О некоторых новых решениях многомерного уравнения в частных производных первого порядка со степенными нелинейностями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2015. № 3(35).

О некоторых новых решениях многомерного уравнения в частных производных первого порядка со степенными нелинейностями

Проведён анализ решений многомерного уравнения в частных производных первого порядка, содержащего степенные функции от производных. Для исследования данного уравнения применяется метод двухуровневого функционального разделения переменных (РП), являющийся новым вариантом метода функционального РП. В результате получены новые решения рассматриваемого уравнения в неявной форме, содержащие некоторые обобщенные полиномы от независимых переменных.

On some new solutions of the multi-dimensional first order partial differential equation with power-law non-linearities.pdf Теория нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является важной составной частью современной математической физики [1, 2]. Одним из наиболее эффективных методов решения нелинейных уравнений в частных производных является метод разделения переменных (РП) [1, 3, 4]. В работах [3, 4] подробно изложены основы метода и его современные варианты (обобщенное и функциональное РП). В настоящее время опубликовано достаточно много работ, посвященных исследованию нелинейных уравнений указанным методом. Так, в работах [5-7] методом РП исследованы некоторые многомерные уравнения в частных производных, включающие однородные и мульти-однородные функции. В [8-11] с помощью указанного метода были получены решения некоторых нелинейных уравнений эллиптического и гиперболического типов. В настоящей работе предлагается новый вариант метода - двухуровневое функциональное разделение переменных. На примере многомерного уравнения в частных производных первого порядка со степенными нелинейностями проиллюстрированы возможности метода и получены новые точные решения указанного уравнения. 1. Постановка задачи Рассмотрим следующее нелинейное уравнение в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции u(x1,...,xN): N ( du fn П (£) a) В справочнике [1, с. 402] приведен полный интеграл более общего уравнения с N правой частью вида

Ключевые слова

уравнение в частных производных, функциональное разделение переменных, степенная нелинейность, partial differential equation, functional separation of variables, power-law non-linearity

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Рахмелевич Игорь ВладимировичНижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевскогокандидат технических наук, доцент кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Института экономики и предпринимательстваigor-kitpd@yandex.ru
Всего: 1

Ссылки

Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. 260 с.
Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002. 432 с.
Полянин А.Д., Журов А.И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике // Доклады РАН. 2002. Т. 382. № 5. С. 606-611.
Рахмелевич И.В. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержащим однородные функции от производных // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 3(23). С. 37-44.
Рахмелевич И.В. Об уравнениях математической физики, содержащих мультиоднородные функции от производных // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 1(27). С. 42-50.
Рахмелевич И.В. О решениях многомерного уравнения Клеро с мультиоднородной функцией от производных // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика, механика, информатика. 2014. Т. 14. № 4-1. С. 374-381.
Рахмелевич И.В. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелинейностью по производным. // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 1(33). С. 12-19.
Miller J. (Jr.), Rubel L.A. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions // Journal of Physics A. 1993. V. 26. P. 1901-1913.
Zhdanov R.Z. Separation of variables in the non-linear wave equation // Journal of Physics A. 1994. V. 27. P. L291-L297.
Grundland A.M., infeld E. A family of non-linear Klein - Gordon equations and their solutions // Journal of Mathematical Physics. 1992. V. 33. No 7. P. 2498-2503.
 О некоторых новых решениях многомерного уравнения в частных производных первого порядка со степенными нелинейностями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2015. № 3(35).

О некоторых новых решениях многомерного уравнения в частных производных первого порядка со степенными нелинейностями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2015. № 3(35).