Структура интегралов второго дифференциального уравнения Левнера - Куфарева в частном случае | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/2

Структура интегралов второго дифференциального уравнения Левнера - Куфарева в частном случае

В геометрической теории функций комплексного переменного наряду с различными общими проблемами рассматриваются многие частные, являющиеся предметом исследования в настоящее время. Авторы исследуют специальные дифференциальные уравнения, результаты сформулированы в виде теорем, утверждений, лемм, в которых отмечены структурные составляющие интегралов рассматриваемых дифференциальных уравнений.

The structure of integrals of the second Loewner - Kufarev differential equation in a particular case.pdf 1. Классы функций. Формула И.Е. Базилевича. Леммы 1.1. Классы функций Введем следующие классы функций: C - множество функций p(z),p(0) Ф 0 , регулярных в E = {z :| z |< 1} и отображающих единичный круг E на область, расположенную в правой полуплоскости, то есть удовлетворяющих условию Re[p(z)] > 0 в E ; P - множество функций p(z) e C и удовлетворяющих условию p(0) = 1; C(T) - множество функций p(z, t), регулярных в E, непрерывных в T = {t: 0 < t < и принадлежащих классу C при каждом фиксированном t e T; S - множество функций f (z), f (0) = 0, f '(0) = 1, регулярных и однолистных в E; S* - множество функций f (z) класса S, отображающих круг E на звездообразную область, являющихся решением дифференциального уравнения zf'( z ) = p(z) e P f (z) и представимых в E в виде ] ( p( z )-1) -f (z) = ze° z ; S0 - множество функций ф(z) e S , отображающих круг E на выпуклую область, являющихся решением дифференциального уравнения 1 + i^z) = p(z) e P ф'(z) и представимых в E в виде z I (P(zH)y ф(I) =1 e0 z dz. 0 Заметим, что функции f (z) e S* и функции ф(z) e S0 связаны равенством f ( z ) = !ф '( z ). В теории однолистных функций хорошо известно первое = - f (z, t) p( f, t) (1.1) dt dF (z, t) z и второе dF g t) = p( z, t) (1.2) dt дифференциальные уравнения Левнера - Куфарева, где p(s, t) e C(T), s e E, t e T, обобщающие соответствующее уравнение Левнера [1 - 4]. 1.2. Формула И. Е. Базилевича При рассмотрении первого дифференциального уравнения Левнера - Куфарева (1.1) в частном случае И.Е. Базилевич вывел формулу, которую оформим в виде теоремы. Теорема 1: Пусть функции pj (z), p2 (z) e C . Тогда функция f (z) = (a b( z) )pW, (1.3) где a = Р^Ш, b(z) = \p^z)zp2(0)-1v(z)dz, (1.4) p:(0) 0 z dz I ( p2( z )- p2(0))- v(z) = e0 z , (1.5) регулярна и однолистна в E, если под f (z) понимать ту ветвь многозначной функции, которая имеет разложение f (z) = z + c2z2 + ... . Функция f (z) в (1.3), при обозначениях (1.4), (1.5), включает известные функции: звездообразные, выпуклые, спиралеобразные, почти-выпуклые, класс функций с ограниченным вращением. Напомним, что данную формулу И.Е. Базилевич получил в результате применения первой формулы Левнера - Куфарева (1.1) [1 - 4]. 1.3. Леммы Сформулируем и докажем следующую лемму: Лемма 1. Пусть функции p1 (z), p2 (z) е C . Тогда имеют место эквивалентные соотношения a1 (z) a2 (z) a1(z) + ta2(z) Ф 0, t + Ф 0, t-^ +1Ф 0 (1.6) a2( z) a1( z) в E при любом t > 0, где a2( z) = zp2(0)v( z). (1.7) Функция v( z) имеет вид (1.5), а a1( z) определяется по формуле a1(z) = Jp1(z)z~la2(z)dz = Jp1(z)zP2(0)-1v(z)dz = b(z). (1.8) Доказательство. В отличие от И.Е. Базилевича к функции (1.3) можно прийти при применении второго уравнения Левнера - Куфарева. Действительно, относительно функции F (z, t) = (( z) + ta2( z) )|0 (1.9) составим отношение вида zF_z_ = za1(z1 + tza2iz1 ^ Ft a2( z) a2( z) zF или -f- = P1(z) + tp2(z), P1(z), p2(z) е C, (1.11) za^ (z) где P1( z) =-^f, (1.12) a2( z) za2(z) P2( z) (1.13) a2( z) Из (1.12), (1.13) находим a2(z) вида (1.7) и a1(z) в виде (1.8) при обозначениях (1.5), (1.7). Дифференциальное уравнение (1.10) или (1.11) является дифференциальным уравнением Левнера - Куфарева второго типа вида (1.2). Функция w ч F(z,t) 0 ф(z, t) = v ' ' е S _z (0,t) при каждом a2(z), при этом ф(z,да) е S*, а ф(z,0) является функцией И.Е. Базилевича (1.3) - (1.5). Из регулярности и однолистности в E при каждом a2 (z) функций ф(z, t) и F(z, t), t е [0, в (1.9), с учетом (1.10) - (1.13), (1.5) - (1.8) следуют неравенства (1.6). Лемма 1 доказана. З а м е ч а н и е 1. Неравенства (1.6) можно установить другими способами без рассмотрения второго дифференциального уравнения (1.2) в виде (1.11). Следствие леммы 1. Пусть p1 (z), p2 (z) е С . Тогда в E z f p1( z) zP2(0)-1v( z )dz A( z) = Ol^l = о--^ o. a2( z) zp2(0)v( z) Пусть k1 (z), k2 (z), k(z) = k1 (z) • k2 (z) регулярные в E функции и таковы, что A(z) = к(z) = k1(z) • k2(z). Очевидно, что существует множество пар h1(z),h2(z),h(z) = h1(z)• h2(z), таковых, что выполняется соотношение k(z) = k1 (z) • k2 (z) = h(z) = h1 (z) • h2 (z) = A(z). В дальнейшем считаем, что k1 (z), k2 (z) е С и таковы, что выполняется вышеуказанное соотношение. В этом случае при фиксированном k1 (z) имеем k2(z) = . k1(z) Лемма 2. Пусть k1 (z), k2 (z) е С, k(z) = k1 (z) • k2 (z). Тогда функции = WtlMO; (1.14) 1 t + k (z) k1( z )t2 + k2( z )t + k1( z) + k2( z) e2(^t) =-- (1.15) t + k (z) принадлежат классу C(t) в E при всех t > 0 . Доказательство. Умножив числитель и знаменатель в правой части (1.14), (1.15) на t + k, непосредственно убедимся, что Re[e; (z, t)] > 0 в E при любых t > 0, /'=1, 2. Например, в случае e1(z, t) в (1.14) имеем e (z t) = k1t2 +1k +|kj2 • k2) + k1 |k2|2 1 , |t + k (z)|2 . Откуда следует, что Re[e1(ztt)] > 0 в E при каждом t > 0, что означает, по определению, что e1(z,t) е C(T). Лемма 2 доказана. З а м е ч а н и е 2. Из (1.10) - (1.13) можно видеть, что в случае линейных правых частей (1.10), (1.11) установить соответствие между ними не представляет проблемы. Однако при рассмотрении в следующем параграфе нелинейных правых частей задача построения правой части с положительной вещественной частью в общем случае представляет трудность. Применение вышеизложенных лемм способствует облегчению проблем. - v b2(z)t2 +bl(z)t + b0(z) ^ 2. Уравнение вида -г = --1--- в пространстве (С. 1 F; dx(z)t + d0(z) 1 1 Второе дифференциальное уравнение Левнера - Куфарева ZFz - P (7\t + р1(Z)t + p0(Z} z е E t е T - rn m) -ZT = P2(z)t +--'z е E ,t е T - rn,®b Ft t + Pn( z) с основной нелинейной составляющей вида g(z, t) - ect • (at + b) Теорема 2. Пусть 1) Po = Po (z), Pi = Pi (z), P2 = P2 (z) принадлежат классу С; 2) функция c=c(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению zc'( z) = P2 (z) е C (2.1) c( z) и представима в Е в виде z dz (0) f(P2(z)-P2(0))dZ c(z) = zP2 • e0 z , z е E ; (.2) 3) функция a(z) представима в Е в виде Jc(z> P1(z)- a(z) = c(z) • e0 z ; (2.3) 4) функция b(z) представима в Е в виде z dz b(z) = J c(z) • a(z) • Po( z)-; (2.4) 0 z 5) функции p0 (z), p1 (z), p2 (z) удовлетворяют соотношению ( p A p za' 1 ( za' zc' A z| - I + -----1---) = c • Po. (2.5) V P0) P0 a c V a c ) Тогда функция F(z,t) = (g(z,t))2P2(0) = (ect • (at + b))P2(0) = c1(t)z + c2(t)z2 +... (2.6) удовлетворяет уравнению Левнера - Куфарева вида F = P2(z)t + p1(z)t + po(z), z е E, t е T = [0,«,). (2.7) F P2() t+^ ' , [, ) ( ; P0( z) Доказательство. Применительно к функции F(z,t) в (2.6) составим отношение zFz z(g (z, t)) z zac't2 + t(zbc' + za') + zb' (2.8) Ft (g (z, t))' act + bc + a Уравнение (2.1) является уравнением с разделяющими переменными, решением которого является функция c(z) вида (2.2). Делением числителя на знаменатель в правой части (2.8), используя (2.1) и полагая bc+a = pL (2.9) ac p0 zbc' + za' - p2(bc + a) = (210) = p1, (2.10) ac - = pg, (2.11) ac перепишем выражение (2.8) в виде (2.7). Так как функция p(z,t) в правой части (2.7) принадлежит классу C(t), z e E, t e T = [0, да), то дифференциальное уравнение (2.7) является вторым дифференциальным уравнением Левнера - Куфарева. Из (2.9) следует p bc + a =-- ac, pg откуда b = - a -a. (2.12) p2 c Дифференцируя выражение (2.12), получим г ,, | p1 | p1 , a' ac' ^ , „ч b' = 1-^ I a + a'--+-. (2.13) I pi ) pi c c2 Подставляя (2.9) и (2.12) в (2.10), получим дифференциальное уравнение относительно a=a(z), интегрируя которое, получим (2.3). Из (2.11) имеем b' = ac- . (2.14) z Выражения в (2.13) и (2.14) совместимы при выполнении соотношения (2.5). При выполнении равенства (2.5), из (2.14) имеем b(z) = |a(z)c(z)dz . Последнее выражение совпадает с (2.4). Теорема 2 доказана. З а м е ч а н и е. При каждом фиксированном t e [0, да) функция F(z,t) в (2.6) будет являться функцией переменной z e E . В ситуации (2.6) ветвь степени определяется фиксированием коэффициента c1(z) при z в разложении функции в ряд Тейлора. , v zF! b2(z)t2 +bl(z)t + b0(z) ^ 3. Уравнение вида -г = --1--- в пространстве С. 1 F; dx(z)t + d0(z) 1 1 Второе дифференциальное уравнение Левнера - Куфарева -\ = P2(z)t + Pl(z]t + Po(z),г e e,t e T = [0,«), с основной F t + Pi( z) P2 (z) нелинейной составляющей вида z, t) = a2 (z )t2 + a1 (z )t + a0 (z) Теорема 3. Пусть 1) pi(z),p\(z) e C ; J p2(z)-p2(0)dz 2) v (z) = e0 z ; z 3) k(z) = Jp (z) • zp2(0)-1v(z)dz; 0 4) a2(z) = z2p2(0) • v2(z); 5) p0(z) zp2(z)v(z)p1(z) e C . Тогда функция 1 F(z, t) = {a2 (z)t2 + a1 (z)t + a0 (z)} 2№ (0) = cl(t)z + c2(t)z2 +..., где a1(z) = zp2(0) • v(z)2k(z), z 0,(z) = 2 J p0(z) • z2p2(0)-1v2(z)dz 0 регулярна и однолистна в E при каждом t, t > 0 . С учетом результатов, полученных во втором параграфе, и выражения g (z, t) = a2( z )t2 + a1( z )t + a0( z) имеем za2 (z) 12 + za{ (z) t + za0(z) ?Fl= z(g(z, t))z ( t) = 2a2(z) 2a2(z) 2a2(z) (3 1) f; (g(z, t)); p(,) t+• 1 • ; 2a2 (z) Полагая ^ = p2{z) e C, a2(z) = z2p2(0) • v2(z), (3.2) 2a2 (z) с последующим делением в (3.1) числителя на знаменатель, получим za[(z) - p2 (zM(z) + za0(z) , ч . ч 2a2(z) 2a2(z) p(z,t) = p2(z)t +-2W ( )-^ • (3.3) t +^(Z)_ 2a2 (z) Обозначив za1 (z) - p2(z)ax(z) = A(z) e C , (3.4) 2a2 (z) имеем za[(z)-p2(z)a1(z) = p1(z)• 2a2(z). (3.5) Интегрирование относительно a1( z) уравнения (3.5) дает (3.6) ( a (z) = zp2(0) • v(z) • c + 2Jp1 (z) • zp2(0)-1v(z)dz V 0 Из (3.5), (3.2) имеем j( z) J M z) • zp2(0)-1 •¥( z )dz = A( z). (3.6') 2a2( z) zp2(0)-1 • v( z) Пусть p0(z) = ^e C . (3.7) M z) В случае соотношения (3.7) имеет место равенство A( z) = p,( z) • p0( z). (3.8) С учетом (3.1) - (3.8) выражение в (3.3) перепишется в виде p(z,t) = p2(z)t + -+S^ML. (3.9) t + А( z) • p0( z) Выражение в (3.9) несколько отличается от соответствующего выражения в теореме 1. Функции p(z,t) в (3.9) и e(z, t) = p'( z )t + p0( z) (3.10) t + p\(z) • p0(z) в (3.10) принадлежат классу C(T), и, следовательно, соответствующее дифференциальное уравнение является вторым дифференциальным уравнением Левнера -Куфарева. Положим za0( z) = p0(z) e C , (3.11) 2a'2( z) где p0(z) определяется соотношением (3.7) при условии (3.6). Рассмотрением (3.11) указываем выражение ao(z): a0(z) = 2 J p0(z) • z2 p2(0)-1 •v 2(z)dz . (3.12) Заметим, что функция e( z, t) = p1( z )t + a0 p0( z) + p1( z) (3.13) t + A( z) • p0( z) также будет принадлежать классу C(T). Поэтому вместо (3.11) мы можем полагать za0(z) -^ = a0 Р0 (z) + ax p1(z), a0 > 0, a > 0, (3.14) 2a2 (z) где a0, ai удовлетворяют условию a0 + a1 Ф 0. В ситуации (3.14) выражение в (3.12) перепишется в виде a0(z) = 2 J a P0(z) + a1 p1(z)) z 2 Р2(0)-1 • v2(z)dz . Объединяя вышеизложенное, получим результат, указанный в формулировке теоремы 3. Функции F(z,t), ф(z, t) = F(Z, *) , ф(z,0), ф(z, да) удовлетворяют всем условиям, К (0,t) являющимся достаточными для утверждений теоремы 3. Теорема 3 доказана. К числу различных важных направлений исследований относятся обратные задачи. Понятия «обратная функция», «обратная задача» связаны с понятиями взаимнооднозначного, биективного, однолистного отображений, однолистной функции, рассмотренных в [1-5]. Со времен Ж. Лиувилля, доказавшего неразрешимость в квадратурах дифференциальных уравнений некоторых типов, актуальной остается задача указаний случаев интегрируемости дифференциальных уравнений. В данной статье, таким образом, мы указали структуру интеграла и условия, при которых функция определенного вида является решением дифференциального уравнения Левнера - Куфарева.

Ключевые слова

геометрическая теория функций комплексного переменного, дифференциальное уравнение Левнера - Куфарева, geometric theory of functions of a complex variable, Loewner-Kufarev differential equation

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Задорожная Ольга ВладимировнаКалмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовиковакандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и анализаovz_70@mail.ru
Кочетков Владимир КонстантиновичКалмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовиковакандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры алгебры и анализаkvk1106@mail.ru
Всего: 2

Ссылки

Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск.: Томский государственный университет, 2001. 220 с
Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.
Авхадиев Ф.Г., Аксентьев А.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // УМН. 1975. Т. 30. Вып. 4(184). С. 3-60.
Базилевич И.Е. Об одном случае интегрируемости в квадратурах уравнения Левнера -Куфарева // Матем. сб. 1955. Т. 37. № 3. С. 471-476.
Кочетков В.К., Задорожная О.В. Некоторые вопросы аналитической теории дифференциальных уравнений и геометрической теории функций комплексного переменного. Элиста: Издательство Калм. ун-та, 2014. 160 с.
 Структура интегралов второго дифференциального уравнения Левнера - Куфарева в частном случае | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/2

Структура интегралов второго дифференциального уравнения Левнера - Куфарева в частном случае | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/2