Detection of moving object using order statistics.pdf В простейшей форме операция обнаружения - это задача проверки двух простых гипотез: нулевой гипотезы Н0, когда данные относятся только к шуму, и альтернативной гипотезы Н1, когда данные относятся к совместному воздействию сигнала и шума. При решении задачи обнаружения приемник вычисляет отношение правдоподобия [1], которое представляет собой отношение условных плотностей вероятностей для гипотез Н1 и Н0. При этом, например, в пассивных гидролокационных системах [2] приемная система наблюдателя работает периодически, каждый раз накапливая и обрабатывая сигнал в течение фиксированного времени Т0 (время разового наблюдения), за которое положение обнаруживаемого объекта и его скорость практически не изменяются. По истечении этого времени принимается решение об отсутствии или наличии сигнала. За время Т0 система обнаружения наблюдает сигнал, состоящий либо из одного шума в случае отсутствия обнаруживаемого объекта, либо из аддитивной смеси помехи и полезного сигнала, порожденного объектом. Математической моделью входного сигнала системы обнаружения служит случайный процесс с определенными статистическими свойствами. Распределение этого процесса часто предполагается нормальным с нулевым математическим ожиданием как в случае одной помехи (гипотеза Н0), так и в случае смеси помехи с сигналом (гипотеза Н1). В этом случае приходится решать задачу обнаружения сигнала на фоне помехи, обладающей близкими к сигналу статистическими свойствами. Распределения вероятностей для шума и смеси полезного сигнала с шумом различаются только дисперсией (мощностью) наблюдаемого сигнала. Модель обнаружения в этих задачах обычно представляется как энергетический порог, установленный над средним значением помехи, т.е. задается вероятность ложной тревоги Рлт (энергетический критерий обнаружения) [1]. Задача входного фильтра, стоящего перед блоком принятия решения, - максимально «разделить» статистики H0 и H1, используя различия в статистических и частотных параметрах шума и сигнала (согласованная фильтрация). В случае, когда таких различий (кроме различных дисперсий) нет или, например, частотный спектр сигнала неизвестен или изменяется случайным образом, целесообразно использовать фильтр на основе усеченной порядковой статистики (УПС-фильтр) [3-5]. 42 Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик 1. Энергетический критерий обнаружения Пусть на интервале [0, T0] наблюдается сигнал n (1) = L S 2(∕∆t), i=1 где To = nΔt; Δt = 1∕2ΔF; Δt - интервал дискретизации по времени; ΔF - полоса пропускания входного фильтра системы обнаружения. В случае дискретизации времени решение о наличии или отсутствии сигнала принимается по набору полученных в результате предварительной обработки значений n независимых гауссовских случайных величин 5ι, S2, .^, Sn, имеющих нулевое математическое ожидание и одинаковую дисперсию σ2. Здесь σ2 = σm2 в случае отсутствия сигнала (σm2 - дисперсия помехи) и σ2 = σm2+ σo2 в случае присутствия сигнала (σo2 - дисперсия полезной составляющей). При этих условиях оптимальным правилом решения является сравнение статистики (1) с порогом h. При заданном пороге h вероятность ложной тревоги Рлт и вероятность обнаружения Робн определяются соответственно равенствами ∞ ∞ Рлт = ∫ f0 (X)dx, Робн = ∫ f1 (X)dx> (2) hh где fo(x) - плотность вероятности статистики X в случае отсутствия полезного сигнала, f1(x) - плотность вероятности статистики X в случае наличия полезного сигнала от объекта. Статистику X можно представить в виде X = σ2Z, где Z - случайная величина, имеющая Х2-распределение с n степенями свободы, а σ2 = σm2 в случае гипотезы Ho и σ2 = σ,? + σm2 в случае альтернативы H1. Плотность распределения статистики Х для гауссовского процесса S(t) описывается формулой (3) fn (x) = kn , x ≥ 0 где kn( •) - плотность центрального х2-распределения с n степенями свободы; σ2 - дисперсия. Функция распределения Х x - x 1 n -1 - 2 F^nxn =----n----∫ jJ2 e^^^dx = KjJn, (4) (2σ2)×2 Г(%) о nnσ где Kn( •) - функция центрального х2-распределения с n степенями свободы. В рассматриваемой задаче проверки двух простых гипотез сигналы отличаются только дисперсиями: (5) σ0 = 2nσш для Ho, σ1 = 2413'^ (1 + ρ2) для Hι, где ρ = σ'2∣σ2 - отношение сигнал/помеха в полосе ΔF. Пусть h - порог обнаружения. Тогда вероятность ложной тревоги= 1 -F(h / σ2) = 1 - Ki(h) , а вероятность обнаружения = 1 - F (h / σf ) = 1 - K р) j . Если аппроксимировать х2-распределение нормальным распределением N(μ, σ2), то для гипотезы Ho. N(μo, σo2), где μo = nσ^2, σo=2nσ^4, а для гипотезы Hι: N(μι, σι2), где μι = nσ 2(1 + ρ), σι2 = 2nσm4(1 + ρ2). Для нормальных распределений удобным способом сравнения статистик H0 и H1 является использование коэффициента разделимости [4] γ = (μ1- μo V(3o + з1) . (6) Очевидно, что чем больше γ, тем при заданном пороге больше Pобн. 43 И.М. Рудько 2. Фильтр на основе усеченной порядковой статистики В работах [4, 5] рассматриваются УПС-фильтры, реализуемые во временной [4] или частотной [5] областях. Алгоритм работы УПС-фильтра следующий (T0 - время наблюдения): - T0 разбивается на m одинаковых интервалов, в каждом из которых согласно (1) вычисляется последовательность выборок Xj ~ {Х1, ..,Хі, .,Xm}. - Накапливается с оцениваемых выборок Хj. - По накопленным выборкам строится матрица Х/ размерностью m строк на c столбцов (c- «глубина» матрицы памяти) - {Х1, Хі, ..,Xm}∕, где 1 ≤ / ≤ с. - В каждом столбце матрицы Хі/ строится порядковая статистика Х(г)^' (1 ≤ i ≤ m, Х(і)/- -упорядоченные величины статистики Хі, такие, что Х(1) ≤ Х(2) ≤ ... ≤ X(i) ≤ .. ≤ X(m)). - В каждой строке полученной матрицы Х(і)/- определяются оценки математических ожиданий 1c (вектор тг) rh^ = - ∑Х(iX^∙ , где 1 ≤ i ≤ m. c j =1 - Порог отсечения k (первый порог) определяется из условия (7) k = argmin∣⅛ -τh∖ , i где 1 ≤ i ≤ m , а h0 определяется, как будет показано ниже, по формуле (10). h - Вычисляется оценка W= ∑ Х i=k Таким образом, на выходе УПС-фильтра получаем последовательность отфильтрованных оценок W/, задача обнаружения по которым решается по «классическому» алгоритму обнаружения (задача проверки двух гипотез). УПС-фильтр работает по принципу скользящего окна, т.е. каждый новый вектор Хj с индексом c + 1 вытесняет из матрицы Х(і/ вектор Xj с индексом 1. В отличие от алгоритма проверки двух гипотез, для реализации предлагаемого алгоритма обнаружения необходимо предварительное накопление выборок {Хі, Xi, Хш}/, где 1 ≤ / ≤ c, что приводит к задержке в принятии решения на время T = /T0, где 1 ≤ / ≤ c. Такая задержка во многих задачах не является существенной. Следует подчеркнуть, что если в алгоритме проверки двух простых гипотез для принятия решения используется только вектор Х, то в рассматриваемом алгоритме - матрица Х(г)/, в которой текущий вектор Xj является одним из столбцов. 3. Моменты усеченной порядковой статистики Работа УПС-фильтра основана на свойствах порядковых статистик [6]. Рассмотрим выборку, состоящую из m случайных величинХі. {X↑, ._,Xi, .^,Xm}. Пусть случайная величина Xi описывается плотностью распределения (3) и функцией распределения (4). Вычис-m лим моменты случайной величины W = ∑, где X(i), 1 ≤ i < m, - упорядоченные величины (поряд-i=k ковые статистики) статистики Хі, такие что Х(1) ≤ Х(2) ≤ ≤ X(i) ≤ .. ≤ X(m). Если случайные величины Xi статистически независимы и одинаково распределены, то случайные величины Х(і) зависимы из-за неравенств между ними. В дальнейшем будем называть статистику W усеченной порядковой статистикой (УПС), а параметр k - порогом отсечения. В работе [6] приведены в общем виде выражения для вычисления моментов порядковых статистик, используя которые в работе [4] для Х(/) выведены формулы вычисления математического ожидания μ/, дисперсии σ/^ и ковариации σ∕k порядковых статистик для х2-распределения. 44 Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик Математическое ожидание случайной величины W определяется по формуле μw(k) = ∑μj, 1 ≤ k ≤ т, (8) (9) j=k а дисперсия с учетом зависимости случайных величин X(i) [7]: m σWw (k) = ∑ σ2 + 2 Σ σjl , 1 ≤ k ≤ m, l=k k ≤ j γZ. Аналитические исследования статистических свойств случайной величины W очень сложны, поэтому большинство последующих результатов получено на ПК с использованием символьного программирования в среде MATLAB (для малых значений m и n) и статистического моделирования [4, 5]. Как уже указывалось выше, известными параметрами являются только статистические свойства помехи, а именно математическое ожидание μo и дисперсия σo2 (см. уравнения (5)). Поэтому порог ho определяется согласно формуле (2) из следующего уравнения: (10) α = ∫ /ш (x}dx ---- ∫ dx, о 2n2 σ" F(^ )q> где α - заданный квантиль, который должен быть близок к медиане шума, чтобы обеспечить максимальное значение коэффициента разделимости γ. 4. Применение УПС в задачах обнаружения подвижного объекта Сравним рассмотренные выше алгоритмы («классический» и на основе УПС) на примере обработки гидроакустической информации в пассивном режиме [8]. Рассмотрим задачу обнаружения подвижного объекта (ПО) неподвижным наблюдателем (НН). При обработке гидроакустической информации в пассивном режиме обнаружение осуществляется по результатам обработки излученного объектом и принятого наблюдателем сигнала при наличии помех. Решение о наличии или отсутствии сигнала от объекта принимается наблюдателем периодически, после предварительной обработки поступившей на интервале наблюдения (накопления) длительностью То реализации гауссовских случайных величин S1, . Si, _, S„ с нулевым математическим ожиданием. Обозначим символом σm2 дисперсию помех на входе наблюдателя, символом σ2= σ2(v, D) - дисперсию сигнала, излученного движущемся объектом и поступившего на вход наблюдателя, зависящую от текущей скорости движения объекта v и текущего расстояния D между ним и наблюдателем. При отсутствии сигнала от объекта случайные величины Si имеют дисперсию σm2, при наличии сигнала от объекта - дисперсию σo2 + σm2. Таким образом, задача обработки гидроакустической информации в пассивном режиме полностью описывается моделью, использующей энергетический критерий обнаружения, а система обнаружения описывается рассмотренной выше моделью задачи проверки двух простых гипотез [1]. 45 И.М. Рудько Как показано в [9], вероятность обнаружения ПО определяется по формуле Р-(^’ =1 - ∙^F- (^(v^D+1 ], (12) где hα квантиль уровня (1 - α) для '/^-распределения с N степенями свободы, N = 2TqΔF, а = Pлт - вероятность ложной тревоги. Сравним вероятности обнаружения для задачи проверки двух простых гипотез и для задачи обнаружения с использованием УПС-фильтра. Для заданной вероятности ложной тревоги P^r вероятности обнаружения в зависимости от дистанции D для «классической» задачи определяются по формуле (12) - обозначим их как PZ (v,D) . В случае использования в задаче обнаружения УПС-фильтра первоначально нужно сформировать матрицу X(i)j. Для этого входной сигнал длительностью T0 разбивается на m фрагментов, причем разбиение может происходить как во временной [4], так и в частотной [5] области. В результате каждый из m фрагментов имеет плотность вероятности, описываемую '/^-распределением с n = N/m степенями свободы. Формулы (8) и (9) позволяют рассчитать математическое ожидание μc и дисперсию σ02 помехи для УПС W по известным параметрам помехи Z и заданному порогу отсечения k. «Потенциальные» вероятности обнаружения PW (v, D) на каждом интервале усреднения зависят от отношения сигнал / помеха ρ, которое используется в формуле (12). Зная ρ, по формулам (5), (8) и (9) можно рассчитать μ1 и σ∣2 Здесь используется термин «потенциальные» вероятности обнаружения, так как по определению УПС W, как уже указывалось выше, необходимо вычислить оценку m , для чего надо обеспечить условие k = const для достаточно большого числа реализаций с ρ = const. В рассматриваемой задаче, как следует из формулы (12), ρ является переменным и неизвестным параметром. Поэтому под «потенциальной» вероятностью обнаружения здесь понимается вероятностью обнаружения, которая могла бы быть достигнута, если бы условие ρ = const выполнялось для достаточно большого числа реализаций. При использовании гауссовского приближения для гипотезы H0 при заданной вероятности ложной тревоги Pлт квантиль he уровня (1 - Pлт) определяется из решения уравнения Рлг = 1-Ф((^0 - m00 Vσ0 ) , а для гипотезы H1 вероятность обнаружения Pобн - из уравнения (13) (14) Робн = 1 -Φ((^0 - miV σi ) , где Φ(∙) - функция нормального распределения. На каждом интервале наблюдения Γq новый вектор Xj заносится в матрицу X(i)j «глубиной» c, по формуле (7) вычисляются порог отсечения k (первый порог) и оценка Wj, которая сравнивается с порогом he (второй порог). Для заданной вероятности ложной тревоги Pлг по формулам (13) и (14) рассчитываются вероятности обнаружения в зависимости от дистанции D - PW (v, d ) . Если для «классической» задачи проверки двух гипотез все параметры модели могут быть рассчитаны аналитически, то для задачи проверки двух гипотез с использованием УПС из-за сложности модели (при больших n и m) все параметры модели могут быть рассчитаны только путем математического моделирования. 5. Результаты моделирования Целями моделирования были: - сравнительный анализ (там, где это возможно) статистических параметров статистик Z и W, рассчитанных по результатам теоретических расчетов и по результатам моделирования на ЭВМ; - для алгоритма обнаружения, основанного на УПС, по результатам моделирования на ЭВМ проводилось сравнение оценок вероятности обнаружения с оценками вероятности обнаружения для «классического» алгоритма. 46 Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик Математическая модель содержит генераторы случайных чисел, имеющих х2-распределения с n степенями свободы и дисперсиями σш2 и σc^ + σш2 для гипотез H0 и H1 соответственно. Согласно приведенным выше формулам генерируются случайные величины Z и W. Для гипотез H0 и H1 набираются статистики для случайных величин Z и W, по которым строятся оценки , σiи μ^θ, ст2,θ для гипотезы Hq и j, (7и μ^J, (7для гипотезы H1. По этим оценкам для заданной вероятности ложной тревоги Рлт по формулам (13) и (14) определяется вероятность обнаружения Робн. На рис. 1 приведены результаты математического моделирования случайных процессов Z и W, а именно: теоретические значения плотностей fZ(σn), fZ(σn+s) и fW(σn), fW(σn+s) и их нормированные гистограммы, построенные по математической модели. Рис. 1. Плотности вероятности процессов Z и W и их гистограммы для гипотез Н0 и Н1 Fig. 1. Probability densities of Z and W processes and their histograms for hypotheses H0 and H1 Параметры модели имеют следующие значения: n = 20, m = 100, ρ = 0,05, первый порог равен медиане порядковой статистики Х(/), k = 19,34. (Размеры массивов для построения гистограмм -100 000). На рис. 1 хорошо видно, что использование УПС-фильтра привело к существенному увеличению разделимости случайных процессов на входе (Z) и выходе (W) УПС-фильтра. Коэффициенты разделимости γ, полученные при моделировании: γZ = 0,048 и γW = 0,386, что близко к теоретическим значениям. Наблюдается достаточно близкое совпадение между теоретическими и модельными результатами. Следовательно, результаты, полученные при моделировании, могут быть использованы в качестве оценок в тех случаях, когда теоретические параметры рассчитать сложно. На рис. 1 приняты следующие обозначения: - Zn(teor) и Zn(mod) - теоретическая плотность вероятности и ее гистограмма для шума на входе УПС-фильтра - Zш'; - Zn + s(teor) и Zn + s(mod) - теоретическая плотность вероятности и ее гистограмма для смеси сигнала и шума на входе УПС-фильтра - Zш+с; - Wn(teor) и Wn(mod) - теоретическая плотность вероятности и ее гистограмма для шума на выходе УПС-фильтра - Wш; - Wn + s(teor) и Wn + s(mod) - теоретическая плотность вероятности и ее гистограмма для смеси сигнала и шума на выходе УПС-фильтра - W∏+g. На рис. 2 (пример взят из [4]) приведены результаты математического моделирования среднего квадратического отклонения УПС W в зависимости от «глубины» (числа столбцов) памяти c, содержащей матрицу порядковых статистик X(∕)∕∙ для следующих значений параметров: n = 8, m = 100. При c = 1 σW > σZ, затем σW спадает и уже при c > 4 σW < σZ и быстро стремится к своему «потенциальному» значению, т.е. к значению, когда «глубина» памяти велика. 47 И.М. Рудько Рис. 2. Зависимость σW от числа столбцов памяти с Fig. 2. The dependence of σW on the number of columns of memory с Далее приведены результаты моделирования системы обнаружения, реализующей «классический» (однопороговый) алгоритм, и системы обнаружения, реализующей алгоритм на основе УПС (двухпороговый). Моделирование проводилось при следующих предположениях: - ПО пересекает район, контролируемый НН, двигаясь прямолинейно с постоянной скоростью; - число независимых интервалов наблюдения за время прохождения трассы K = 8o; - закон изменения интенсивности излучаемого ПО сигнала в зависимости от скорости - квадратичный; - закон затухания сигнала в среде - сферический; - суммарное число степеней свободы N = nm = 2 ooo. На рис. 3 приведены зависимости вероятности обнаружения Pобн от дистанции D (т.е. от отношения сигнал / помеха ρ (см. уравнение (12)) для однопорогового и двухпорогового алгоритмов для «глубины» памяти c = 4 и c = 8. Параметры модели имеют следующие значения: n = 2o, m = 1oo, Pлт = 0,005, первый порог равен медиане статистики Xi для помехи (в формуле (10) α = 0,5). Размеры Fig. 3. Dependence of the probability of detecting Pdet from the distance D На рис. 3 приняты следующие обозначения: a) - оценки Pобн для однопорогового алгоритма, полученные на модели; b) - оценки Pобн для двухпорогового алгоритма, полученные на модели (с = 4); 48 Обнаружение подвижного объекта с использованием порядковых статистик c) - оценки Робн для двухпорогового алгоритма, полученные на модели (с = 8); d) - теоретическая Робн для однопорогового алгоритма; e) - оценки «потенциальной» Робн для двухпорогового алгоритма, полученные на модели. Сдвиг начала графиков «b» и «с» определяется временем заполнения матрицы X(i)j - c = 4 или 8. Сдвиг максимума графиков «b» и «с» относительно максимума графика «d» определяется «глубиной» памяти - c = 4 или 8. Значение максимума графика «с» (c = 8) больше максимума графика «b» (c = 4), но меньше максимума графика «е», что соответствует данным, приведенным на рис. 2. График «е» «потенциальной» Робн имеет ступенчатый вид, так как согласно формуле (7) при изменении изменение индекса суммирования k происходит «скачком» на k + 1 или k - 1 и, m следовательно, «скачком» происходит изменение оценки W= Σ X. i=k Заключение Исследован алгоритм обнаружения сигналов на фоне шума, основанный на свойствах усеченных порядковых статистик, который позволяет обеспечить большую вероятность обнаружения Робн при заданной вероятности ложной тревоги Рлт по сравнению с «классическим» алгоритмом проверки двух гипотез. Выигрыш достигается за счет введения дополнительного порога, отсекающего малые значения обрабатываемого сигнала, и использования для построения оценки этого порога информации, не использующейся в «классическом» алгоритме и содержащейся в предыдущих реализациях сигнала. Приводятся результаты математического моделирования. Показано, что применение алгоритма на основе УПС (двухпорогового) в задаче обнаружения ПО неподвижным наблюдателем позволяет обеспечить существенно большую вероятность обнаружения Робн при заданной вероятности ложной тревоги Рлт по сравнению с «классическим» алгоритмом проверки двух гипотез или при фиксированных вероятностях обнаружения Робн и ложной тревоги Рлт обеспечить перекрытие заданного района меньшим количеством неподвижных наблюдателей.

Скачать электронную версию публикации