Начально-краевая задача для однородной системы уравнений Максвелла в случае магнитодиэлектрического тела с проводящими ферромагнитными включениями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2017. № 47. DOI: 10.17223/19988621/47/3

Начально-краевая задача для однородной системы уравнений Максвелла в случае магнитодиэлектрического тела с проводящими ферромагнитными включениями

Рассматривается начально-краевая задача электродинамики для магнитоди-электрического тела, которое содержит инородные проводящие ферромагнитные включения и находится в поле мгновенно выключенного стороннего тока. Для обобщенной постановки задачи выбран определенный функциональный класс, и с помощью теоремы Хилле - Иосиды показано, что у исследуемой начально-краевой задачи в выбранном функциональном классе существует единственное решение, непрерывно зависящее от начальных условий.

An initial-boundary value problem for the uniform system of Maxwell's equations in the case of a magnetodielectric .pdf Начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла, то есть задачи электродинамики, не предполагающие сокращающуюся гармоническую зависимость поля от времени, необходимы для описания нестационарных волновых процессов. Нестационарные электромагнитные поля находят широкое применение в электротехнике, радиотехнике и неразрушающем контроле [1], поэтому начально-краевые задачи электродинамики не только представляют немалый теоретический интерес, но и имеют существенный прикладной смысл. В частности, теоретическую и практическую ценность имеет доказательство общих теорем для таких задач. Ранее широко исследовались внутренние начально-краевые задачи электродинамики для ограниченных областей; наиболее существенные результаты были получены для областей с границами класса C(2) [2, 3]. Однако для электротехники, радиотехники и неразрушающего электромагнитного контроля интерес представляют не только внутренние задачи для ограниченных или неограниченных областей, но и задачи сопряжения, при постановке которых граничные условия связывают поле внутри области с полем снаружи области. Начально-краевые задачи сопряжения исследовались, в частности, для ограниченного немагнитного проводящего тела в предположении, что граница тела должна быть поверхностью Ляпунова, электропроводность тела должна быть бесконечно гладкой функцией пространственных координат, а сторонний ток должен включаться достаточно медленно [4, 5]. При таких условиях было доказано существование классического решения начально-краевой задачи электродинамики (то есть решения, непрерывно дифференцируемого в обычном смысле). Однако наиболее общие модели рассеивающих тел должны допускать не только гладкие, но и кусочно-гладкие границы, и нарушения внутренней структуры, в общем случае, не могут быть описаны только гладкими функциями. Также исследовались начально-краевые задачи в обобщенной постановке применительно к рассеивающим телам, ограниченным кусочно-гладкими поверхностями: для проводящего неферромагнитного и ферромагнитного тела с дефектами [6, 7]; для проводящего неферромагнитного тела с инородными диэлектрическими включениями [8]. В этих задачах нестационарное поле создавалось мгновенно выключенным сторонним током. Был найден функциональный класс, в котором рассмотренные начально-краевые задачи имели единственное решение, непрерывно зависящее от начальных данных. Не менее актуально исследование начально-краевой задачи сопряжения применительно к магнитодиэлектрику, так как магнитодиэлектрические материалы нередко используются в дросселях и иных стабилизирующих устройствах, в связи с чем подвергаются воздействию нестационарных полей (в частности, при резком прерывании тока). Кроме того, с использованием нестационарных методов нераз-рушающего электромагнитного контроля (например, с помощью резко выключаемого тока) возможно целенаправленное выявление структурных нарушений магнитодиэлектриков [1]. Постановка задачи Для построения математической модели взаимодействия нестационарного электромагнитного поля и магнитодиэлектрика, имеющего структурные нарушения, представляется необходимым хотя бы краткое описание, что представляют собой магнитодиэлектрические материалы и какими могут быть недочеты при их изготовлении. Магнитодиэлектрики - это смесь затвердевшей диэлектрической массы и перемешанного с ней ферромагнитного порошка (измельченного ферромагнитного проводника). При качественном изготовлении магнитодиэлектрика перемешивание происходит равномерно и частицы ферромагнитого порошка имеют пренебрежимо малый объем, поэтому всю смесь с высокой степенью точности можно считать однородной и непроводящей (в частности, можно пренебречь тепловыми потерями, связанными с токами проводимости, которые вызывает электрическое поле в частицах ферромагнетика). Однако магнитная проницаемость частиц ферромагнитного порошка настолько высока, что смесь имеет магнитную проницаемость, существенно превосходящую 1. Нарушения внутренней структуры магнитодиэлектрика могут быть вызваны нетщательным перемешиванием диэлектрической массы и порошка; по этой причине магнитодиэлектрик становится неоднородным по своим диэлектрическим и магнитным свойствам. Кроме того, магнитодиэлектрик может оказаться некачественным из-за недостаточного измельчения ферромагнитного металла; тогда в магнитодиэлектрике появляются большие по размерам проводящие ферромагнитные включения. Области, занятые такими включениями, уже не имеют пренебрежимо малый объем и не допускают описание нулевой электропроводностью. Множество вещественных чисел будем обозначать, как обычно, R . Предположим, что в трехмерном геометрическом пространстве фиксирована прямоугольная система координат. Будем обозначать как r упорядоченный набор координат точки пространства (х, y, z) соответственно множество всех точек пространства - R3 (здесь и далее под степенью множества подразумевается соответствующее декартово произведение). Предположим, что магнитодиэлектрическое тело занимает ограниченную область QcR3; граница области Q - кусочно-гладкая поверхность. Крупные ферромагнитные включения занимают области , О2Ok с кусочно-гладкими границами. Замыкания этих областей попарно не имеют общих точек и включаются в Q : Q cQ ; Q nD j = 0 при i Ф j . Электропроводность ст не зависит от времени, равна 0 в точках пространства, внешних по отношению ко всем областям Qi. В каждой из областей Qi функция ст(r )> 0 непрерывна и может быть по непрерывности продолжена на границы Qi изнутри, оставаясь при таком продолжении положительной. Диэлектрическая проницаемость е равна 1 во внутренних точках Qt и точках, внешних по отношении к Q . В области Q \ Qt j функция е(r) > 1 - непрерывна и может быть по непрерывности продолжена на границы Qi снаружи и на границу Q изнутри, оставаясь при таких продолжениях больше 1. Магнитная проницаемость ц равна ( k 1 в точках, внешних по отношению к Q . В областях Qi и Q\(иОг- | функция ц( r) > 1 непрерывна и может быть по непрерывности продолжена на границы Qi изнутри и снаружи, а также на границу Q изнутри, оставаясь при таких продолжениях больше 1. После выключения стороннего тока электромагнитное поле в магнитодиэлек-трике и внешней среде удовлетворяет однородной системе уравнений Максвелла: дЕ 1 „ ст(г) „ - =-rot H--Е, dt е0е(г) е0е(г) (1) дН 1 W -=---- rot Е, dt ) где Е и Н - напряженности электрического и магнитного полей соответственно; е0 и ц0 - диэлектрическая и магнитная постоянные; t - время. В точках гладкости границ Q и Qt выполняются условия непрерывности касательных компонент напряженностей: Е = Е T,int T,ext > Н = Н •"T,int T,ext' где т - обозначение касательной составляющей вектора; int - обозначение предела изнутри области; ext - обозначение предела снаружи области. Электромагнитное поле в момент выключения стороннего тока t = 0 определяет начальные условия задачи: \Е (r,0) = Е0 (r), / ч / ч (3) Н(r,0) = Н0 (r). Необходимо определить функциональный класс, в котором будет поставлена начально-краевая задача (1) - (3). Пусть Lloc - множество векторных полей, локально суммируемых в R3; D - множество финитных, бесконечно дифференцируемых векторных полей; элемент объема dxdydz в трехмерном интеграле будем обозначать кратко dV . Определение 1. Поле v е Lloc называется обобщенным ротором поля u е Lloc, если для любого поля q е D выполняется равенство I u(r)rotq(r)dV = J v(r)q(r)dV . R3 R3 Доказан ряд свойств обобщенного ротора [3, 6, 8]. Обобщенный ротор определен однозначно с точностью до замены компонент на эквивалентные функции. Если у компонент векторного поля есть частные обобщенные производные по Соболеву первого порядка, то обобщенный ротор можно вычислить по обычной для ротора формуле. Однако существование обобщенных производных по Соболеву не является необходимым условием существования обобщенного ротора: например, если у функции у (r) есть обобщенные производные по Соболеву первого порядка, но нет обобщенных производных по Соболеву второго порядка, то у компонент grady (r) нет обобщенных производных по Соболеву, но обобщенный rotgrady (r) определен и равен нулевому вектору. Пространство квадратично суммируемых в R векторных полей, имеющих квадратично суммируемые в R3 обобщенные роторы, обозначается как H (rot, R3). Этим пространством наиболее естественно воспользоваться при постановке задачи. Также для постановки задачи и исследования свойств решения потребуются определения непрерывности и дифференцируемости функций одной переменной со значениями в произвольном банаховом пространстве. Определение 2. Функция w (t) со значениями в банаховом пространстве B называется непрерывной при t = a по норме B , если lim||w(t) - w(a)|| = 0 . t ^a Определение 3. Функция w (t) со значениями в банаховом пространстве B называется дифференцируемой при t = a по норме B , если существует такой w (t)-w (a) -w-_ i „ \ = о . в этом слуэлемент пространства w'( a )е B, что lim t^a t - a чае w'(a) называется производной функции w (t) в точке t = a. Многие определения, касающиеся непрерывности и дифференцируемости обычных вещественнозначных функций одной переменной, переносятся на случай непрерывности и дифференцируемости по норме B [8, 9]. Непрерывность и дифференцируемость w (t) на интервале определяется соответственно как непрерывность и дифференцируемость в каждой точке интервала. Через односторонний предел в определениях 2 и 3 можно определить одностороннюю непрерывность и одностороннюю производную функции и, как следствие, - непрерывность и дифференцируемость функции w(t) на полуинтервале и отрезке. Из определения 3 индуктивным путем выводится понятие дифференцируемости и производной любого конечного порядка, следовательно, можно определить и бесконечно дифференцируемую функцию. Путем комбинированного использования определений 2 и 3 можно определить непрерывную дифференцируемость любого конечного по- --w'(a) рядка. Как и в случае вещественнозначных функций одной переменной, из дифференцируемое™ w (t) следует непрерывность w (t). Будем предполагать, что в начальных условиях (3) E0,Н0 е H(rot,R3). Также предположим, что в начальный момент времени индукция магнитного поля цН0 удовлетворяет условию соленоидальности: div(ц(r)Н0 (r )) = 0 (производные в дивергенции, в общем случае, следует понимать как производные в классе обобщенных функций-распределений). Как и для ранее рассматривавшихся начально-краевых задач [5-7], можно доказать, что из соленоидальности индукции магнитного поля в начальный момент времени вытекает ее соленоидальность во все последующие моменты времени. От решения задачи (1) - (3) потребуем, чтобы в любой момент времени t > 0 поля E (r, t) и Н (r, t) как функции пространственных координат принадлежали H (rot,R3). Кроме того, потребуем, чтобы E (r, t) и Н (r, t) были дифференцируемы по времени на полуинтервале t > 0 по норме L2 (R3) (L2 - обозначение пространства векторных полей, квадратично суммируемых на множестве, указанном в скобках после L2; норма любого поля w е L2 , то есть, среднеквадратичная норма - ||w|| 2 = у J |u (r )| dV , где интеграл берется по множеству, указанному в скобках после L2). Покажем, что решение в выбранном функциональном классе (то есть удовлетворяющее поставленным условиям) существует, определяется однозначно и зависит от начальных данных непрерывно по среднеквадратичной норме. Существование и единственность решения Исследование начально-краевой задачи (1) - (3) сопряжено с исследованием свойств линейного дифференциального оператора, определяющего правую часть системы (1). Этот дифференциальный оператор, который мы обозначим как A , действует на упорядоченную пару векторных полей (u, v) е (H(rot,R3)) по следующей формуле: A (u;v) = \-^rotv--u;--^-rotu). (4) le0e(r) e0e(r) ) ) Из определения обобщенного ротора, свойств кусочной непрерывности функций а(r), е(r) и ц(r), а также из неравенств е(r)> 1 и ц(r)> 1 следует, что область значений A включается в (l2 (r3 ) . Обозначим через H' пространство векторных полей, непрерывно дифференцируемых и квадратично суммируемых в R3 вместе со своими роторами. Обозначим как K пространство векторных полей, обладающих следующими свойствами. Эти векторные поля непрерывно дифференцируемы в областях Ц, в области Г k - ^ 3 - Q \ I I и в области R \ Q, а также допускают непрерывные продолжения вместе со своими производными первого порядка на границы Q и на границу Q изнутри и снаружи областей. Кроме того, поля K удовлетворяют граничным условиям вида (2) на границах Qi и Q , а также квадратично суммируемы вместе со своими роторами в R3. Ранее был доказан ряд свойств H (rot,R3), H' и K [6, 8]. Теорема 1. H' c K c H (rot, R3) c L2 (R3), причем H' - плотное подпространство L2 (R3) . Теорема 2. Если последовательность un e H (rot, R3) сходится по норме L2 (R3) к u e L2 (R3) и при этом rot un сходится по норме L2 (R3) к v e L2 (R3), то u e H (rot,R3) и rot u = v . Теорема 3. Для любого векторного поля u e H (rot, R3) существует такая последовательность u„ e H', что u„ сходится к u и rot u„ сходится к rot u по L2 (R3). норме L2 I''3 Из теоремы 1 вытекает, что область определения оператора A - плотная в (l2 (r3 )) . Обозначим как A' линейный оператор, действующий подобно оператору A по формуле (4), но на меньшем пространстве K2. Теорема 4. Оператор A является минимальным замкнутым расширением оператора A'. Доказательство. Предположим, что последовательность (un;vn)e(H(rot,R3)) при n ^ +оо сходится по среднеквадратичной норме к паре (u;v) и при этом A (un ;vn ) = (fn; gn) сходится к некоторой паре (f; g). Тогда, в силу кусочной непрерывности и ограниченности ст(r), e(r) и -(r), последовательность (rotwn;rotvn ) = (--0-gn;e0efn + aun) сходится по среднеквадратичной норме к (--0-g; e0ef + ctu ). Следовательно, по теореме 2, (u;v)e(H (rot ,R3)) (то есть, (u;v) входит в область определения A ), причем rot u = -|0Mg и rotv = e0ef + ctu . Кроме того, л/ ч Г 1 СТ 1 ^ A(u;v) = I-rotv--u;--rotu I = l^e e0e I0I ) ~_(80ef+ctu u; -1-(-i0ig) I = (f; g). e0e e0e -0- ) Следовательно, A замкнут. В силу теорем 1 и 3, для любой пары (u;v) е (н(rot,R3)) существует такая последовательность (ип ;vn )е K2 , что (ип ;vn) сходится по среднеквадратичной норме к (u;v) и при этом последовательность (rot un; rotvn) сходится по среднеквадратичной норме к (rot и; rot v). Тогда последовательность ^ ( 1 1 1 A (un ;vn ) = l-rotvn--un;--rotun I, в силу кусочной непрерывности и 1еое еое КоК J ограниченности ст(r), 1/е(r) и 1/ц(r), сходится к | -4-rotv -- и; -- rotи|, 1ео S 8ое КоК J то есть к A (u;v). Следовательно, A' для замкнутости следует доопределить, как минимум, до оператора A . Теорема доказана. Теоремы 1 и 4 обосновывают выбор функционального пространства для задачи (1) - (3): в определении пространства K учтены граничные условия (2), а теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве доказаны исключительно для замкнутых операторов [9, 1о]. Теорема 5. Для любой упорядоченной пары ( f; g) е (L2 (r3 )) и для любого p > о уравнение A (u;v)- p(u;v) = (f;g) имеет в пространстве (н(rot, R3)) единственное решение, причем это решение удовлетворяет неравенству АМ ^HI 2о|| ^Н I2 - p Vе» II I2+цо| 12. (5) Доказательство. Рассматриваемое уравнение с параметром p > о в подробной покомпонентной форме имеет следующий вид: 1 ♦ a(r) f( ) -rotv--и - pu = J (r), еое (r) 4e(r) (6) --Vrrota - pv = g (r). Умножим первое уравнение системы (6) на еое(r) и, второе уравнение на цоц(r) v , затем уравнения сложим и проинтегрируем сумму по R3: | (и(r)rotv(r)-v(r)rat«(r))dV-боpf^!2-коp\>fevl2-X jCT(r)lи(r)2 dV = R3 i=1 Ц = ео | s(r) f (r)и(r)dV + цо | K(r)g(r)v(r)dV . (7) R3 R3 Для (и^)е(н(rot,R3)) | (и(r)rotv(r)-v(r)rotw(r))dV = о [5, 7]. Тогда, R3 в силу неположительности левой части (7), а также в силу неравенства Коши -Буняковского для сумм и интегралов ео Р\Щ 2р№\2+£ Iст(г)u (r ^2 dV= i=1 Q, 6о I e(r) f (r )u (r )dV + Цо I |(r) g (r )v (r )dV M ^Hl J Щ L+*>! >HI J ^ lgll 2 = =V^^I^HL ■ V^IK6./112+^v||2 ■ 2 ^ ^ о|| ^Hl 2 + *>||>HI2 ^оЦ^fl I2 + *> ЬН 2- Следовательно, в силу положительности ст( r), еор|Н2+*>2 ^ео|^uf2+^о||2 4oFf| 12+^o|m\2 - (8) Тогда неравенство (5) вытекает из неравенства (8) делением на p^бо ||>/6u||2 + |о ||V|v|I2 . Таким образом, доказано выполнение неравенства (5) для любого решения (u;v) е (н(rot,R3)) системы (6). Заметим, что из неравенства (5) вытекает единственность решения системы (6): при f (r ) = 0 и g (r ) = 0 (0 - обозначение нулевого вектора) из неравенства (5) следует, что поля u и v могут быть только нулевыми; а существование не более, чем тривиального, решения однородной системы означает единственность решения системы (6) при любой правой части. Теперь докажем существование решения системы (6) в пространстве (H (rot,R3) . Для этого воспользуемся следующей системой интегродифференциальных уравнений [1]: ( \ I G(p,r,r')|(r')g(r')dV'+рIG(p,r,r')(|(r')-1)v(r')dV' Q 0 и любых правых частях /,g е L2 (R3). Теорема доказана. Обозначим как I тождественный оператор. Из доказанной теоремы непосредственно следует, что (( - p/) определен на всем пространстве (L2 (R3 ))2. Заметим, что, в силу неравенств 1

Ключевые слова

начально-краевая задача, уравнения Максвелла, интегро-дифференциальные уравнения, замкнутый оператор, теорема Хилле -Иосиды, initial-boundary value problem, Maxwell's equations, integro-differential equations, closed operator, Hille-Yosida theorem

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Марвин Сергей ВладимировичУральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцинакандидат физико-математических наук, докторант; доцент департамента информационных технологий и автоматики Института радиоэлектроники и информационных технологий - РтФs.v.marvin@yandex.ru
Всего: 1

Ссылки

Дякин В.В., Сандовский В.А. Задачи электродинамики в неразрушающем контроле. Екатеринбург: Институт физики металлов, 2008. 390 с.
Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.
Калинин А.В. Математические задачи физической диагностики. Корректность задач электромагнитной теории в стационарном и квазистационарном приближении. Нижний Новгород: ННГУ, 2007. 121 с.
Дякин В.В., Марвин С.В. Начально-краевая задача и интегродифференциальные уравнения электродинамики для неоднородного проводящего тела // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. № 2. С. 288-296.
Марвин С.В., Дякин В.В. Нестационарная краевая задача электродинамики для немагнитного проводящего образца // Электричество. 2008. № 12. С. 30-36.
Марвин С.В. Существование и единственность решения начально-краевой задачи для однородной системы уравнений Максвелла в случае неферромагнитного дефектного металлического тела // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2016. № 1. С. 105-117.
Марвин С.В. Начально-краевая задача электромагнитного контроля дефектного ферромагнитного проводника остаточным полем мгновенно выключенного стороннего тока // Дефектоскопия. 2016. № 11. С. 27-38.
Марвин С.В. Начально-краевая задача структуроскопии неферромагнитного металлического тела с инородными диэлектрическими включениями остаточным полем мгновенно выключенного стороннего тока // Дефектоскопия. 2016. № 2. С. 42-54.
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 394 с.
Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.
 Начально-краевая задача для однородной системы уравнений Максвелла в случае магнитодиэлектрического тела с проводящими ферромагнитными включениями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2017. № 47. DOI: 10.17223/19988621/47/3

Начально-краевая задача для однородной системы уравнений Максвелла в случае магнитодиэлектрического тела с проводящими ферромагнитными включениями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2017. № 47. DOI: 10.17223/19988621/47/3