Исследование процесса сборки пуассоновских потоков | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 48. DOI: 10.17223/19988605/48/6

Исследование процесса сборки пуассоновских потоков

С помощью обобщения теоремы Бурке, основанном на Хинчиновской модели пуассоновского потока, установлено, что сборка независимых пуассоновских потоков является нестационарным пуассоновским потоком. Доказано, что интенсивность сборки при устремлении времени к бесконечности стремится к меньшей из интенсивностей исходных пуассоновских потоков, и оценивается скорость этой сходимости.

The study of the assembly of poisson flows.pdf В работе строится модель сборки независимых пуассоновских потоков, под которой понимается соединение заявок с одинаковыми номерами в потоках. Процесс сборки встречается в компьютерных сетях [1, 2], системах изготовления изделий [3] и т.д. Однако исследование потока заявок, выходящих после сборки, затрудняется сложными аналитическими вычислениями, поскольку не определена удобная математическая модель этого потока. В настоящей работе строится математическая модель процесса сборки. Эта модель основана на дискретном марковском процессе, описывающем число заявок в исходных потоках на полуинтервалах времени [0,t). Скачки определенного типа у этого марковского процесса можно рассматривать как точки потока сборки. Такая модель возникает при изучении выходных потоков в моделях массового обслуживания с показательными распределениями времени обслуживания и пуассоновским входным потоком. В теореме Бурке доказано, что стационарный выходной поток в подобной системе обслуживания совпадает по распределению с входным потоком. В работе [5] дается обобщение теоремы Бурке на основе модели пуассоновского потока, предложенной А.Я. Хинчиным [6]. В настоящей работе доказывается, что сборка независимых пуассоновских потоков является нестационарным пуассоновским потоком, что существенно затрудняет исследование потока, получающегося в результате сборки. Однако с помощью вероятностных неравенств удается доказать, что интенсивность этого потока при устремлении времени t к бесконечности стремится к меньшей из интенсивностей исходных пуассоновских потоков. Получена оценка скорости этой сходимости. В случае двух потоков с одинаковой интенсивностью степенная скорость сходимости оценивается с помощью известной асимптотики функции Инфельда. В случае r > 2 потоков с одинаковой интенсивностью строятся верхние степенные оценки скорости сходимости, поскольку асимптотики получающихся в результате гипергеометрических рядов использовать не удалось. Однако если у исходных потоков интенсивности разные, то интенсивность потока сборки стремится к предельной гораздо быстрее. 1. Сборка пуассоновских потоков Пусть имеется r независимых пуассоновских потоков с интенсивностью λ. Представим эти потоки в виде T^ = {0≤ tj 1 ≤ tj 2 ≤..}, i = 1, ^, г. Назовем поток ®r=1 Т, = {0 ≤ max(-1,1,., -г,1) ≤ max(t1,2,., -г^') ≤ ••} сборкой потоков T1,.,Tr . 51 Г.Ш. Цициашвили, М.А. Осипова Определим следующие множества индексов: J^ = {1,..,r} /{i}, i = 1, ^, r. Обозначим r-мерный вектор, состоящий из r -1 нулей и единицы на і-м месте, 1. Рассмотрим марковский процесс (n1(t ),^, nr (t)), t ≥ 0, где n^ (t) - число точек потока T^ на полуинтервале [0, t), k = 1^.., r. Скачок этого процесса из состояния (n1,^, nh ), n^ 2 справедливо соотношение (t) =| λ(t) -λ I= O(tr-1)/2), t →∞, 1/2. Иными словами, с ростом числа собираемых потоков r величина (t) убывает по r достаточно быстро. ∞ Замечание 1. Ряд ∑(ak / к!)r, исследуемый в теореме 2, является обобщенным гипергеометри-к=0 ческим рядом. Однако воспользоваться известными асимптотическими формулами для этого ряда не удается [8. Ch. 16. Formula (16.11.5)]. Поэтому для него в теореме 3 приходится строить верхние оценки. е ~ aad dde~d^J2πa У 3. Сборка потоков с разными интенсивностями (9) (10) Рассмотрим теперь случай, когда имеется два пуассоновских потока T, T с интенсивностями λ λ, λ.^, λ < λ2. Полагая d = λ21, cd = λ1t, 0 < c = - < 1, исследуем функцию λ2 P{n, (t) ≥ -у,)) = ∑e - ‘ ≈-

Ключевые слова

сборка пуассоновских потоков, интенсивность сборки, скорость сходимости, моделирование сборки марковским процессом, an assembly of Poisson flows, an intensity of an assembly, a rate of convergence, simulation of assembly by Markov process

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Цициашвили Гурами ШалвовичДальневосточный федеральный университет; Институт прикладной математики ДВО РАНпрофессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и анализа; главный научный сотрудник; научный сотрудникguram@iam.dvo.ru
Осипова Марина АнатольевнаДальневосточный федеральный университет; Институт прикладной математики ДВО РАНпрофессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и анализа; главный научный сотрудникmao1975@list.ru
Всего: 2

Ссылки

Горбунова А.В., Зарядов И.С., Самуйлов К.Е., Сопин Э.С. Обзор систем параллельной обработки заявок. Часть I // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Математика. Информатика. Физика. 2017. Т. 25, № 4. С. 350362.
Горбунова А.В., Зарядов И.С., Самуйлов К.Е. Обзор систем параллельной обработки заявок. Часть II // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Математика. Информатика. Физика. 2018. Т. 26, № 1. С. 13-27.
Колесникова О.В., Лелюхин В.Е. Алгоритм определения последовательности изготовления элементов изделия «Опадаю щие листья» // Глобальный научный потенциал. 2015. № 2 (47). С. 54-58.
Burke P.J. The output of a queuing system // Operations Research. 1956. V. 4. P. 699-704.
Tsitsiashvili G.Sh., Osipova M.A. Modelling of output flows in queuing systems and networks // Information Technologies and Mathematical Modelling // Communications in Computer and Information Science. V. 912. P.106-116.
Khinchin A.Ya. Mathematical methods in the theory of queueing. London : Griffin, 1960.
Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике : учеб. пособие. М. : Изд-во МГУ, 1993.
Frank W.J., Olver D.W., Lozier R.F. Boisvert and Charles W. Clark. NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge : Cambridge University Press. 2010.
 Исследование процесса сборки пуассоновских потоков | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 48. DOI: 10.17223/19988605/48/6

Исследование процесса сборки пуассоновских потоков | Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 48. DOI: 10.17223/19988605/48/6