (tf) g (t, 5 )y (33) dx" (to ) , p , Ч S'M(x(to),x(ti),я)р/, y у G (t”x)-ax^222-G (^ ^5) dx (^ )dx (t) -i G' (t, x)d'H (t-x (t) •;'(t) • ^(t ^ G (t, 5). t=t.. d^x С учетом обозначения (33) и тождеств (25)-(32) неравенство (24) принимает вид: ii(v (x)-u (x)) f«(x, x (x), u (x))K (x, 5) f«( ^, x (5),u (5 ))(V (5)-u (5))+ x-^ 5-t 9 К.Б. Мансимов, М.Я. Наджафова ?-?0 X-^0 ^ / ч\' '(t, ^ (t), u (t), w(t)) / . S . s4 + S( V (t)-u (t)) ^ ( g^2 ()^(^ (V (t)-u (t ))s 0. (34) ?-^0 Сформулируем полученный результат. Теорема 2. Если множество U выпуклое, то для оптимальности квазиособого управления и (t) необходимо, чтобы неравенство (34) выполнялось для всех v(t) е U, t е T . Неравенство (34) есть довольно общее необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. Из него, определяя v(t) специальным образом, можно получить ряд относительно легко проверяемых необходимых условий оптимальности квазиособых управлений. Приведем одно из них. Теорема 3. При выполнении условий теоремы 2 для оптимальности квазиособого управления и (t) необходимо чтобы неравенство (w - и (Ѳ)) /„ (Ѳ,X(Ѳ),и(Ѳ))K(Ѳ,Ѳ)/„ (Ѳ,X(Ѳ),и(Ѳ))+^ ^(Ѳ’^(Ѳ)(Ѳ)’^(Ѳ))G(Ѳ,Ѳ) X дидх X /и (Ѳ, х(Ѳ),и (Ѳ)) + д2 H (Ѳ, X (Ѳ), и (Ѳ), ѵ(Ѳ)) (35) (w - и (Ѳ)) < 0 выполнялось для всех Ѳ е T, w е U. Неравенство (35) является аналогом условия оптимальности Габасова-Кирилловой [7] на случай нелокального краевого условия. Заключение Рассматривается задача оптимального управления с нелокальными краевыми условиями. При помощи модификации метода приращений установлен аналог линеаризованного условия максимума. Отдельно изучен случай квазиособых управлений.

Ключевые слова

дискретная управляемая система, нелокальные краевые условия, линеаризованный принцип максимума, квазиособое управление, необходимое условие оптимальности, discrete control problem, nonlocal boundary conditions, linearization maximum principle, quasi-singular control

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Мансимов Камиль Байрамали оглыБакинский государственный университет ; Институт систем управления НАН Азербайджанапрофессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математической кибернетики; руководитель лаборатории «Управление в сложных динамических системах»kamilbmansimov@gmail.com
Наджафова Малахат Яшар кызыИнститут систем управления НАН Азербайджанааспирантnacafova.melahet@mail.com
Всего: 2

Ссылки

Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В. и др. Метода: оптимизации. Минск : Четыре четверти, 2011. 472 с.
Пропой А.И. Элементы теории дискретных оптимальных процессов. М. : Наука, 1973. 255 с.
Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М. : Наука, 1973. 448 с.
Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск : Наука, 1987. 228 с.
Мансимов К.Б. Дискретные системы. Баку : Изд-во Бакинского гос. ун-та, 2013. 151 с.
Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности высокого порядка. Минск, 1982. 48 с. (Препринт ИМ АН БССР. № 30 (155)).
Габасов Р., Кириллова Ф.М. К теории необходимых условий оптимальности для дискретных систем // Автоматика и теле механика. 1969. № 12. С. 39-47.
Мансимов К.Б., Наджафова М.Я. Об одной нелокальной дискретной задаче управления // Вестник Бакинского государственного университета. Сер. физико-математических наук. 2014. № 4. C. 46-54.
Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М. : Либроком, 2013. 256 с.
 Квазиособые управления в задаче управления дискретными системами с нелокальными краевыми условиями | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 46. DOI:  10.17223/19988605/46/1

Квазиособые управления в задаче управления дискретными системами с нелокальными краевыми условиями | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 46. DOI: 10.17223/19988605/46/1