Исследование влияния случайных вариаций интенсивности входного потока на макроскопические показатели нестационарной СМО | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 47. DOI: 10.17223/19988605/47/7

Исследование влияния случайных вариаций интенсивности входного потока на макроскопические показатели нестационарной СМО

Обсуждаются результаты исследования влияния случайных вариаций интенсивности входного потока на макроскопические характеристики нестационарной системы массового обслуживания (НСМО), в которых были выбраны статистические характеристики стохастической составляющей вариации интенсивности входного потока на основе анализа статистической информации. Построены оценки характеристик НСМО, на вход которой поступает поток заявок, интенсивности которых зависят от детерминированной и случайной составляющих.

The study of influence of random variations of input rate to macroscopic indicators of a non-stationary queuing system.pdf В настоящее время для обеспечения доступа посетителей на объекты проведения массовых мероприятий широко используются контрольно-пропускные системы (КПС) [1]. В связи с тем, что интенсивности потоков посетителей, проходящих через КПС, изменяются во времени, можно рассматривать КПС как нестационарную систему массового обслуживания (НСМО). (Напомним, что НСМО отличаются от стационарных систем массового обслуживания тем, что интенсивности поступления заявок на вход НСМО X и интенсивности их обслуживания ц изменяются во времени, в том числе и случайно.) Изучение особенностей функционирования данных систем представляет несомненный интерес с практической точки зрения, поскольку полученные при этом результаты могут быть использованы для научного обоснования принимаемых конструкторских решений на этапе проектирования и модернизации нестационарных систем массового обслуживания (НСМО), а также для объективного оценивания особенностей функционирования данных систем при возникновении на объекте проведения массовых мероприятий нештатных ситуаций (террористический акт, пожар и т.д.). Поскольку аналитическое исследование подобных систем удается провести для малого числа НСМО [2-4], для изучения их количественных характеристик целесообразно использовать подход, основанный на использовании имитационных моделей НСМО, работоспособность которого ранее была продемонстрирована авторами в [5]. В данном подходе используется кусочно-постоянная аппроксимация функции X = X(t): k=0 мо=Z(e(t - tk )-e(t - tk+1 Ж, (1) где 6(t - - функция Хэвисайда: ч Г0, t 0(t-Н1,t (2) - среднее значение функции M (t) на интервале tk, tt+J). При этом полагается, что на каждом из интервалов tt, ti+1] моделируемую систему можно рассматривать как СМО, на вход которой поступает стационарный поток заявок с интенсивностью Хк , а ее начальное состояние соответствует конечному состоянию СМО на интервале 2, %к_х ]. Однако оказывается, что интенсивность потока заявок на входе НСМО, как показывают результаты анализа информации о динамике процесса входа посетителей на футбольный стадион, собранной во время проведения футбольных матчей, представляет собой аддитивную смесь детерминированной и случайной составляющих: X k -4et +Kd, (3) Отметим, что в ранее проведенных исследованиях [5] наличие случайной составляющей интенсивности X™d при расчете макроскопических характеристик НСМО во внимание не принималась. В статье изложены результаты исследования случайной составляющей интенсивности потока заявок, поступающих на вход НСМО, на оценки ее количественных характеристик. 1. Математическая модель нестационарной системы массового обслуживания Структурная схема модели нестационарной одноканальной СМО с неограниченной очередью представлена на рис. 1. FIFO Обслуживание Рис. 1. Схема модели нестационарной СМО Fig. 1 The block diagram of non-stationary QS очередь МО N(t) В данной модели предполагается, что на вход СМО поступает поток заявок с интенсивностью X = X(t), изменяющейся во времени. Основной характеристикой входного потока событий является мгновенная плотность потока X(t), вычисляемая по формуле X(,) - Ш M(t + At) - M (t) - Ml, (4) At dt где M(t) - математическое ожидание числа событий на интервале [0, t]. Для обслуживания очереди посетителей используется политика FCFS (first come - fist service, первый вошел - первый вышел). Скорость обслуживания поступающих заявок определяется интенсивностью обслуживания ц заявок/мин. В работе принято допущение, что время на обслуживание одной заявки можно охарактеризовать как случайную величину с плотностью вероятности ■ 0, при $ < 1, 2M [$] 1), при 1 tk-1} =т' (tk )= Ql (11) а также зависимость числа вошедших на стадион посетителей от времени (в терминах СМО - число обслуженных заявок) Nout = Nout(tk) = |Q, где Q = {qn: tf < tk}, (12) T - t _ где ^ = T --(k -1), k = 1,K, K - количество интервалов кусочно-линейной аппроксимации K M(t). 3. Анализ экспериментальных результатов Примеры зависимостей выбранных количественных характеристик представлены на рис. 7. a b c Рис. 7. Зависимости: а - числа вошедших от времени Nout(t); b - длины очереди от времени L(t); c - времени ожидания обслуживания от времени Tw(t) Fig. 7. Dependencies: а - the numbers of entered from time Nout(t); b - the length of the queue from the time L(t); c - waiting time for maintenance from time Tw(t) Из рис. 7 видно, что для каждой из зависимостей можно указать характерные точки, представляющие интерес для инженеров, проектировщиков, служб безопасности объектов проведения массовых мероприятий (макроскопические характеристики КПС). 1. Максимальное значение величины Xmax: xmax = max(x), где x е {L,т'}. (13) 2. Значение аргумента tx , в котором x (t) достигает максимального значения: tx = argmax(x(t)), где x е {L,т'}. (14) 3. Число посетителей, вошедших к моменту начала матча: No = |Q, где Q = {qn:tEn 0,97 • Nmax}, где Nmax = max(N(t)). (16) Совокупность значений выбранных макроскопических показателей, вычисляемых на каждом шаге метода Монте-Карло, представляет собой некоторые случайные последовательности, для оценки плотности распределения которых была использована аппроксимация Розенблатта-Парзена [7, 8]. Оценки квантилей изученных случайных последовательностей представлены в таблице. Оценки квантилей распределений количественных показателей НСМО Параметр Метод вычисления X(f) (см. Методика проведения вычислительных экспериментов) 1 2 3 Доверительная вероятность 0,05 0,5 0,95 0,05 0,5 0,95 0,05 0,5 0,95 Lmax 371,3 439,4 512,2 369,4 437 508,9 372,7 438,9 502,1 8,8 12,8 16,9 8,3 12,1 16,2 8,2 12,4 16,5 -с 31 36,6 42,5 30,6 36,4 42 31 36,6 41,9 42 49,5 57,5 41,3 48,7 56,1 42 49,4 56,8 N o 979 1 018,6 1 057,5 981,3 1 019,8 1 058,8 979,6 1 018,3 1 059,2 T 1 All 46,8 52,8 59,4 46,1 52,2 58,4 46,8 52,7 58,7 Из таблицы видно, что значения соответствующих квантилей распределений выбранных макроскопических характеристики НСМО оказались отличными друг от друга. В этой связи в соответствии с критерием типа Колмогорова-Смирнова была проведена проверка статистической значимости отличий данных распределений друг от друга. Оказалось, что отличия изученных распределений макроскопических характеристики НСМО на уровне доверительной вероятности p = 10-4 для изученных диапазонов значений интенсивностей входного потока заявок статистически незначимы. Следовательно, при изучении НСМО в режиме, когда на ее вход поступает поток заявок, детерминированная составляющая которого вычисляется в соответствии с (5), а случайная составляющая находится в диапазоне интенсивностей, аналогичном диапазону изменения данной величины во время проведения футбольных матчей, оказывается достаточным учитывать только детерминированную составляющую t), что позволяет существенно сократить время исследования. Заключение Исследованы макроскопические характеристики НСМО при кусочно-полиномиальном изменении детерминированной составляющей входной интенсивности в диапазоне [0, 25] чел./мин. Получены оценки макроскопических характеристик НСМО, на вход которой поступает поток заявок, интенсивность которых представляет собой смесь детерминированной и случайной составляющих. Обнаружено, что случайная составляющая интенсивности поступления заявок, выявленная в работе, не оказывает существенного влияния на оценки макроскопических характеристик изученной НСМО. В этой связи при оценке макроскопических характеристик контрольно-пропускных систем, используемых на футбольных стадионах, достаточно использовать детерминированную зависимость X(t).

Ключевые слова

нестационарные СМО, дискретно-событийное моделирование, non-stationary queuing system (NQS), discrete-event modeling

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Корелин Иван АндреевичУральский федеральный университет им. первого президента России Б.Н. Ельцинастарший преподаватель департамента ИТ и автоматики Института радиоэлектроники и информационных технологийkorelin.ivan@gmail.com
Поршнев Сергей ВладимировичУральский федеральный университет им. первого президента России Б.Н. Ельцинапрофессор, доктор технических наук, директор Учебно-научного центра «Информационная безопасность»sergey_porshnev@mail.ru
Всего: 2

Ссылки

Поршнев С.В., Якоб Д.А. Исследование особенностей функционирования информационных контрольно--пропускных си стем объектов проведения массовых мероприятий. Екатеринбург : Ин-т экономики УрО РАН, 2014. 216 с.
Clarke A.B. A waiting line process of Markov type // Ann. Math. Statist. 1956. No. 27. P. 452-459.
Koopman B.O. Air-terminal queues under time-dependent conditions // Operation Research. 1972. № 20. P. 1089-1114.
Luchak G. The solution of the single channel queueing equations characterized by a time-dependent arrival rate and a general class of holding times // Operation Research. 1956. No. 4. P. 711-732.
Поршнев С.В., Корелин И.А. Исследование особенностей нестационарной одноканальной системы массового обслужива ния в разрезе числа обслуженных заявок // Cloud of Science. 2017. Т. 4, № 3. С. 366-375.
Korelin I.A., Porshnev S.V. Rationale choosing interval of a piecewise-constant approximation of input rate of non-stationary queue system // J. Phys.: Conf. Ser. 2018. № 944. 012060.
Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function // Ann. Math. Statist. 1956. No. 27. P. 832-837.
Parzen E. On estimation of a probability density function and mode // Ann. Math. Statist. 1962. No. 33. 1065-1076.
 Исследование влияния случайных вариаций интенсивности входного потока на макроскопические показатели нестационарной СМО | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 47. DOI: 10.17223/19988605/47/7

Исследование влияния случайных вариаций интенсивности входного потока на макроскопические показатели нестационарной СМО | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 47. DOI: 10.17223/19988605/47/7