Циклические представления групп Сирадски с четным числом порождающих и трехмерные многообразия | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/3

Циклические представления групп Сирадски с четным числом порождающих и трехмерные многообразия

Рассматриваются обобщенные группы Сирадски S(2n,7,2),n ≥1. Установлено, что их n-циклические представления являются геометрическими, то есть соответствуют спайнам замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий. Доказано, что иолечеииые многообразия являются n-листиыми разветвленными циклическими накрытиями линзовых пространств L(7,1) .

Cyclically presented Sieradski groups with even number of generators and three dimensional manifolds.pdf Дж. Столлингс в работе [1] показал, что не существует алгоритма, который позволяет по конечному представлению группы определить, является ли она фундаментальной группой некоторого трехмерного многообразия. Этот вопрос решался многими авторами в различных частных случаях, среди которых наибольший интерес был связан с изучением групп, допускающих циклическое представление. Напомним, что группа G называется группой с циклическим представлением, если при некоторых m и w она допускает представление вида g = Gm ( w) = , где η : Fm → Fm - автоморфизм свободной группы Fm = (x1,^, x^ ранга m, определенный по правилу η(x^) = xi+1, i = 1,,m -1, и η(xm) = x1, а w = w(x1,-, xm) - циклически приведенное слово в Fm . Представления групп 3-многообразий называют геометрическими, если они соответствуют спайнам замкнутых трехмерных многообразий. В последнее время исследовано много интересных примеров циклических разветвленных накрытий трехмерной сферы и линзовых пространств, фундаментальные группы которых допускают циклические представления (см. [2-7]). Были получены результаты о взаимосвязях циклически представимых групп и циклических разветвленных накрытий S3 и L(p,q). По-видимому, новый этап в изучении таких групп начался с работы X. Хеллинга, А. Кима и И. Меннике [2], где было показано, что группы Фибоначчи возникают как фундаментальные группы замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий. Эти многообразия могут быть охарактеризованы следующим топологическим свойством: многообразие Фибоначчи является n-листным циклическим накрытием S , разветвленным над узлом восьмерка (см. [8]). Различные обобщения групп Фибоначчи изучены в [6, 9, 10]. Исследование разветвленных циклических накрытий и циклических представле- 1 Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (госзадание № 1.13557.2019/13.1). Циклические представления групп Сирадски с четным числом порождающих 33 ний их фундаментальных групп также связано с многообразиями Данвуди [4]. Многообразия Данвуди были определены как многообразия, допускающие диаграммы Хегора с циклической симметрией разветвленно накрывающие многообразия Хегора рода один. Многообразия, допускающие разбиение Хегора рода один - это линзовые пространства L(p,q), включая S2×S1=L(1,0). Л. Грасселли и М. Мулаццани показали в [11], что класс многообразий Данвуди в точности, совпадает с классом строго-циклических разветвленных накрытий (1,1) -узлов. Класс (1,1) -узлов содержит двухмостовые узлы и торические узлы в трехмерной сфере. Многообразия Сирадски были введены А. Сирадски в работе [12]. А. Кавиккиоли, Ф. Хагенбарт и А.Ч. Ким установили, что многообразия Сирадски и их обобщения являются n-листными циклическими накрытиями 5 , разветвленными над торическими узлами [3]. В частности, циклическое представление группы Сирадски .S'(m,3,2) соответствует спайну многообразия, которое m-листно циклически накрывает трехмерную сферу разветвленно над узлом трилистник. Дж. Хоуи и Г. Вильямс в [13] рассмотрели случай четного m= 2n и показали, что n-циклическое представление группы S(2n,3,2) соответствует n-листному накрытию линзового пространства L(3,1). n-Циклическое представление групп S(2n,5,2) было рассмотрено в статье [14], где установлено, что соответствующие многообразия являются n -листными разветвленными циклическими накрытиями линзовых пространств L(5,1). В данной работе исследуются группы S(2n,7,2), n ≥ 1 и их n-циклические представления. Построен спайн, соответствующий n-циклическому представлению группы S(2n,7,2). В теореме 2 показано, что этот спайн задает многообразие, n-листно циклически накрывающее линзовое пространство L(7,1). Для малых значений n построенные многообразия были классифицированы с помощью компьютерной программы «Распознаватель» [15]. 2. Основные понятия и вспомогательные утверждения Хорошо известно, что любое замкнутое трехмерное многообразие может быть представлено как результат попарного отождествления граней его фундаментального многогранника. Примерами являются представление линзового пространства L(p,q), p ≥ 3, как бипирамиды (см. рис. 1), у которой верхние треугольные грани отождествлены с нижними треугольными гранями по правилу: AiS+Ai+1 → Ai+qS-Ai+q+1, i = 0,.., p-1, а также представление сферы Пуанкаре как додекаэдра, у которого каждые две противоположные грани отождествлены некоторым образом. Построение трехмерных гиперболических многообразий из правильных многогранников восходит к работе Вебера и Зейферта [16], где в качестве фундаментального многогранника выступал додекаэдр с Рис. 1. />-угольная бипирамида Fig. 1. The p-gonal bipyramid 34 Т.А. Козловская двугранными углами 2π∕5. По построению, многообразие Вебера - Зейферта обладает симметрией пятого порядка, которая позволяет представить это многообразие как 5-листное циклическое накрытие трехмерной сферы, разветвленное над зацеплением Уайтхеда. В этой же работе [16] было построено замкнутое ориентируемое трехмерное сферическое многообразие из додекаэдра с двугранными углами 2п/3 . Многогранник P называют фундаментальным для трехмерного многообразия M , если M может быть получено как результат попарного отождествления граней P. Теорема Зейферта и Трельфалля [17] позволяет распознать многообразие: «Комплекс K3, получающийся путем попарного отождествления граней многогранника, является трехмерным многообразием в том и только в том случае, когда его эйлерова характеристика равна 0 ». Эйлерова характеристика комплекса K3 3 определяется следующим образом: χ(K3) = ∑(-1)iSi , где Si - количество сим-i=0 плексов размерности i в его триангуляции. Диаграммы Хегора - это наиболее распространенный способ задания замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий. Пусть M3 - замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие. Пара (Hg, Hg), состоящая из двух полных кренделей рода g , называется сплетением Хегора роДа g многообразия M3, если M3=Hg∪Hg' и Hg∩Hg' =∂Hg OO OO о представляет собой замкнутую ориентируемую поверхность рода g . Минимальный род среди всех родов сплетений Хегора многообразия M3 называется роДом Хегора многообразия M3. Трехмерная сфера S3 является единственным ориентируемым многообразием с нулевым родом Хегора. Род Хегора равен 1 для линзовых пространств и многообразия S2× S1. Диаграмма Хегора линзового пространства L(P,q), P>q>0, P≥3, представлена на рис. 2. Описание многообразия диаграммой Хегора позволяет выписать его фундаментальную группу. Напомним (см., например, [18]), что представление фундаментальной группы трехмерного многообразия называется геометрическим, если оно соответствует диаграмме Хегора многообразия. Хорошо известно, что две диаграммы Хегора представляют одно и то же трехмерное многообразие тогда и только тогда, когда от одной диаграммы к другой можно перейти с помощью конечной последовательности преобразований, каждое из которых является движением Зингера (см. подробнее в [19, 20]). Рис. 2. Диаграмма Хегора линзового пространства L(P,q) Fig. 2. Heegaard diagram for lens space L(P,q) 3. Группы с циклическим представлением Примеры групп с циклическим представлением, возникающих как фундаментальные группы трехмерных многообразий, хорошо известны. Группы c циклическим представлением F(2,т) = (χ1, _, χm 1 χiχi+1 = χi+2, i =1, ,m, Циклические представления групп Сирадски с четным числом порождающих 35 где индексы берутся по модулю т, называются группами Фибоначчи. Х. Хеллинг, А.Ч. Ким и Й. Меннике в [2] доказали, что если число порождающих четно m= 2n, то при n ≥ 4 группы F(2,2n) реализуются как фундаментальные группы трехмерных гиперболических многообразий. Построенные ими многообразия, являются п-листными накрытиями 5 , разветвленными над узлом восьмерка. Еще один интересный пример, группы со следующим циклическим представлением 5(т) = (х1,х2,^,хт |х^х^+2 = хі+1, i = 1,^,т, где все индексы берутся по модулю m, были введены А. Сирадски. Эти группы позже были названы группами Сирадски [12]. Группы 5 (т, p, q) = = {^х1, - , хт 1 хіхі+ q ■ ” хі+(q-1)dq-qXi+(q-1)dq = хі+1 хі+q+1 ' ” хі+(q-1)dq-q+1, i = 1, - , =) будем называть обобщенными группами Сирадски. Здесь все индексы берутся по модулю т, а p и q - такие взаимно простые положительные числа, что p=1+dq,d∈Z . А. Кавикиоли, Ф. Хегенбарт и А.С. Ким установили [3], что циклическое представление 5(т, p, q) соответствует спайну замкнутого трехмерного многообразия, которое является т-листным циклическим накрытием 53, разветвленным над торическим узлом T(p,q). В частности, циклическое представление группы Сирадски 5(т)= 5(т,3,2) соответствует спайну многообразия, которое т-листно циклически накрывает трехмерную сферу разветвленно над узлом трилистник T(3,2). Нас интересуют обобщенные группы Сирадски с параметром q = 2 . В этом случае p=1+dq и 5 (m,2d + 1,2) χ2, -, хт 1 хіхі+т. - х,+2d = хг+1 хг+3 хг+2d-1, i = 1, -, . Циклические преставления групп 5(2n,3,2) (случай q = 2 ,d = 1) исследовались Дж. Хоуи и Г. Вильямсом [13]. Они показали, что n-циклические представления 5 (2n,3,2) = Gn (хіх2+1 хі+х-11) являются геометрическими, то есть соответствуют спайнам замкнутых трехмерных многообразий. Аналогичный факт установлен для групп 5(2n,5,2) (случай q = 2 , d = 2). А именно, А. Весниным и Т. Козловской в [14] показано, что n -циклические представления 5

Ключевые слова

Sieradski group, cyclically presented group, lens space, branched covering, группа Сирадски, three-dimensional manifold, линзовое пространство, группа с циклическим представлением, разветвленное накрытие, трехмерное многообразие

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Козловская Татьяна АнатольевнаТомский государственный университеткандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Регионального научно-образовательного математического центра, доцент кафедры геометрииt.kozlovskaya@math.tsu.ru
Всего: 1

Ссылки

Ozsvath P., Szabo Z. Heegaard diagrams and holomorphic disks // International Mathematical Series. 2004. V. 3. P. 301-348.
Singef J. Three-dimensional manifolds and their Heegaard diagrams // Trans. Amer. Math. Soc. 1933. V. 35. No. 1. P. 88-111.
Mulazzani M. Cyclic presentation of groups and cyclic branched covering of (1, 1)-knots // Bull. Korean Math. Soc. 2003. V. 40(1). P. 101-108.
Cейферт Г., Трельфалль В. Топология. Ижевск, 2001. 448 с.
Seifekt H., Webeг C. Die beiden Dodekaedraume // Math. Z. 1933. V. 37. P. 237-253.
Howie J., Williams G. Fibonacci type presentations and 3-manifolds // Topology Appl. 2017. V. 215. P. 24-34.
Веснин А. Ю., Козловская Т. А. Многообразия Брискорна, обобщенные группы Сирадски и накрытия линзовых пространств // Тр. ИММ УрО РАН. 2017. Т. 23. № 4. С. 85-97.
Thfee-manifold Recognizer. The computer program developed by the research group of S. Matveev in the department of computer topology and algebra of Chelyabinsk State University. URL: http://matlas.math.csu.ru
Siemdski A.J. Combinatorial squashings, 3-manifolds, and the third homology of groups // Invent. Math. 1986. V. 84. P. 121-139.
Gfasselli L., Mulazzani M. Genus one !-bridge knots and Dunwoody manifolds // Forum Mathematicum. 2001. V. 13. No 3. P. 379-397.
Maclachlan C., Reid A.W. Generalised Fibonacci manifolds // Transform. Groups. 1997. V. 2. No. 2. P. 165-182.
Hilden H., Lozano M., Montesinos-Amilibia J. The arithmeticity of the figure eight knot orbifolds // Topology '90 Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ., Walter de Gruyter, Berlin. 1992. V. 1. P. 169-183.
Johnson D., Wamsley J., Wfight D. The Fibonacci Groups // Proc. London Math. Soc., III. Ser. 1974. V. 29. No. 4. P. 577-592.
Kim A.C., Kim Y., Vesnin A. On a class of cyclically presented groups // Proc. Intern. Conf. Groups-Korea '98. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2000. P. 211-220.
Kim A.C. On the Fibonacci group and related topics // Proc. conf. algebra, 1991, Barnaul, Russia (Contemp. Math., 184), Providence, RI, Am. Math. Soc. 1995. P. 231-235.
Веснин А. Ю., Ким А. Ч. Дробные группы Фибоначчи и многообразия // Сиб. матем. журнал. 1998. Т. 39. № 4. С. 765-775.
Dunwoody M.J. Cyclic presentations and 3-manifolds // Proc. Inter. Conf., Groups-Korea '94. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1995. P. 47-55.
Cavicchioli A., Hegenbarth F., Kim A. On cyclic branched coverings of torus knots // J. Geometry. 1999. V. 64. P. 55-66.
Helling H., Kim A.C., Mennicke J.L. A geometric study of Fibonacci groups // J. Lie Theory. 1998. V. 8. P. 1-23.
Stallings J. On the recursiveness of sets of presentations of 3-manifold groups // Fundam. Math. 1962/63. V. 51. P. 191-194.
 Циклические представления групп Сирадски с четным числом порождающих и трехмерные многообразия | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/3

Циклические представления групп Сирадски с четным числом порождающих и трехмерные многообразия | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/3