О множестве K3(G) элементов конечных групп, коммутирующих ровно с тремя элементами группы | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/1

О множестве K3(G) элементов конечных групп, коммутирующих ровно с тремя элементами группы

Рассмотрены свойства множества K3(G), состоящего из элементов третьего порядка, каждый из которых перестановочен ровно с тремя элементами группы. В частности, из полученных результатов следует, что все инволюции конечной простой неабелевой группы G с непустым множеством K3(G) образуют один класс сопряжённых элементов (этот факт был сформулирован в [3] в качестве упражнения)

On the set K3(G) of finite groups elements commuting exactly with three elements.pdf Как известно, при доказательстве классификационной теоремы конечных простых групп важную роль сыграло исследование свойств централизатора инволюций [1, с. 10] В [2] изучены некоторые свойства конечных групп, каждая инволюция которых обладает двухэлементным централизатором. В настоящей работе рассматриваются конечные группы, в которых существуют элементы порядка 3, перестановочные ровно с тремя элементами группы. Множество всех таких элементов группы G обозначено K3(G). В частности показано, что в каждой конечной простой неабелевой группе с непустым множеством K3(G) все инволюции образуют один класс сопряженных элементов [3]. 1. О мощности множества K3(G) Пусть G - произвольная конечная мультипликативная группа, |G| = n. Обозначим через K3(G) множество {x е G | х Ф е, |CG(x)| = 3}. Другими словами, элемент х Ф е принадлежит K3(G) тогда и только тогда, когда он перестановочен ровно с тремя элементами группы G. Так как централизатор CG(g) является подгруппой группы G, то K3(G) = {x е G | CG(x) = {e, x, x2}}. Очевидно, что для абелевой группы G множество K3(G) не пусто в точности тогда, когда G - циклическая группа третьего порядка. Поэтому, в дальнейшем, будем считать, что группа G неабелева. Из определения K3(G) непосредственно вытекает, что: A) если х е K3(G), то порядок этого элемента равен трём: о(х) = 3; B) если х е K3(G), то х2 е K3(G). Рассмотрим некоторые свойства множества K3(G). Предложение 1. Если K3(G) не пусто, то |G| делится на 3 и не делится на 9. Доказательство. Справедливость утверждения вытекает непосредственно из теоремы Силова [4, с. 99] и свойства коммутативности группы порядка р2 [5, с. 63]. # Предложение 2. Множество K3(G) является инвариантным подмножеством G, то есть если х е K3(G), то x® е K3(G) для каждого g е G. Доказательство. Воспользуемся известным равенством: VGX ^Gg CG(X®) = (CG(X))®. Пусть х е K3(G); Тогда а е Cg(x®) » а е {e, х, х2}® » а е {e, x®, (х®)2}.# Предложение 3. Пусть K3(G) ф 0, х е G и о(х) = 3. Тогда х е K3(G). Доказательство. Согласно предложению 1, (х) - силовская 3-подгруппа группы G. Из теоремы Силова следует, что для каждого к е K3(G) подгруппы (х) и (к) сопряжены в G. Осталось применить предложение 2. # Предложение 4. Пусть |G| = n; K3(G) ф 0. Тогда |K3 (G)| е {n; ^}. Доказательство. Пусть х е K3(G). Так как |G| = |Cg(x)|-|xg| = 3• |xg| = n, то IG| n х =- . Заметим, что е £ K3(G). 1 3 Следовательно, существует не более двух классов сопряжённых друг другу элементов группы G, каждый из которых (в силу предложения 2) является элементом K3(G). Таким образом, в силу непустоты множества K3(G), получаем, что|K3(G)| е{3; . # (ag)2 = ga2ag = g2. Лемма 5. Пусть а, g е G, o(a) = 3; g lag = a2. Тогда o(g): 2. Доказательство. Пусть o(g) = 2k + 1. Так как по условию ag = ga2, то Следовательно, o((ag)2) = o(g2) = = 2к + 1. (2к +1; 2) Отсюда, ((ag)2)2M = (ag)4k+2 = e. (*) С другой стороны, (ag)2k+1 = ((ag)2)kga2 = (g2)kga2 = a2. Следовательно, (ag)4k+2 = а. Получили противоречие с (*). Значит, o( g): 2. # Предложение 6. 1) Пусть o^) = 3 и g~lag = a2. Тогда | G |:6. 2| g | 2) Если порядок G нечётен, то либо K3(G) пусто, либо |K3 (G)| = -^^. Доказательство. Справедливость утверждения 1) непосредственно вытекает из леммы 5. 2) Пусть |G| = 2m + 1 и K3(G) ф 0. Тогда У а е K3(G) yGg (ag Ф a2), то есть в G существует ровно 2 класса сопряжённых элементов множества K3(G). Согласно 2| g | предложению 4, |K3 (G)| = -3-. # Рассмотрим несколько примеров множеств K3(G) в различных группах. 1) Sn, n > 2. Если n > 6, то |Sn|: 9. Согласно предложению 1, для указанных групп K3(Sn) = 0. Пусть n = 3. Так как в Sn каждые две подстановки сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое циклическое строение [5, с. 66], то [(123)]3 = {(123), (132)}. Следовательно, |CS3 (123)| = 6 = 3 . Таким образом, K3(S3) = {(123), (132)}, |K3(S3)| = ^ . Рассмотрим группы S4 и S5. Очевидно, множество Х всех элементов третьего порядка в каждой из них есть множество всех трёхчленных циклов. Для n = 4 4 • 3 • 2 \X\ = --- = 8. Каждые два элемента из множества Х сопряжены. Следовательно, IS | У а е Х (а) = 3. Таким образом, K3(S4) = Х, |K3 (S4)| = . Аналогично, в S5 У а е Х \CSs (а) = 6 , то есть K3(S5) = 0. 2) Покажем, что K3(An) Ф 0 » n е {3, 4, 5}. Так как при n > 5 An|: 9, то согласно предложению 1, для соответствующих групп K3(An) = 0. При n = 3 имеем 2| А | K3(A3) = K3(S3), так как A3 - абелева; |K3 (А3)| = . При n = 4 имеем 2| А | K3(S4) с А4 и, следовательно, K3(A4) = K3(S4); |K3 (А4)| = -^. Рассмотрим, наконец, А5. Пусть а = (аРу) - произвольный трёхчленный цикл. Очевидно, С5(а) = {e, a, a2, c, ac, a2c}, где с - двучленный цикл, не пересекающийся с а. Так как с, ас, а2с - нечётные подстановки, то СА_ (а) = {e, a, a2}. Следовательно, K3(A5) - множество всех трёхчленных циклов, то есть |K3( А5) = 20 = 3) Рассмотрим диэдральную группу D2n, где D2n = {(a, e) | a е Cn, e = ±1}, n > 3 [6, с. 31] и (ab Si)^(a2, e2) = (а^1, gjE2) . Пусть Х = {(a, e) | o((a, e)) = 3}. Легко видеть, что (a, e) е Х» o(a) = 3 и e = 1. Однако Vg е Cn (g, 1)^(a, 1) = (ga, 1) = (ag, 1) = (a, 1)-(g, 1). Отсюда следует, что в каждой группе D2n, n > 4, множество K3(D2n) пусто. Заметим, что D6 = S3. 4) Пусть G - конечная нильпотентная группа, |G| = 3"1 p^2...Pak, к> 1. Тогда согласно теореме Бернсайда - Виланда [4, с. 155], G = Н1 х Н2 х ... х Ик, где Hj - соответствующие силовские подгруппы. a) Если а1 > 1, то согласно предложению 1, K3(G) = 0. b) Пусть а1 = 1, х е G, o(x) = 3. Так как в каждой нильпотентной группе любая нетривиальная нормальная подгруппа имеет нетривиальное пересечение с центром [4, с. 148], то Hi с Z(G). Так как Z(G) п И2 Ф {e}, то И1 Ф Z(G). Следовательно, х g k3(G). Таким образом, в каждой конечной нильпотентной группе G, отличной от циклической группы третьего порядка, множество K3(G) является пустым. 5) Приведём пример семейства разрешимых групп, в каждой из которых множество K3(G) не пусто. Пусть q - простое число, q = 1 (mod 3). Рассмотрим группу (Zq , •). Так как | Zq | = q - 1, то существует элемент r' е Zq, такой, что o(r') = 3. Следовательно, существует элемент r е N, такой, что r3 ф 1 (mod q) л r Ф 1 (mod q) (1) Пусть G = {aubv | u е {0, 1, 2}, v е 0, q -1}. Воспользуемся следующей бинарной алгебраической операцией на G [5, с. 61]: au1 bv1 au2 bv2 = au1 +u2 b^ +v2). (2) Непосредственно проверяется, что (G, • ) - неабелева группа порядка 3q, в которой 0,0 ! uuv\-1 e = a b , lab I = i a0b0 laubv\ 1 = a3-ub-( r3-uv). 2 • 3q Покажем, что в построенной группе |K3(G)| = -3-= 2q. Согласно предложению 6, достаточно убедиться, что а е K3(G). Пусть ш v ui v а - a b = a b ■ а. Отсюда au+lbv = au+1bvr, то есть v(r - 1) : q. Так как r Ф 1(mod q), то v = 0. Следовательно, CG(a) = {e, a, a2}, то есть а е K3(G). Таким образом, G - разрешимая группа, не являющаяся нильпотентной. Так, например, пусть q = 7. Тогда r = 2, |G| = 21. G = {aubv | u е {0, 1, 2}, v е 0Тб }. au1 bv1 • au2bv2 = au1+u2b^-2"2 +v2). Непосредственные в^гчисления показывают, что K3(G) = {ab" | i е 0Гб } u {a2b" | i е 0Гб }. 2. О сопряжённости инволюций в конечных простых группах с непустым множеством K3(G) Обратимся теперь к простым группам. Нашей целью является доказательство следующего утверждения. Теорема 7. Пусть G - конечная простая группа, |G| = n, K3(G) Ф 0. Тогда все инволюции G образуют один класс сопряжённых элементов. Постановка задачи взята в [3, с. 81]. Доказательство теоремы опирается на следующее утверждение, доказанное в [3, с. 80]: Пусть G - конечная простая группа и А - подгруппа нечётного порядка, такая, что: 1) Vg е G \ Ng(A) (A n Ag = {e}); 2) Ng{A) = 04 (/'*)) x В, где (|Л|, |5|) = 1, У* - инволюция, инвертирующая каждый элемент из А (говорят, что элемент х группы G инвертирует элемент у, если х-ух = У"1). Тогда каждая инволюция i е G сопряжена с некоторой инволюцией из множества i В. Приведём также формулировку теоремы Бернсайда [5, с. 227]. Теорема 8 (Бернсайда). Если силовская подгруппа Р конечной группы G содержится в центре своего нормализатора, то группа G обладает таким нормальным делителем Н, что в качестве представителей смежных классов по Н можно выбрать элементы группы Р. Обратимся к доказательству теоремы 7. Доказательство (теоремы 7). Пусть к е K3(G) и A = (к). Убедимся, что А удовлетворяет 1) и 2), причём подгруппа В из равенства 2) оказывается единичной. а) Так как о(к) = 3, то VGg (g г Ng(A) ^ g-lAg n A = {в}), то есть условие 1) выполнено. b1) Пусть Н = Ng(A). Докажем, что Н ФА. Действительно, согласно предложению 1, группа А является силовской подгруппой группы G. Если Н = А, то А содержится в центре своего нормализатора. n Согласно теореме 8, группа G обладает нормальным делителем порядка -, что противоречит свойству простоты группы G. b2) Покажем, что |Н|: 2 и каждая инволюция из Н инвертирует все элементы из А. Пусть g е H \ A. Тогда, согласно определению K3(G), gkg1 = к-1, g-'fg = (к2)-1. (3) Согласно лемме 5, |H| : 2. Кроме того, согласно (3), каждая инволюция i из Н инвертирует все элементы А. Пусть i - одна из них. ЬЗ) Пусть L =А ■ (У*). Покажем, что L =А >- (У*). Так как L = А ■ (f) = (i*) • А, то L < H. Так как А < L, A n (f) = {e}, то L =A >- (У*), \L\ = 6. Следовательно, из некоммутативности этой группы получаем L = S3. Согласно теореме Гёльдера [7, с. 82], L - совершенная группа. b4) Убедимся, что Н = L х CH(L). Согласно свойству совершенных групп [7, с. 268], достаточно показать, что L < H. * * * о Заметим, что множество всех инволюций группы Н есть {i , i k, i к]. Действительно, согласно (3) все указанные элементы являются инволюциями группы Н. Пусть i е H, o(i) = 2. Тогда из (3) iki = i ki , то есть (i i)k = k(i i), отсюда i i е А, то есть i е {i , i k, i k2}. Учитывая, наконец, тот факт, что А < Н, получаем VH h VL l QTllh = hTla(i')mh = a1i1), где а1 е А, i1 е L. Таким образом, L < H. b5) Покажем, что CH(L) = {e}. Пусть x е CH(L). Тогда xk = kx и xi = i x. Следовательно, х = е. Таким образом, = (А Ь

Ключевые слова

группа, инволюция, центр группы, нормальный делитель, group, involution, center of a group, normal subgroup

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Забарина Анна Ивановна Томский государственный педагогический университет кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, теории и методики обучения математике физико-математического факультетаaizabarina@gmail.com
Фомина Елена Анатольевна Томский государственный педагогический университет кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, теории и методики обучения математике физико-математического факультетаef254@mail.ru
Всего: 2

Ссылки

Горенстейн Д. Конечные простые группы: введение в их классификацию. М.: Мир, 1985. 352 с.
Забарина А.И., Гусельникова У.А., Фомина Е.А. О коммутирующих элементах группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 6(38). С. 27-32. DOI 10.17223/19988621/38/3.
Белоногов В.А., Фомин А.Н. Матричные представления в теории конечных групп. М.: Наука, 1976. 126 с.
Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.
Холя М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962. 468 с.
Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 240 с.
Курош А.Г. Теория групп. М.: Физматлит, 1967. 808 с.
 О множестве K<sub>3</sub>(G) элементов конечных групп, коммутирующих ровно с тремя элементами группы | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/1

О множестве K3(G) элементов конечных групп, коммутирующих ровно с тремя элементами группы | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/1