Разработка математической модели статического деформирования слоистых конструкций с несжимаемыми слоями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/7

Разработка математической модели статического деформирования слоистых конструкций с несжимаемыми слоями

Рассматривается однопараметрическая математическая модель деформирования слоистой среды, содержащей чередующиеся упругие и объемно несжимаемые слои. Используется регуляризация некорректной задачи по А.Н. Тихонову с параметром, обратным к модулю объемной сжимаемости. Численная схема на основе метода конечных элементов сводится к системе линейных алгебраических уравнений с матрицей коэффициентов, линейно зависящей от параметра, а искомые поля перемещений и напряжений вычисляются как предел решения регуляризованной задачи. Сеточная сходимость исследована на контрольном примере, допускающем аналитическое решение.

Mathematical modeling of static deformation of a layered construction with incompressible layers.pdf Слоистые структуры, образованные чередованием слоёв с различающимися же-сткостями, находят применение в конструкциях высоконагруженных опор в автомобилестроении, мостостроении [1], двигателестроении [2] и других областях техники. Многослойные опоры, как правило, содержат чередующиеся эластомерные прослойки и упругие армирующие элементы из стали или полимерных композиционных материалов. Наибольшее распространение получили многослойные сферические резинометаллические опоры [1]. Прочность таких опор лимитируется армирующими слоями - вкладышами, а слои эластомера играют вспомогательную роль и служат для перераспределения опорного давления между вкладышами. Традиционные методы расчёта и проектирования многослойных опор базируются на модели многослойной оболочки [3], развитой в [4] применительно к слоистым структурам, подверженным преимущественно действию давления вдоль нормали к слоям. Однако область применимости модели оболочки ограничивается опорами, толщина которых достаточно мала по отношению к радиусу сферы. Поэтому в последние десятилетия развиваются методы расчёта, основанные на конечно-элементном моделировании опор, содержащих эластомерные слои [5-7]. Дискретные схемы потенциально позволяют учесть эффекты, представляющиеся существенными для моделирования конструкций, содержащих эластомеры: геометрическую нелинейность, физическую нелинейность эластомера и малую объемную сжимаемость. Так, в работе [5] на основе общей методики решения геометрически нелинейных задач [8, 9] получено численное решение задачи об осе-симметричном деформировании резинового амортизатора при сжатии между двумя плоскими штампами. В монографии [6] подробно описаны гибридные конечно-элементные схемы для расчёта деформирования слабо сжимаемых и объёмно-несжимаемых материалов. В [7] конечно-элементное моделирование в комплексе Ansys используется для расчёта напряжённого состояния резинометалли-ческой опоры поворотного сопла, при этом отмечается, что инженерных методик, учитывающих работу эластомера в составе двигательной установки, не существует. Заметим, что напряжённое состояние эластомерных слоёв оказалось в этом случае близким к гидростатическому, что позволило авторам [7] предложить как возможное направление исследований представление реакции эластомера как «гидравлического клина». Это уменьшает трудоёмкость расчёта и приближает методику к потребностям практики проектирования, поскольку решение трёхмерной задачи требует значительных вычислительных ресурсов. Альтернативой может быть разработка более экономичной численной схемы. В зависимости от целей моделирования, определяющие уравнения эластомера в известных работах принимаются такими, чтобы описать только существенные особенности их свойств. Наиболее общая формулировка, предполагающая учёт реологических свойств [10], необходима для описания процессов длительного деформирования. Такой уровень описания материала используется, как правило, при одновременном принятии гипотез слоистых оболочек [11]. Поэтому при кратковременном нагружении и более реалистичной модели деформирования применяются более простые определяющие уравнения эластомера на основе потенциала Муни - Ривлина [12], потенциала Трелоара [13] и различных асимптотических представлений. Так, в [14] обсуждается построение определяющих уравнений для эластомера, находящегося в состоянии продольного сдвига и кручения при конечных деформациях, в [15] предложены приближённые уравнения третьего порядка, в [16] рассматривается продольный сдвиг и кручение резиновой втулки. Следует отметить, что построение определяющих уравнений гиперупругого материала требует большого объёма экспериментальных данных. Потребность в первую очередь обеспечить прочность армирующих слоёв на этапе проектирования, когда экспериментальных данных недостаточно, вынуждает использовать для эластомера модель упругого материала. Такая постановка использована также в [5] при анализе резиновой втулки без армирующих слоёв при больших перемещениях. Особенностью сеточных методов в задачах с большим числом степеней свободы является целесообразность последовательных линеари-заций [17], что усиливает актуальность исследований в рамках моделей теории упругости, в том числе - модели линейного несжимаемого неогуковского материала. В монографии [4] указано соотношение модуля объёмного сжатия и модуля сдвига - в диапазоне от 3-103 до 8-103, что соответствует коэффициенту Пуассона 0.49982-0.49993. Близость этой величины к 0.5 является одним из аргументов в пользу неогуковской модели, в которой достаточно измерение только модуля сдвига. Рассмотрение совместного деформирования эластомера и армирующих слоёв, для которых характерны модули упругости порядка 107 МПа, приводит к ухудшению обусловленности разрешающих уравнений, при котором погрешность решения системы уравнений превышает невязку в 107 раз. Это является дополнительным аргументом в пользу модели несжимаемого эластомера, по сравнению со слабо сжимаемым, при построении эффективной численной схемы расчёта. Вопросы сходимости и точности конечно-элементных схем для слабо сжимаемых и несжимаемых материалов подробно обсуждаются в монографии [6]. Показано, что для слабо сжимаемых материалов гибридные схемы, с использованием функционала Васидзу, обладают большей точностью, чем изопараметрические элементы на основе функционала Лагранжа. Однако функционал Васидзу не обладает выпуклостью, и численные схемы на его основе приводят к системам линейных уравнений, не обладающих положительной определённостью, что затрудняет апостериорную оценку погрешности решения. Поэтому представляют интерес эффективные численные схемы для расчёта слоистых структур с чередующимися эластомерными и высокомодульными слоями, при явном включении в модель слоёв с различными характеристиками, на основе выпуклого функционала Лагранжа. Одна из таких схем предложена в [18, 19] на основе регуляризации по А.Н. Тихонову и вычисления предела решения регуляризованной задачи. Целью настоящей работы является исследование сеточной сходимости этой схемы и чувствительности к начальному параметру регуляризации. Однопараметрическая математическая модель деформирования слоистых структур, содержащих объемно-несжимаемые слои Рассмотрим осесимметричную конструкцию, содержащую чередующиеся высокомодульные ортотропные и изотропные объемно-несжимаемые упругие слои с высокой сдвиговой податливостью, выделенные чёрным цветом в продольном сечении (рис. 1). Рис. 1. Схема расположения слоёв: Q - тело вращения, Q! - жесткое основание, Q2 - продольное сечение, Q3 - нагруженная поверхность Fig. 1. Arrangement of layers: Q is the body of revolution, Q! is the rigid base, Q2 is the longitudinal section, and Q3 is the loaded surface Материал высокомодульных армирующих слоёв считаем упругим, а деформации достаточно малыми, чтобы можно было принять определяющее уравнение в виде линейного закона Гука [20]: CT.J- = d.jklekl , (1) где о-- - компоненты тензора напряжений; eki - компоненты линейного тензора деформаций; d-kl - компоненты тензора упругости. Для эластомера примем обобщенный закон Гука в виде сту =^©А- + , (2) где © = eu - объемная деформация; X, д - постоянные Ламе; 5. - симметричный символ Кронекера. Уменьшение объемной сжимаемости материала приводит к стремлению постоянной X в бесконечность, в результате чего объёмная деформация © в пределе равна нулю, и уравнение (2) в пределе не разрешимо относительно деформаций. Регуляризация (2) состоит в искусственном принятии конечного значения X-Хо. Очевидно, в этом случае равенству (2) может быть придана форма (1). С учётом этого сформулируем вариационную задачу: найти перемещения Mj е C0 (Q), равные нулю на границе Q1 и доставляющие минимум функционалу Лагранжа П = 2 jejdjkiekidQ- j M°jnjdQ3 , (3) Q Q3 где п. - координаты единичного вектора внешней нормали к поверхности Q3, деформации под интегралом выражены через перемещения е. = 2 ( ■ + м ■ i). Условие м ^ |q = 0 является главным граничным условием этой вариационной задачи, а условия сопряжения на границах раздела слоёв и граничные условия в напряжениях на границе Q3 - естественными граничными условиями. Дискретная схема для такой вариационной задачи хорошо известна [6, 17]. Представим искомые перемещения в виде линейной комбинации базисных функций фг е C0 (Q): м i =фг • м г, (4) где м г - значение перемещения м в узле Г сетки (множество узлов не содержит точек поверхности Q1, на которой перемещения заданы равными нулю в граничных условиях). Учитывая сделанные выше замечания относительно плохой обусловленности, целесообразно уменьшить число степеней свободы. Для этого разложим искомые перемещения в ряд Фурье по угловой координате $: м t (х, r, $) = мг0 (х, r) + ^ [мгк (х, r) sin k $ + nf (x, r) cos k $]. (5) k Сетка будет образована только узлами продольного сечения Q2 (рис. 1) в плоскости (х, r) , а амплитуды гармоник м0, мj, itj в узлах являются искомыми узловыми неизвестными. Матрицу-столбец всех узловых неизвестных обозначим через U. Тогда условие минимума функционала (3) примет вид системы линейных уравнений: д2П „ дП KU = R, K =-, R =-j 3U3U, 3U, J 1 (6) U =0 Матрица жесткости K симметрична, положительно определена и имеет ленточную структуру, что позволяет использовать при решении метод Холецкого, устойчивый к накоплению погрешности округлений. Интеграл по объёму в (3) - энергию деформации - представим в виде суммы интегралов: по объёму армирующих и по объёму податливых слоёв, для которых принят закон Гука (2). Первый из этих интегралов не включает параметра регуляризации, в то время как второй с учетом в (7) (8) dijkl = d" ijkl + ^ijkl можно представить в виде J ejdj^d Q = na+rne, где Па - энергия сдвиговой деформации, Пв - энергия объемной деформации не зависящие от А. Тогда, варьируя А, получим следующее представление матрицы K в (6): 32 Пв K (А) = K (А 0) + (А-А 0)C, C . (9) Введём малый параметр а, обратный к X - X0. Система уравнений относительно узловых неизвестных примет вид U(а) = R , (10) K +-C а причём матрица C симметрична, вырождена и полуположительно определена. Корректность поставленной алгебраической задачи показана в [18]. Итерационный алгоритм поиска предела решения регуляризованной задачи, обладающий сверхлинейной сходимостью, построен в [19]. Исследование сеточной сходимости решения Представленный алгоритм реализован в среде функционально-объектного программирования «Алгозит» [20]. Для исследования сходимости численного решения сравним его с аналитическим. В качестве тестового примера рассмотрим задачу о толстостенной трубе под действием внутреннего давления (рис. 2) [21]. Рис. 2. Схема нагружения трубы Fig. 2. Loading condition for a pipe Обозначим a - внутренний радиус; b - внешний радиус трубы равный 1.2a. На внутреннюю поверхность приложено давление q МПа, при этом растягивающая сила равна нулю. Труба выполнена из несжимаемого материала с коэффициентом Пуассона v = 0.5. dUr Ur err =-r- , еее = , е zz =const. (11) dr r Деформации определяются по формулам [21] Напряжения определяются следующим образом [21]: BB CTrr = A + -, стее = A - - , azz = Eezz + 2vA , (12) rr 2 2,2 a a b где A = q---, B = -q ----, r - радиальная координата. b - a2 b2 - a Для рассматриваемой задачи примем еzz = 0, запретив таким образом осевые деформации и перемещения. Тогда осевые напряжения примут вид a zz = 2vA . (13) Радиальные перемещения определяются по формуле [21] Ur = r [ее - v(arr +azz)]' (14) где E - модуль упругости. Подставим (12) и (13) в (14) в в A -- - v(A + - + 2 vA) r r r Ur = - rE (15) Подставив в (15) значение v = 0.5, имеем Ur = ^. (16) r 2Er Подставив выражения для В в уравнение (16) получим формулу для радиальных перемещений трубы из объемно-несжимаемого материала: Ur = 3qa22b2 2 . (17) 2Er(b2 - a2) Используя (16), вычислим максимальные и минимальные теоретические перемещения: Urmin = 0.021714 qa, Urmax = 0.026056qa при E=0.03 ГПа. Для численного решения данной задачи продольное сечение трубы разбивалось на четырехугольные четырехузловые конечные элементы следующими видами сеток: 1 - 0.1a x0.1a; 2 - 0.05a x0.05a; 3 - 0.025a x0.025a; 4 - 0.0125a x0.0125a; 5 - 0.00625a x0.00625a. Регуляризация выполнялась при различных значениях коэффициента Пуассона v. В каждом случае вычислялся предел решения регуляризованной задачи по методике [18] при v, стремящемся к 0.5. Для анализа использовались следующие решения предложенной задачи: 1) предел решения задачи, регуляризованной при v = 0.35, 2) предел решения задачи, регуляризованной при v = 0.45, 3) предел решения задачи, регуляризованной при v = 0.49, 4) решение задачи при v = 0.49, 5) решение задачи при v = 0.499. Первые три варианта расчета проведены по изложенной выше методике. В 4-м и 5-м вариантах область рассматривалась как сжимаемая, с коэффициентами Пуассона, близкими к 0.5, т.е. предел при v ^ 0.5 не вычислялся. Построим зависимость значений минимальных перемещений от логарифма числа элементов по толщине N и сравним с вычисленным аналитически значением (рис. 3). Из графиков видно, что предложенный подход позволяет получить сеточную сходимость при любом значении параметра регуляризации, при этом для значений v, равных 0.35 и 0.45, даже на самой крупной сетке получены перемещения, близкие к аналитически вычисленным. Решение задачи для сжимаемой среды с v = 0.49 при сгущении сетки не позволяет выйти на аналитически полученное значение перемещений. Решение задачи для сжимаемой среды с v = 0.499 при первых двух разбиениях, когда сетка более крупная, позволяет получить перемещения, значения которых отличаются от аналитических на 10-25 %. Сгущение сетки позволяет выйти на полученные аналитически значения перемещений, но при этом размер конечного элемента должен быть меньше радиуса трубы примерно в 200 раз. То же самое получается и для максимальных перемещений. Ur qa 0,0219 0,0217 - Аналитика -1 / 0,0215 / / / / 0,0213 0,0211 ---2 ......4 0,0209 log2 N Рис. 3. Минимальные значения перемещений: 1 - предел решения задачи, регуляризованной при v = 0.35, 2 - предел решения задачи, регуляризованной при v = 0.45, 3 - предел решения задачи, регуляризованной при v = 0.49, 4 - решение задачи при v = 0.49, 5 - решение задачи при v = 0.499 Fig. 3. Displacement minimums: 1, limit of the regularized problem solution at v = 0.35; 2, limit of the regularized problem solution at v = 0.45; 3, limit of the regularized problem solution at v = 0.49; 4, problem solution at v = 0.49; and 5, problem solution at v = 0.499 Для сравнения вычисленных деформаций и напряжений будем использовать зависимость отношения деформаций и напряжений, полученных численно, к деформациям и напряжениям, вычисленным аналитически. Построим график только для е„ так как ег = 0, а е0 = -er (рис. 4). Из графика видно, что решение задачи для сжимаемой среды с v = 0.49 имеет существенно большую погрешность для любого разбиения. Решение задачи для сжимаемой среды с v = 0.499 при сгущении сетки позволяет значительно уменьшить погрешность, однако для log2 N = 1 она составляет 25 %, а для log2 N = 2 -9 %, что является неприемлемым. При использовании предложенного подхода все значения параметра регуляризации позволяют получить приемлемую погрешность для любого разбиения сетки, при этом минимальная погрешность получается при использовании параметра регуляризации 0.35. 1 ^analitic 1 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 / / / -1 ......2 / / / / # И"4 ' / ' 1 / --1-«-1-Г- ......5 1 log2 N Рис. 4. Значения er /eanalitic: 1 - предел решения задачи, регуляризованной при v = 0.35, 2 - предел решения задачи, регуляризованной при v = 0.45, 3 - предел решения задачи, регуляризованной при v = 0.49, 4 - решение задачи при v = 0.49, 5 - решение задачи при v = 0.499 Fig. 4. Ratio of the er to the zanaUtic: 1, limit of the regularized problem solution at v = 0.35; 2, limit of the regularized problem solution at v = 0.45; 3, limit of the regularized problem solution at v = 0.49; 4, problem solution at v = 0.49; and 5, problem solution at v = 0.499 Из графиков видно, что приемлемый уровень точности расчета напряжений для любой сетки достигается при параметре регуляризации, соответствующем v = 0.35 и v = 0.45. При параметре регуляризации, соответствующем v = 0.49, решение выходит на приемлемый уровень только при сгущении сетки. Выводы В задачах расчета напряженно-деформированного состояния, при работе с слабосжимаемыми материалами, принято использовать модель деформирования сжимаемой среды с коэффициентами Пуассона, близкими к 0.5. Однако решение тестовых задач показало, что при использовании v = 0.49 вычисленные значения перемещений отличаются от теоретических на 3-4 %. При расчете деформаций сгущение сетки позволило уменьшить погрешность с 5 до 1.5 %, а для напряжений - с 15 до 2 %. Если использовать v = 0.499, то отклонение перемещений от теоретических для крупной сетки составляет 26 %. Использование сгущения сетки позволяет уменьшить эту погрешность до уровня менее 0.5 %. При расчете деформаций и напряжений сгущение сетки позволило уменьшить погрешность с 15 % до приемлемого уровня. Таким образом, при использовании математической модели деформирования сжимаемой среды с коэффициентами Пуассона, близкими к 0.5, возникают следующие проблемы: 1) неизвестно насколько надо сгущать сетку, чтобы получить решение с приемлемой точностью; 2) при сильном сгущении сетки расчеты требуют большого количества времени и мощностей компьютеров, при этом неизвестен необходимый объем оперативной памяти компьютера для требуемого сгущения сетки в реальных задачах. Этих недостатков можно избежать, если использовать предложенный подход с параметрами регуляризации, соответствующими значению v = 0.35-0.45. В этом случае численное решение устойчиво, а погрешность вычисленных перемещений, напряжений и деформаций на любом виде сетки менее 0.5 %. При больших v для достижения требуемой точности необходимо сгущение сетки в два и более раза. Это связано с тем, что при приближении коэффициента Пуассона к значению 0.5 решение задачи становится неустойчивым. Предложенный подход, состоящий в явном вычислении предела решения регуляризованной задачи, позволяет использовать параметр регуляризации с гораздо меньшими значениями, такими, как v = 0.35, и при этом получать устойчивое решение. Поэтому рационально выбирать меньшие значения параметра регуляризации. Таким образом, предложенный подход может быть использован для решения технических задач.

Ключевые слова

слоистые тела вращения, упругость, дискретная схема, несжимаемость, регуляризация, сходимость, layered bodies of revolution, elasticity, discrete scheme, incompressibility, regularization, convergence

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Вячкин Евгений СергеевичНовокузнецкий филиал Кемеровского государственного университетастарший преподавательviachkine@mail.ru
Каледин Валерий ОлеговичНовокузнецкий филиал Кемеровского государственного университетадоктор технических наук, заведующий лабораториейvkaled@mail.ru
Решетникова Елена ВасильевнаНовокузнецкий филиал Кемеровского государственного университетакандидат технических наук, заведующая кафедройelenares@yandex.ru
Вячкина Елена АлександровнаНовокузнецкий филиал Кемеровского государственного университетакандидат физико-математических наук, доцентSedovaEA@yandex.ru
Гилева Анна ЕвгеньевнаНовокузнецкий филиал Кемеровского государственного университетааспиранткаanna310591@yandex.ru
Всего: 5

Ссылки

Рекомендации по проектированию и установке полимерных опорных частей мостов. М.: Росавтодор, 2008. 89 с.
Петренко В.И. Управляемые энергетические установки на твердом ракетном топливе. М.: Машиностроение, 2003. 464 с.
Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 375 с.
Мальков В.М. Механика многослойных эластомерных конструкций. СПб.: СПбГУ, 1998. 320 с.
Димитриенко Ю.И., Царёв С.М., Веретенников А.В. Разработка метода конечных элементов для расчета конструкций из несжимаемых материалов с большими деформациями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2007. № 3. С. 69-83.
Бате К.-Ю. Методы конечных элементов. М: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 1024 с.
Ощепков А.Н. Исследование напряженно-деформированного состояния эластичного опорного шарнира поворотного управляющего сопла ракетного двигателя твердого топлива в программном комплексе Ansys Workbench // Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации. 2016. Т. 1. С. 116-118.
Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.
Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 262 с.
Пелевин А.Г., Свистков А.Л. Алгоритм поиска констант для модели механического поведения резины // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2009. № 1. С. 85-92.
Немировский Ю.В., Янковский А.П. Численное моделирование нелинейно-наследственного поведения пространственно-армированных композитных сред // Изв. Алтайского государственного университета. 2012. № 1-1. С. 103-106.
Mooney M. A theory of large elastic deformation // J. Appl. Phys. 1940. V. 11. P. 582-592.
Трелоар Л.Р.Г. Физика упругости каучука: пер. с англ. под ред. Е.В. Кувшинского. М.: ИИЛ, 1953. 240 с.
Жуков Б.А. Нелинейное взаимодействие конечного продольного сдвига и конечного кручения втулки из резиноподобного материала // Изв. Российской академии наук. Механика твердого тела. 2015. № 3. С. 127-135.
Колпак Е.П. Полый цилиндр из несжимаемого материала при больших деформациях // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. - Труды научной школы академика В.В. Новожилова. 1998. № 1. С. 96-117.
Акчурин Т.Р., Мальков В.М. Теоретическое и экспериментальное исследование кручения эластомерного цилиндрического шарнира // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2004. № 1. С. 73-80.
Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 465 с.
Вячкин Е.С., Решетникова Е.В., Аульченко С.М., Рябков А.П., Вячкина Е.А. Однопара-метрическая модель деформирования слоистых структур, содержащих объемно-несжимаемые слои // Научно-технический вестник Поволжья. 2016. № 6. С. 120-123.
Каледин В.О., Решетникова Е.В., Равковская Е.В. Алгоритм расчета напряжений в упругой среде с внутренними кинематическими связями // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы XXIV Всероссийской конференции. Новосибирск, 2015. С. 64-66.
Каледин В.О. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Среда функционально-объектного программирования «Алгозит» // Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ, 06 марта 2017, № 2017612895.
Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
 Разработка математической модели статического деформирования слоистых конструкций с несжимаемыми слоями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/7

Разработка математической модели статического деформирования слоистых конструкций с несжимаемыми слоями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. DOI: 10.17223/19988621/55/7