Решение краевых задач для двумерного эллиптического дифференциально-операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространстве с помощью метода граничных интегральных уравнений | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/2

Решение краевых задач для двумерного эллиптического дифференциально-операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространстве с помощью метода граничных интегральных уравнений

Методом граничных интегральных уравнений получены решения краевых задач первого, второго и третьего рода для двумерного дифференциальнооператорного уравнения ∆2 , где (x1,x2) - функции со значениями в абстрактном гильбертовом пространстве H, B- генератор экспоненциально убывающей С0-полугруппы сжатий в пространстве H. Доказана корректная разрешимость краевых задач в классе непрерывных по норме H функций. Также доказана корректная разрешимость граничных интегральных уравнений в пространстве функций с квадратично суммируемой нормой H и в пространствах k раз непрерывно дифференцируемых функций со значениями в пространствах типа Соболева, порожденных n степенями оператора .

Solution of boundary problems for a two-dimensional elliptic operatordifferential equation in an abstract Hilbert space .pdf В настоящей работе на основе метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) получены решения краевых задач (КЗ) первого, второго и третьего рода для двумерного дифференциально-операторного уравнения (ДОУ) вида ∆2 u=Bu (∆2 ≡∂2x x+∂2xx). При этом u(x1 , x2 ) - функции со значениями в абстрактном гильбертовом пространстве H , определенные в ограниченной односвязной области или ее внешности с границей ∂Ω ∈ С; B - линейный всюду плотно определенный в пространстве H оператор, порождающий экспоненциально убывающую С0-полугруппу сжатий. Доказана однозначная разрешимость краевых задач в классе непрерывных по норме H функций и устойчивость решений к возмущениям граничной функции в равномерной по норме H метрике. Кроме того, при условии ∂Ω ∈ С'^'+^ установлена однозначная и устойчивая разрешимость соответствующих ГИУ второго рода в банаховых пространствах функций, к = 0,1, раз непрерывно дифференцируемых по норме пространств типа Соболева, определяемых, в свою очередь, n = 0,1,^ степенями оператора B, а также в гильбертовом пространстве функций с квадратично суммируемой нормой H , если ∂Ω∈ С . Решение КЗ для ДОУ ∆2 u=Bu строится здесь по аналогии с методом решения КЗ для скалярного уравнения ∆2u=k2u (k >0), описанным в монографии [1, с. 166]. Оператор B является частным случаем абстрактного эллиптического опе- 12 Д.Ю. Иванов ратора ∠4, для которого справедлива оценка резольвенты: ∣∣^(λ;Л)| ≤ C∣(1 + ∣λ∣) (λ≤0) [2, с. 149]. Исследованию КЗ для обыкновенных эллиптических ДОУ второго порядка в банаховых пространствах посвящено большое количество работ, результаты которых систематически представлены в монографиях [2, с. 304; 3, с. 73; 4, с. 272]. В последние годы появились исследования корректной разрешимости КЗ для эллиптических ДОУ в частных производных в пространствах типа Lp (p ≥ 1) [5-7]. Однако автору не удалось найти работ, посвященных решению КЗ для многомерных эллиптических ДОУ на основе метода ГИУ. Настоящая работа является развитием работ [8-11], посвященных решению КЗ нестационарной теплопроводности в прямых цилиндрах. В работах [8-11] , кроме указанного здесь свойства, использовались следующие частные свойства оператора B : 1) компактность порождаемых им интегральных операторов; 2) возможность спектрального разложения порождаемых им Co-полугрупп в некотором расширенном пространстве. В настоящей работе вместо частного свойства 2 используется универсальная возможность представления сжимающих С0-полугрупп в виде унитарных С0-полугрупп в некотором расширенном гильбертовом пространстве Й ⊃ H , описанная в монографии [12, с. 44]. Постановки краевых задач и единственность их решений Пусть Ω+ - плоская открытая ограниченная односвязная область с границей ∂Ω, и Ω-≡ R2\\ Ω+ (R ≡(-∞, +∞)). Условимся далее писать ∂Ω∈ C'k, если функции x1(s), x2 (s), задающие параметрические уравнения линии ∂Ω и имеющие период ∣∂Ω (5 - длина дуги на ∂Ω, ∣∂^ - длина ∂Ω), имеют непрерывные производные до k -го порядка включительно. Очевидно, тогда ∂Ω∈ Ck в локальном смысле [13, с. 263]. Будем считать по умолчанию, что ∂Ω∈C2 , если не оговорено особо. Рассмотрим четыре краевые задачи (i = 1,2): (1±) ∆2ui±=Bui± (x ≡(x1,x2)∈Ω± ); u1± = w± (x ∈ ∂Ω ), (2a) ∂nu2 -Пu2 = w± (x ∈ ∂Ω ), (2b) где ui± (x) и wi± (x) - векторнозначные функции со значениями в абстрактном гильбертовом пространстве H (все рассматриваемые здесь пространства комплексные), заданные на множествах Ω± и ∂Ω соответственно; n - нормаль к кривой ∂Ω в точке x∈∂Ω, направленная внутрь области Ω+ ; ∆2 ≡∂2x x+∂2xx (ограниченность, непрерывность, дифференцируемость функций предполагается здесь, если не оговорено особо, в норме пространства их значений); η≥0- постоянная; B - замкнутый всюду плотно определенный в H линейный оператор, порождающий С0-полугруппу T(τ): β/ = Iim τ-1 [/ - T(τ)]f, где I - тождественный τ→+0 оператор в пространстве H (далее в пространстве по контексту). Операторы T (τ) удовлетворяют условию Решение краевых задач 13 IIt(т)| ≤ exP (-Pτ), (3) где p - положительная постоянная. Пусть С2(Ω± ; H) и С(Ω±; H) - пространства дважды непрерывно дифференцируемых на множестве Ω± и непрерывных на замыкании этого множества Ω± соответственно функций f(x) со значениями в H. Определение 1. Решением уравнения (1±) будем называть функцию и± ∈ С2(Ω± ; H) со значениями в D(B) (области определения оператора B), обращающую уравнение (1±) в истинное равенство. Определение 2. Решением задачи {P1± } будем называть функцию u1± ∈ С(Ω±; H), являющуюся решением уравнения (1 ±) и удовлетворяющую граничному условию (2а). В случае задачи {P1- } будем требовать также выполнение условия: ∣∣u1-^ →о при |х| →∞. Определение 3. Решением задачи {P2±} будем называть функцию u± ∈С(Ω±;H), являющуюся решением уравнения (1±) и имеющую с внутренней (внешней) стороны ∂Ω правильную нормальную производную ∂∂nu2 (∂nu± (x ±ξn) → дПи2 (x) при ξ→+0 равномерно относительно x ∈∂Ω), определяемую равенством (2b): ∂n±u2± = w2± +ηu2±. В случае задачи {P2-} будем требовать также выполнение условия Ixi Ilu^ l∣vu^ → о при ∣x∣ →∞ (I∣vu∣2 ≡ l∣∂и +l∣∂x и ). HH H x1H x2H Согласно [2, c. 112], следствием оценки (3) является ограниченность оператора B слева: Re(Bf, f)H ≥ p( f, f)H (f∈D(B)). (4) Повторяя доказательства аналогичных теорем для частного случая оператора B [8-10], использующие только свойство (4) этого оператора, приходим к следующим утверждениям: Теоремы 1, 2. Задачи {P1±}, {P2±} имеют не более одного решения. Операторнозначная функция Макдональда Определение 4 (ср. [12, c. 23]). Пусть H - подпространство гильбертова пространства Hl; P - ортопроектор, сюръективно отображающий Hl на H ; А и ∠4 - ограниченные линейные операторы, всюду определенные в пространствах H и Hl соответственно. Будем называть оператор ∠4 дилатацией оператора A и обозначать A = пр∠A, если Anf = ІРА"f для любых f ∈ H и n ∈ N ≡ {1,2,^}. Операторы T0(τ) ≡ exp (pτ) T(τ) являются сжимающими и образуют Со-полугруппу. Согласно теореме 8.1 [12, c. 44], в некотором гильбертовом пространстве Hl ⊃ H существует С0-полугруппа унитарных операторов T'0 (τ), являющихся 14 Д.Ю. Иванов дилатациями соответствующих операторов T0 (τ). В силу теоремы Стоуна [14, c. 410] операторы Т0(т) допускают спектральное разложение: +∞ (5) ^^o(τ) f = ∫ exp(i(ωτ}dPω f (f ∈ H , ≡-1), -∞ где Pω - разложение единицы [14, c. 361] самосопряженного оператора iBi0 (Bi0 -генератор С0-полугруппы T0(T)). Введем в рассмотрение С0-полугруппу T'(τ) ≡ exp(-pτ)T0(τ), порождаемую оператором B = Bi00 + pI. При помощи равенств ∞∞ JT (r) f ≡∫ a(r, τ) (τ) f dτ (f ∈ H), K (r) f ≡∫ a(r, τ) T (τ) f dτ (f ∈ H), (6) 00 где a(r,т) ≡(4πτ) 1 exp--r^(4τ)J (τ>0), определим ограниченные линейные операторы BB(r) и K(r) (r > 0) в пространствах BB и H соответственно. Так как T(т) = пр TB(т) (τ≥ 0), то K(г) = пр BB(г) (r > 0 ). Пусть Σ - множество значений σ ≡^Jp - i ω ьЯ = 1) при ω∈R . Очевидно, функция σ(ω): R →Σ измерима по Борелю. Обозначим через Pσ меру, определенную на борелевских подмножествах Β⊂Σ с помощью равенств Pσ (Β)≡ Pω(σ-1(Β)) . Тогда на основании формулы (5) получаем следующие представления операторов В" (т) и Bi : T^(т) f = ∫ exp(-σ2 т) dPσ f (f ∈ H), Bif = ∫ σ^dPσf (f ∈ D(Bi)), ΣΣ D(Bi) = I f ∈ BH : ∫∣σ∣4I∖dPσf∖IH 0) при фиксированном r > 0. В результате получаем спектральное разложение операторов BB(r): Bt(г)f = ∫ к(r, σ) dPσ f (f ∈ H), Σ ∞ к(r, σ) ≡ ∫ (4πτ)-1 exp - (8) 0 - Решение краевых задач 15 Осуществляя замену ξ ≡ 2 1 [r/(2στ) + 2στ∣r], получаем следующее представление функции k(r,σ): k(r,σ) = (4π)^1 ∫exp( ρξ*dξ (ρ≡rσ). (9) L ^lξ2-1 В случае ω≠0 кривая L - правая ветвь гипербол^і x^cos2 φ-у^∣sin∖^ φ = 1, при этом x = Reξ , у = Imξ, φ = argσ. Точка ветвления ξ = 1 функции y∣ξ'^ -1 обходится вдоль контура L по часовой стрелке (кривая L пересекает действительную ось в точке ξ = cosφ < 1 при ω≠ 0 ). Функция f (ξ) ≡y∣ξ^ -1 рассматривается как однозначная в плоскости с разрезом вдоль луча [1,∞), с условием f(0)=i. Итак, при ω≠ 0 кривая L лежит в секторе ∣arg ξ < ∣arg (σ∈Σ), асимптотически приближаясь к прямым arg ξ = ± arg σ при ∣ξ→∞. Поскольку ∣argσ = ^4-ε при некотором ε(σ) ∈ (0,π∣4), то ∣arg(ρξ)∣ 0); 4) ^(-1)11 π∣(l-1)!]г^K(^')(r)f → f при г →+0 (f ∈ H, I ∈ N); 5) гα K(l) (г) f → 0 при г → +∞ (f ∈ H , l ∈ Z+ , α> 0). Доказательство. Докажем сначала утверждения 1-5 для функции Й (г). Производные д^к(г,σ) (l ∈ Z+) рассматриваются как функции от г > 0 , зависящие от σ∈Σ как от параметра, на основе формул (11). 1). Функции ∂∖k (г, σ) (σ∈Σ , l ∈ Z+) могут быть аналитически продолжены на всю комплексную плоскость C, кроме точки z = 0. Выражения вида σ"2m∂zk(z,σ) (σ∈Σ) при фиксированных l,m ∈ Z+ ограничены в совокупности на множествах вида {argz ≤∏4 -ε1, ∣z ≥ε2} при ε1, ε2 > 0. Отсюда в силу представлений (7) для B и (8) для Й(г) и теоремы Лебега об ограниченной сходимости интегралов для векторнозначных мер [15, c. 356] следует, что функции область K.(l) (r) f (f ∈ Й) могут быть аналитически продолжены в Λ≡{ arg Z 0), так как к (г, σ) = (2п) ^0(ρ). Отсюда с учетом формул (12) получаем уравнения ∆rKI(г) f = Bi KI(г) f (f ∈ H , г > 0). 3) . При IZ →∞ в любом секторе вида ∣argZ ≤∏∣'2- ε (ε >0) функция Макдональда K0(z) равномерно относительно argz стремится к нулю быстрее любой степени z . При z → 0 функция K0(z) имеет логарифмическую особенность. Поэтому в силу непрерывности K0(z) при Z ≠ 0 выражения гαK0(ρ) = ραK0(ρ)∣σ'^ ограничены при r →+0 равномерно по σ∈Σ при любом α>0. Кроме того, rαK0(ρ)→0 при r →+0 и фиксированных σ∈Σ. Отсюда в силу представления (8) и теоремы Лебега получаем предел гαІІ(г) f → 0 при г →+0 для произвольного f ∈ Й. Решение краевых задач 17 4) . Функции ∂lrk(r, σ) могут быть представлены в виде Ai (ρ)∣Г . Функции Al(z) (l ∈N) непрерывны при любом комплексном z и в любом секторе вида ∣arg ≤π∕2 -ε (ε> 0) равномерно относительно arg z стремятся к нулю при IZ →∞ быстрее любой степени z . Следовательно, выражения Г ∂∖k(г, σ) ограничены при r →+0 равномерно по σ∈Σ и rl∂lrk(r,σ)→Al(0)= = [ (-1)1 2π ∣(l - 1)!χ1 при r →+0 и фиксированных σ∈Σ. Используя формулы (12) при m = 0, получаем на основании теоремы Лебега предел ∣^(-1)i2п/(I -1)!^r4'L'(^')(r) f → f при r →+0 для произвольных f ∈ HI и I ∈ N. 5) . Выражения rα∂lrk(r,σ) (α>0, l∈Z+) стремятся к нулю при r→+∞ равномерно по σ∈Σ. В силу формул (12) при m = 0 и теоремы Лебега имеем преде-л^1 rαKL^'l)(r)f → 0 при r → +∞ (α> 0, l ∈ Z+ , f ∈ Й). Утверждения 1 - 5 справедливы для функции K(r), так как T(τ) = пр T'(τ), а элементы KL(r) f (f ∈ IH) могут быть аппроксимированы конечными суммами вида Σn=0 an t'(nh) f ( an ∈ r , h > 0) в норме Й . Например, на основании включений KL(r) f ∈ D(Iim) (f ∈ Й, m ∈ N ) по индукции получаем следующие равенства: BkK(r) f = BBk 1K(r) f = lim τ 1 [/- T(τ)]PBjk ' KL(r) f = τ→+0 = P> lim τ-1 ГЇ - T^(T) 1 Bjk-1 KL(r)f = P>iLk KL(r)f (к = 1,2, _), τ→+0 справедливые при любых f ∈ Й , для которых определена правая часть. Следовательно, K(r) f∈ D(Bm) при любых f∈ Й, m∈ N. Теорема доказана. Следствие 1. При любом фиксированном α>0 функция rα K (r), доопределенная при r = 0 нулевым оператором, сильно непрерывна и ограничена при r≥0. Следствие 2. При любом фиксированном l ∈ N функция [(-1)l 2 п/(l -1)!] r k (l) (r), доопределенная при r = 0 тождественным оператором, сильно непрерывна и ограничена при r ≥ 0. Заметим, что приведенное здесь доказательство теоремы 3 для оператора B является отредактированным доказательством аналогичной теоремы 3 для частного случая оператора B [8]. Последнее также основано на возможности спектрального разложения С0-полугруппы T(τ) в некотором расширенном пространстве, и хотя С0-полугруппа в этом расширенном пространстве не унитарна, спектр порождающего ее оператора также целиком лежит в полуплоскости Reγ≥p >0. 18 Д.Ю. Иванов Векторнозначные потенциалы Пусть f ∈ C(∂Ω; H). С помощью криволинейных интегралов первого рода g1(x) ≡∫∂Ω∂^^(г) f (x')dS , g2(x) ≡ ∫d∩K(г) f (x')dS определим на множестве R2 \\ ∂Ω функции gi (x) (i = 1,2 ) со значениями в пространстве H . Здесь г = ∣x - xj; n1 - нормаль к кривой ∂Ω, проходящая через точку X и направленная внутрь области Ω+ ; дифференцирование ∂n^ осуществляется по переменной x'. Согласно приведенным ниже теоремам 4 - 8, функции gi (x) суть векторнозначные аналоги потенциалов простого и двойного слоев при i =1,2 соответственно, для уравнения (1). Доказательство этих теорем мы не приводим, так как оно совпадает с доказательством соответствующих теорем 4 - 8 для частного случая оператора B [8]. Последнее основано на свойствах функции K (г), сформулированных в теореме 3. Теорема 4. При x ∈ R2 \\ ∂Ω функции gi (i = 1,2 ) бесконечно дифференцируемы, имеют место включения gi(l1,l2)(x) ∈ D(Bm) (m∈N) и выполняются уравнения ∆2gi‘1,‘2^ = Bgi^1’^2'). Кроме того, ∣x∣α∣|gi'^1,^2)(x→ 0 при IX →+∞ ( gi(l1,l2) ≡ ∂lx11∂lx22gi ; l1,l2∈Z+; α>0). Теорема 5. Функция g2 (x ∈ R2 \\ ∂Ω) может быть продолжена по непрерывности в точки x∈∂Ω, и значения g2(x) (x∈∂Ω), полученные при этом, также определяются формулой g2(Х) ≡ ∫∂Ω K(г) f (x') ds'. Пусть d - радиус круга Ляпунова [13, с. 354]. На достаточно малом расстоянии ε0, где Pγ(Γw)f≡∫Γ dPγf. Функции F∈F образуют коммутативную алгебру с нормой ∣∣F∣∣f = sup∣F(γ)∣ и единицей E(γ) = I. F γ∈Γ В алгебру F входит множество ограниченных и непрерывных на кривой Γ функций со значениями в B . Введем также в рассмотрение гильбертово пространство L2 (∂Ω; Ht) квадратично суммируем^іх на множестве ∂Ω векторнозначных функций f (х) со значениями в пространстве Й и нормой IIfIIl2(∂Ω;H) ^∫gjlf (х)1й ds' . ПусТь f ∈ f . Определим интеграл вида F(D)) f ≡ ∫γ F(γ) dPγ f (f ∈ L2 (∂Ω;Й), D ≡'JBB). Для этого сначала определим оператор FWt- (D)) в пространстве L2(∂Ω; HI) как ∑in=1 Ai Pγ(Βi ) (Βi∈Ξw) на элементах вида ab (a ∈ L2 (∂^^), b ∈ H ). Так как полная вариация скалярной аддитивной функции (Pγ (В) f, g^)h (f, g ∈ HI) множества Β⊂Ξw не больше, чем 4 sup l(Pγ (Β)f,g),-∣ ≤ 4|f ∣∣2h ∣∣g∣∣Й [15, с. 111], то Β⊂Ξw H справедлива оценка: ∣∣FWn (D))| ≤ 4 sup ∣∣FWn (γ)∣ (ср. [14, с. 44]), которая может быть γ∈Γw продолжена вместе с оператором F∣W (I)) на множество конечн^іх линейн^іх комбинаций вида ∑n=1 a^b^ (a^ ∈ L2(∂Ω), b^ ∈ HI) [17, с. 327], а затем по непрерывно- Решение краевых задач 23 сти на все пространство L2 (∂Ω; Hl). Если последовательность Ξw -простых функций FWn сходится к FW∈FW в норме FW, то в силу полученной оценки последовательность операторов FWn (D^) сходится по операторной норме и ее предел зависит только от FW и не зависит от конкретной последовательности. Назовем этот предел интегралом Fw (І)), причем ∣∣Fw (І))| ≤ 4 sup ∣∣Fw (γ)∣. В силу последней оценки и γ∈ΓW ограниченностей функции F ∈ F и меры Pγ существует сильный предел операторов FW (І)) при W →∞ и справедлива оценка: ∣∣F(D))| ≤ 4sup∣∣F(γ) . Данный γ∈Γ сильн^ій предел и назовем интегралом F(D>). Операторы F(D>) ограничены в силу последней оценки и образуют алгебру FD2 с единицей E(D>), причем отображение алгебры F на алгебру гомоморфно: (F1F2 )(.^) = F1 (D}F2 ¢^) (F1,F2 ∈ F). (15) Равенства (15) проверяются непосредственно на плотном в F (в сильной операторной топологии) множестве ΞW -простых функций FWn и продолжаются по непрерывности на все множество F. Пусть α ∈ (0; 2 1) и eε - часть кривой ∂Ω, вырезаемая кругом oε с центром в точке x ∈ ∂Ω и радиусом ε< d , где d - радиус круга Ляпунова. Рассмотрим интегральные уравнения в пространстве L2 (∂Ω; Hl): (5± Vi± = ιτ± (x ∈∂Ω ), (G±≡ +(-1)≈ 2-11 + Gii, (16 ±) Gii ≡ Giiε + 0 как от параметра, голоморфны в C+ . Значения функций φh(γ) (h > 0) при γ∈Cμ (μ>0) образуют круг с центром в точке h-1 и радиусом h-1 exp(-hμ), полностью находящийся в полуплоскости Reζ ≥φh(μ) >0. Следовательно, функции Ri±,h(γ) (h > 0) ограничены в Cμ при любом μ>0. Получили, что Ri±,h ∈ F . Функции φh (γ)→γ при h →+0 равномерно на каждом компакте в C+ . Отсюда в силу непрерывности Hi±-1(ζ) в C+ вытекает, что Ri±,h (γ) → Hi±-1(γ) по операторной норме при h →+0 равномерно на любом множестве ΓW (W > 0). Поэтому при фиксированных W > 0 имеем предельные равенства в операторной норме: Iim Pγ(Γ^)Ri^,^(JD) = Pγ(Γ^)H^^^(^). (18) h→+0 i Пусть φ0 (γ)≡γ. Заметим, что при любых α∈ R \\{0}, h > 0 выполнено неравенство: α>φh(α), в силу которого функция ψα (h)≡φh (α) для любого фиксированного α > 0 является убывающей при h ∈ [0; ∞). Отсюда Re φ⅛ (γ) ≥ φ⅛ (Re γ) ≥ φ⅛0 (Re γ) ≥ φ⅛0 (μ) > 0 при γ∈ Cμ , h ∈ [0; ] и фиксирован ных μ>0 , h0 > 0. Поэтому функции Ri±,h (γ) равномерно по h∈ [0; h0] ограничены в любой полуплоскости Cμ ( μ>0 ), а значит, и на множестве Γ . Тогда в силу конечности меры Pγ можно в обеих частях равенства (18) сделать дополнительный предельный переход W →∞ в сильной операторной топологии и получить следующие пределы в норме L2 (∂Ω; Н[): Iim R^h (^) f = H) f (f ∈ L2 (∂Ω;ІН)). (19) h→+0 i Введем в рассмотрение функции Φh(λ)=h-1(1-λ), зависящие от h > 0 как от параметра. Функции Φh (λ) голоморфны в C и их значения принадлежат C+ при ∣λ < 1. Поэтому функции Ai^h (λ) ≡ Н^^'^ (Ф(λ)), зависящие от h > 0 как от параметра, голоморфны в круге ∣λ < 1. Пусть Ai"^ n^ (п ∈ Z+) - коэффициенты разложения в ряд Тейлора соответствующих функций Aςh (λ) в круге ∣λ < 1. Так как Ri±,h (γ) = Ai±,h (e-hγ) , то операторы Ri±,h(γ) (h > 0, γ∈C+ ) могут быть представлены в виде сходящихся в норме B рядов: ∞ Ri±,h(γ)=∑ Ai±,h,nexp(-nhγ). (20) n=0 28 Д.Ю. Иванов На основании равенств (ai±.,- f,gK,∂Ω. =(2π-')-‘ ∫ (Ai±> ('»f, g )^,(≡Ω> L ∣λ=exp(-hμ) ( f,g ∈ L2(∂Ωy; μ> 0) получаем оценки: l^4i±⅛,^l ≤ Ch,μlexp(-nhμ) , где Ch,μ ≡ "'ax l^±; (Y)|. γ∈Cμ Положим μ = p/2 . Тогда имеем оценки: ∞ ∑∣∣^i±Λ,^ lexp (-nhY)≤ Ch,p∣2 [1 - exp (-hp∣2) (Y∈Cp, h > 0). (21) n=0 Подставляя выражения (20) в соответствующие интегралы R±h (D)) и изменяя порядок суммирования и интегрирования на основании оценок (21) и к < D> )1 ≤ 4sup∣∣F(γ), приходим с учетом формулы (7) для T'(т) к представлению γ∈Γ операторов R±h^ (І)) (h > 0) в виде сходящихся в операторной норме рядов: ∞ (22) R±h (D>) = ∑ Ai±h,n T' (nh). n=0 Обозначим Ri±,h(D ) ≡ ∑n∞=0Ai±,h,n T(nh) . В силу равенств (19) существуют сильные операторные пределы: Hi±-1(D ) ≡ lim Ri±,h(D ) . В теореме 11 доказано, h→+0 что операторы (i± = Hi^ (D)) имеют ограниченные обратные Hf^- (D)). Учитывая также, что элементы Gii^f (f ∈ L2(∂Ω;Й)) могут быть аппроксимированы в норме L2(∂Ω; Й ) конечными суммами вида ∑ N=0 An T'(nh) f (h > 0 , TAn - ограниченные операторы в L2(∂Ω)), и равенства T(т) = прT'(т), (19) и (22), получаем следующие равенства для произвольного f ∈ L2 (∂Ω; H): H±-1 (D) G±f = Iim (1>) H± (І)) f = f , h→+0 G± H±-^ (D) f = PH± (I)) Iim (I)) f = f , hi+0 т.е операторы G± : L2(∂Ω;H) →L2(∂Ω;H) имеют ограниченные обратные Hif-1(I ) . Теорема доказана. Из следствия 7 и теорем 9, 12 вытекают основные результаты настоящей работы: Следствие 9. Задача {Pif} (i = 1,2) однозначно разрешима с любой граничной функцией w± ∈ C(∂Ω; H). Ее решение представимо в виде функции gi с неизвестной vif , однозначно определяемой уравнением (13if ), и обладает устойчивостью. А именно: пусть ui(1)f , ui(2)f - решения задачи { Pif } с соответствующими Решение краевых задач 29 граничными функциями w(1) ±, w(2)± из пространства C (∂Ω; Й). Тогда ||и(1)± - u(^')→ 0 , если llw®- w(^')→ 0 . Il i i IIc(ω± H ) Il i i llc(∂Ω;й) Следствие 10. Пусть ∂Ω∈ C*^(к ∈ Z+). Операторы G± : Ck (∂Ω;ЙBB) → → Ck(∂Ω;H'B) (n ∈ Z+ ; i = 1,2) всюду определены, ограничены и ограниченно обратимы.

Ключевые слова

unitary dilation, operator-valued function, vector-valued function, generator, semigroup of operators, boundary integral equation, differential-operator equation, Boundary-value problem, унитарная дилатация, операторнозначная функция, векторнозначная функция, генератор, полугруппа операторов, граничное интегральное уравнение, дифференциально-операторное уравнение, краевая задача

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Иванов Дмитрий ЮрьевичРоссийский университет транспортакандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа Института пути, строительства и сооруженийivanovdyu@yandex.ru
Всего: 1

Ссылки

Иванов Д.Ю. Обоснование одного алгоритма численного решения обратных граничных задач теплопроводности, построенного с учетом полугрупповой симметрии таких задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 12. С. 2028-2042.
Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. Л.: ГИТТЛ, 1953. 804 с.
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.
Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 2. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1966. 1064 с.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с.
Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.
Секефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1970. 432 с.
Иванов Д.Ю. Использование векторных потенциалов для решения двумерной задачи Робена, описывающей теплопроводность в прямом цилиндре // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2016. № 3-1. С. 8-14.
Иванов Д.Ю. Устойчивая разрешимость в пространствах дифференцируемых функций некоторых двумерных интегральных уравнений теплопроводности с операторно-полугрупповым ядром // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 6. С. 33-45.
Иванов Д.Ю., Дзержинский Р.И. Решение задач Робена для двумерных дифференциально-операторных уравнений, описывающих теплопроводность в прямом цилиндре // Научно-технический вестник Поволжья. 2016. № 1. С. 15-17.
Shakhmurov V. Regularity properties of singular degenerate abstract differential equations and applications [Электронный ресурс] // https://arxiv.org /abs/1707.01771 (дата представления: 05.06.2017).
Иванов Д.Ю. Решение двумерных краевых задач, соответствующих начально-краевым задачам диффузии на прямом цилиндре // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 8. С. 1094-1103.
Shakhmurov V. Singular degenerate problems and application [Электронный ресурс] // https://arxiv.org /abs/1707.01376 (дата представления: 05.06.2017).
Шахмуров В.Б. Максимальные регулярные абстрактные эллиптические уравнения и их приложения // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51. № 5. С. 1175-1191.
Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995. 176 с.
Yakubov S., Yakubov Ya. Differential-operator equations. Ordinary and partial differential equations. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2000. 541 p.
Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 1964. 560 с.
Крейн С.Г. Линейные дифференниальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.
 Решение краевых задач для двумерного эллиптического дифференциально-операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространстве с помощью метода граничных интегральных уравнений | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/2

Решение краевых задач для двумерного эллиптического дифференциально-операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространстве с помощью метода граничных интегральных уравнений | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/2