Динамика и разрушение магматических снарядов при подводном извержении вулканов | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 59. DOI: 10.17223/19988621/59/4

Динамика и разрушение магматических снарядов при подводном извержении вулканов

Изучено движение и разрушение магматических снарядов в жидкой среде при извержении подводного вулкана. Получены соотношения для времени их движения в толще воды до полного торможения и для соответствующих ему глубин. Определено время достижения критических напряжений, при котором снаряды разрушаются из-за воздействия температурного градиента. Решена модельная задача для определения напряженного состояния магматического снаряда в результате воздействия силы сопротивления среды. Выявлен вклад возможного квазистатического вращения тела в его разрушение.

Dynamics and destruction of volcanic bombs at underwater volcanic eruption.pdf В процессе извержения подводного вулкана взрывного типа большую роль играют фазовые превращения, происходящие в движущейся магме в условиях быстрой декомпрессии [1]. Сюда можно отнести и образование кристаллической фазы, на базе которой формируются магматические снаряды, представляющие собой раскаленные камни размером от нескольких сантиметров до нескольких метров и часто вылетающие из воды в атмосферу с большими скоростями. Так, например, при извержении в кальдере вулкана Академии наук со дна озера Карымское выстреливались базальтовые снаряды размером 1-1.5 м на расстояния до 5 км [2]. В полной мере проведение натурных и лабораторных исследований этого природного явления не представляется возможным. Поэтому математическое моделирование динамики и разрушения магматических снарядов является уникальным средством исследования на основе механики сплошной среды. 1. Динамика магматического снаряда Рассматривается динамика движения магматического снаряда от устья жерла вулкана до океанической поверхности. Зная время движения к поверхности, можно оценить критическое напряженное состояние тела, при котором происходит его разрушение из-за неравномерности распределения температуры. Для анализа вертикального движения тела к свободной поверхности океана примем следующую систему уравнений: mdV n 2 ---= -mg -C^-V , dt 2 =V, (1.1) dt 30 А.Ю. Албагачиев, В.А. Головешкин, Н.Н. Холин где J - масса, V - скорость тела, t - время, g - ускорение свободного падения, C - коэффициент сопротивления среды, S - площадь поперечного сечения тела , р - плотность воды, H - расстояние, пройденное телом от точки старта. При t = 0.V =V0 (V0 - начальная скорость тела ) и H = 0. Решение системы уравнений (1.1) запишется в виде tgIVarctgV0 V = V (1.2) [csp 2Jg 2J H =---In CSp cos ( arctg V0 cos [ arc'g (1.3) где коэффициент сопротивления среды C определяется из натурных наблюдений за скоростью выхода тела на поверхность океана. В некоторых работах делались попытки определения значения C независимым путем, но использование подобных подходов для конкретных расчетов проблематично. Пусть в некоторый момент времени t= t* тело тормозится до нулевой скорости, тогда и из (1.2) следует t* arctg VJCJP 2Jg (1.4) Соответствующая высота H* - высота торможения до нулевой скорости, определяется из соотношения (1.3). 2j I (1.5) H* =--;-In cos I arctg V0 CSP V Если глубина вулкана меньше величины H* , то снаряд выстреливается в атмосферу. В природе выбросы пирокластических материалов из воды наблюдались для случаев, когда глубина устья жерла вулкана не превышала 400 м. Сравнение с натурными наблюдениями за выходом магматических снарядов позволяет дать оценку значения коэффициента сопротивления воды. C =0.17 -0.25. По известным значениям скорости вылета снаряда в атмосферу и размера толщи воды из соотношений (1.2) - (1.5) можно определить время его движения в воде и начальную скорость вылета в воду из жерла вулкана. Динамика и разрушение магматических снарядов при подводном извержении вулканов 31 2. Фрагментация магматического снаряда в результате неоднородного распределения температуры В процессе движения тела в воде на завершающем этапе его фрагментация может осуществляться за счет неоднородности распределения температурных напряжений. В работе [3] были получены следующие соотношения для радиальных напряжений стг и тангенциальных напряжений , при известном законе распределения температуры T(r): ( ) 2E а1 CTr(r) = 1-- 1- v r3 3 R r f T (z)zdz -f T(z)z 2 dz ; R 0 0 _ (2.1) E а1 (r) =-- 2r 3 R r 1 3 "RT f T (z)zdz -f T (z)z dz - T (r ^r . (2.2) Здесь E - модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона, а1 - коэффициент температурного расширения. Для оценки характера распределения температуры по радиусу рассматривается следующая модельная задача. Пусть имеется шар радиуса R с начальной температурой T0 , близкой к температуре плавления базальта (1500 °C), к которому на границе мгновенно «подводится» температура окружающей воды Tw , считающаяся в дальнейшем постоянной и равной нулю. Изменение температуры внутри шара описывается уравнением теплопроводности в сферической системе координат, которое при наличии сферической симметрии имеет решение в виде 2 , .xn R ■ лnnr A л nn2 T = A 1+ V - (-1) - sin I---| exp I---at L Г:1 nn ’ r : R J R (2.3) Здесь T(r,t) - температура (функция радиуса r и времени t ), а - коэффициент температуропроводности. Начальное условие: T(r,0): T0, граничное условие: T(0, t) : Tw . Приведенный коэффициент A представляет собой разность температуры на границе и начальной температуры тела (в нашем случае A < 0). Качественный анализ соотношений (2.1) и (2.2) показывает, что напряжение имеет положительное значение на поверхности шара и отрицательное значение в его центре. Напряжение стг всюду отрицательно и его максимум достигается в центре. Согласно формулам (2.1) и (2.3), CTr(r, ()=1е- а1 AS (-1)П exp I-r-R:r “tJx 1 - V n:1 n2n2 к R J (2.4) Если величина at / R2 порядка единицы, то для оценки возникающих напряжений достаточно ограничиться одним слагаемым: . . 2E ,2 л п2 АН (nrA R3 1 . (nrA~ (r, t) =---a1 A-exp I---at l -1 -- cos I - l+-;-sin I - l . 1 -v ' n2 к R2 JL r2 : R 1 r2 n : ^JJ 32 А.Ю. Албагачиев, В.А. Головешкин, Н.Н. Холин При этом: zn Ч 2E ,^2 Г п2 АГп^ -3A Or (0,t) = 1-; а1 A-exp (--г а, j (2.5) При условии, что если величина at / R2 мала, то тело успевает охладиться на малую глубину и для оценки характера распределения температуры можно использовать решение одномерной задачи теплопроводности [4]: x 2 Г z '2 А T(x,t)=A 1 -■;= I exp I--Idz , а/2П J Ч 2 j CTr(0,t) 2E а1 1 - v R3 J T (z, t )R dz = _ 0 _ 2E а1 1 - v R JT(z,t')dz . _ 0 _ (2.6) Из (2.6) следует 2E CTr (0, t) =-----2a1 1-v 1 '/2П R Известно, что для большинства материалов наибольшую опасность представляют максимальные напряжения сдвига: тт = (стг -стф) /2 . Согласно статистической теории прочности, зависимость предела прочности от размера тела оценивается формулой _1 Г l* A m ткр =т*( -тj (2.7) где Ткр - критическое значение напряжения сдвига; т*, l* и m - эмпирические постоянные; l - характерный размер тела или его фрагмента. Проведем оценки с использованием данных для базальта: коэффициент температурного расширения а1 = 7.9 •10-61/К, коэффициент температуропроводности а = 10 6 м2/с, модуль Юнга E = 1011 Н/м2, коэффициент Пуассона v = 0.25 , предел прочности на сжатие [CTr ]= 2 • 1 08 Н/м2. С учетом (2.7) следует, что время, необходимое для достижения критического напряжения CTr(0,t) =[CTr] , определяется из соотношения 'Jot / R и 7 •Ю-2. Таким образом, время достижения критических напряжений tкp, определяется формулой tкр = 49•Ю-4/а . В частности, для тела диаметром 6 см время достижения критических напряжений составит 4.9 с. Таким образом, если размер обломка порядка нескольких сантиметров, то возникающие градиенты температуры могут разрушить его до размеров вулканического пепла. Более крупные снаряды (10 см и выше) разрушаются послойно. Если в качестве размера l в критерии разрушения брать толщину охлажденного слоя , то периодически толщина достигает критического размера и происходит сбрасывание разрушенного слоя. Динамика и разрушение магматических снарядов при подводном извержении вулканов 33 3. Разрушение магматического снаряда под действием силы сопротивления среды Определим напряженно-деформированное состояние объекта в плоской упругой постановке. Магматический снаряд моделируется упругим цилиндром радиуса R плотности p . Заметим, что количественно результат будет отличаться от сферической модели, но для качественного исследования напряженного состояния тела это различие роли не играет. Предполагается, что скорость V направлена перпендикулярно оси цилиндра. На поверхности действует давление: о 2 п п (3.1) p = Pocos ф, при фЕ --;-2 , p = 0 с теневой (нижней) стороны. Угол ф отсчитывается от направления вектора скорости. Величина P0 представляет собой скоростной напор - произведение квадрата скорости объекта на плотность воды. Поскольку плотность воды на три порядка выше плотности воздуха, то при равных скоростях тело в воде испытывает сопротивление внешней среды на три порядка выше сопротивления атмосферы. При рассмотрении движения магматического снаряда в воде следует учитывать факт быстрого торможения тела по причине квадратичной зависимости величины P0 от скорости. Именно поэтому сопротивление воды движению тела существенно влияет на его разрушение лишь на начальном этапе. На более поздней стадии движения разрушение движущегося тела в большей степени определяется градиентом температуры. Отметим также, что здесь учитывается также возможное ква-зистатическое вращение тела при его движении к поверхности. В рамках упругой постановки имеем d^rr +1 dZrP+^"-^' dr r дф S^rp 1 d + ^rp dr r фф r 4 Poo ----cos ф , 3п R +1 r дф где

Ключевые слова

вулкан, подводные извержения, магматические снаряды, критические напряжения, разрушение, volcano, underwater eruptions, volcanic bombs, critical stresses, destruction

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Албагачиев Али ЮсуповичИнститут машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наукдоктор технических наук, профессор, заведующий отделомAlbagachiev@Yandex.ru
Холин Николай НиколаевичРоссийский технологический университет МИРЭАдоктор технических наук, профессорmostu@bk.ru
Головешкин Василий АдамовичРоссийский технологический университет МИРЭА; Института прикладной механики РАНведущий научный сотрудникnikshevolog@ya.ru
Всего: 3

Ссылки

Кедринский В.К., Давыдов М.Н., Чернов А.А., Такаяма К. Начальная стадия взрывного извержения вулканов: динамика состояния магмы в волнах разгрузки // Докл. РАН. 2006. Т.407. № 2. С.190-193.
Федотов С.А. Одновременное извержение двух вулканов Камчатки в январе 1996 г. // Земля и Вселенная. 1996. № 3. С.60-65.
Холин Н.Н., Головешкин В.А., Андрущенко В.А. Математические модели волновых явлений в конденсированных средах и динамика метеороидов. М.: Ленанд, 2015. 216 с.
Нигматулин Р.И. Механика сплошной среды. М.: Гэотар, 2014. 739 c.
 Динамика и разрушение магматических снарядов при подводном извержении вулканов | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 59. DOI: 10.17223/19988621/59/4

Динамика и разрушение магматических снарядов при подводном извержении вулканов | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 59. DOI: 10.17223/19988621/59/4