On equivalence of the analytical and geometrical definitions of mappings with an s-averaged characteristic.pdf Пусть D - область в Rn, n > 3 , и отображение f: D ^ Rn - открытое, непрерывное, дискретное, f е WП loc (D), тогда отображение f обладает п.в. в области D всеми частными производными д,/, (х) и для него определены величины KJ (х, f), KO (х, f), KJ (х,/) = inf (K (х)}, KO (х, /) = inf (Р (х)}, где точная нижняя грань берется соответственно по всем измеримым в D функциям K (х) > 1, Р (х) > 1, xеD, для которых п.в. в области D выполняются неравенства J (х, f )|< K (х)ln (f '(х)), If '(х)|n < Р (х)|J (х, f )| (см. например, [2, 6]). Рассмотрим Q = (х е Rn : a, < х, < bt, i = 1, n} - замкнутый n-мерный интервал. Будем говорить, как и в [1, 2], что отображение f: Q ^ Rm принадлежит классу ACL (или является абсолютно непрерывным на линиях), если f - абсолютно непрерывно на почти всех линейных сегментах j, параллельных координатным осям. Более точно, пусть п, (х) = х- х,е, - ортогональная проекция. Тогда множество E, всех точек х е п, ( J ), таких, что отображение t ^ f (х -1е,), не абсолютно непрерывное на интервале [a, , b,] - имеет меру Лебега тп-1 (E) = o для всех 1 < i < n. Если f - локально суммируемое ACL-отображение, тогда почти всюду в D отображение f имеет частные производные df / дх,, i, j = 1, n. Если, кроме того, каждая из этих частных производных принадлежит классу Lp (D), p > 1, для любой области D' с D , то f: D ^ Rn называют ACLp -отображением и пишут f е ACLp (D). Известно [1, теоремы 1.4, 1.5], что если f е ACLp (D), то f е Wj1, loc (D). Назовем гомеоморфизм f: D ^ D' отображением класса f e w\ (D), если f e Wl loc (D), f-1 e Wl loc (D') и обладает N, N^-свойствами. Можно считать, что якобиан J (x, f) отображения f сохраняет знак почти всюду в D (для определенности возьмем J (x, f) > o). Пусть у = f (x) - непрерывное отображение области D с Rn, U с D, через N (у, f U ) и ц (у, f U ) , как и в [7], обозначим соответственно кратность и степень отображения f в точке ye U, через dU - границу множества U. Напомним, что отображение f сохраняет ориентацию, если для любой подобласти U,U с D , и точки у e f (U)\ f (dU) - степень отображения ц (у,f U) > o [1]. Пусть X, Y - два произвольных топологических пространства, f: X ^Y - непрерывное отображение. Точка a e X называется точкой ветвления отображения f, если f не является топологическим ни в какой окрестности точки a. Совокупность точек ветвления обозначим Bf [7, 8]. Известно, что если D - открытая область и f: D ^ Rn - произвольное непрерывное дискретное отображение, тогда множество Bf нигде не плотно, dim (Bf) < n - 2 и m (Bf) = o [8]. Приведем лемму, которая нам потребуется при доказательстве основных результатов работы, используя, как и в [2], следующие обозначения. Пусть f: D ^ Rn - открытое, дискретное отображение, U с D, J (D) - семейство всех областей U, являющихся компактными подмножествами D. Область U с D назовем нормальной, если f(dU) = df(U). Согласно [2, замечание 2.8], если f: D ^ Rn , x e D и r > o, то окрестность точки x e f ~lBn (f (x), r) обозначим U (x, f, r), здесь Bn (f (x), r) - шар в Rn с центром в точке f (x) у и радиусом r. Лемма 1 [2, лемма 2.9]. Пусть f: D ^ Rn - открытое дискретное отображение. Тогда lim d (U (x, f, r )) = o для всех x e D. Если U (x, f, r )e J (D), тогда r ^o U (x, f,r) - нормальная область и f (U (x, f, r)) = Bn (f (x), r) e J (f (D)). Более того, для каждой точки x e D существует число 5X > o, такое, что при o < r < 5X выполнены следующие условия: (1) Окрестность U (x, f, r) является нормальной окрестностью точки x; (2) U (x, f,r) = U (x, f, 5x) n f lBn (f (x),r); (3) dU (x, f, r ) = U (x, f, 5 x )n f-\Sn-1 (f (x), r), если r < 5x; (4) CU (x, f, r) - связное множество; (5) CU (x, f, r)- связное множество; (6) Если o < r < s < 5X, тогда U (x, f, r )с U (x, f, s) и U (x, f, s)\U (x, f, r) -кольцо. В качестве применяемого в теории квазиконформных гомеоморфизмов обратного отображения будем использовать построенное ниже отображение h, [9]. Дадим аналитическое определение отображений с s-усредненной характеристикой [1o, 11] Определение 1. Отображение f называется отображением с KO s -усредненной характеристикой, если 1) f ^Koc (D); f EWlo (D). 2) Существует постоянная KO s > 0, такая, что выполняется неравенство ( YA Ко,S (f ) = ljKо (х, f )dах < Ko,s. VD J Определение 2. Отображение f называется отображением с К*о s -усредненной характеристикой, если 1) f еKoc (D); f eKoc (D). 2) Существует постоянная К*о s > 0, такая, что выполняется неравенство у/ s < К* . а vD J KO,s (f ) = UКО (х, f )J(х, f )dа Аналогично определяются отображения с KIs - и с K*s -усредненными характеристиками. Здесь КО (х, f), KI(х, f) - соответственно внешняя и внутренняя дилатация отображения f в точке х, d а х =---. (1+1 х2) В силу неравенств, связывающих между собой внешнюю и внутреннюю дила-тации отображения f [6, 12], отображения с КО s-, К*О s-, KIs- и с K*s -усредненными характеристиками также будем называть отображениями с s-усред-ненной характеристикой. Пусть f - отображение с s-усредненной характеристикой, f &Wlloc (D), U с D - нормальная область, хеП, y е f (U)\f (B/nU), f~l(y) = {х7}. Тогда, обобщая [9, лемма 4, часть (b)], получаем, что по лемме 1 существуют V- = U (х-, f r) окрестности точек х-, такие, что /,=fV - гомеоморфизм. Поэтому можно рас- Vj сматривать отображения h ■ : Bn (y, r) ^ U , причем f ° h- - тождественное отображение. Если hj eW1loc (Bn (y, r)) и f - отображение с s-усредненной характеристикой, то по лемме 1 и [13] существует такое r, что h- = fjl - квазиконформное в среднем отображение в шаре Bn (y, r). Множество E точек y е f (U) \ f (B/), в которых хотя бы одно из hj не дифференцируемо, содержится в борелевском множестве E0, мера Лебега которого mn (E0)=0 (см., например, [9]). Пусть D, D' - области пространства Rn. Отображение f: D ^D' называется дискретным (изолированным), если для каждого y е D' прообраз f(y) - дискретное множество, то есть состоит из изолированных точек [2]. Пусть p - борелевская функция в Rn. Так как по следствию из теоремы 1.6 [6] класс множеств, измеримых по одномерной мере Хаусдорфа (Л1-измеримых), включает в себя класс борелевских множеств, то функция N (у, y, I) и p являются Л1 -измеримыми. Тогда интеграл по кривой y от функции p определим по формуле (см., например, [14]) Jpdl = Jp(x)N(y,Y,7)dЛ1(x), (1) Y Y 1 + 1X2 где N (у, y, I ) - функция кратности (число точек t e I, таких, что y (t) = у. Если y есть кривая Жордана, то интеграл (1) совпадает с обычным интегралом ds ~ 2, определенным посредством длин частичных дуг. Это 1+ x Y Y Y * 5 I I определение отличается от аналогичного определения в [2, 6] наличием под инте- I |2 гралом множителя 1/(1 + x ). Известно [2], что если f: D ^ Rn - непрерывное, открытое, дискретное отображение и y - кривая, лежащая в D, то f(y) - тоже кривая, лежащая в f(D), и если Г - семейство кривых, то f (Г) = Г' - также семейство кривых. Определение 3. Пусть Г с Rn - некоторое семейство кривых. Функцию p: Rn ^ R1 будем называть допустимой метрикой для Г и обозначать pAT , если она неотрицательна, измерима по Борелю и J pdsx > 1 для V y e Г, где dsx= ds/(1+|x|2). Определение 4. Для произвольного p, o < p < да, определим сферический модуль порядкаp семейства кривых Г как нижнюю грань: Mp (Г) = inf Jpp (x) dax , (2) Rn где инфимум берется над классом всевозможных метрик pAГ . Далее, если потребуется, для модуля семейства кривых Mp (Г) также введем обозначение M (y, E,U); здесь y e Г, Г - семейство всевозможных кривых, соединяющих множества E и U, лежащие в области D. Если p = n, индекс n часто опускают и пишут M (Г) вместо Mn (Г). Приведем необходимые свойства модуля семейств кривых: (1) Если Г1 сГ2, то M(Г1 ) KO (x, f) > 1 почти всюду в D, и из очевидных неравенств ж > IK (x, f) | J (x, f )| d ax > I KO/(n-1) (x, f) IJ (x, f )| d a x > D D > I Ko (x, f )| J(x, f )| dax > 11 f (x)|n dax D D заключаем, что f е W^ loc (D). Покажем, что е Wn loc (D \ Bf). В самом деле, так как ж> I KS(y,frl)\J(y, f-')\day > I KO/(n-1)(y, f-l)\J(y,f-l)\day > V*\f(Bf nVt) V*\f(Bf nV0 > I KO (y, fT1)! J(y, /г1) day > I v *\ f (Bf nV;) v *\ f; (Bf П V ) и отображение f квазиконформно в среднем, след0вательн0, f е Wn, loc (D \ Bf). Поскольку АСХ^гомеоморфизмы обладают Х-свойством [7, 12], то f и f невырождено дифференцируемы в своих областях задания [1, 12], и поэтому K (y, fil) = Ko (x, f) для почти всех y = f (x). Производя во втором интеграле замену переменных [7, теорема 3, с. 364], получим ж > I K(y, frl)\J(y, f-*)\day > IKOO(x, f )dax. V*\f (Bf nV) V Для завершения доказательства теоремы остается убедиться, что условие (4) есть следствие условия (1). Из теоремы 2 [5] вытекает, что в качестве (U) следует взять ограниченную неотрицательную абсолютно непрерывную a-аддитивную функцию измеримых множеств в D, определяемую равенством n f 1 d a. dyk Ф^ (U) = JK(x, f )|J(x, f )|dax. U Аналогично из [5, следствие 1 теоремы 2] и в силу известного неравенства, связывающего характеристики отображений между собой, вытекает, что за Ys,(U') следует взять функцию, определяемую равенством Ys'(U') = J Kf(x, f )| J(x, f )| dax. U' Теорема доказана. Теоремы 1-4, доказанные для отображений с s-усредненной характеристикой, можно распространить на классы и подклассы отображений с ограниченным интегралом Дирихле, квазирегулярных [1, 2] и др., пользуясь вложениями, доказанными в работе [20]. Для негомеоморфных квазирегулярных отображений эквивалентность аналитического и метрического определений доказана в [2]; для гомеоморфных отображений с искажением, ограниченным в среднем, эквивалентность аналитического и геометрического определений доказана в работе В.И. Кругликова [3], для негомеоморфных отображений с искажением, ограниченным в среднем, - в работе А.Н. Малютиной [4]. Исходя из высокой значимости модульной техники при исследовании геометрических свойств пространственных отображений, профессор О. Мартио предложил следующую общую концепцию - теорию Q-гомеоморфизмов, основы которой были заложены, начиная с работы [22] и др., а в работе [23] концепция Q-гомеоморфизмов была распространена на отображения с ветвлением, так называемые Q-отображения. Приведем теорему об оценке модуля. Теорема 5 (об оценке модуля [11, 20]). Пусть f: D ^ Rn - отображение с K^-усредненной характеристикой. Тогда выполняется неравенство M(Г ' )

Скачать электронную версию публикации