Численное моделирование деформирования и разрушения пористой алюмооксидной керамики на мезоуровне | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 58. DOI: 10.17223/19988621/58/8

Численное моделирование деформирования и разрушения пористой алюмооксидной керамики на мезоуровне

Представлены результаты моделирования деформирования и разрушения мезообъемов пористой алюмооксидной керамики в условиях растяжения. Пористая структура учитывалась явным образом на основе экспериментальных данных, полученных методом электронной микроскопии. Для описания механического поведения предложена изотропная упруго-хрупкая модель деградирующей среды. Расчет поврежденности производится с учетом вида напряженного состояния. Показано, что картины разрушения на мезоуровне существенно зависят от формы и взаимного расположения пор. Полученные эффективные упругие и прочностные характеристики материала согласуются с экспериментальными данными.

Numerical modeling of the deformation and fracture of a porous alumina ceramics at mesoscale.pdf В последнее время пористые керамические материалы вызывают особый интерес многих исследователей благодаря своим физико-механическим свойствам: высокая коррозионная и химическая стойкость, хорошая биологическая совместимость с костной тканью, высокая механическая прочность и др. Изделия из пористой керамики применяются в различных областях техники и технологиях. Например, их используют при изготовлении теплоизоляционных изделий, биоимплантов в эндопротезировании, носителей катализаторов в химической промышленности и фильтров [1, 2]. Наличие пористой структуры в керамике оказывает влияние на ее упругие, прочностные и функциональные свойства. Например, за счет регулирования пористости в материале биоимплантата удается снизить его упругие свойства до свойств костной ткани, а также обеспечить прорастание костной ткани внутрь имплантата. Размеры и форма пор важны при использовании керамики в качестве носителей катализаторов. Поскольку поры являются концентраторами напряжений в материале, которые ведут к снижению прочностных свойств, то учет особенности поровой структуры очень важен при оценке прочностных свойств керамических материалов. В связи с этим задача исследования связи пористой структуры и механических свойств пористых материалов и изделий из них является актуальной. В настоящее время для решения этой задачи широко используются методы компьютерного моделирования. Они позволяют сэкономить средства при проведении исследований и получить ответы на некоторые вопросы, когда одними экспериментами не обойтись. Есть примеры использования компьютерного моделирования, воспроизводящего полные условия эксперимента, для определения параметров сложных математических моделей [3]. Существует разное количество математических моделей для описания деформации и разрушения материалов на разных масштабных уровнях, но поскольку все модели имеют ограниченную область применения, поэтому представляет интерес разработка и исследование новых моделей [4]. Для численного изучения особенностей деформации и разрушения структурно-неоднородных материалов на мезуровне применяются модели физической мезомеханики [5-11]. В последнее время на макро- и мезоуровнях широко используются модели механики рассеянных повреждений для описания разрушения в рамках многоуровневого подхода [12]. Известно, что для хрупких материалов прочность на сжатие существенно превышает прочность на растяжение. И при сложном напряженном состоянии разрушение зарождается именно в локальных областях растяжения. Одним из основных и наиболее простых методов экспериментальных исследований керамических материалов является испытания на трехточечный изгиб. Поскольку в условиях трехточечного изгиба часть образца находится в состоянии сжатия, а другая - под действием растягивающих напряжений, наиболее опасных для пористых керамик, то особый интерес представляет изучение областей растяжения. Целью работы является численное исследование деформации и разрушения керамики на основе Al2O3 с пористой структурой на мезоуровне при растяжении с применением упруго-хрупкой модели, которая учитывает накопление повреждений, вызывающее деградацию упругих свойств. Постановка задачи Пористая структура мезообъемов алюмооксидной керамики была взята из экспериментальных данных, описанных работе [13]. Пористость исследуемых мезообъемов учитывалась явно и составляла 33, 26 и 17 %. Для каждого значения пористости были выбраны три различных фотографии одной пористости. По изображениям поровых структур, полученных с помощью растрового электронного микроскопа, были построены компьютерные геометрические модели структуры мезообъемов (рис. 1). Размеры мезообъемов на рис. 1 составляют 100x100 мкм. Для каркаса были приняты физико-механические характеристики, соответствующие беспористому Al2O3: плотность 3,98 г/см3, объемный модуль упругости 251 ГПа, модуль сдвига 163 ГПа [14]. В порах были заданы характеристики упругой среды со значениями упругих модулей на 3 порядка ниже, чем в каркасе. Рис. 1. Компьютерные модели керамической структуры с пористостью 33 (а), 26 (b) и 17 % (с) Fig. 1. Computer models of the ceramic structure with a porosity of (а) 33 %, (b) 26 %, and (c) 17 % Механическое поведение материала описывается системой уравнений механики сплошной среды, которая включает в себя фундаментальные законы сохранения, геометрические соотношения и определяющие уравнения. В рамках лагранжева подхода к описанию сплошной среды фундаментальные законы сохранения массы, импульса и энергии имеют вид P0V =pv; (1) р^ = ^; (2) dt dx1 dE 1 d sl7 - =1 Сц -, (3) dt p dt где p0 - начальное значение плотности, V0 - начальный элементарный объем; р - текущее значение плотности материала, V - текущий элементарный объем; Vj - компоненты вектора скорости; a j, £7 - компоненты тензора напряжения и тензора деформации соответственно; Е - удельная внутренняя энергия на единицу массы. Геометрические соотношения в скоростной форме имеют вид =1 dVz "v 2 [cX1 dX 1 Г 3v. dvj ®7=-1---- I, (5) 1 2 l^x1 dx1 где Sj - компоненты тензора скорости деформации; cb j - компоненты тензора скорости вращения. Для описания механического поведения пористой керамики на мезоуровне будем использовать определяющие соотношения изотропной упруго-хрупкой повреждаемой среды. В основе этой модели лежат уравнения гипоупругости (связь скоростей напряжений и деформаций) для изотропного материала: 1 -I 3 где P = -Узац - давление; K - объемный модуль упругости; 0 = ей - объемная деформация; Sj - компоненты девиатора тензора напряжений; G - модуль сдвига; 5j - символ Кронекера; s1k сс7 + stj-cb 1k - поправка на поворот, которая возникает при использовании коротационной производной Яуманна к тензору напряжений; точка над символом означает материальную производную по времени. В этих уравнениях принято разложение тензора напряжения на шаровую и девиаторную части: С11= - P^+Sij . (7) В рамках модели упруго-хрупкой повреждаемой среды упругие модули сдвига и упругости деградируют с ростом повреждений в соответствии с формулами [15]: G = G0(1 -D), K = K0(1 -D), (8) где G0 и K0 - модули сдвига и объемной упругости неповрежденного материала; D - поврежденность. %=Т 1^7 + ^7 I; (4) P = -K9 , s7 = 2G и с 7+skj с ik, (6) е11 Для описания разного сопротивления среды в условиях растяжения и сжатия, характерного для таких хрупких материалов как керамика, в модели накопления повреждений имеет смысл использовать напряжения модели материала Друкке-ра - Прагера (среды с внутренним трением), а также разные критические значения напряжений, в зависимости от вида девиаторного напряженного состояния, описываемого параметром Лоде - Надаи. Поэтому кинетическое уравнение для эволюции (накопления) повреждений D примем в следующем виде [16-18]: H Ы(а-а0 )2 + (1 - H Ы)(а-а0 ) D(t) = J dt -. (9) 2 а 0 t [ H (1 - H (JO) ] S2 S3 Здесь H(^) - функция Хевисайда; ца = 2--3-1 - параметр Лоде - Надаи; S1 - S3 Si, S2, S3 - главные значения девиатора тензора напряжений; а = -aP + т - напряжения Друккера - Прагера; a - коэффициент внутреннего трения; т = ('Asj-s;,)'2 - интенсивность сдвиговых напряжений; а0 ,а'0 - начальные значения напряжений на упругой стадии, по достижению которых в материале каркаса начинается накопление повреждений в областях сжатия и растяжения соответственно, причем а0 , (14) где e - объемная деформация, с, - интенсивность напряжения, е, - интенсивность деформации. Для определения эффективного значения модуля Юнга было использовано соотношение между средним значением компоненты тензора напряжений вдоль оси нагружения и значением условной (инженерной) деформации вдоль той же оси для условия плоской деформации: (1- < V >) E=-, (13) < s хх > где схх - значение напряжения вдоль оси нагружения; е^ - значение деформации удлинения вдоль оси нагружения. Эффективное значение коэффициента Пуассона определялось из соотношения =--, (14) < syy >- выведенного для средних значений компонент тензора деформаций в условиях одноосного нагружения при плоском деформированном состоянии. При моделировании рассчитанное по формуле (16) значение эффективного коэффициента Пуассона менялось в ходе деформации. Поэтому за среднее значение принималось значение, к которому стремилась зависимость < v > (< sхх >). Результаты моделирования и их обсуждение Усредненные по мезообъему кривые нагружения представлены на рис. 2, а. Они имеют характерный для хрупких материалов вид. Видно, что с уменьшением пористости нелинейно возрастает модуль Юнга и прочность материала. Определенные из диаграмм, представленных на рис. 2, а, значения модуля упругости E и прочности о представлены в табл. 1. Можно отметить, что вычисленные эффективные значения прочности из расчетов хорошо согласуются с экспериментальными значениями, представленными в работе [13]. I V/ Л b Рис. 2. Результаты моделирования растяжения на мезоуровне: кривые напряжение - деформация с указанием пористости (а), картины разрушения в мезообъемах керамики с пористостью 25 % (b) и 17 % (с) Fig. 2. The results of mesoscale modeling of the tension: (a) stress-deformation diagrams with indicated porosity; fracture patterns in the meso-volumes of ceramics with porosity of (b) 25 and (c) 17 % Таблица 1 Вычисленные физико-механические характеристики керамики на основе Аl2O3 Пористость, % Прочность при растяжении о, МПа Модуль упругости E, ГПа Коэффициент Пуассона, v 33±0,7 150±13 57±9 0,35±0,02 26±0,6 236±7 85±13 0,21±0,02 17±1 286±17 184±9 0,22±0,02 Картины разрушения для двух мезообъемов представлены на рис. 2, b, c. Распределения напряжений модели материала Друккера - Прагера для мезообема с пористостью 17 % представлены на рис. 3. Анализируя эти результаты, можно отметить, что трещины образуются возле сильных концентраторов напряжений, обусловленных формой и расположением пор. Затем трещины растут в направлении, перпендикулярном оси приложения растягивающей нагрузки (ось нагруже-ния расположена горизонтально), что характерно для хрупких материалов. Рис. 3. Распределение напряжений Друккера - Прагера (ГПа) в мезообъеме керамики с пористостью 17 %: в момент зарождения первой трещины (а), при распространении вертикальной трещины (b). Область с максимальным значением отмечена угловой скобкой и знаком max Fig. 3. Distribution of the Drucker-Prager stress (GPa) in the mesovolume of ceramics with porosity of 17 %: (a) at the instant of the first crack nucleation and (b) during a vertical crack propagation. The region containing a maximum value is marked by the angle bracket and label "max" Заключение Выполнено моделирование деформирования и разрушения мезообъемов пористой алюмооксидной керамики в условиях одноосного растяжения. Для описания механического поведения предложена изотропная упруго-хрупкая модель деградирующей среды. Расчет поврежденности производится с учетом вида напряженного состояния. На основе проведенных расчетов проанализировано влияние структуры пористой керамики на характер локальных разрушений в мезообъемах материала, а также на макроскопическую диаграмму деформирования. Разработана соответствующая методика для определения эффективных упругих модулей пористого материала по результатам моделирования мезообъемов в условиях одноосного нагружения при плоском деформированном состоянии. Показано, что наличие сильных концентраторов напряжений определяет место зарождения трещин и влияет на их распространение в моделируемых мезообъемах. Полученные из расчетов значения прочности и модуля упругости хорошо согласуются с экспериментальными значениями для всех значений пористости. Однако стоит отметить, что разброс этих значений как в эксперименте, так и в расчетах достаточно велик. Этот разброс результатов вызван наличием структурных неоднородностей в образцах и их влиянием на механические характеристики.

Ключевые слова

численное моделирование, пористая керамика, повреж-денность, мезоуровень, разрушение, эффективные свойства, numerical modeling, porous ceramics, damage, mesoscale, fracture, effective properties

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Микушина Валентина АлексеевнаИнститут физики прочности и материаловедения СО РАН; Томский государственный университетмладший научный сотрудник; аспирантка физико-технического факультетаMikushina_93@mail.ru
Смолин Игорь ЮрьевичИнститут физики прочности и материаловедения СО РАН; Томский государственный университетпрофессорsmolin@ispms.ru
Всего: 2

Ссылки

Митрошин А.Н., Космынин Д.А. Керамика как материал выбора в эндопротезировании коленного сустава // Изв. вузов. Поволжский регион. Медицинские науки. 2016. № 1(37). С. 98-110.
Лукин Е.С., Макаров Н.А., Козлов А.И. и др. Современная оксидная керамика и области ее применения // Конструкции из композиционных материалов. 2007. № 1. С. 3 - 13.
Savchenko N.L., Sevostyanova I.N., Sablina T.Yu., Gomze L., Kulkov S.N. The influence of porosity on the elasticity and strength of alumina and zirconia ceramics // AIP Conf. Proc. 2014. V. 1623. P. 547-550. DOI: 10.1063/1.4899003.
Микушина В.А., Смолин И.Ю. Моделирование деформации и разрушения пористой керамики с использованием разных критериев разрушения // Труды Томского государственного университета. Серия физико-математическая: Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики: VI Международная молодежная научная конференция. Томск, 27-29 ноября 2017 г. / под ред. М.Ю. Орлова. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2018. Т. 302. С. 188-192.
Meille S., Lombardi M., Chevalier J., Montanaro L. Mechanical properties of porous ceramics in compression: On the transition between elastic, brittle, and cellular behavior // J. Eur. Ceram. Soc. 2012. V. 32, P. 3959-3967. DOI: 10.1016/j.jeurceramsoc.2012.05.006.
Le Corre V., Brusselle-DuPend N., Moreaud M. Numerical modeling of the effective ductile damage of macroporous alumina // Mech. Mater. 2017. V. 114. P. 161-171. DOI: 10.1016/ j.mechmat.2017.08.002
Smolin A.Yu., Roman N.V., Konovalenko Ig.S., Eremina G.M., Buyakova S.P., Psakhie S.G. 3D simulation of dependence of mechanical properties of porous ceramics on porosity // Eng. Fract. Mech. 2014. V. 130. P. 53-64. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2014.04.001.
Mikushina V.A., Smolin I.Yu., Sidorenko Yu.N. Numerical modeling and prediction of mechanical properties of ceramic composite // J. Phys.: Conf. Ser. 2017. V. 919. P. 012013-1012013-5. DOI: 10.1088/1742-6596/919/1/012013.
Smolin I.Yu., Makarov P.V., Eremin M.O., Matyko K.S. Numerical simulation of mesome-chanical behavior of porous brittle materials // Proc. Struct. Integrity. 2016. V. 2. P. 33533360. DOI: 10.1016/j.prostr.2016.06.418.
Romanova V.A., SoPPa E., Schmauder S., Balokhonov R.R. Meso-mechanical analysis of the elasto-plastic behavior of a 3D composite-structure under tension // Comput. Mech. 2005. V. 36. P. 475-483. DOI: 10.1007/s00466-005-0682-5.
Panin A.V., Romanova V.A., Balokhonov R.R., Perevalova O.B., Sinyakova E.A., Emelyanova O.S., Leontieva-Smirnova M.V., Karfenko N.I. Mesoscopic surface folding in EK-181 steel polycrystals under uniaxial tension // Phys. Mesomech. 2012. V. 15. P. 94-103. DOI: 10.1134/S1029959912010109.
Волегов П.С., Грибов Д.С., Трусов П.В. Поврежденность и разрушение: классические континуальные теории // Физич. мезомех. 2015. Т. 18. №4. С. 68-86.
Kulkov A.S., Smolin I.Yu., Mikushina V.A. Investigation of mechanical response of Al2O3 ceramic specimens to loading with consideration for their structural features // AIP Conf. Proc. 2018. V. 2051. P. 020162-1-020162-4. DOI:10.1063/1.5083405.
Properties: Alumina - Aluminium Oxide - Al2O3 - A Refractory Ceramic Oxide. URL: https://www.azom.com/properties.aspx7ArticleID = 52 (дата обращения: 13.12.2018).
Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. М.: Наука. Физматлит, 1997. 288 с.
Смолин И.Ю., Еремин М.О., Макаров П.В., Буякова С.П., Евтушенко Е.П., Кульков С.Н. Численное моделирование механического поведения модельных хрупких пористых материалов на мезоуровне // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 5(25) C.78-90.
Еремин М.О. Применение метода механической аналогии для численного моделирования разрушения керамических композитов ZrO2-Al2O3 в трехмерной постановке // Фи-зич. мезомех. 2015. Т. 18. № 3. С. 105-112.
Смолин И.Ю., Макаров П.В., Кульков А.С., Еремин М.О, Бакеев Р.А. Режимы с обострением при разрушении образцов горных пород и элементов земной коры // Физич. ме-зомех. 2016. Т. 19. № 6. С. 77-85.
Wilkins M. L. Computer Simulation of Dynamic Phenomena. Berlin: Springer-Verlag, 1999. 246 p.
 Численное моделирование деформирования и разрушения пористой алюмооксидной керамики на мезоуровне | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 58. DOI: 10.17223/19988621/58/8

Численное моделирование деформирования и разрушения пористой алюмооксидной керамики на мезоуровне | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 58. DOI: 10.17223/19988621/58/8