Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши в случае смены устойчивости, когда собственные значения имеют полюсы | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 59. DOI: 10.17223/19988621/59/3

Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши в случае смены устойчивости, когда собственные значения имеют полюсы

Исследуется асимптотическое поведение решения сингулярно возмущенной задачи Коши при нарушении условия асимптотической устойчивости, когда комплексно-сопряженные собственные значения матрицы-функции коэффициента линейной части имеют полюсы. Доказывается асимптотическая близость решения сингулярно возмущенной задачи Коши при нарушении асимптотической устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений» к решению предельной системы на достаточно большом промежутке.

Asymptotics of the solution of the singularly perturbed Cauchy problem in the case of a change in the stability, when th.pdf Как нам известно, многие актуальные задачи теории колебаний, теории радиотехнических приборов, теории автоматического регулирования, квантовой механики и др. сводятся к изучению систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Случаи, когда сингулярно возмущенные уравнения имеют явные решения, крайне редки. Даже для современных компьютеров задача определить поведение решения в пограничных слоях и при нарушении условия асимптотической устойчивости, при достаточно малых значениях параметра, - весьма трудоемкая задача. Важным инструментом при исследовании поведений решений подобных сингулярных задач являются асимптотические методы. А.Н. Тихонов сформулировал достаточные условия, при выполнении которых решение возмущенной задачи и решение невозмущенной системы асимптотически близки [1, 2]. Далее эти достаточные условия стали называть условиями устойчивости. Затем, исследователей интересовало асимптотическое поведение решения задачи при нарушении условии устойчивости. Первой работой, когда нарушается условия устойчивости на отрезке [-1, 1], но выполняется предельный переход, является работа М.А. Шишковой [3], ученица Л.С. Понтрягина. Вслед за этой работой появились работы [4-16] и др. Во всех этих работах исследованы случаи, когда собственные значения имеют нули. В данной работе исследуется случай, когда комплексно-сопряженные собственные значения матрицы-функции коэффициента линейной части имеют полюсы. Доказывается асимптотическая близость решения сингулярно возмущенной задачи Коши при нарушении асимптотической устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений» к решению предельной системы на достаточно большом промежутке. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши 17 Постановка задачи и основной результат Рассмотрим задачу Коши 8x'(t,8) = A(t)x(t,8) + f(t), x(t0,8) = x0, (1) где 0 < 8 - малый параметр, A(t) - квадратная матрица-функция второго порядка, с элементами аjk(t), f(t) = colon{/1(t), f2(t)}, аjk(t), fk(t) - аналитические функции, (j, к = 1, 2), x0 = colon(8,8), t£[t0,T0], t0 = ctg(n/(2n-2)), t0 < T0 - const, 3 < neN, матрица-функция A(t) имеет комплексно сопряженные собственные значения: X1(t) = (t + i)-n, X2(t) = (t-i)-n, 1 < neN. Систему (1) при 8 = 0 называют невозмущенной или предельной, эта предельная система имеет единственное решение: ;v (t) = -A '(t)f (t). Требуется доказать теорему Теорема. Для решения задачи (1) справедлива асимптотическая оценка ||x(t,8) + A-’(t)/(t)|| < c8, при ctg(n/(2n-2)) < t < T0, где 0 < c - const, t0 < Т0 - const, t0 = ctg(n/(2n-2')), 3 < neN. Доказательство. Как и в работе [14], в задаче (1) сделаем замену x(t,8) = B0(t)y(t,8) + g(t), где g(t) = -A-1(t)f(t), y(t,8) - неизвестная вектор-функция, B (^) = ^(^1 (t)- a22 (t))/ a21 (t) (^2 (t)- a22 (t))/ a21 (t)^ где Нетрудно убедиться в справедливости равенства: B0-1(t)A(t)B0(t) = D(t), D(t') = diag(X1(t), X2(t)). Тогда получим задачу 8у'(t,8') = D(t')y(t,8) + 8B(t)y(t,8) + 8h(t'), y(t0,8) = y0(8), (2) где B(t) = -B0-1 (t)B'0 (t), h(t) = -B0-1 (t)g'(t), |[y0(8)|| = O(8),8^0. От задачи (2) переходим к эквивалентной задаче: t y(t,8)=E(t,t0,8)y0(8)+j E(t,T,8)(B(T)z(T,8)+h(T))dT, (3) t0 где E(t,T,8) = expD(s')ds. Пусть P(v,w,t) = ijj(t)v(t,8) + bj2(t)w(t,8), Q(y,w,t) = b21(t)v(t,s,) + b22(t)w(t,s,). 18 Д.А. Турсунов Задачу (3) запишем в скалярном виде: t t v(t,e) = v0E (t■,t0,s) +JE1 (t,T,(T)dt + JEj (t,t,e)P(v,w,T)dt, t0t0 (4) t t w(t, e) = w0E2 (t, t0, e) +J E2 (t,t, e)i2 (T)dt +J E2 (t,t, e)^ (v, w, T)dt, ^0 ^0 имеем |v0| = |v0(t0,e)| = O(e), |w0| = |w0(t0,e)| = O(e), e^0. Задачу (4) будем решать методом последовательных приближений v0(t,e) = 0, w0(t,e) = 0, t v1(t,e)=O(e)E1(t,t0,e)+JE1(t,T,e)h1(T)dT, t0 t w1(t,e)=O(e)E2(t,t0,e)+JE2(t,T,e)h2(T)dT,, t0 vm(t,e)=v1(t,e)+JE1(t,T,e)P(vm-1,wm-1,T)dT , t0 t wm(t,e)=w1(t,e)+JE2(t,T,e)Q(vm-1,wm-1,T)dT, t0 где P(vm,wm,t)=b11(t)vm(t,e)+b12(t)wm(t,e), Q(vm,wm,t)=b21(t)vm(t,e)+b22(t)wm(t,e), |bkj(t)| < c0/2, (k,j = 1, 2). Далее при оценке функций vm(t,e), wm(t,e) переменную t будем считать комплексным переменным, следовательно, vm(t,e), wm(t,e) - комплексными величинами. Затем мы используем свойства аналитической функции [17]: Значение интеграла от аналитической функции в односвязной области Н не изменяется, если контур интегрирования непрерывно деформируется так, что его концы остаются неподвижными и он все время остается внутри Н. Пусть t = t1 + it2, T = T1 + iT2, где t1, t2, T1, T2 - действительные переменные, i =-J-1. Нам следует рассматривать область тех точек (tj ;t2), для которых одновременно справедливы неравенства t1+it2 t1+it2 u (tJ,t2 ) = Re J (.S' + i'')n ds < 0, u (tJ,-t2 ) = Re J (s -ids < 0. t0t0 Проведем исследование последовательных приближений vm(t,e) и wm(t,e). Имеют места неравенства: |v1(t1,t2,e)| < |v0E1(t1,t2,e)| + |J1(t1,t2,e)|; |vm(t1,t2,e)| < |v1(t1,t2,e)| + |Jm(t1,t2,e)|; (5) (tJ, t2, e) < |w0 E2 (tJ, t2, e)+| Л (tJ, t2, e) ; (6) I Wm (t1, t2, e)< IW1 (t1, t2, e) + I ^Jm (t1, t2, e) ; Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши 19 где l , l mm - пути интегрирования m-го приближения, соединяющие точки (t0 ;0) (t1 ;t2), lmj - отрезки этих путей. Собственные значения A(t) в комплексной плоскости, соответственно в точках (±i) имеют n-кратный полюс и ReХ1.2 (I)■ Re ('Ффn(t) = Re(t + ‘, (t2+1)n(t2+1)n где (t l = F’ - Ci-t’*-2 +'"+k-' Cik-2l' +(-1)kC3, n = 2k. k e N, K1 - C’k-,r‘-3 + ... + (-1)‘-2 C’;:,4r’ +(-1)‘-1C’.k:,2t. n = 2k -1. поэтому Re A1,2(t) < 0. если фп(1) < 0; Re A1,2(t) > 0. если фп(1)>0; Re A1,2(t) = 0. если Фп(1) = 0 или t^OT. Если перейти к полярным координатам t + i = р(cosф + isinф), р = yjt+1, ф = arctg(1/1), то получим Re А1,2(р, ф) = р ncos(nф). Поэтому 4k+1 4k+3 Re Al 2(р, ф) < 0 при-----п

Ключевые слова

асимптотическое поведение, сингулярно возмущенная задача Коши, сингулярное возмущение, малый параметр, система обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной, асимптотическая устойчивость, комплексно-сопряженные собственные значения, asymptotic behavior, singularly perturbed Cauchy problem, singular perturbation, small parameter, system of ordinary differential equations with a small parameter at the derivative, asymptotic stability, complex conjugate eigenvalues

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Турсунов Дилмурат АбдиллажановичОшский государственный университетпрофессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры информатикиtdaosh@gmail.com
Всего: 1

Ссылки

Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Математический сборник. 1948. Т. 22 (64). С. 193-204.
Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений содержащих малые параметры при производных // Математический сборник. 1952. Т. 31(73). № 3. С. 575-586.
Шишкова М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Докл. АН СССР. 1973. Т. 209. № 3. С. 576-579.
Ривкинд В.Я., Новиков С.П., Петков В.М., Мясников В.П., Федорюк М.В., Кучеренко В.В., Давыдов А.А., Нейштадт А.И., Кружков С.Н., Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Сухов Ю.М., Шухов А.Г., Вайнберг Б.Р., Бахтин В.И., Вайнштейн А.Г., Шапиро Б.З., Кондратьев Б.З., Олейник О.А., Вишик М.И., Куксин С.Б., Королев А.Г., Ильяшенко Ю.С. Заседания семинара имени И. Г. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики // УМН. 1985. Т. 40 № 5(245). C. 295-307.
Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях I // Диф. урав. 1987. Т. 23. № 12. C. 2060-2067
Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях II // Диф. урав. 1988. Т. 24. № 2. C. 226-233.
Нейштадт А.И., Сидоренко В.В. Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера / Препринт. М.: Институт прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша, 1995.
Neishtadt A.I. Sidorenko V.V. Stability loss delay in a Ziegler systemi // J. App. Maths. Mechs. 1997. V. 61. No. 1. P. 15-25.
Ziegler H. Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik // Ing. Archiv 1952. V. 20. N 1. S. 49-56.
Арнольд В.И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. 1986. Т. 5. С. 5-218.
Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Асимптотическое интегрирование линейных задач в области «неустойчивости» // Изв. АН КиргССР. 1983. № 3. С. 14-29.
Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд., доп. М.: Наука, 1990. 128 c.
Турсунов Д.А., Турсунов Э.А. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных задач при нарушении условия устойчивости // Естественные и технические науки. 2007. № 3(29). С. 12-16.
Турсунов Д.А. Асимптотика решения задачи Коши при нарушении устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений» // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 54. C. 46-57. DOI: 10.17223/19988621/54/4.
Alybaev K.; Murzabaeva A. Singularly perturbed first-order equations in complex domains that lose their uniqueness under degeneracy // AIP Conference Proceedings. 2018. V. 1997. No. 1. DOI: 10.1063/1.5049070.
Талиев А.А. Затягивание потери устойчивости для сингулярно возмущенных уравнений с непрерывными правыми частями // Вестник Томского гос. ун- та. Математика и механика. 2014. № 4 (30). C. 36-42.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.Ф. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 739 с.
 Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши в случае смены устойчивости, когда собственные значения имеют полюсы | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 59. DOI: 10.17223/19988621/59/3

Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши в случае смены устойчивости, когда собственные значения имеют полюсы | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 59. DOI: 10.17223/19988621/59/3