Группа Гротендика K0 произвольного csp-кольца | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/4

Группа Гротендика K0 произвольного csp-кольца

Доказывается критерий конечной порождённости проективного модуля над csp-кольцом. Также показано, что группа Гротендика K0 всякого csp-кольца есть свободная группа счётного ранга.

The Grothendieck group K0 of an arbitrary csp-ring.pdf Цель настоящей работы - выяснить, как функтор K0 действует на csp-кольца и на гомоморфизмы между ними. Для этого используются свойства проективных модулей над csp-кольцами, установленные автором ранее. Через Z будет обозначаться кольцо целых чисел. Символ ■ обозначает конец доказательства или его отсутствие. Пусть L - некоторое бесконечное множество простых чисел. Для числа P е L зафиксируем кольцо RP, совпадающее либо с кольцом целых р-адических чисел, либо с некоторым кольцом вычетов Z /pkZ (для разных р число k > 0 может быть разным). Обозначим K = П Rp и T = 0Rp С K ; ре-L реL ясно, что T является идеалом кольца K. Будем называть csp-кольцом каждое подкольцо R кольца K, такое, что T с R и R /Т является полем. Заметим, что мощность этого поля не превышает мощности континуума; из результатов статей [1-3] вытекает, что поле R /Т может оказаться несчётным. Если L совпадает с множеством всех простых чисел и каждое RP есть кольцо целых р-адических чисел, а R /Т изоморфно полю рациональных чисел, то соответствующее csp-кольцо (оно определено однозначно) называют кольцом псевдорациональных чисел. Это кольцо было независимо введено в работах Фомина [4] и Крылова, Пахомовой и Подберезиной [5] для исследования ряда важных классов смешанных абелевых групп (в частности, sp-групп). Позже Крылов предложил рассматривать csp-кольца (как обобщение кольца псевдорациональных чисел). Кольцо RP и его единичный элемент eP можно естественным образом отождествить с соответствующими идеалом и идемпотентом в кольце R, в этом случае RP = ReP. Можно заметить, что кольцо RP допускает в точности одну модульную структуру как над самим собой, так и над кольцом R; поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать все RP как R-модули, не оговаривая это дополнительно. Напомним основные понятия, которые понадобятся в дальнейшем. Определение. Пусть (Ф, +) - коммутативный моноид. Введём на множестве Ф х Ф отношение эквивалентности: положим n) ~ (ц, v) в том и только в том случае, когда + v + Z = ц + n + Z хотя бы для одного Z е Ф. Далее, будем считать, что суммой класса эквивалентности, содержащего пару (§, n), и того класса эквивалентности, который содержит (ц, v), является класс, содержащий ( + ц, n + v). Относительно указанной операции множество всех классов эквивалентности пар из Ф х Ф образует группу, которая называется группой Гротендика моноида Ф. Если R - некоторое кольцо, то через K0(R) обозначается группа Гротендика моноида классов изоморфных конечно порождённых проективных R-модулей с операцией взятия прямой суммы (см. [6]). Для описания группы K0 произвольного csp-кольца R нам потребуются некоторые дополнительные сведения. Как отмечено в [7], элемент кольца R является идемпотентом тогда и только тогда, когда он совпадает с элементом вида eX = X ep или 1 - eX = 1 - X ep , peX peX где X - конечное (возможно, пустое) подмножество множества L. В дальнейшем, используя обозначение eX , мы будем автоматически полагать, что множество X является конечным. В работе [7] также показано, что подмножество из R будет идеалом в R тогда и только тогда, когда оно совпадает с множеством одного из следующих двух типов: J = 0Jp; (1) peL J = (1-ex)R© (0Jp), (2) peX где Jp - произвольные идеалы соответствующих колец Rp. С помощью матриц и определителей с элементами из csp-колец автором ранее была доказана Теорема 1 [8]. Каждый проективный R-модуль разлагается в прямую сумму подмодулей, изоморфных идеалам кольца R. ■ Следующий факт для удобства приведём вместе с доказательством. Предложение 2 [8]. Модуль MR проективен тогда и только тогда, когда м = (0м ) © (©Fp), (3) ieI peL где Fp - некоторые свободные Rp-модули, а все Mt - некоторые идеалы кольца R вида (1 - eX)R (множество X, вообще говоря, зависит от индекса i ). Доказательство. Пусть M - проективный R-модуль, тогда в силу теоремы 1 этот модуль будет изоморфен прямой сумме идеалов кольца R, которые, как мы знаем, имеют вид (1) или (2). Ясно, что все входящие в прямое разложение проективного модуля идеалы тоже должны быть проективными. Если Rp есть кольцо целых p-адических чисел, то всякий ненулевой идеал Jp с Rp как R-модуль будет изоморфен Rp. Если же Rp = Z /pkZ, то из всех идеалов кольца Rp проективными как R-модули будут лишь 0 и Rp (поскольку только эти идеалы являются проективными RP-модулями). Это означает, что любой проективный идеал кольца R обязательно изоморфен как R-модуль идеалу J вида (1) или (2), такому, что для всякого p идеал Jp совпадает либо с 0, либо с Rp. Группируя прямые слагаемые вида Rp, получаем, что имеет место изоморфизм (3). Обратно, любой R-модуль вида (3) является проективным, так как он изоморфен прямой сумме семейства идеалов, каждый из которых служит для кольца R прямым слагаемым. ■ Для всякого модуля MR размерность r(M) фактор-модуля M/MT как пространства над полем R /T назовём псевдорангом модуля M. Очевидно, что псевдоранг прямой суммы всякого семейства R-модулей равняется сумме псевдорангов этих модулей. Идеалы вида (1) и (2) имеют псевдоранги, равные соответственно 0 и 1; отсюда, в частности, следует, что для модуля вида (3) выполнено r(M ) = | I |. Пусть для R-модуля M имеет место изоморфизм (3). Тогда для любых i e I и p e L идеал Mt ep либо совпадает с Rp, либо равен 0. Это означает, что при любом p e L модуль Mep является свободным Rp-модулем; ранг этого свободного модуля (определяемый однозначно) далее будем обозначать через rp(M). Таким образом, всякому проективному модулю MR можно сопоставить кардинальные числа r(M ) и {rp(M)}peL. Полученный набор кардиналов мы назовём системой инвариантов проективного модуля M (в статье [9] было впервые предложено использовать эту систему инвариантов для описания проективных модулей). Предложение 3 [8]. Пусть A и M - проективные R-модули, причём модуль A вкладывается в M. Тогда r(A) < r(M) и rp(A) < rp(M) при всех p e L. ■ В статьях [8, 10] был доказан ряд важных структурных теорем о проективных модулях над csp-кольцами. Теорема 4 [8, 10]. Два проективных R-модуля изоморфны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковые системы инвариантов. ■ Следующий результат показывает, какие условия должны быть наложены на набор кардинальных чисел, чтобы он служил системой инвариантов некоторого проективного R-модуля. Теорема 5 [8, 10]. Пусть X и {Xp}peL - произвольные кардинальные числа, и пусть W = {p e L | Xp < X}. Проективный R-модуль M, одновременно удовлетворяющий всем равенствам r(M ) = X и rp(M ) = Xp, существует в том и только в том случае, когда (A) множество W конечно или (B) множество W счётно и последовательность {Xp}peW сходится к X. ■ При помощи приведённых результатов можно получить критерий конечной порождённости проективного R-модуля. Теорема 6. Для проективного R-модуля M равносильны следующие условия: 1) модуль M конечно порождён; 2) все кардинальные инварианты модуля M конечны и rp(M ) = r(M ) почти для всех p e L. Доказательство. Обозначим X = r(M) и Xp = rp(M). 2) ^ 1). Из условия 2) вытекает, что множество W = {p e L | Xp < X} конечно, т.е. выполнено условие (A) теоремы 5. Проективный модуль A зададим условием (0(1 - ew) r) © (0Fp A = 1 VVZ ' W ■ / X peL где Fp - это свободный Rp-модуль ранга X , если p e W, Tp(Fp) [Xp-X, если p e L \ W. Тогда r(A) = X r((1 - eW)R) = X; далее, если p e W, то rp(A) = X rp((1 - eW)R) + rp(Fp) = 0 + Xp = Xp, а если выполнено p e L \ W, то справедливы равенства rp(A) = X • rp((1 - ew)R) + rp(Fp) = X + (Xp - X) = Xp, т.е. все инварианты модулей Ми A совпадают. Так как строение проективного модуля MR однозначно определяется его системой инвариантов, получаем, что М=A. Все кардиналы Xp конечны, поэтому все свободные Rp-модули Fp имеют конечный ранг и, значит, являются конечно порождёнными R-модулями. Из 2) следует, что множество тех p е L, для которых Fp Ф 0, конечно; отсюда получаем, что М - конечно порождённый R-модуль. 1) ^ 2). Пусть MR обладает конечной системой образующих, которая состоит из s элементов. В силу проективности модуля M можно считать, что M - прямое слагаемое свободного модуля Rs; пусть Rs = М©A. Ввиду предложения 3 инварианты модулей M и A не могут оказаться больше соответствующих инвариантов модуля Rs, т.е. они не превышают числа s. Из X < К0 следует, что условие (B) из теоремы 5 не выполнено, а значит, выполнено условие (A). Таким образом, почти для всех p е L имеем rp(M) > r(M). Применяя аналогичные рассуждения к проективному модулю A, получаем, что при почти всех p е L справедливы неравенства rp(M) > r(M) и rp(A) > r(A). Для всех таких p выполнено s = r(Rs) = r(M) + r(A) < rp(M) + rp(A) = rp(Rs) = s, откуда, в частности, следует равенство rp(M ) = r(M ). ■ Через Ф обозначим множество всех функций §: L ^ Z, имеющих неотрицательные значения и таких, что §( p) равно одному и тому же числу почти для всех p е L. Очевидно, что Ф будет коммутативным моноидом относительно операции поточечного сложения. Для всякого конечно порождённого проективного модуля MR и всякого p е L положим §M( p) = rp(M ), тогда ввиду теоремы 6 выполнено §M е Ф. Очевидно, что §M®A = §M + §A и что из M=A всегда следует §M = §A. Обратно, если §M = §A, то по теореме 6 будет справедливо равенство r(M) = r(A), а значит (в силу теоремы 4), выполнено M=A. Зафиксируем функцию ц е Ф. Для всякого p е L положим Xp = ц(p); через X обозначим то неотрицательное число, которое совпадает со значением ц(p) при почти всех p е L. Кардинальные числа X и {XP}pеL удовлетворяют условию (A) теоремы 5, поэтому из теорем 5 и 6 следует, что ц = §M для некоторого конечно порождённого проективного R-модуля M. Таким образом, Ф есть моноид классов изоморфных конечно порождённых проективных R-модулей. Теорема 7. Для всякого csp-кольца R группа Гротендика K0(R) представляет собой свободную группу счётного ранга. Доказательство. Определим отображение h из Ф х Ф в группу ZL всех функций L ^ Z, полагая h(§, п) = § - п (вычитание осуществляется поточечно). Так как в Ф справедлив закон сокращения, то для произвольных §, п, ц, v е Ф следующие три условия будут равносильны: 1) § + v + Z = ц + п + Z для некоторого Z е Ф; 2) § + v = ц + п; 3) h(§, п) = h(ц, v). Если задать на Ф х Ф операцию покоординатного сложения, получим h((§, п) + (ц, v)) = h(§ + ц, п + v) = § + ц - п - v = h(§, п) + h(ц, v) для произвольных §, п, ц, v е Ф. С учётом равносильности условий 1) и 3) отсюда можно заключить, что образ ^Ф х Ф) отображения h служит группой Гротендика моноида Ф. Остаётся лишь показать, что этот образ представляет собой прямую сумму счётного числа копий группы Z. В самом деле, рассмотрим множество функций Л = {ц0}и {ц | p e L} с ZL, где ц0(p) = ц,(p) = 1 для любого p e L и |p(q) = 0 для любых различных p, q e L. Для всякого p e L и {0} имеем ц e Ф и, следовательно, ц = h(|p , 0) e ^Ф х Ф). Ясно также, что входящие в множество Л функции являются линейно независимыми и порождают свободную группу. Заметим, что для произвольной функции ц e ^Ф х Ф) значение ц(p) при почти всех p e L равно одному и тому же числу m e Z, т.е. множество Y = {p e L | ц(p) Ф m} конечно. Тогда ц = m -ц0 + ^ (ц(p) - m)|р . peY Таким образом, ^Ф х Ф) есть свободная группа с базисом Л. ■ Мы показали, что группу K0(R) можно отождествить с подгруппой ^Ф х Ф) группы ZL. Известно (см. [6, 11]), что всякому кольцевому гомоморфизму R ^ S соответствует гомоморфизм абелевых групп K0(R) ^ K0(S ), индуцируемый функтором - ®R S: mod-R ^ mod-S (последний, как легко видеть, переводит конечно порождённые проективные модули категории mod-R в модули, которые конечно порождены и являются проективными в mod-S). Выясним, как этот гомоморфизм групп действует в случае, когда R и S - csp-кольца. Пусть, помимо csp-кольца R, задано ещё одно csp-кольцо S, причём U = 0Sp с S сП Sp = H peZ peZ (Z - некоторое бесконечное множество простых чисел). Обозначим через fp, где p e Z, идемпотент кольца S, лежащий в Sp. Как обычно, мы считаем, что кольцевой гомоморфизм обязательно переводит единичный элемент кольца в единичный элемент. Предложение 8. Пусть ф: R ^ S - некоторый кольцевой гомоморфизм. Тогда справедливы следующие утверждения: (а) Z с L; (б) при любом p e Z существует единственный сюръективный гомоморфизм колец фp: Rp ^ Sp; (в) для всякого элемента x = (xp)peL e R выполнено ф(x) = (фp(xp))peZ; (г) поле R /T вкладывается в S/U в качестве подполя. Доказательство. (а) Пусть p e Z. Тогда элемент 1S = ф (1R) не делится на p, из чего вытекает, что и 1R не делится на число p. С другой стороны, аддитивная группа R+ кольца R является p-делимой при всех p g L. Таким образом, Z с L. (б) Зафиксируем число p e Z. Если Rp - кольцо целых p-адических чисел, то требуемое утверждение очевидно. Допустим теперь, что Rp = Z /pkZ. Из того, что 1S = ф(1R), следует, что 1S есть сумма идемпотентов ф(ep) и ф(1R - ep); при этом ввиду равенства pkф (ep) = 0 идемпотент ф (ep) совпадает с 0 или с fp. Идемпотент ф (1R - ep) не может совпадать с 1S, так как 1R - ep делится на p в кольце R, но 1S не делится на p в кольце S. Таким образом, имеем ф (ep) = fp. Из равенства pkfp = 0 легко вывести, что существует единственный сюръективный гомоморфизм колец Rp ^ Sp. (в) Зададим аддитивный гомоморфизм у: R ^ H, полагая у (x) = (ф p( xp))peZ для всех x = (xp)peL e R. Тогда ф - у e Hom(R, H), причём порождённая единичным элементом 1R кольца R циклическая группа (1R) лежит в ядре гомоморфизма ф - у. Легко убедиться, что группа R /(1R) делима, а H - редуцированная группа. Поэтому Hom(R /(1R), H ) = 0, а значит, ф = у, что и требовалось. (г) Из пункта (в), в частности, вытекает, что ф (T) = U. Тогда гомоморфизм ф индуцирует вложение R /T ^ S/U. Предложение доказано. ■ В ситуации, описанной в предложении 8, обозначим через а тот гомоморфизм ZL ^ ZZ, который сопоставляет всякой функции L ^ Z её ограничение на множество Z. Ясно, что R ®R S = S; кроме того, Rp ®R S = Sp, если p e Z, и Rp ®R S = 0, если p e L \ Z. Пусть {5°} u (5p | p e Z} с ZZ есть базис свободной группы K°(S ), построенный так же, как строился базис группы K°(R). Нетрудно убедиться, что проективному модулю R соответствует функция а проективным модулям Rp, где p e L, - функции аналогичные утверждения справедливы и для проективных S-модулей S и Sp. Заметим, что а(|°) = 5°, а функция a(|p) равна 5p, когда p e Z, и равна 0, когда p e L \ Z. Поэтому из изоморфизмов, приведённых выше, следует, что групповой гомоморфизм K°(R) ^ K°(S ), индуцируемый кольцевым гомоморфизмом ф, представляет собой ограничение отображения a: ZL ^ ZZ на подгруппу K°(R) группы ZL.

Ключевые слова

csp-кольцо, проективный модуль, группа Гротендика, csp-ring, projective module, Grothendieck group

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Тимошенко Егор Александрович Томский государственный университет доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник Регионального научно-образовательного математического центра, профессор кафедры алгебры механико-математического факультетаtea471@mail.tsu.ru
Всего: 1

Ссылки

Тимошенко Е.А. О базовых полях csp-колец // Алгебра и логика. 2010. Т. 49. № 4. С. 555-565.
Тимошенко Е.А. Чисто трансцендентные расширения поля рациональных чисел как базовые поля csp-колец // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2013. № 5(25). С. 30-39.
Тимошенко Е.А. О базовых полях csp-колец. II // Фундам. и прикл. математика. 2015. Т. 20. № 5. С. 149-156.
Fomin A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules. Basel et al.: Birkhauser, 1999. P. 87-100. DOI: 10.1007/9783-0348-7591-2.
Крылов П.А., Пахомова Е.Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 47-51.
Rosenberg J. Algebraic K-theory and its Applications. New York: Springer, 1994. DOI: 10.1007/978-1-4612-4314-4.
Зиновьев Е.Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // Вестник ТГУ. 2006. № 290. С. 46-47.
Тимошенко Е.А. Проективные модули над csp-кольцами // Журнал СФУ. Математика и физика. 2012. Т. 5. № 4. С. 581-585.
Царев А.В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Мат. заметки. 2006. Т. 80. № 3. С. 437-448. DOI: 10.4213/mzm2830.
Тимошенко Е.А. Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел // Журнал СФУ. Математика и физика. 2011. Т. 4. № 4. С. 541-550.
Bass H. Algebraic K-theory. New York; Amsterdam: W.A. Benjamin, 1968.
 Группа Гротендика K<sub>0</sub> произвольного csp-кольца | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/4

Группа Гротендика K0 произвольного csp-кольца | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/4