Nonparametric goodness-of-fit tests in testing adequacy of reliability models for right censored data.pdf Задачи, связанные с исследованием надежности, анализом выживаемости, в которых оперируют данными типа времени жизни, рассматриваются во многих областях науки и техники, в медицине, биологии, в актуарных расчетах и т.п. В инженерных расчетах это могут быть времена отказов некоторых приборов или технических систем. В медицине такие данные могут представлять собой время до изменения некоторых биохимических показателей, время до ремиссии после определенного вида лечения или время жизни пациентов. Целью подобных исследований является установление взаимосвязи между значениями факторов (ко-вариат) и вероятностью наступления исследуемого события в течение некоторого периода времени. Наиболее популярными моделями в теории надежности являются модель ускоренных испытаний (AFT-модель) [1, 2] и модель пропорциональных интенсивностей Кокса [3]. Несмотря на рост числа серьезных публикаций, имеется множество подводных камней, связанных с построением таких моделей, с вычислением оценок параметров моделей по цензурированным данным в условиях, как правило, небольших объемов выборок, а главное, существуют проблемы с проверкой адекватности построенных моделей. Основным подходом к проверке согласия с регрессионными моделями надежности является подход, основанный на анализе распределения так называемых остатков. Гипотезу о согласии остатков с предполагаемым законом распределения можно проверить с помощью непараметрических критериев согласия, таких как критерий Колмогорова, критерий Крамера - Мизеса - Смирнова и критерий Андерсона - Дарлинга. В случае полных данных без объясняющих переменных данные критерии подробно исследовались в работах Б.Ю. Лемешко [4-12]. В [4-7, 10] построены вероятностные модели, аппроксимирующие распределения статистик непараметрических критериев относительно широкого спектра законов распределения, с которыми проверяется согласие. В теории надежности и анализе выживаемости полученные в ходе эксперимента данные, как правило, оказываются цензурированными, например, в связи с ограниченностью эксперимента по времени. Задачи проверки простых гипотез о согласии по цензурированным I и II типа данным рассмотрены в работах [13, 14]. Распределения статистик и мощность критериев типа Колмогорова, Крамера -Мизеса - Смирнова и Андерсона - Дарлинга при проверке сложной гипотезы исследованы в работе [15]. Для случайно цензурированных данных в литературе обсуждается возможность модификации непараметрических критериев, основанной на использовании вместо эмпирического распределения непараметрической оценки Каплана - Мейера [16-20]. Однако определенных результатов относительно распределений статистик модифицированных критериев не получено. Основной сложностью является то, что распределение моментов цензурирования на практике, как правило, неизвестно. Кроме того, в случае регрессионных моделей распределение моментов цензурирования может зависеть от факторов, представленных в выборке. Единственный выход видится в применении методов компьютерного моделирования и анализа статистических закономерностей. Таким образом, целью данной работы является разработка алгоритма корректного применения критериев типа Колмогорова, Крамера - Мизеса - Смирнова и Андерсона - Дарлинга по цензурированным данным для проверки адекватности AFT-модели и модели пропорциональных интенсивностей Кокса. 1. Модель пропорциональных интенсивностей Кокса и AFT-модель Пусть TX - неотрицательная случайная величина, определяющая системное событие (время работы до отказа объекта или время жизни пациента), которое зависит от вектора ковариат x = ( x1, x2,..., Xm )T . Функция выживаемости (надежности) определяется соотношением Sx (t) = P (Tx > t) = 1 - Fx (t), а кумулятивная функция риска - выражением Лx (t) = } ^x (u) du = - ln (Sx (t)). 0 Главной особенностью данных типа времени жизни является наличие цензу-рированных справа наблюдений, которые можно представить в виде (t1, X1,51), (t2, X2,52),..., (tn, xn, Sn) , где n - объем выборки, x' - вектор ковариат i-го объекта, ti - время жизни до наступления системного события или момента цензурирования, S, - индикатор цензурирования, который принимает значение 1, если наблюдение полное, и 0, если цензурированное. Существует три основных типа цензурирования. Цензурирование первого типа возникает в ситуации, когда заранее фиксируется время наблюдения за объектами. При цензурировании второго типа наблюдение за объектами прекращается по наступлению заранее определенного количества системных событий. При цензурировании третьего типа, или случайном цензурировании, времена жизни T и моменты цензурирования C принадлежат законам распределения вероятностей F (t) и FC (t) соответственно и являются независимыми. Наблюдение, соответствующее i-му объекту определяется следующим образом: ti = min(T,C), Si = 1{T < C}, i = 1,...,n . Модель пропорциональных интенсивностей, предложенная Коксом [3], определяется следующим соотношением: Лх (t;Р) = г (х;Р)-Л0 (t), (1) где р - вектор параметров регрессии, г (х; р) - неотрицательная функция от кова-риат, Л0 (t) - базовая кумулятивная функция риска. В данной работе будем рассматривать логарифмически линейную форму функции от ковариат вида г (х; Р) = exp (Р'- х). Если в (1) не вводится предположение относительно закона распределения времен жизни, модель называется полупараметрической. Если же вводится параметризация как для функции воздействий, так и для базовой кумулятивной функции риска Л0 (t;6), модель считается параметрической. Оценки неизвестных параметров модели пропорциональных интенсивностей находятся методом максимального правдоподобия. В случае полупараметрической модели максимизируют логарифм функции частичного правдоподобия [3]: ( „ Y ln (((х; Р)) = £8г ln (г (; р))- ln £ г (хj; р) В случае параметрической модели логарифмическая функция правдоподобия имеет вид ln(L(х;p,6)) = £[5, (lnг(х;p) + lnXo (t,;6))-г(х-;р)ло (t,;6)]. i=1 Модель ускоренных испытаний (Accelerated Failure Time model) или AFT-модель надежности может быть задана следующим образом: (2) ' ds ^ Ях(.) (t ) = S,lf V о г (х (s)) где S0 (t) = 1 - F0 (t) - базовая функция надежности, г (х;Р) - неотрицательная функция от воздействий. В данной работе будем рассматривать логлинейную модель вида г(х;р) = exp(Р0 +р:х). В случае, когда мы обладаем некоторой априорной информацией о законе распределения отказов, то базовая функция S0 (t) выбирается из некоторого параметрического семейства распределений, и в данном случае мы получаем параметрическую AFT-модель. Оценки параметров модели находят, максимизируя логарифм функции правдоподобия: ln L( х; р, 6) = £ (5, ln fx (ti ) + (1 -5, )Sх (t,)). i=1 Если информация о виде S0 (t) неизвестна, то мы получаем полупараметрическую модель ускоренных испытаний. Оценки параметров данной модели получают, минимизируя функцию вклада U(Р) = £5 { (t,)-х(( (ti;Р);р)}, i=1 где х (и;р) = £xj ( (и;р)) ( (и;р)} Yj ( (и;Р)) , t f (t; Р) = I г- (xj (и); р) , Y} (t) = 1{t. > t}, 0 а gj (и; p) - обратная к fj (и; p) функция по первому аргументу. 2. Проверка гипотезы о согласии по выборкам остатков После вычисления оценок неизвестных параметров необходимо проверить адекватность полученной модели. Универсальным подходом к проверке адекватности регрессионных моделей является анализ распределения остатков. Для модели пропорциональных интенсивностей Кокса рассчитывают остатки Кокса - Снелла вида [21] Z =Ло (tt )• г (хг; р). Если модель верна, остатки распределены по стандартному экспоненциальному закону. Таким образом, можно сформулировать сложную гипотезу о согласии H0 : zt ^ Exp (0,1). Для параметрической модели ускоренных испытаний остатки имеют следующий вид: Z = til г (хг; р). Если данные хорошо описываются построенной моделью, остатки должны принадлежать базовому закону распределения отказов F0 (t; 0), стандартизованному по параметру масштаба (параметр масштаба равен 1), то есть проверяемая гипотеза имеет вид H0: Zt у F0 (t; 0). Для проверки данных гипотез о принадлежности выборки остатков предполагаемому закону распределения при наличии цензурированных наблюдений можно воспользоваться модифицированными критериями согласия типа Колмогорова, Крамера - Мизеса - Смирнова и Андерсона - Дарлинга, в которых вместо эмпирической функции распределения используется непараметрическая оценка Ка-плана - Мейера [22]. Статистика критерия согласия типа Колмогорова с поправкой Большева [23] имеет вид SCK =(6nDn + 1)Wn , где Dn = sup IFn (t)- F (t)|, t t где pC - ОМП параметров, полученные по исходным данным, в которых цензурированные наблюдения рассматриваются как полные и наоборот. При проверке согласия с AFT-моделью для моделирования цензурированных наблюдений будем строить полупараметрическую AFT-модель, и непараметрическая оценка функции риска для некоторого значения ковариаты х запишется как ( /„Г 5 c\ 1Л лc (t)= z (1 -8,)mi- у zi\t, >t, -^С) V / j=1 r (х;в c Разработанный алгоритм моделирования случайно цензурированной выборки имеет следующий вид: 1 ( Vr(;в 1. Моделируются значения Ti = F0 I д/ I для модели Кокса и T = F0-1 )• r (х1;в) для AFT-модели, ^ Uniform(0,1), i = 1,...,n ; /n (n ■ ) 2. Моделируются значения Л0 =— ^Сч для модели Кокса и Л1, =-ln(n,) r (x1 ;вс) X для AFT-модели, n, ^ Uniform(0,1), i = 1,...,n ; 3. Далее вычисляются значения C,: 3.1. Для модели Кокса: обозначим через c1 < c2

Скачать электронную версию публикации