Исследование нелинейных эффектов при взаимодействии волн типа цунами с подводными барьерами | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 59. DOI: 10.17223/19988621/59/5

Исследование нелинейных эффектов при взаимодействии волн типа цунами с подводными барьерами

Приведены результаты исследования нелинейных эффектов при взаимодействии длинных гравитационных волн типа цунами с подводными барьерами. В качестве математической модели использованы двумерные уравнения Навье - Стокса в приближении несжимаемой жидкости. Численные результаты получены методом конечных объемов с использованием открытого пакета OpenFOAM. Получены новые данные по исследованию эффективности тонкого и непроницаемого подводного барьера. Показано, что при значениях параметра нелинейности волны больше 0.1 подводный барьер оптимальной высоты гасит около 80 % энергии падающей волны.

Investigation of non-linear effects resulting from the interaction of tsunami like waves and underwater barriers.pdf Волны цунами представляют собой серию длинных гравитационных волн, вызванных внезапным изменением уровня воды на огромных площадях Мирового океана. Наиболее частой причиной таких волн являются подводные землетрясения или мощные извержения вулканов. Вдали от мелководья высота волны обычно меньше одного метра, однако длина волны может достигать нескольких сотен километров. Волны цунами, распространяясь в океане как в мелкой воде, вовлекают в движение всю толщу воды от дна до поверхности океана и обладают огромной энергией, которая обрушивается на прибрежные районы в виде огромных (до 30 м) и продолжительных волн. Для защиты жилых и промышленных районов вблизи береговой линии сооружают протяженные и дорогостоящие барьеры, которые проектируют из условия полного отражения наиболее вероятной высоты волны. Однако, когда волна цунами превышает половину высоты барьера над уровнем моря, барьер превращается в подводный, при этом его эффективность резко падает, поскольку любой искусственный барьер по сравнению с характерной длиной волны цунами является тонким [1]. Точные аналитические решения задачи о взаимодействии волн типа цунами с тонкими подводными барьерами пока удалось получить лишь для уравнений потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости [2]. С другой стороны, известно, что эти решения, в ряде случаев, противоречат экспериментальным данным. Так, в работе [3] была обнаружена аномально высокая степень подавления амплитуды волны типа цунами при её взаимодействии с двумя подводными барьерами, расстояние между которыми намного меньше длины волны L 0.2 параметр Н/Х > 0.15. Отмечается, что при изучении эффективности подводных барьеров такое моделирование, из-за недостаточной длины уединенных волн, в ряде случаев приводит к неверной оценке нелинейных и вязких эффектов. Отличительной особенностью наших исследований является то, что численное моделирование изучаемых явлений проводится на основе и, как правило, совместно с экспериментами в гидродинамическом лотке Института прикладной механики Российской академии наук (ИПРИМ РАН) [9-11]. Конструкция гидродинамического лотка и высокоточный метод измерения уровня воды [12, 13] обеспечивают достаточно полное моделирование волн цунами. В частности, установка оснащена генератором волны кессонного типа (без подвижных элементов), который с высокой точностью создает длинную гравитационную волну (параметр Н/Х = 0.03) заданной амплитуды с параметрами (исключая моделирование по числам Рейнольдса), близкими к натурным для реальных волн цунами. Так, в работе [14] впервые было обнаружено, что существует оптимальная высота преграды h - 0^81 H, при которой в крупномасштабных вихревых структурах, вблизи тонкой непроницаемой преграды, аккумулируется максимальная энергия WV. В работе [15] разработана теоретическая модель, которая объясняет существование оптимальной высоты преграды, и из которой следует, что вихревые потери энергии могут достигать 50% от энергии падающей волны. Однако из тех же экспериментов следует, что при взаимодействии волн с тонкой одиночной преградой заданной высоты наблюдается довольно значительный разброс данных по относительным энергиям вихревых потерь WV/W, что в ряде случаев приводило к снижению (до 30 %) суммарной энергии подавления волн. Исследование нелинейных эффектов при взаимодействии волн типа цунами 39 Таким образом, экспериментальные результаты работы [14] свидетельствуют о том, что необходимы более детальные исследования с целью выявления дополнительных условий и параметров, влияющих на эффективность вихревого подавления волн типа цунами подводными барьерами. В этом и состоит основная цель данной работы. В работе приведены результаты численных исследований нелинейных эффектов при взаимодействии волн типа цунами с тонким подводным барьером при его высоте, близкой к оптимальной h/(H + A) = 0.855-0.875. В численных экспериментах изменялась лишь высота падающей волны. Длина волны, глубина воды и высота барьера оставались неизменными. Численное моделирование изучаемых волновых процессов проводилось в виртуальном волновом лотке, размеры которого в точности совпадали с размерами реального гидродинамического лотка ИПРИМ РАН: длина лотка 15 м, ширина - 0.26 м, высота - 0.4 м. Методы исследования Математическая постановка задачи Рассматривается двумерная (x - y) нестационарная задача о течении несжимаемой вязкой жидкости со свободной границей в канале с препятствием, моделирующая волновое движение. В декартовой системе координат ось x направлена вдоль канала, ось y - вертикально вверх. Для описания движения вязкой несжимаемой жидкости используется система уравнение Навье - Стокса совместно с уравнением неразрывности: pklUU + (U •V)U) |:-Vp + ^V U + pg; (1) du dv (2) - + - = 0, dx dy где U = (u, v) - вектор скорости, p - плотность, p - давление, g - ускорение силы тяжести, ц - коэффициент динамической вязкости. На всех твердых границах канала граничные условия соответствуют условиям прилипания: U: 0 . (3) На свободной поверхности жидкости y = d(x, t) = H + ^(x,t), где ^(x,t) - смещение свободной поверхности, в традиционной постановке соблюдаются кинематическое условие dd dd (4) --+ u - = v dt dx и динамические условия равенства нормального напряжения сумме внешнего и капиллярного давлений, а также отсутствия касательных напряжений: pnn :-p0 +pk, (5) pns : 0, где pk - капиллярное давление. 40 Б.В. Бошенятов, К.Н. Жильцов В качестве начальных условий в момент времени t = 0 задается распределение функции d(x,0), соответствующее начальному перепаду уровня воды в канале. При 0 < x < 1.5 м распределение d(x,O) = Н + 2A, при 1.5 м < x < 15 м - d(x,O) = Н. В наших расчетах мы полагаем, что течение в канале является ламинарным. Обоснованием такого подхода являются результаты экспериментов в каналах прямоугольного сечения [16], которые свидетельствуют о достаточно высоких числах Рейнольдса перехода в турбулентное состояние Re* = р1исрН/ц1, где иср -усредненная по глубине скорость жидкости, Н - начальная глубина воды в канале. При этом величина Re* увеличивается с уменьшением расстояния от входа в канал. Так, при x/H = 60 начало перехода в турбулентное состояние соответствует значению Re1* = 8^103, а конец перехода Re2* = 1.8^104. Кроме того, известно, что с уменьшением начальных возмущений в потоке жидкости число Рейнольдса перехода также увеличивается. В нашем случае, при длине волны Z « 3 м, Н 0.1 м величина x/Н < 30, а начальные возмущения перед волной близки к нулю. Методика расчета Уравнения (1), (2) с соответствующими начальными и граничными условиями решались с помощью метода контрольных объемов. Численные расчеты проводились с использованием решателя InterFoam свободно распространяемого пакета программ OpenFOAM [18]. В процессе расчета временной шаг был нефиксированным и рассчитывался автоматически из условия, что число Куранта не должно быть больше 0.6. Расчет физического времени прохождения волны по каналу составляет 20 с. Для расчета среды использовался метод Volume of Fluid (V0F), предложенный в [17], позволяющий отслеживать изменение границы раздела сред вода - воздух. Уравнение переноса записывается в виде dY -+ u^Vy = 0, 0 -..... На рис. 5 приведены результаты численного моделирования динамики поля скоростей вблизи непроницаемого подводного барьера оптимальной высоты h = 0.85(H + A) и при значении параметра А / Н = 0.068, больше которого потери энергии достигают максимальной величины, равной 50 % от энергии падающей волны (см. рис. 4). Из рис. 5 видно, при t = 7 с передний фронт гравитационной волны приблизился к преграде. Скорость потока за фронтом волны увеличивается со временем пропорционально уровню воды ^((). При t = 7.4 с картина обтекания становиться несимметричной, за угловой точкой преграды уже виден зарождающийся вихрь. При t = 7.6 с - вихрь за преградой полностью сформировался и далее, отбирая энергию у проходящей через преграду волны, он увеличивается в размерах до максимального диаметра равного глубине воды в лотке, а затем (t = 9.5 с) начинается формирование второго вихря с противоположным вращением. При t = 11 с мы видим вблизи преграды сформировавшиеся крупномасштабные вихревые образования, суммарная энергия которых составляет 50 % (теоретический максимум [15] от энергии падающей волны). В это время задний фронт гравитационной волны уже ушел за поле зрения кадра. Видим, что скорость жидкости вне вихревых структур близка к нулю. Далее при t = 11-14 с вихревые образования живут своей жизнью, взаимодействуя друг с другом и распадаясь на более мелкие вих-реобразования, постепенно теряя энергию, из-за внутреннего трения жидкости. На рис. 6, при взаимодействии с той же преградой более слабой волны А/Н = 0.0048 мы наблюдаем совершенно другую картину. Из рис. 6 видно, что симметричное (потенциальное) обтекание преграды без вихрей продолжается более 1 с - рис. 5, a - 5, e. Образование вихря наблюдается лишь на девятой секунде. При t = 9.5 с небольшой вихрь у верхней угловой кромки преграды полностью сформировался. При t = 11 с взаимодействие падающей волны с преградой и рост размера вихря практически прекратились, скорость жидкости вне Исследование нелинейных эффектов при взаимодействии волн типа цунами 45 Рис. 5. Процесс генерации и эволюции вихрей за непроницаемой преградой оптимальной высоты при A/H = 0.068. На всех характерных кадрах течения тонкой пунктирной линией показан начальный уровень воды в волновом лотке Fig. 5. Eddy generation and evolution behind the impermeable barrier of optimal height at A/H = 0.068. The dashed line indicates the initial water level in a wave flume 46 Б.В. Бошенятов, К.Н. Жильцов Рис. 6. Процесс генерации и эволюции вихрей за непроницаемой преградой оптимальной высота! при A/Н = 0.0048. Тонкой пунктирной линией (на всех кадрах) показан начальный уровень воды в волновом лотке Fig. 6. Eddy generation and evolution behind the impermeable barrier of optimal height at A/Н = 0.0048. The dashed lines indicate the initial water level in a wave flume (in all the pictures) вихревого образования близка к нулю. В этот момент времени в соответствии с рис. 4 вихревая энергия не превышает 10 %. Далее происходит постепенная диссипация вихревой энергии, которая локализована вблизи преграды. Таким образом, представленная на рис. 4 зависимость энергетических потерь при прохождении длинной гравитационной волны над подводным барьером объясняется характером вихреобразования в непосредственной близости за барьером, который зависит не только от высоты барьера, но и от высоты падающей волны. Исследование нелинейных эффектов при взаимодействии волн типа цунами 47 Условия образования вихревых структур в исследованиях [6, 19] и многих других, например [20], не соответствуют оптимальным. Высота преград, как правило, меньше оптимальной величины. Поэтому, даже для гравитационных волн относительно большой высоты А /Н > 0.1 потери энергии на преграде не превышают 30 %. Кроме того, во многих случаях волну цунами моделируют относительно короткими волнами, продолжительности которых недостаточно для полномасштабного развития вихревых структур [8]. Этим и объясняется существенно более низкая эффективность подводных преград в подавлении энергии гравитационных волн, которую наблюдали другие авторы подобных исследований. Довольно неожиданным результатом наших исследований является то, что относительная энергия WR/W, уносимая отраженной от барьера волной, так же, как и вихревая WV/W, зависит от высоты падающей волны. На рис. 7 приведена зависимость коэффициента отражения KR от параметра нелинейности при оптимальной высоте барьера. Там же, для сравнения, приведена! данные работ [6, 19], полученные при высоте барьера меньше оптимальной. Кроме того, на рис. 7 пунктирными линиями показаны соответствующие величины коэффициента отражения волны от преграды той же высоты, но бесконечно большой протяженности в направлении распространения волны b = да, рассчитанные по линейной теории мелкой воды [1]: 4н-yj H - h = 0.564 . (10) 4Н н - h A/H л л --- - л A. , T [J 1 Г 1 г 0.25 Рис. 7. Зависимость коэффициента отражения KR от параметра нелинейности А/Н. Треугольные маркеры относятся к преграде оптимальной высоты, круглые и прямоугольные маркеры - численные данные работ [6, 19] Штриховые линии - соответствующий расчет по линейной теории мелкой воды для преграды! бесконечной толщинах (b = да) в виде ступеньки. Fig. 7. Dependency diagram of the reflection coefficient KR on the nonlinearity parameter А/Н. The triangles indicate the optimum barrier height; the circles and squares, the numerical results from [6, 19]; the dashed lines, the results calculated using a linear theory of shallow water for a barrier of infinite thickness (b = да) in the form of step Видно, что в диапазоне изменения 0.05 < A/H < 0.12 коэффициент отражения увеличивается от 0.2 до максимально возможной величины при заданной высоте 48 Б.В. Бошенятов, К.Н. Жильцов преграды равной 0.564, рассчитанной по формуле (10). Расчетные данные работ [6, 19], полученные при взаимодействии гравитационной волны c подводной преградой, высота которой отличалась от оптимальной h/(H+A) < 0.65, находятся значительно ниже полученных в данной работе результатов. Видно, что в этом случае коэффициенты отражения не превышают 0.22 и на 25 % ниже максимально возможной величины при той же высоте преграды, рассчитанной по формуле (10). Также на рис. 7 черный треугольник - численный расчет, проведенный нами и повторяющий условия работы [19]. Можно отметить, что имеющееся отклонение от данных работы [19] является результатом того, что авторы рассматривали более короткую уединенную волну. Отметим, что наши исследования взаимодействия волн типа цунами с подводными преградами конечной толщины [21] показали, что для преграды оптимальной высоты и толщины b > 0.1 Z коэффициент отражения практически не изменяется и равен коэффициенту отражения от преграды бесконечной толщины (b = да). Таким образом, образование за преградой крупномасштабных вихревых структур увеличивает эффективную толщину преграды, делая ее волновое сопротивление эквивалентным волновому сопротивлению преграды бесконечной толщины b = да. При этом коэффициент отражения можно с достаточной точностью вычислять по формуле (10). В заключение статьи приведем график, который характеризует суммарную эффективность тонкой (по отношению к длине волны) преграды оптимальной высоты в зависимости от параметра нелинейности А /Н. На рис. 8 дана такая зависимость: ^R + Wv • 100 % = f (A /H). Для сравнения на рис. 8 приведены расчетные W данные работы [6], в которой исследовались характеристики подобной преграды произвольной (не оптимальной) высоты при взаимодействии с более короткой волной. 100 80 о о 60 40 + 20 0 A/H < _ L_f -------- 0.25 Рис. 8. Суммарная эффективность тонкой и непроницаемой подводной преграды: треугольные маркеры соответствуют оптимальной высоте преграды! h ~ 0.8H'. круглые маркеры - данные работы [6] при высоте преграды ниже оптимальной Fig. 8. Total efficiency of the thin impermeable underwater barrier: the triangles indicate the optimum barrier height h ~ 0.8H'. the circles, the results for barrier height lower than optimum presented in [6] Исследование нелинейных эффектов при взаимодействии волн типа цунами 49 Из рис. 8 видно, что для слабых волн A/H < 0.1, падающих на преграду, суммарная эффективность преграды сильно зависит от высоты волны. При значениях параметра нелинейности A/H < 0.01 суммарные потери энергии не превышают 20 %. При значениях 0.13 < A/H < 0.16 потери энергии на преграде оптимальной высоты достигают максимальной величины равной 80 % от энергии падающей волны; данные по эффективности подобной преграды не оптимальной высоты, приведенные в работе [6], более чем в 2.5 раза ниже. Заключение Получены новые результаты исследований особенностей взаимодействия длинных гравитационных волн типа цунами с непроницаемыми подводными барьерами. Ранее было установлено [4, 6, 14], что в ряде случаев вблизи тонкой непроницаемой преграды образуются крупномасштабные вихревые структуры, которые аккумулируют значительную часть (25 % и более) энергии, проходящей над ней волны. В работах [14, 15], было показано, что существует оптимальная высота преграды, при которой энергия вихревых структур может достигать максимальной величины равной 50 % от энергии падающей волны. Таким образом, суммарная эффективность тонкой подводной преграды определяется не только энергией отраженной волны, но и энергией крупномасштабных вихревых структур, образующихся вблизи преграды. Установлено, что при оптимальной высоте подводного барьера h 0.8Н как энергия отраженной волны, так и энергия, поглощаемая вихревыми структурами, зависят от высоты падающей волны. При значениях А/Н < 0.0001, что соответствует натурным величинам для волн цунами в глубоком океане, течение вблизи тонкого подводного барьера высотой h < 0.9H имеет практически потенциальный характер и волны типа цунами преодолевают эти барьеры практически без потерь энергии. При значениях А/Н > 0.1 и оптимальной высоте барьера суммарные потери энергии на тонкой преграде составляют около 80 % от энергии падающей волны: 30 % отраженная энергия и 50 % - вихревая.

Ключевые слова

волна цунами, непроницаемые подводные преграды (барьеры), уравнение Навье - Стокса, коэффициенты отражения и вихревых потерь, численное моделирование, tsunami wave, impermeable underwater obstacles (barriers), Navies-Stocks equations, reflection coefficient, eddy loss coefficient, numerical modeling

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Бошенятов Борис ВладимировичИнститута прикладной механики Российской академии наукдоктор технических наук, главный научный сотрудникbosbosh@mail.ru
Жильцов Константин НиколаевичТомский государственный университетинженер-исследователь научно-исследовательского института прикладной математики и механикиkonstantin@niipmm.tsu.ru
Всего: 2

Ссылки

Левин Б.В., Носов М.А. Физика цунами и родственных явлений в океане. М.: Янус-К, 2005. 360 с.
Li Ai-jun, Liu Yong, Li Hua-jun. Accurate solutions to water wave scattering by vertical thin porous barriers // Hinduwi Publishing Corporation Mathematical Problems in Engineering. 2015. Article ID 985731. 11 pages. http://dx.doi.org/10.1155/2015/985731.
Фридман А.Н., Альперович Л.С., Шемер Л., Пустильник Л., Штивельман Д., Марчук Ан.Г., Либерзон Д. О подавлении волн цунами подводными барьерами // УФН. 2010. Т. 180. № 8. С. 843-850
Бошенятов Б.В., Жильцов К.Н. Математическое моделирование взаимодействия длинных волн типа цунами с комплексом преград // Современные наукоемкие технологии. 2015. № 12. С. 80 - 83.
Boshenyatov B.V., Zhiltsov K.N. Simulation of the interaction of tsunami waves with underwater barriers // American Institute of Physics. Conference Series. 2016. V. 1770. No. 3. Р. 030088.
Wu Y.T., Hsiao S.C., Huang Z.C., Hwang K.S. Propagation of solitary waves over a bottommounted barrier // Coastal Engineering. 2012. V. 62. P. 31-47. DOI: 10.1016/j.coastaleng. 2012.01.002.
Madsen P.A., Fuhrman D.R., Schaffer H.A. On the solitary wave paradigm for tsunamis // Journal of Geophysical Research. 2008. V. 113: C12012. DOI: 10.1029/2008JC004932.
Qu К., Ren X.Y., Kraatz S. Numerical investigation of tsunami-like wave hydrodynamic characteristics and its comparison with solitary wave // Applied Ocean Research. 2017. V. 63. P. 36-48.
Бошенятов Б.В., Попов В.В. Экспериментальные исследования взаимодействия волн типа цунами с подводными преградами // Изв. вузов. Физика. 2012. Т. 55. № 9/3. С. 145-150.
Бошенятов Б.В., Лисин Д.Г. Численное моделирование волн типа цунами в гидродинамическом лотке // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 6 (26). С. 45-55.
Бошенятов Б.В. Особенности моделирования волн цунами в лабораторной установке // Материалы XIX Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2015) 2015. С. 384-385.
Бошенятов Б.В., Левин Ю.К., Попов В.В., Семянистый А.В. Метод измерения волн малой амплитуды на водной поверхности // ПТЭ. 2011. № 2. С. 116-117.
Бошенятов Б. В., Левин Ю. К., Попов В. В. Устройство измерения уровня воды // Патент РФ на изобретение № 2485452. Приоритет 07.10.2010. Заявка № 2010141060. Зарегистрировано 20.06.2013.
Бошенятов Б.В. O подавлении волн цунами подводными преградами // Доклады Академии наук. 2013. Т. 452. № 4. С. 392-395.
Бошенятов Б.В. О вихревом механизме подавления волн цунами подводными преградами // Доклады Академии наук. 2017. Т. 477. № 4. С. 485-487.
Кутателадзе С. С., Миронов Б. П., Накоряков В. Е., Хабахпашева Е. М. Экспериментальные исследования пристенных турбулентных течений. Новосибирск: Наука, 1975. 166 с.
Hirt, C.W., Nichols, B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free Boundaries // J. Comp. Phys. 1981. V. 39. P. 201-225; DOI: 10.1016/0021-9991(81)90145-5.
OpenFOAM Foundation. OpenFOAM. User guide. Available at http://www.openfoam.org. 2016. p. 211.
Wu Y.T, Hsiao S-C. Propagation of solitary waves over double submerged barriers // Water. 2017. V. 9. P. 917; doi:10.3390/w9120917.
Huang C.-'., Dong C.-M. On the interaction of a solitary wave and a submerged dike // Coastal Engineering. 2001. V. 43 P. 265-286
Бошенятов Б.В., Жильцов К.Н. Исследование взаимодействия волн цунами с подводными преградами конечной толщины в гидродинамическом лотке // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 51. С. 86-103.
 Исследование нелинейных эффектов при взаимодействии волн типа цунами с подводными барьерами | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 59. DOI: 10.17223/19988621/59/5

Исследование нелинейных эффектов при взаимодействии волн типа цунами с подводными барьерами | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 59. DOI: 10.17223/19988621/59/5