Asymptotics of the solution of the singularly perturbed Cauchy problem in the case of a change in the stability, when th.pdf Как нам известно, многие актуальные задачи теории колебаний, теории радиотехнических приборов, теории автоматического регулирования, квантовой механики и др. сводятся к изучению систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Случаи, когда сингулярно возмущенные уравнения имеют явные решения, крайне редки. Даже для современных компьютеров задача определить поведение решения в пограничных слоях и при нарушении условия асимптотической устойчивости, при достаточно малых значениях параметра, - весьма трудоемкая задача. Важным инструментом при исследовании поведений решений подобных сингулярных задач являются асимптотические методы. А.Н. Тихонов сформулировал достаточные условия, при выполнении которых решение возмущенной задачи и решение невозмущенной системы асимптотически близки [1, 2]. Далее эти достаточные условия стали называть условиями устойчивости. Затем, исследователей интересовало асимптотическое поведение решения задачи при нарушении условии устойчивости. Первой работой, когда нарушается условия устойчивости на отрезке [-1, 1], но выполняется предельный переход, является работа М.А. Шишковой [3], ученица Л.С. Понтрягина. Вслед за этой работой появились работы [4-16] и др. Во всех этих работах исследованы случаи, когда собственные значения имеют нули. В данной работе исследуется случай, когда комплексно-сопряженные собственные значения матрицы-функции коэффициента линейной части имеют полюсы. Доказывается асимптотическая близость решения сингулярно возмущенной задачи Коши при нарушении асимптотической устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений» к решению предельной системы на достаточно большом промежутке. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши 17 Постановка задачи и основной результат Рассмотрим задачу Коши 8x'(t,8) = A(t)x(t,8) + f(t), x(t0,8) = x0, (1) где 0 < 8 - малый параметр, A(t) - квадратная матрица-функция второго порядка, с элементами аjk(t), f(t) = colon{/1(t), f2(t)}, аjk(t), fk(t) - аналитические функции, (j, к = 1, 2), x0 = colon(8,8), t£[t0,T0], t0 = ctg(n/(2n-2)), t0 < T0 - const, 3 < neN, матрица-функция A(t) имеет комплексно сопряженные собственные значения: X1(t) = (t + i)-n, X2(t) = (t-i)-n, 1 < neN. Систему (1) при 8 = 0 называют невозмущенной или предельной, эта предельная система имеет единственное решение: ;v (t) = -A '(t)f (t). Требуется доказать теорему Теорема. Для решения задачи (1) справедлива асимптотическая оценка ||x(t,8) + A-’(t)/(t)|| < c8, при ctg(n/(2n-2)) < t < T0, где 0 < c - const, t0 < Т0 - const, t0 = ctg(n/(2n-2')), 3 < neN. Доказательство. Как и в работе [14], в задаче (1) сделаем замену x(t,8) = B0(t)y(t,8) + g(t), где g(t) = -A-1(t)f(t), y(t,8) - неизвестная вектор-функция, B (^) = ^(^1 (t)- a22 (t))/ a21 (t) (^2 (t)- a22 (t))/ a21 (t)^ где Нетрудно убедиться в справедливости равенства: B0-1(t)A(t)B0(t) = D(t), D(t') = diag(X1(t), X2(t)). Тогда получим задачу 8у'(t,8') = D(t')y(t,8) + 8B(t)y(t,8) + 8h(t'), y(t0,8) = y0(8), (2) где B(t) = -B0-1 (t)B'0 (t), h(t) = -B0-1 (t)g'(t), |[y0(8)|| = O(8),8^0. От задачи (2) переходим к эквивалентной задаче: t y(t,8)=E(t,t0,8)y0(8)+j E(t,T,8)(B(T)z(T,8)+h(T))dT, (3) t0 где E(t,T,8) = expD(s')ds. Пусть P(v,w,t) = ijj(t)v(t,8) + bj2(t)w(t,8), Q(y,w,t) = b21(t)v(t,s,) + b22(t)w(t,s,). 18 Д.А. Турсунов Задачу (3) запишем в скалярном виде: t t v(t,e) = v0E (t■,t0,s) +JE1 (t,T,(T)dt + JEj (t,t,e)P(v,w,T)dt, t0t0 (4) t t w(t, e) = w0E2 (t, t0, e) +J E2 (t,t, e)i2 (T)dt +J E2 (t,t, e)^ (v, w, T)dt, ^0 ^0 имеем |v0| = |v0(t0,e)| = O(e), |w0| = |w0(t0,e)| = O(e), e^0. Задачу (4) будем решать методом последовательных приближений v0(t,e) = 0, w0(t,e) = 0, t v1(t,e)=O(e)E1(t,t0,e)+JE1(t,T,e)h1(T)dT, t0 t w1(t,e)=O(e)E2(t,t0,e)+JE2(t,T,e)h2(T)dT,, t0 vm(t,e)=v1(t,e)+JE1(t,T,e)P(vm-1,wm-1,T)dT , t0 t wm(t,e)=w1(t,e)+JE2(t,T,e)Q(vm-1,wm-1,T)dT, t0 где P(vm,wm,t)=b11(t)vm(t,e)+b12(t)wm(t,e), Q(vm,wm,t)=b21(t)vm(t,e)+b22(t)wm(t,e), |bkj(t)| < c0/2, (k,j = 1, 2). Далее при оценке функций vm(t,e), wm(t,e) переменную t будем считать комплексным переменным, следовательно, vm(t,e), wm(t,e) - комплексными величинами. Затем мы используем свойства аналитической функции [17]: Значение интеграла от аналитической функции в односвязной области Н не изменяется, если контур интегрирования непрерывно деформируется так, что его концы остаются неподвижными и он все время остается внутри Н. Пусть t = t1 + it2, T = T1 + iT2, где t1, t2, T1, T2 - действительные переменные, i =-J-1. Нам следует рассматривать область тех точек (tj ;t2), для которых одновременно справедливы неравенства t1+it2 t1+it2 u (tJ,t2 ) = Re J (.S' + i'')n ds < 0, u (tJ,-t2 ) = Re J (s -ids < 0. t0t0 Проведем исследование последовательных приближений vm(t,e) и wm(t,e). Имеют места неравенства: |v1(t1,t2,e)| < |v0E1(t1,t2,e)| + |J1(t1,t2,e)|; |vm(t1,t2,e)| < |v1(t1,t2,e)| + |Jm(t1,t2,e)|; (5) (tJ, t2, e) < |w0 E2 (tJ, t2, e)+| Л (tJ, t2, e) ; (6) I Wm (t1, t2, e)< IW1 (t1, t2, e) + I ^Jm (t1, t2, e) ; Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши 19 где l , l mm - пути интегрирования m-го приближения, соединяющие точки (t0 ;0) (t1 ;t2), lmj - отрезки этих путей. Собственные значения A(t) в комплексной плоскости, соответственно в точках (±i) имеют n-кратный полюс и ReХ1.2 (I)■ Re ('Ффn(t) = Re(t + ‘, (t2+1)n(t2+1)n где (t l = F’ - Ci-t’*-2 +'"+k-' Cik-2l' +(-1)kC3, n = 2k. k e N, K1 - C’k-,r‘-3 + ... + (-1)‘-2 C’;:,4r’ +(-1)‘-1C’.k:,2t. n = 2k -1. поэтому Re A1,2(t) < 0. если фп(1) < 0; Re A1,2(t) > 0. если фп(1)>0; Re A1,2(t) = 0. если Фп(1) = 0 или t^OT. Если перейти к полярным координатам t + i = р(cosф + isinф), р = yjt+1, ф = arctg(1/1), то получим Re А1,2(р, ф) = р ncos(nф). Поэтому 4k+1 4k+3 Re Al 2(р, ф) < 0 при-----п

Скачать электронную версию публикации