Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 48. DOI: 10.17223/19988605/48/5

Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик

Рассматривается задача обнаружения подвижного объекта неподвижным наблюдателем. Проводится сравнение двух алгоритмов обнаружения при использовании ими энергетического критерия обнаружения - «классическая» задача проверки двух простых гипотез и применение фильтра на основе порядковой статистики (УПС-фильтра). На моделях показано, что применение УПС-фильтра обеспечивает существенный выигрыш в вероятности обнаружения.

Detection of moving object using order statistics.pdf В простейшей форме операция обнаружения - это задача проверки двух простых гипотез: нулевой гипотезы Н0, когда данные относятся только к шуму, и альтернативной гипотезы Н1, когда данные относятся к совместному воздействию сигнала и шума. При решении задачи обнаружения приемник вычисляет отношение правдоподобия [1], которое представляет собой отношение условных плотностей вероятностей для гипотез Н1 и Н0. При этом, например, в пассивных гидролокационных системах [2] приемная система наблюдателя работает периодически, каждый раз накапливая и обрабатывая сигнал в течение фиксированного времени Т0 (время разового наблюдения), за которое положение обнаруживаемого объекта и его скорость практически не изменяются. По истечении этого времени принимается решение об отсутствии или наличии сигнала. За время Т0 система обнаружения наблюдает сигнал, состоящий либо из одного шума в случае отсутствия обнаруживаемого объекта, либо из аддитивной смеси помехи и полезного сигнала, порожденного объектом. Математической моделью входного сигнала системы обнаружения служит случайный процесс с определенными статистическими свойствами. Распределение этого процесса часто предполагается нормальным с нулевым математическим ожиданием как в случае одной помехи (гипотеза Н0), так и в случае смеси помехи с сигналом (гипотеза Н1). В этом случае приходится решать задачу обнаружения сигнала на фоне помехи, обладающей близкими к сигналу статистическими свойствами. Распределения вероятностей для шума и смеси полезного сигнала с шумом различаются только дисперсией (мощностью) наблюдаемого сигнала. Модель обнаружения в этих задачах обычно представляется как энергетический порог, установленный над средним значением помехи, т.е. задается вероятность ложной тревоги Рлт (энергетический критерий обнаружения) [1]. Задача входного фильтра, стоящего перед блоком принятия решения, - максимально «разделить» статистики H0 и H1, используя различия в статистических и частотных параметрах шума и сигнала (согласованная фильтрация). В случае, когда таких различий (кроме различных дисперсий) нет или, например, частотный спектр сигнала неизвестен или изменяется случайным образом, целесообразно использовать фильтр на основе усеченной порядковой статистики (УПС-фильтр) [3-5]. 42 Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик 1. Энергетический критерий обнаружения Пусть на интервале [0, T0] наблюдается сигнал n (1) = L S 2(∕∆t), i=1 где To = nΔt; Δt = 1∕2ΔF; Δt - интервал дискретизации по времени; ΔF - полоса пропускания входного фильтра системы обнаружения. В случае дискретизации времени решение о наличии или отсутствии сигнала принимается по набору полученных в результате предварительной обработки значений n независимых гауссовских случайных величин 5ι, S2, .^, Sn, имеющих нулевое математическое ожидание и одинаковую дисперсию σ2. Здесь σ2 = σm2 в случае отсутствия сигнала (σm2 - дисперсия помехи) и σ2 = σm2+ σo2 в случае присутствия сигнала (σo2 - дисперсия полезной составляющей). При этих условиях оптимальным правилом решения является сравнение статистики (1) с порогом h. При заданном пороге h вероятность ложной тревоги Рлт и вероятность обнаружения Робн определяются соответственно равенствами ∞ ∞ Рлт = ∫ f0 (X)dx, Робн = ∫ f1 (X)dx> (2) hh где fo(x) - плотность вероятности статистики X в случае отсутствия полезного сигнала, f1(x) - плотность вероятности статистики X в случае наличия полезного сигнала от объекта. Статистику X можно представить в виде X = σ2Z, где Z - случайная величина, имеющая Х2-распределение с n степенями свободы, а σ2 = σm2 в случае гипотезы Ho и σ2 = σ,? + σm2 в случае альтернативы H1. Плотность распределения статистики Х для гауссовского процесса S(t) описывается формулой (3) fn (x) = kn , x ≥ 0 где kn( •) - плотность центрального х2-распределения с n степенями свободы; σ2 - дисперсия. Функция распределения Х x - x 1 n -1 - 2 F^nxn =----n----∫ jJ2 e^^^dx = KjJn, (4) (2σ2)×2 Г(%) о nnσ где Kn( •) - функция центрального х2-распределения с n степенями свободы. В рассматриваемой задаче проверки двух простых гипотез сигналы отличаются только дисперсиями: (5) σ0 = 2nσш для Ho, σ1 = 2413'^ (1 + ρ2) для Hι, где ρ = σ'2∣σ2 - отношение сигнал/помеха в полосе ΔF. Пусть h - порог обнаружения. Тогда вероятность ложной тревоги= 1 -F(h / σ2) = 1 - Ki(h) , а вероятность обнаружения = 1 - F (h / σf ) = 1 - K р) j . Если аппроксимировать х2-распределение нормальным распределением N(μ, σ2), то для гипотезы Ho. N(μo, σo2), где μo = nσ^2, σo=2nσ^4, а для гипотезы Hι: N(μι, σι2), где μι = nσ 2(1 + ρ), σι2 = 2nσm4(1 + ρ2). Для нормальных распределений удобным способом сравнения статистик H0 и H1 является использование коэффициента разделимости [4] γ = (μ1- μo V(3o + з1) . (6) Очевидно, что чем больше γ, тем при заданном пороге больше Pобн. 43 И.М. Рудько 2. Фильтр на основе усеченной порядковой статистики В работах [4, 5] рассматриваются УПС-фильтры, реализуемые во временной [4] или частотной [5] областях. Алгоритм работы УПС-фильтра следующий (T0 - время наблюдения): - T0 разбивается на m одинаковых интервалов, в каждом из которых согласно (1) вычисляется последовательность выборок Xj ~ {Х1, ..,Хі, .,Xm}. - Накапливается с оцениваемых выборок Хj. - По накопленным выборкам строится матрица Х/ размерностью m строк на c столбцов (c- «глубина» матрицы памяти) - {Х1, Хі, ..,Xm}∕, где 1 ≤ / ≤ с. - В каждом столбце матрицы Хі/ строится порядковая статистика Х(г)^' (1 ≤ i ≤ m, Х(і)/- -упорядоченные величины статистики Хі, такие, что Х(1) ≤ Х(2) ≤ ... ≤ X(i) ≤ .. ≤ X(m)). - В каждой строке полученной матрицы Х(і)/- определяются оценки математических ожиданий 1c (вектор тг) rh^ = - ∑Х(iX^∙ , где 1 ≤ i ≤ m. c j =1 - Порог отсечения k (первый порог) определяется из условия (7) k = argmin∣⅛ -τh∖ , i где 1 ≤ i ≤ m , а h0 определяется, как будет показано ниже, по формуле (10). h - Вычисляется оценка W= ∑ Х i=k Таким образом, на выходе УПС-фильтра получаем последовательность отфильтрованных оценок W/, задача обнаружения по которым решается по «классическому» алгоритму обнаружения (задача проверки двух гипотез). УПС-фильтр работает по принципу скользящего окна, т.е. каждый новый вектор Хj с индексом c + 1 вытесняет из матрицы Х(і/ вектор Xj с индексом 1. В отличие от алгоритма проверки двух гипотез, для реализации предлагаемого алгоритма обнаружения необходимо предварительное накопление выборок {Хі, Xi, Хш}/, где 1 ≤ / ≤ c, что приводит к задержке в принятии решения на время T = /T0, где 1 ≤ / ≤ c. Такая задержка во многих задачах не является существенной. Следует подчеркнуть, что если в алгоритме проверки двух простых гипотез для принятия решения используется только вектор Х, то в рассматриваемом алгоритме - матрица Х(г)/, в которой текущий вектор Xj является одним из столбцов. 3. Моменты усеченной порядковой статистики Работа УПС-фильтра основана на свойствах порядковых статистик [6]. Рассмотрим выборку, состоящую из m случайных величинХі. {X↑, ._,Xi, .^,Xm}. Пусть случайная величина Xi описывается плотностью распределения (3) и функцией распределения (4). Вычис-m лим моменты случайной величины W = ∑, где X(i), 1 ≤ i < m, - упорядоченные величины (поряд-i=k ковые статистики) статистики Хі, такие что Х(1) ≤ Х(2) ≤ ≤ X(i) ≤ .. ≤ X(m). Если случайные величины Xi статистически независимы и одинаково распределены, то случайные величины Х(і) зависимы из-за неравенств между ними. В дальнейшем будем называть статистику W усеченной порядковой статистикой (УПС), а параметр k - порогом отсечения. В работе [6] приведены в общем виде выражения для вычисления моментов порядковых статистик, используя которые в работе [4] для Х(/) выведены формулы вычисления математического ожидания μ/, дисперсии σ/^ и ковариации σ∕k порядковых статистик для х2-распределения. 44 Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик Математическое ожидание случайной величины W определяется по формуле μw(k) = ∑μj, 1 ≤ k ≤ т, (8) (9) j=k а дисперсия с учетом зависимости случайных величин X(i) [7]: m σWw (k) = ∑ σ2 + 2 Σ σjl , 1 ≤ k ≤ m, l=k k ≤ j γZ. Аналитические исследования статистических свойств случайной величины W очень сложны, поэтому большинство последующих результатов получено на ПК с использованием символьного программирования в среде MATLAB (для малых значений m и n) и статистического моделирования [4, 5]. Как уже указывалось выше, известными параметрами являются только статистические свойства помехи, а именно математическое ожидание μo и дисперсия σo2 (см. уравнения (5)). Поэтому порог ho определяется согласно формуле (2) из следующего уравнения: (10) α = ∫ /ш (x}dx ---- ∫ dx, о 2n2 σ" F(^ )q> где α - заданный квантиль, который должен быть близок к медиане шума, чтобы обеспечить максимальное значение коэффициента разделимости γ. 4. Применение УПС в задачах обнаружения подвижного объекта Сравним рассмотренные выше алгоритмы («классический» и на основе УПС) на примере обработки гидроакустической информации в пассивном режиме [8]. Рассмотрим задачу обнаружения подвижного объекта (ПО) неподвижным наблюдателем (НН). При обработке гидроакустической информации в пассивном режиме обнаружение осуществляется по результатам обработки излученного объектом и принятого наблюдателем сигнала при наличии помех. Решение о наличии или отсутствии сигнала от объекта принимается наблюдателем периодически, после предварительной обработки поступившей на интервале наблюдения (накопления) длительностью То реализации гауссовских случайных величин S1, . Si, _, S„ с нулевым математическим ожиданием. Обозначим символом σm2 дисперсию помех на входе наблюдателя, символом σ2= σ2(v, D) - дисперсию сигнала, излученного движущемся объектом и поступившего на вход наблюдателя, зависящую от текущей скорости движения объекта v и текущего расстояния D между ним и наблюдателем. При отсутствии сигнала от объекта случайные величины Si имеют дисперсию σm2, при наличии сигнала от объекта - дисперсию σo2 + σm2. Таким образом, задача обработки гидроакустической информации в пассивном режиме полностью описывается моделью, использующей энергетический критерий обнаружения, а система обнаружения описывается рассмотренной выше моделью задачи проверки двух простых гипотез [1]. 45 И.М. Рудько Как показано в [9], вероятность обнаружения ПО определяется по формуле Р-(^’ =1 - ∙^F- (^(v^D+1 ], (12) где hα квантиль уровня (1 - α) для '/^-распределения с N степенями свободы, N = 2TqΔF, а = Pлт - вероятность ложной тревоги. Сравним вероятности обнаружения для задачи проверки двух простых гипотез и для задачи обнаружения с использованием УПС-фильтра. Для заданной вероятности ложной тревоги P^r вероятности обнаружения в зависимости от дистанции D для «классической» задачи определяются по формуле (12) - обозначим их как PZ (v,D) . В случае использования в задаче обнаружения УПС-фильтра первоначально нужно сформировать матрицу X(i)j. Для этого входной сигнал длительностью T0 разбивается на m фрагментов, причем разбиение может происходить как во временной [4], так и в частотной [5] области. В результате каждый из m фрагментов имеет плотность вероятности, описываемую '/^-распределением с n = N/m степенями свободы. Формулы (8) и (9) позволяют рассчитать математическое ожидание μc и дисперсию σ02 помехи для УПС W по известным параметрам помехи Z и заданному порогу отсечения k. «Потенциальные» вероятности обнаружения PW (v, D) на каждом интервале усреднения зависят от отношения сигнал / помеха ρ, которое используется в формуле (12). Зная ρ, по формулам (5), (8) и (9) можно рассчитать μ1 и σ∣2 Здесь используется термин «потенциальные» вероятности обнаружения, так как по определению УПС W, как уже указывалось выше, необходимо вычислить оценку m , для чего надо обеспечить условие k = const для достаточно большого числа реализаций с ρ = const. В рассматриваемой задаче, как следует из формулы (12), ρ является переменным и неизвестным параметром. Поэтому под «потенциальной» вероятностью обнаружения здесь понимается вероятностью обнаружения, которая могла бы быть достигнута, если бы условие ρ = const выполнялось для достаточно большого числа реализаций. При использовании гауссовского приближения для гипотезы H0 при заданной вероятности ложной тревоги Pлт квантиль he уровня (1 - Pлт) определяется из решения уравнения Рлг = 1-Ф((^0 - m00 Vσ0 ) , а для гипотезы H1 вероятность обнаружения Pобн - из уравнения (13) (14) Робн = 1 -Φ((^0 - miV σi ) , где Φ(∙) - функция нормального распределения. На каждом интервале наблюдения Γq новый вектор Xj заносится в матрицу X(i)j «глубиной» c, по формуле (7) вычисляются порог отсечения k (первый порог) и оценка Wj, которая сравнивается с порогом he (второй порог). Для заданной вероятности ложной тревоги Pлг по формулам (13) и (14) рассчитываются вероятности обнаружения в зависимости от дистанции D - PW (v, d ) . Если для «классической» задачи проверки двух гипотез все параметры модели могут быть рассчитаны аналитически, то для задачи проверки двух гипотез с использованием УПС из-за сложности модели (при больших n и m) все параметры модели могут быть рассчитаны только путем математического моделирования. 5. Результаты моделирования Целями моделирования были: - сравнительный анализ (там, где это возможно) статистических параметров статистик Z и W, рассчитанных по результатам теоретических расчетов и по результатам моделирования на ЭВМ; - для алгоритма обнаружения, основанного на УПС, по результатам моделирования на ЭВМ проводилось сравнение оценок вероятности обнаружения с оценками вероятности обнаружения для «классического» алгоритма. 46 Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик Математическая модель содержит генераторы случайных чисел, имеющих х2-распределения с n степенями свободы и дисперсиями σш2 и σc^ + σш2 для гипотез H0 и H1 соответственно. Согласно приведенным выше формулам генерируются случайные величины Z и W. Для гипотез H0 и H1 набираются статистики для случайных величин Z и W, по которым строятся оценки , σiи μ^θ, ст2,θ для гипотезы Hq и j, (7и μ^J, (7для гипотезы H1. По этим оценкам для заданной вероятности ложной тревоги Рлт по формулам (13) и (14) определяется вероятность обнаружения Робн. На рис. 1 приведены результаты математического моделирования случайных процессов Z и W, а именно: теоретические значения плотностей fZ(σn), fZ(σn+s) и fW(σn), fW(σn+s) и их нормированные гистограммы, построенные по математической модели. Рис. 1. Плотности вероятности процессов Z и W и их гистограммы для гипотез Н0 и Н1 Fig. 1. Probability densities of Z and W processes and their histograms for hypotheses H0 and H1 Параметры модели имеют следующие значения: n = 20, m = 100, ρ = 0,05, первый порог равен медиане порядковой статистики Х(/), k = 19,34. (Размеры массивов для построения гистограмм -100 000). На рис. 1 хорошо видно, что использование УПС-фильтра привело к существенному увеличению разделимости случайных процессов на входе (Z) и выходе (W) УПС-фильтра. Коэффициенты разделимости γ, полученные при моделировании: γZ = 0,048 и γW = 0,386, что близко к теоретическим значениям. Наблюдается достаточно близкое совпадение между теоретическими и модельными результатами. Следовательно, результаты, полученные при моделировании, могут быть использованы в качестве оценок в тех случаях, когда теоретические параметры рассчитать сложно. На рис. 1 приняты следующие обозначения: - Zn(teor) и Zn(mod) - теоретическая плотность вероятности и ее гистограмма для шума на входе УПС-фильтра - Zш'; - Zn + s(teor) и Zn + s(mod) - теоретическая плотность вероятности и ее гистограмма для смеси сигнала и шума на входе УПС-фильтра - Zш+с; - Wn(teor) и Wn(mod) - теоретическая плотность вероятности и ее гистограмма для шума на выходе УПС-фильтра - Wш; - Wn + s(teor) и Wn + s(mod) - теоретическая плотность вероятности и ее гистограмма для смеси сигнала и шума на выходе УПС-фильтра - W∏+g. На рис. 2 (пример взят из [4]) приведены результаты математического моделирования среднего квадратического отклонения УПС W в зависимости от «глубины» (числа столбцов) памяти c, содержащей матрицу порядковых статистик X(∕)∕∙ для следующих значений параметров: n = 8, m = 100. При c = 1 σW > σZ, затем σW спадает и уже при c > 4 σW < σZ и быстро стремится к своему «потенциальному» значению, т.е. к значению, когда «глубина» памяти велика. 47 И.М. Рудько Рис. 2. Зависимость σW от числа столбцов памяти с Fig. 2. The dependence of σW on the number of columns of memory с Далее приведены результаты моделирования системы обнаружения, реализующей «классический» (однопороговый) алгоритм, и системы обнаружения, реализующей алгоритм на основе УПС (двухпороговый). Моделирование проводилось при следующих предположениях: - ПО пересекает район, контролируемый НН, двигаясь прямолинейно с постоянной скоростью; - число независимых интервалов наблюдения за время прохождения трассы K = 8o; - закон изменения интенсивности излучаемого ПО сигнала в зависимости от скорости - квадратичный; - закон затухания сигнала в среде - сферический; - суммарное число степеней свободы N = nm = 2 ooo. На рис. 3 приведены зависимости вероятности обнаружения Pобн от дистанции D (т.е. от отношения сигнал / помеха ρ (см. уравнение (12)) для однопорогового и двухпорогового алгоритмов для «глубины» памяти c = 4 и c = 8. Параметры модели имеют следующие значения: n = 2o, m = 1oo, Pлт = 0,005, первый порог равен медиане статистики Xi для помехи (в формуле (10) α = 0,5). Размеры Fig. 3. Dependence of the probability of detecting Pdet from the distance D На рис. 3 приняты следующие обозначения: a) - оценки Pобн для однопорогового алгоритма, полученные на модели; b) - оценки Pобн для двухпорогового алгоритма, полученные на модели (с = 4); 48 Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик c) - оценки Робн для двухпорогового алгоритма, полученные на модели (с = 8); d) - теоретическая Робн для однопорогового алгоритма; e) - оценки «потенциальной» Робн для двухпорогового алгоритма, полученные на модели. Сдвиг начала графиков «b» и «с» определяется временем заполнения матрицы X(i)j - c = 4 или 8. Сдвиг максимума графиков «b» и «с» относительно максимума графика «d» определяется «глубиной» памяти - c = 4 или 8. Значение максимума графика «с» (c = 8) больше максимума графика «b» (c = 4), но меньше максимума графика «е», что соответствует данным, приведенным на рис. 2. График «е» «потенциальной» Робн имеет ступенчатый вид, так как согласно формуле (7) при изменении изменение индекса суммирования k происходит «скачком» на k + 1 или k - 1 и, m следовательно, «скачком» происходит изменение оценки W= Σ X. i=k Заключение Исследован алгоритм обнаружения сигналов на фоне шума, основанный на свойствах усеченных порядковых статистик, который позволяет обеспечить большую вероятность обнаружения Робн при заданной вероятности ложной тревоги Рлт по сравнению с «классическим» алгоритмом проверки двух гипотез. Выигрыш достигается за счет введения дополнительного порога, отсекающего малые значения обрабатываемого сигнала, и использования для построения оценки этого порога информации, не использующейся в «классическом» алгоритме и содержащейся в предыдущих реализациях сигнала. Приводятся результаты математического моделирования. Показано, что применение алгоритма на основе УПС (двухпорогового) в задаче обнаружения ПО неподвижным наблюдателем позволяет обеспечить существенно большую вероятность обнаружения Робн при заданной вероятности ложной тревоги Рлт по сравнению с «классическим» алгоритмом проверки двух гипотез или при фиксированных вероятностях обнаружения Робн и ложной тревоги Рлт обеспечить перекрытие заданного района меньшим количеством неподвижных наблюдателей.

Ключевые слова

порядковая статистика, проверка статистических гипотез, системы обнаружения, статистическое моделирование, order statistics, statistical hypotheses testing, detection systems, statistical simulation

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Рудько Игорь МихайловичИнститут проблем управления им. В.А. Трапезникова РАНкандидат технических наук, старший научный сотрудникigor-rudko@mail.ru
Всего: 1

Ссылки

Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М. : Сов. радио, 1968. Т. 2. 504 c.
Urick R.J. Principles of underwater sound. McGraw-Hill Book Company, 1975. 445 p.
Рудько И.М. Статистические свойства суммы членов усеченного вариационного ряда // Вестник Томского государствен ного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 1 (22). С. 124-130.
Рудько И.М. Применение порядковых статистик в задачах обнаружения // Управление большими системами. М. : ИПУ РАН, 2012. Вып. 37. C. 63-83.
Рудько И.М. Применение порядковых статистик в задачах обнаружения в частотной области // Управление большими системами. М. : ИПУ РАН, 2016. Вып. 62. С. 6-29.
David H.A., Nagaraja H.N. Order Statistics. Wiley Series in Probability and Statistics, 2003. 458 p.
Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М. : Сов. радио, 1969. Т. 1. 752 c.
Burdic W.S. Acoustic system analysis. Englewood Cliffs, NJ : Prentice Hall Inc., 1984. V. 392.
Абрамянц Т.Г., Галяев А.А., Маслов Е.П., Рудько И.М., Яхно В.П. Уклонение подвижного объекта в конфликтной среде от обнаружения системой разнородных наблюдателей // Проблемы управления. 2015. № 2. C. 31-37.
 Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 48. DOI: 10.17223/19988605/48/5

Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 48. DOI: 10.17223/19988605/48/5