Определение акцессорных параметров конформных отображений из верхней полуплоскости на прямолинейные счетноугольники с двойной симметрией и круговые счетноугольники | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/4

Определение акцессорных параметров конформных отображений из верхней полуплоскости на прямолинейные счетноугольники с двойной симметрией и круговые счетноугольники

Решается задача об определении параметров конформного отображения из полуплоскости на многоугольник с бесконечным количеством вершин (счетноугольник). Рассматриваются счетноугольники, обладающие свойством симметрии переноса, с границей, состоящей из дуг окружностей, и счетноугольники обладающие симметрией относительно двух вертикальных прямых w = iν , w =

Determining parameters of conformal mappings from the upper halfplane onto straight-line periodic polygons with double s.pdf Область ∆ называют областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2π, если при линейном преобразовании L(w) = w + 2π область остается неизменной L(∆) = ∆. Область ∆ называют областью типа полуплоскости, если при преобразовании L(w) = w + 2π среди всех простых концов границы области ∆ в бесконечно удаленной точке неподвижным остается только один простой конец. Счетноугольником типа полуплоскости называется односвязная область ∆ типа полуплоскости, обладающая свойством симметрии переноса вдоль вещественной оси на 2π, и такая, что часть границы области от точки w0 до точки w0 +2π состоит из конечного числа дуг окружностей. Такую область называют также периодическим многоугольником [1]. Будем использовать термин «счетноугольник», следуя работе [2]. В настоящей статье рассматриваются счетноугольники с границей, состоящей из дуг окружностей (для краткости будем называть их круговыми счетноугольниками), и счетноугольники с границей, состоящей из прямолинейных отрезков, обладающие симметрией относительно вертикальных прямых w= iv, w=π+iv, v ∈ к (для краткости будем называть их прямолинейными счетноугольниками с двойной симметрией). Конформные отображения полуплоскости на счетноугольники, ограниченные дугами окружностей или отрезками прямых, имеют приложения в различных задачах математической физики [3-6]. Численный метод нахождения конформных отображений на счетноугольники предложен в работе [7]. С помощью алгебры 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-31-00190\\18. Определение акцессорных параметров конформных отображений 43 сверток и теории рядов Фробениуса в работе [1] рассмотрен метод построения конформных отображений на полигональные области, в том числе счетноугольники типа полуплоскости. С помощью параметрического метода Левнера получено дифференциальное уравнение [8] типа дифференциального уравнения Левнера для отображения верхней полуплоскости на области с симметрией переноса на 2π. В работе [2] с помощью принципа симметрии Римана - Шварца, а в работе [9] с помощью формулы Шварца получен интеграл Шварца - Кристоффеля для отображений верхней полуплоскости на счетноугольники с границей, состоящей из отрезков прямых. Интеграл Шварца - Кристоффеля распространен для отображений из верхней полуплоскости на прямолинейные счетноугольники с двойной симметрией [10]. В работе [11] для отображения из полуплоскости на круговой счетноугольник получено дифференциальное уравнение типа уравнения Шварца. В следующей теореме представлен классический интеграл Шварца - Кри-стоффеля [4]. Теорема 1. Пусть D, D ∈ C , - многоугольник с вершинами в точках A1,..., An и внутренними углами аkп, гДе аk ∈(0,1) ∪ (1,2], если Ak конечная, и αk ∈ [-2,0] , если Ak =∞. Тогда существует конформное однолистное отображение f верхней полуплоскости Π+ = {z ∈ C :Imz > 0} на D, и любое такое отображение может быть представлено в виде f (z) = c1 ∫∏(ξ- ak )kdξ + c2, z0 k=1 гДе a1,...,an - прообразы вершин A1,..., An; c1, c2 - константы. Для производной Шварца отображения f будем использовать обозначение {f (Z ),z}=nzl -1 г rizl f. Автором [11] получена следующая теорема. Теорема 2. Функция f, оДнолистно и конформно отображающая верхнюю полуплоскость Π + на круговой счетноугольник ∆ с симметрией переноса вДоль вещественной оси на 2π так, что f (∞) =∞, уДовлетворяет Дифференциальному уравнению (1) гДе ak, k=1,2,...,n, - прообразы вершин Ak0 счетноугольника, принаДлежащие промежутку [0,2π), Lk = 2 (1 -α^ ); αk∏, αk ∈ [0,2], k = 1,2,..., n, - углы при вершинах Ak0; Mk, k=1,2,...,n, - вещественные константы (называемые акцессорными параметрами), g= g(Z) - целая функция. Как известно, трудность применения формулы типа Шварца - Кристоффеля заключается в проблеме определения прообразов вершин a1, ..., an и констант c1, c2 . 44 И.А. Колесников Были разработаны различные эффективные методы для численного нахождения этих параметров [4, 12]. Один из таких методов был предложен П.П. Куфаревым [13] (см. также [14, 15]). Метод сводит задачу определения параметров отображения единичного круга на многоугольник с внутренней нормировкой к задаче решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для частных случаев метод был реализован впервые в работе [16], а затем в [17]. В работе [18], (см. также [19]) метод распространен для отображений с граничной нормировкой. В работах [20, 21] с использованием идеи П . П . Куфарева и аппарата краевой задачи Гильберта предложен новый подход нахождения параметров отображения. В [22] метод обобщается на случай отображений на многолистные многоугольники, содержащие точки ветвления. Автор [23] распространил метод для отображений из полуплоскости на прямолинейные счетноугольники с симметрией переноса. В [24, 25] метод обобщен для решения проблемы определения параметров в дифференциальном уравнении Шварца, представляющего конформное отображение верхней полуплоскости на круговой многоугольник. Ниже приведем теорему, полученную в работе [18]. Пусть D - многоугольник, ограниченный конечным числом отрезков прямых и лучей. Зафиксируем точку на границе D и из этой точки проведем прямолинейный разрез переменной длины внутрь области D. Обозначим через Λ (t ) подвижный конец разреза, зависящий от вещественного параметра t. При t = 0 длина разреза равна нулю, возрастание параметра t соответствует возрастанию длины разреза. Обозначим область с разрезом через D(t) , а вершины многоугольника D(t) через B1,B2,...,Bj,Λ(t),Bj+1,...,Bn+1. Пусть w=w(χ,t) конформно отображает верхнюю полуплоскость Π+ на D(t) и пусть отображение w удовлетворяет условиям граничной нормировки: w(∞,t)=B1, w(0,t)= Bn, w(1,t)= Bn+1. С помощью теоремы 1 для любого t можем представить отображение w в виде интеграла типа Шварца - Кристоффеля. Теорема 3. Для любого t∈[0,T] параметры pk (t) , λ0 (t), c2 (t) отображения χ n +1 δ w(χ,t)=c2(t)∫(ξ-λ0(t))∏(ξ-pk(t))δk dξ+An, 0 k =2 переводящего верхнюю полуплоскость на многоугольник D(t) с прямолинейным разрезом, удовлетворяет системе дифференциальных уравнений dPk (t) = Pk (t)(Pk(t)-1) = n -1. dt λ0 (t)-Pk (t) ’ ’ dλ (t) n +1 1 -= λ0 (t) (λ0 (t) -1) ∑ δ, ------- + 2λ0 (t) -1; λ0(t)-pk(t) (2) (3) dt (4) k=2 d ln c2 (t)= Σ δ 2 dt ~ ∑^k 2, dt k=2 (5) с начальными условиями pk(0)=w-1(Bk,0), k=2 n-1, Определение акцессорных параметров конформных отображений 45 pj(0)=pj+1(0)=λ0(0)=w-1(Bj,0) , c2(0)=c, гДе Pk (t) - прообразы вершин Bk многоугольника D(t), к = 1,...,n +1, p1 =∞, pn = 0, pn+1 = 1; λ0 (t ) - прообраз поДвижного конца разреза, p1

Ключевые слова

Kufarev's method, periodic polygon, accessory parameters, Schwarz-Christoffel integral, conformal mapping, Schwarz equation, метод П.П. Куфарева, акцессорные параметры, счетноугольник, уравнение Шварца, интеграл Шварца - Кристоффеля, конформное отображение

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Колесников Иван АлександровичТомский государственный университеткандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и теории функцийia.kolesnikov@mail.ru
Всего: 1

Ссылки

Насыров С.Р. Геометрические проблемы теории разветвленных накрытий римановых поверхностей. Казань: Магариф, 2008.
Kolesnikov I.A. On the problem of determining parameters in the Schwarz equation // Probl. Anal. Issues Anal. 2018. V. 7(25). No. 2. P. 50-62. https://doi.org/10.15393/j3.art.2018.5411.
Колесников И.А. Определение акцессорных параметров для отображения на счетноугольник. // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2014. №. 2(28). C. 18-28.
Байбарин Б.Г. Об одном численном способе определения параметров производной Шварца для функции, конформно отображающей полуплоскость на круговые области. // Труды Томского гос. ун-та, 1966. Т. 189. С. 123-136.
Накипов Н.Н., Насыров С.Р. Параметрический метод нахождения акцессорных параметров в обобщенных интегралах Кристоффеля-Шварца // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2016. Т. 158. № 2. C. 202-220.
Низамиева Л. Ю. Нахождение акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца методом движущегося разреза // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Казан. матем. о-во, 2009. Т. 38. С. 192-194.
Гутлянский В.Я., Рязанов В.И. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений. Киев: Наукова думка, 2011.
Насыров С.Р., Низамиева Л.Ю. Определение акцессорных параметров в смешанной обратной краевой задаче с полигональной известной частью границы // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Матем. Мех. Инф. 2011. Т. 11. № 4. С. 34-40.
Чистяков Ю. В. Численный метод определения функции, конформно отображающей круг на многоугольники: дис.. к.ф.-м.н. Томский гос. ун-т, 1953.
Hopkins T.R., Roberts D.E. Kufarev's method for determining the Schwarz-Christoffel parameters // Numer. Math. 1979. No. 33. P. 353-365. https://doi.org/10.1007/BF01399319.
Гутлянский В.Я., Зайдан A.O. О конформных отображениях полигональных областей // Укр. матем. журн. 1993. Т. 45. № 11. С. 1464-1467.
Труды П.П. Куфарева. К 100-летию со дня рождения / под общ. ред. И.А. Александрова. Томск: Изд-во НТЛ, 2009.
Куфарев П.П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Шварца - Кристоффеля // ДАН СССР. 1947. Т. 57. №. 6. С. 535-537.
Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.
Колесников И.А. Отображение на круговой счетноугольник с симметрией переноса // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2013. № 2(22). C. 33-43.
Wegmann R. Methods for numerical conformal mapping // Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory. V. 2. Amsterdam: Elsevier, 2005.
Копанев С.А., Копанева Л.С. Формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для счетноугольника // Вестн Том. гос. ун-та. Матем. и мех. 2003. № 280. С. 52-54.
Колесников И.А., Копанева Л.С. Конформное отображение на счетноугольник с двойной симметрией // Изв. вузов. Матем. 2014. № 12. C. 37-47.
Floryan J.M. Conformal mapping based coordinate generation method for flows in periodic configurations // J. Computational Physics. 1986. V. 62. No 1. P. 221-247. https://doi.org/ 10.1016/0021-9991(86)90108-7.
Александров И.А., Копанева Л.С. Левнеровские семейства отображений полуплоскости на области с симметрией переноса // Вестн. Томск. ун-та. 2004. № 284. С. 5-7.
Brady M., Pozrikidis С. Diffusive transport across irregular and fractal walls // Proceedings the royal of society A. 1993. V. 442. No. 1916. P. 571-583. https://doi.org/10.1098/ rspa.1993.0122.
Tsarin Yu.A. Conformal mapping technique in the theory of periodic structures // Microwave and Optical Technology Letters. 2000. V. 26. No. 1. P. 57-61. https://doi.org/10.1002/ (SICI)1098-2760(20000705)26:1<57::AID-MOP18>3.0.CO;2-Q.
Driscoll T.A., Trefethen L.N. Schwarz-Christoffel mapping // Cambridge Monographs on Applied and Comput. Math. Vol. 8. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.
Александров И.А. Конформные отображения полуплоскости на области с симметрией переноса // Изв. вузов. Матем. 1999. № 6(445). С. 15-18.
Verbitskii I.L. Quasistatic green function method as a powerful tool of diffraction problems solving // Materials of the VI International conference “Mathematical methods in electromagnetic theory”. Lviv, Ukraine, 1996. P. 358-361. https://doi.org/10.1109/MMET.1996.565733.
Hussenpflug W.S. Elliptic integrals and the Schwarz-Christoffel transformation // Computers Math. Applic. 1997. V. 33. No. 12. pp. 15-114. https://doi.org/10.1016/S0898- 1221(97)00091-6.
 Определение акцессорных параметров конформных отображений из верхней полуплоскости на прямолинейные счетноугольники с двойной симметрией и круговые счетноугольники | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/4

Определение акцессорных параметров конформных отображений из верхней полуплоскости на прямолинейные счетноугольники с двойной симметрией и круговые счетноугольники | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/4