Об одном алгоритме вычисления оптимальных стратегий на бесконечном промежутке времени | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2017. № 47. DOI: 10.17223/19988621/47/1

Об одном алгоритме вычисления оптимальных стратегий на бесконечном промежутке времени

Рассматривается система с дискретным временем, работающая на бесконечном временном интервале, в которой имеется возможность проверки исправности включенных в работу блоков. Для данной системы описаны свойства оптимальных стратегий, полученные в предыдущих статьях автора, а также решена задача об экономичном использовании резерва. В результате построен алгоритм для вычисления оптимальной стратегии и проведено численное моделирование оптимальных стратегий.

On an algorithm for calculating optimal strategies on an infinite time interval.pdf К любому техническому устройству мы вынуждены предъявлять некоторые требования, необходимые для успешного функционирования этого устройства, такие, как безотказность, ремонтопригодность, долговечность и другие. Все эти характеристики часто объединяют в одно свойство - надежность устройства. В роли показателей надежности могут выступать вероятность безотказной работы системы, среднее время ее работы, интенсивность отказов и т.д. Для улучшения показателей надежности системы на практике часто применяют резервирование. Это может быть как резервирование всей системы, так и отдельных ее частей. Задачами оптимального резервирования занимались многие математики как в России, так и за рубежом. Пример задачи оптимального резервирования можно найти в [1]. Модели систем с управляемым резервом впервые рассматривались в работах И.Б. Герцбаха [2] и А.Л.Райкина [3]. Далее модели динамического резервирования изучались в работах [4-10], в которых показателем надежности системы преимущественно выступает вероятность безотказной работы системы на конечном промежутке. В данной работе в роли показателя надежности системы выбрано среднее время ее безотказной работы. Постановка задачи Пусть имеется система, состоящая из конечного числа параллельно включенных (в смысле надежности) идентичных элементов и функционирующая на бесконечном промежутке времени. Контроль за исправностью элементов, включенных в работу, осуществляется лишь в моменты времени t = А, 2А, 3А, ... (А > 0), когда можно подключить дополнительно исправные блоки из числа резервных или же наоборот перевести часть включенных блоков в резерв. Время на проверку и включение новых элементов из резерва считается пренебрежимо малым и в дальнейшем не учитывается. К моменту начала функционирования системы всего в наличии имеется r исправных элементов. Элементы, не включенные в работу, находятся в холодном резерве, то есть своего ресурса не расходуют. Отказ элемента, включенного в работу, не влияет на исправность остальных элементов. Введем обозначения: Sm - система, состоящая из конечного числа параллельно включенных элементов, которая работает исправно, если в работу включено не менее m исправных элементов; q - вероятность отказа одного элемента на интервале длиной A; р = 1 - q - вероятность безотказной работы одного элемента на этом же интервале длиной A. Функцию K(r), принимающую целые значения и такую, что для каждого натурального r выполнено неравенство m < K (r) < r, назовём стратегией резервирования системы. Стратегия резервирования показывает, сколько элементов необходимо включить в работу при наличии r исправных. Функционал T, заданный на множестве пар (r, K(r)) и принимающий неотрицательные значения, назовём критерием резервирования. В данной работе ограничимся случаем, когда критерием резервирования служит среднее время работы системы на бесконечном промежутке [0, +да). Стратегию, которая обращает в максимум среднее время безотказной работы системы на бесконечном промежутке, будем называть оптимальной и обозначать Ko(r). Задача состоит в нахождении такой стратегии, которая максимизирует функционал среднего времени безотказной работы системы на бесконечном промежутке времени и на основе вычисленной стратегии определить соответствующее значение среднего времени исправной работы системы. Рассмотрим следующее управление резервом: в момент начала работы системы включается в нагруженный режим к (m < к < r) исправных элементов, а после первой проверки используется стратегия, оптимальная по критерию среднего времени работы системы на бесконечном промежутке. Введем вспомогательные обозначения: T(k,r) - математическое ожидание времени работы системы, если на первом шаге включено в работу к исправных элементов, а в дальнейшем используется стратегия, оптимальная по критерию среднего времени безотказной работы системы на промежутке [0, да); T(r) - математическое ожидание времени работы системы при стратегии, оптимальной по критерию среднего времени работы системы на бесконечном промежутке, если в начальный момент имеется ровно r исправных элементов. Тогда по формуле полного математического ожидания [11] получаем к-m T(k,r) =Х Скрк-'q'T(r -i) +1. (1) i=0 Для нахождения оптимальной стратегии будем использовать уравнение (1). Кроме того, чтобы найти оптимальную стратегию с помощью вычислений более экономично, докажем некоторые свойства оптимальных стратегий. Свойства оптимальных стратегий Естественно предположить, что функции T(r) и T(k,r) являются возрастающими по переменной r. В работе [12] была выделена область выпуклости функции T(k,r) по переменной k, а именно, была доказана m +1 Теорема 1. При p >- функция T(k,r) для системы Sm имеет не более двух m+3 максимумов при фиксированном r, причем она выпукла вверх по k в области m < k < K0 (r) +1 и не возрастает при K0(r) < k < r . Следствие 1. Для любого r > 0, если T(k, r) > T(k -1, r), то k < K0 (r); если же T (k, r) < T (k -1, r), то k > K0(r). Из теоремы 1 следует, что функция T(k,r) возрастает по k до значения K0(r)+1, а затем убывает. Теорема 2. Для оптимальных стратегий при любом r > 1 выполнено Ko(r +1) < Ko(r) +1. В [13] было доказано следующее свойство оптимальных стратегий. Теорема 3. Функция K0(r) возрастает (не строго) с ростом r. Таким образом, с увеличением резерва на единицу функция K0(r) может только возрасти, но не более чем на единицу. Перейдем к задаче об экономном расходе элементов, которая была рассмотрена для случая m = 1 в [14]. Эта задача состоит в поиске для системы Sm условий оптимальности включения в работу (m+1) элементов. По определению системы Sm для любого r > m имеем K0(r) > m . Как было показано в [15], K0(m +1) > m +1. Таким образом, возникает задача, с какого момента следует экономно расходовать оставшийся резерв, а именно, при каком количестве имеющихся в наличии исправных элементов оптимальной стратегией при каждой последующей проверке будет включение (m+1) исправных элементов. Следовательно, задача сводится к поиску правой границы промежутка [m+1, r0], на котором K0(r) = m+1, причем r 0 = r0(p,m). Так как для всех r е [m +1, r0 (p, m)] выполнено K0(r) = m+1, то 1 T(r) = T(m +1, r) = £ C'm+j pm+1-'q' T(r - i) +1 = pm+2T(r) + (m +1)pmqT(r -1) +1. i=0 Отсюда для всех r е [m +1, r0 (p, m)] получаем рекуррентное соотношение для нахождения T(r): T (r) =

Ключевые слова

среднее время безотказной работы, отказ элемента, система, стратегия резервирования, оптимальная стратегия, критерий резервирования, mean time between failures, element failure, system, reliability, redundancy strategy, optimal strategy, redundancy criterion

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Губин Владимир Николаевич Томский политехнический университета; Томский государственный университет кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник кафедры высшей математики и математической физики; старший преподаватель кафедры математического анализаvovantus@sibmail.com
Всего: 1

Ссылки

Алексеев О.Г. Об одной задаче оптимального резервирования // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1967. № 1. C. 44-47.
Герцбах И.Б. Об оптимальном управлении включением резервных элементов // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1966. №5. С. 75-80.
Райкин А.Л. Маневрирование аппаратурной избыточностью в реальных системах // Труды III Всесоюзного совещания по автоматическому управлению. Одесса, 1965 г. М.: Наука, 1967. Т.5: Технические средства автоматики. С. 94.
Конев В.В. Об оптимальном включении резервных элементов // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1974. №4. С. 75-83.
Конев В.В. Об оптимальном программном включении резервных элементов // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1975. №3. С. 109-117.
Конев В.В., Овчинников А.В. Оптимальное резервирование группы однотипных элементов // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1976. №4. С. 75-84.
Пестов Г.Г., Ушакова Л.В. Исследование оптимальных стратегий в задаче динамического резервирования // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1973. № 5. С. 76-82.
Пестов Г.Г., Ушакова Л.В. Исследование оптимальных стратегий в задаче динамического резервирования // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1973. № 5. С. 69-72.
Райкин А.Л. Элементы теории надёжности технических систем. М.: Сов. радио, 1978. 280 c.
Томипенко В.А. Об одной задаче динамического резервирования // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1975. № 4. С. 93-100.
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. 5-е изд. М.: Агар, 2000. 256 с.
Губин В.Н., Пестов Г.Г. Об одном классе резервируемых устройств // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 4(30). С. 14-23.
Губин В.Н. О среднем времени безотказной работы резервированной системы // Всероссийская молодежная научная конференция «Все грани математики и механики» (Томск, 25-29 апреля 2016 г.). Томск, 2016. С. 173-180.
Губин В.Н. Об оптимальном резервировании на бесконечном промежутке // Современные проблемы науки и образования: электрон. журн. 2014. № 4. URL: http://www. science-education.ru/118-14484 (дата обращения: 05.09.2014).
Губин В.Н., Травкина В.В. Две задачи динамического резервирования // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 5(25). С. 5-12.
 Об одном алгоритме вычисления оптимальных стратегий на бесконечном промежутке времени | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2017. № 47. DOI: 10.17223/19988621/47/1

Об одном алгоритме вычисления оптимальных стратегий на бесконечном промежутке времени | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2017. № 47. DOI: 10.17223/19988621/47/1