Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/5

Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами

Вводится в рассмотрение новый класс конфлюэнтных гипергеометрических функций многих переменных, изучаются их свойства, строятся интегральные представления и определяется система уравнений с частными производными, которую удовлетворяет данная функция. Оказывается, все фундаментальные решения обобщенного уравнения Гельмгольца с несколькими сингулярными коэффициентами выписываются через нововведенную кон-флюэнтную гипергеометрическую функцию. С помощью установленной здесь формулы разложения для конфлюэнтной функции определен порядок особенности фундаментальных решений рассматриваемого эллиптического уравнения.

Confluent hypergeometric functions of many variables and their application to the finding of fundamental solutions of th.pdf Нет необходимости говорить о важности свойств гипергеометрических функций. Любой исследователь, имеющий дело с практическими применениями дифференциальных или интегральных уравнений, с ними встречается. Решение самых разных задач, относящихся к теплопроводности и динамике, электромагнитным колебаниям и аэродинамике, квантовой механике и теории потенциалов, приводит к изучению гипергеометрических функций. Разнообразие задач, приводящих к гипергеометрическим функциям, вызвало быстрый рост их числа. Особенно большие успехи в теории гипергеометрической функции одного переменного стимулировали развитие соответствующих теорий для функций двух и многих переменных. Книги [1] и [2] посвящены систематическому изложению результатов по гипергеометрическим функциям двух и трех переменных соответственно. В литературе принято делить гипергеометрические функции на два вида: полные и конфлюэнтные (определения см. [1]). Конфлю-энтные гипергеометрические функции во всех отношениях значительно мало изучены по сравнению с полными, особенно, когда размерность переменных превышает две. Отметим лишь работы [3, 4], в которых были рассмотрены некоторые конфлюэнтные гипергеометрические функции трех переменных. В настоящей работе мы определим некоторый класс конфлюэнтных гипергеометрических функций многих переменных. Рассмотрим обобщенное уравнение Гельмгольца с несколькими сингулярными коэффициентами MSC 33C15, 33C20, 35A08, 35J70 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2018 № 55 Математика и механика в области R+ :={(,x2,...,xn):x1 >0,x2 >0,...,xn >0}, где n - размерность Эвклидова пространства; n > 2, ai - действительные числа, причем 0 < 2ai < 1, i = 1,n; X - действительное или чисто мнимое постоянное. Как известно, фундаментальные решения играют важную роль при изучении дифференциальных уравнений с частными производными. На них основываются формулировка и решение многих локальных и нелокальных краевых задач. Оказывается, все фундаментальные решения уравнения (1) выписываются через кон-флюэнтную гипергеометрическую функцию (n +1) переменных. Найдем эти решения уравнения (1), выпишем формулы разложения для них и с помощью этих формул установим, что фундаментальные решения уравнения (1) имеют особенность порядка 1/rn-2 при r ^ 0 . Отметим, что фундаментальные решения уравнения (1) в двух- и трехмерных случаях найдены и исследованы в работах [5-8], а также они применены к решению некоторых краевых задач для уравнения (1) в случае, когда n = 3 и X = 0 [9, 10]. Прежде чем перейти к изложению основных результатов приведем некоторые известные факты из теории гипергеометрических функций. Известная гипергеометрическая функция Гаусса F (a,b; c; x) определяется формулой [1] ш (a) (b) F(a,b;c;x)=£V ,my !m xm, Ixl < 1. m=0 (c )mm! Здесь и далее (к )v обозначает символ Похгаммера: Г( к + v) ^окт Кроме того, в наших исследованиях будут участвовать некоторые гипергеометрические функции многих переменных: F2 (a,b1,b2;c1,C2;x,y) = £ (aU((b)Ub2)m xmyn, |x|+ |y| m xmyn, |х| < 1 m,n=0 m!n!(c)m и в случае трех переменных [6] А2 (a, b„ b2; c„ c2; x, у, z )= X (H^))n xmynzk, N + H

Ключевые слова

конфлюэнтная гипергеометрическая функция, функции Лауричелли, фундаментальные решения, обобщенное уравнение Гельмгольца с несколькими сингулярными коэффициентами, формула разложения, confluent hypergeometric function, Lauricella functions, fundamental solutions, generalized Helmholtz equation with several singular coefficients, decomposition formula

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Уринов Ахмаджон КушаковичФерганский государственный университет доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и дифференциальных уравненийurinovak@mail.ru
Эргашев Тухтасин ГуламжановичИнститут математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистанкандидат физико-математических наук, докторантertuhtasin@mail.ru
Всего: 2

Ссылки

Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.
Srivastava H.M., Karlsson P.W. Multiple Gaussian Hypergeometric Series. New York; Chichester; Brisbane and Toronto: Halsted Press, 1985. 428 p.
Jain R.N. The confluent hypergeometric functions of three variables // Proc. Nat. Acad. Sci. India Sect. A. 1966. V. 36. P. 395-408.
Exton H. On certain confluent hypergeometric of three variables // Ganita. 1970. V. 21. No. 2. P. 79-92.
Уринов А.К. Фундаментальные решения для некоторых уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами // Научный вестник Ферганского государственного университета. 2006. № 1. С. 5-11.
Hasanov A. Fundamental solutions bi-axially symmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2007. V. 52. No. 8. P. 673-683.
Hasanov A., Karimov E.T. Fundamental solutions for a class of three-dimensional elliptic equations with singular coefficients // Applied Mathematic Letters. 2009. V. 22. P. 1828-1832.
Urinov A.K., Karimov E.T. On fundamental solutions for 3D singular elliptic equations with a parameter // Applied Mathematic Letters. 2011. V. 24. P. 314-319.
Karimov E.T. On a boundary problem with Neumann's condition for 3D singular elliptic equations // Applied Mathematics Letters. 2010. V. 23. P. 517-522.
Karimov E.T. A boundary-value problem for 3-D elliptic equation with singular coefficients // Progress in Analysis and its Applications. 2010. P. 619-625.
Lauricella G. Sille funzioni ipergeometriche a piu variabili // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1893. V. 7. P. 111-158. xF
Erdelyi A. Integraldarstellungen fur Produkte Whittakerscher Funktionen // Nieuw Arch. Wisk. 1939. No. 2(20). P. 1-34.
Burchnall J.L., Chaundy T.W. Expansions of Appell's double hypergeometric functions // Quart. J. Math. (Oxford). 1940. Ser. 11. P. 249-270.
Burchnall J.L., Chaundy T.W. Expansions of Appell's double hypergeometric functions. II // Quart. J. Math. (Oxford). 1941. Ser. 12. P. 112-128.
Hasanov A., Srivastava H.M. Some decomposition formulas associated with the Lauricella function fA) and other multiple hypergeometric functions // Applied Mathematic Letters. 2006. 19(2). P. 113-121.
Hasanov A., Srivastava H.M. Decomposition Formulas Associated with the Lauricella Multivariable Hypergeometric Functions // Computers and Mathematics with Applications. 2007. 53(7). P. 1119-1128.
Ergashev T.G. Fundamental solutions for a class of multidimensional elliptic equations with several singular coefficients. ArXiv:1805.03826. 9 p.
 Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/5

Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/5