Свободные колебания идеальной жидкости в прямоугольном сосуде с горизонтальной проницаемой перегородкой | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/8

Свободные колебания идеальной жидкости в прямоугольном сосуде с горизонтальной проницаемой перегородкой

Исследование направлено на определение формы свободной поверхности идеальной жидкости, колеблющейся под действием силы тяжести в прямоугольном сосуде, разделенном горизонтальной проницаемой перегородкой. Решение задачи проведено в плоской постановке аналитическим путем. Для определения формы свободной поверхности решалось уравнение Лапласа для потенциала скорости идеальной жидкости методом разделения переменных в обеих частях сосуда. Полученные результаты сравнивались с имеющимися в настоящее время решениями подобных задач.

Free oscillations of an ideal fluid in a rectangular vessel with a horizontal permeable membrane.pdf Задача о движении жидкости является актуальной во многих областях человеческой деятельности, таких, как судостроение, океанология, гидравлика. Часто при решении практических задач достаточно использовать приближение идеальной жидкости. Это касается чаще всего движения жидкости в больших емкостях. Для длительного хранения и транспортировки больших объемов жидкости используются баки, содержащие горизонтальные и вертикальные перегородки, оказывающие значительное влияние на ее движение. Потребности изготовления таких баков требуют знания характеристик этого движения. К настоящему времени опубликовано достаточно много работ, в которых исследуются вопросы движения жидкости в сосудах с перегородками (например, [1 - 8]). В большинстве этих работ рассматриваются вопросы, связанные с частотами колебаний жидкости в сосудах. Для практических целей, однако, гораздо важнее знать (хотя бы приближенно) общую картину поведения жидкости в сосуде и прежде всего, - как меняется со временем форма ее свободной поверхности В данной работе рассматривается один из возможных случаев движения идеальной жидкости в сосуде с перегородками - колебательное движение под действием силы тяжести. Задача решается аналитически в линейном приближении. За основу был взят подход, изложенный в работе [1]. Результатом работы является форма свободной поверхности жидкости в сосуде в различные моменты времени. Математическая постановка задачи Движение идеальной несжимаемой жидкости уравнениями Эйлера (см. [9]): dvX=X-1∂P, dt ρ∂X плоском случае описывается dvy = y -1 ∂p dt ρ∂y ∂vX +∂vy = 0. ∂X ∂y 108 А.В. Мерзляков, Е.А. Крюкова где vx,и vy - проекции вектора скорости жидкости на оси декартовой системы координат; X и Y - проекции внешних сил на оси Ох, Оу соответственно; Р - давление, ρ - плотность, f - время. В силу потенциальности движения идеальной жидкости можно ввести потенциал скорости жидкости φ, для которого v = Vcp. Тогда вместо уравнений Эйлера для описания движения жидкости можно использовать уравнение Лапласа для потенциала φ: δ ∂2φ ∂2φ (1) ∆φ^^ = 0. дх2 ∂y2 Граничные условия для него: - на твердой стенке - условие непротекания: dP = 0, дп (п - направление нормали к границе); - на свободной поверхности - интеграл Коши - Лагранжа: ∂φ.+vL+vL+pp+П=f (f у, ∂f 2 ρ где П - потенциал внешних сил, действующих на жидкость, f(f) - произвольная функция времени. Рассмотрим движение идеальной жидкости в прямоугольном сосуде шириной а и глубиной с, в котором находится горизонтальная проницаемая перегородка на высоте b от дна (см. рис. 1). Рис. 1. Расчетная область задачи Fig. 1. Computational domain of the problem Перегородка разделяет сосуд на две расчетные области: 1 и 2. Движение жидкости в каждой области будет определяться путем решения уравнение Лапласа (1) для потенциала скорости в этой области. Для области 1 уравнение Лапласа записывается так: ∂!φ1+∂!φ1=0 (2) дх ∂y Свободные колебания идеальной жидкости в прямоугольном сосуде 109 (3) Граничные условия для него: ∂φi - на твердых границах F2 и F4 - условия непротекания -1 = 0, ∂x ∂φi - на твердой границе F3 - условие непротекания -1 = 0 . ∂y Для области 2 уравнение Лапласа следующее: d 2φ2 +∂!φ2=0 ∂x2 ∂y2 ' Граничными условиями для него являются: ∂φ2 на твердых границах Fi и Г5 - условия непротекания -2 = 0 . ∂x На свободной поверхности в качестве граничного условия ставится интеграл Коши - Лагранжа со следующими дополнениями. Единственной массовой силой, действующей на жидкость, является сила тяжести. Если ввести величину z- отклонение точки свободной поверхности от равновесного положения (соответствующая координата представлена на рис. i), то потенциал силы тяжести, действующей на единицу массы, определяется формулой: П = gz, где g - ускорение свободного падения. При решении поставленной задачи предполагается, что отклонение свободной поверхности жидкости от положения равновесия настолько мало, что область, занятая жидкостью, сохраняет прямоугольную форму. Из-за этого в формуле можно пренебречь квадратами скоростей. Считается, что давление над поверхностью жидкости P является постоянной величиной, поэтому соответствующее слагаемое можно включить в потенциал. Произвольную функцию f(t) можно сделать равной 0. Поэтому граничное условие на свободной поверхности примет следующий вид: (4) + gz = 0. ∂t На проницаемой перегородке в обеих областях ставятся условия для потока жидкости через перегородку в форме, выведенной в работе [i0]: нормальная скорость жидкости вблизи перегородки пропорциональна разности значений потенциалов скорости жидкости по обе стороны от перегородки. Для области (i) это условие выглядит так: dΨl ∂y = q (φ2 -φι^ =ь ■ y=b (5) Для области (2): dΨ2 ∂y = q (φ2 -φι^ у=ь ■ y=b (6) Здесь q - проницаемость перегородки для жидкости. В качестве начальных условий задачи задаются начальная форма свободной поверхности и начальная скорость точек свободной поверхности. Начальная форма свободной поверхности в рассматриваемой задаче считается некоторой функцией от координаты х, т.е. z ^,t, t=0 =z( ). (7) 110 А.В. Мерзляков, Е.А. Крюкова Начальная скорость точек свободной поверхности жидкости считается равной нулю, т.е. dΨ2 ∂y = dΨ2 y=c,t=0 dz =0. z=0,t=0 (8) Метод решения В области 1 уравнение Лапласа (2) решается методом разделения переменных (см. [11]), согласно которому потенциал вектора скорости представляется в виде следующего произведения: Ф1 = T1(t) • X1( X) • Y1( у), где T1(t) - функция, зависящая только от времени, X1(x) - только от координаты х, Y1(y) - только от координаты у. После подстановки этого произведения в уравнение (2), уравнение принимает следующий вид: T1X1" Y1 + T1X1Y1" = 0 . Деление этого уравнения на произведение TXY приводит его к следующему виду: X11 Yl λ 2 X1 Y1 ’ где λ2 - некоторое положительное число. Из данного равенства получаются дифференциальные уравнения для определения функций Х1 и Y1. Уравнение для X1 - задача Штурма - Лиувилля - сводится к следующему: X1''+λ2X1=0. Решение данного уравнения выглядит так: X1 = A1 cos(λx)+ B1 sin(λx) . Постоянные А и В определяются из граничных условий, которые заданы на границах Г2 и Г4. Согласно им, dΨ1 = X1' (0) = 0, X=O dx = X1' (a) = 0. x=a ∂x Из первого условия следует В1 = 0; из второго условия - λn = ^πn, где n - целое na число. Поэтому выражение для функции Х1 - собственная функция задачи Штурма - Лиувилля - выглядит так: X1n=cos l^∏rx} Уравнение для Y1 сводится к следующему: Y1'' -λ2Y1=0. Решение данного уравнения Y1=C1ch(λy)+D1sh(λy). Свободные колебания идеальной жидкости в прямоугольном сосуде 111 Согласно граничному условию на границе Г3 dΨ1 ∂y = Yι' (0) = 0. y=0 Из этого условия следует D1=0. Поэтому выражение для функции Y γin = ch(YпУ) = chV∏nyI . Таким образом, для произвольно заданного натурального номера n решение уравнения Лапласа будет выглядеть так: / ∖ -, f ∏n f ∏n φin = Tin (t )ch I-^y Icos I-^χJ, а общее решение - так: Φi=∑ Tin(t )ch ι^^anyjcos Vπn^j. В области 2 уравнение Лапласа (3) решается также методом разделения переменных, согласно которому потенциал вектора скорости представляется в виде следующего произведения: φ. = T2(t) ∙ X 2( X) ∙ Y2( y), где T2(t) - функция, зависящая только от времени, X2(x) - только от координаты х, Y2(y) - только от координаты у. Преобразования, аналогичные вышеописанным, приводят уравнение (3) к следующему виду: к " V " x 2 = - y2 = -λ^2 X2 Y2 , где λ 2 - некоторое положительное число. Уравнение для X2 - задача Штурма - Лиувилля - получается точно такой же, как в области 1: X2^" +λλ X = 0. Уравнение совпадает с аналогичным уравнением для области 1, граничные условия для него - такие же из-за равенства ширины областей. Поэтому и решение данного уравнения выглядит точно также: T ∏^ (∏n λn ; x2n =cos I. a V a J Уравнение для Y2 сводится к следующему: Y2"-λ2Y2 = 0. Решение данного уравнения выглядит так: Y2=A2ch(λy)+B2sh(λy). Таким образом, для произвольно заданного натурального номера n решение уравнения Лапласа будет выглядеть так: 112 А.В. Мерзляков, Е.А. Крюкова а общее решение - так: ∞ n=0 Для определения постоянных A2n и B2n и функций T1n и T2n необходимо воспользоваться граничными условиями на перегородке (5) и (6). Подстановка выражений для ф1 и ф2 в эти условия и подстановка значения координаты у перегородки приводит к системе уравнений: ∞ n=0 πnb ))-Tn Ch (πnb aJJ La n=0 ∞ πnb ))-Tn Ch (πnb aJJ La Если перенести все слагаемые в каждом уравнении в одну сторону, объединить их одинаковым суммированием, вынести общие множители (косинусы) и приравнять коэффициенты при них нулю, получатся следующие уравнения для определения функцийГ1П и T2n: T1n Shfπn⅛'] = q[T2n f A2n Ch[^ЬУ В2„ Shfπn⅛']'] -T1n Chfπn⅛'] , a к a J Lv V a J L a JJ L a J_ = q t2 T1n Если разделить уравнения на произведение qT2n и сделать замену = Cn, то T2n после простейших преобразований уравнения будут выглядеть так: A2nch LnOnb > B2n sh( 'пПь aJ =Cn πnShI[πnb JI+CnCh qaL a 1 ( 1πn --Sh I - b I +B2n Sh I - Ь I- [πn Ch[Ib qaLaJJ I I LLaJ qa La {”Ь J, )]= C-Ch (^ЛПь J. A2. ( Ch [π^b )- При n = 0 оба уравнения сводятся к виду A20 = C0, что является признаком правильности преобразований. Очевидно, что произведения T1n • Y1n • и T2n ■ Y2n ■ X2n при n = 0 в выражениях для обоих потенциалов являются функциями только времени, которые в выражения для потенциала включать необязательно. В дальнейшем по этой причине все рассуждения и суммирование будут проводиться для n > 0. Свободные колебания идеальной жидкости в прямоугольном сосуде 113 Если разделить оба уравнения на ch ^πn-b и исключить из них С„, то в ре-зультате получится выражение th2 f∏n⅛ 1-1 ∏n th f∏n⅛ 1-1 Λ _ O < a J q a к a J A2n = B2n 1 f ∖ =knB2n, где kn 1 πn th2 f∏n⅛ 1 q a к a J Таким образом, после подстановки полученного результата выражение для потенциала φ2 выглядит следующим образом: p2=ς T2n к knch k∏,y 1+sh k^0ny JJcos кППх 1 (9) (10) где T2n = T2n ∙ B2n . Для определения функции T2n используется граничное условие на свободной поверхности (4). Если его продифференцировать по времени и использовать соотношение ∂z ∂φ2 ~f ^vy =^∂7 ’ то получится выражение д 2P2 + „ ∂φ2 ∂f^ ∂y =0. y=e Подстановка в него формулы (10) дает равенство ∑=1t≈"'^ knch (τesh (”е))cos 'canx +g∑Tn T!L[к, shf22cК chfπnc 11 cos ґ^їіх 1 = 0. n-ι a < < a J < a JJ < a J Объединение под одной суммой, перегруппировка, вынесение общих множителей (косинусов) и приравнивание коэффициентов при них нулю приводит к системе дифференциальных уравнений следующего вида: T, (k. ch 1 + sh(πneJ1 ÷gτ,, πa,-(k. sh(πneJ ÷ch JJ = 0 . Если разделить это уравнение на коэффициент у второй производной и ввести обозначение (11) 114 А.В. Мерзляков, Е.А. Крюкова квадрат частоты колебаний жидкости, то дифференциальное уравнение примет следующую форму: T2n +ω2n ■ 'T2n = 0 . Общее решение этого уравнения выглядит так: τ2n = C2n c0s(ω2nt) + D2n sin(ω2nt), а выражение для потенциала второй области - так: Φ2 =Σ(C2n c0s (ω2nt) + D2n sin (ω2nt))(^kn ch (^П^у} + Sh ^У^} c0S ^x) . (12) Константы C2n и D2n определяются из начальных условий (7) и (8). Подстановка формулы (12) в выражение (8) приводит к равенству Σ(c2n c0s(ω2n ∙ 0) + D2 n sin(ω2n ∙ 0))πn (kn ■ chfπnc)+ 5hfc⅜ cos^x)= 0 , n=1 a < < a )< a )) ∖ a J откуда сразу же вытекает C2n = 0, а выражение для потенциала становится таким: Φ2 = Σ D2n sin (ω2nt)(^kn ch (^П^У) + sh і^П^У)) c0s l^Πrx} (13) Форма свободной поверхности жидкости (зависимость z(t, x)) определяется из выражения (4): z (t, x ) = - - ^ddt^∙ g∂ t y=c Подстановка в это выражение формулы (13), в правую часть - выражения для начальной формы свободной поверхности (7), а в левую - t = 0 приводит к выражению для определения D2n: z(x)=- g ∑D2nω2n knch ι∏nc}+sh (∏nc})cos f^∏nx). Для определения коэффициента с произвольным номером n необходимо это выражение умножить на cos J^πnx} и проинтегрировать от 0 до а. В результате получается равенство ∫z( x)cos [^∏nχ)dχ=- 2-D2n ω2n knch [jπanc)+sh (nnc)} D2n откуда 2 g ∫ Z( x)cos ^πnx dx 2n kn ch (^∏nc} + sh (∏nc J Подстановка этого выражения в (13) позволяет получить значения потенциала во всей области 2, а также формулу, определяющую текущую форму свободной поверхности в любой момент времени: Свободные колебания идеальной жидкости в прямоугольном сосуде 115 (14) При выполнении данной работы начальная форма свободной поверхности ζ =2d -жидкости задавалась в виде наклонной плоскости с уравнением ζ(х) =- x - d , a где d - отклонение поверхности жидкости от равновесного положения на краях сосуда. Интегрирование и последующая подстановка в (14) привели к окончательному выражению для формы свободной поверхности в данной задаче: ∞ 4d ((-1)” -1) ( ) (πn (15) z(t,х) = ∑-------2-^cos(ωω2^t)cosI - х I (πn)2 „=1 (∏n )2 < a J Результаты проверки метода Рассмотрим пример расчета формы свободной поверхности идеальной жидкости, совершающей свободные колебания под действием силы тяжести в сосуде с горизонтальной пористой перегородкой. Исходными данными в задаче являются: ширина сосуда а = 1 м, расстояние от дна до перегородки b = 0.5 м, полная высота сосуда с = 1 м, начальное отклонение свободной поверхности жидкости от равновесного положения на краях сосуда d = 0.01 м. Проницаемость q принимала различные значения. Расчеты проводились по формуле (13) с использованием программы Mathcad. Для контроля были выполнены расчеты формы свободной поверхности жидкости в двух предельных случаях: когда перегородки нет (проницаемость бесконечно велика) и когда перегородка сплошная (проницаемость нулевая). Форма свободной поверхности в этих случаях рассчитана по классическим формулам для колебаний идеальной жидкости в прямоугольном сосуде, приведенным, например, в [12]. Выражение для определения формы свободной поверхности из этой работы совпадает с выражением (14), частоты колебаний определяются по формуле (16) где h - глубина сосуда. На рис. 2 представлена форма свободной поверхности жидкости в начальный момент времени (а) и через 2 с после начала колебаний (b). Сплошной линией показана свободная поверхность в сосуде с проницаемой перегородкой (q = 5), пунктирной - в сосуде с непроницаемой перегородкой (глубина сосуда 0.5 м), штриховой - в сосуде без перегородки (глубина сосуда 1 м). Хорошо видно, что колебания в более глубоком сосуде отстают от колебаний в мелком сосуде, а колебания в сосуде с проницаемой перегородкой происходят между ними, что является подтверждением правильности решения задачи. Для контроля были проведены расчеты формы свободной поверхности по формуле (13) для очень маленького значения проницаемости (q = 0,001) и очень большого значения (q = 1000). В первом случае сплошная линия на рисунке сов- 116 А.В. Мерзляков, Е.А. Крюкова пала с пунктирной, во втором - со штриховой. Данные совпадения также подтверждают правильность предложенной методики. Рис. 2. Форма свободной поверхности жидкости Fig. 2. Shape of the free surface of a fluid Этот же факт подтверждается анализом предельных случаев для частот колебаний ω2n. Если рассмотреть предельный случай q → 0, то формула (9) приведет к результату После подстановки этого выражения в (11) и последующего преобразования получим формулу для частоты: 2 ∏n , f ∏^ , л ω2n = g - th f-^(c - b. a Разность c - b - глубина верхней части сосуда (см. рис. 1). Поэтому полученная формула совпадает с (16). Если рассмотреть предельный случай q →∞, то формула (9) приведет к результату kn →∞. При подстановке этого выражения в (11) и предельном переходе получаем 2 ∏n f ∏n A ω2n = th c I. aIaj Величина c - глубина всего сосуда (см. рис. 1). Поэтому полученная формула также совпадает с (16). Оба предельных перехода подтвердили правильность полученных выражений. Таким образом, проведенные испытания показали эффективность предложенной методики; полученные с ее помощью результаты могут быть использованы для решения практических задач и проверки более общих численных методов исследования колебаний идеальной жидкости.

Ключевые слова

method of separation of variables, Laplace's equation, membrane, ideal fluid, velocity potential, метод разделения переменных, уравнение Лапласа, потенциал скорости, перегородка, идеальная жидкость

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Крюкова Елизавета АндреевнаТомский государственный университетстудентка физико-технического факультетаamerz@sibmail.com
Мерзляков Александр ВладимировичТомский государственный университеткандидат физико-математических наук, доцент физико-технического факультетаamerz@mail.ru
Всего: 2

Ссылки

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 742 с.
Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с. Статья поступила 10.11.2018 г.
Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч.1. М.: ГИФМЛ, 1963. 584 с.
Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974. 280 с.
Alemi Ardakani H., Bridges T.J., & Turner M.R. Dynamic coupling between horizontal vessel motion and two-layer shallow-water sloshing // J. Fluids and Structures. 2015. V. 59. Р. 432460.
Nezami M., Oveisi A., & Mehdi Mohammadi M. Standing Gravity Waves in a Horizontal Circular Eccentric Annular Tank // J. Pressure Vessel Technology. August 2014. V. 136. Р. 041301-1 - 041301-9. DOI: 10.1115/1.4026978
Пожалостин А.А. Гончаров Д.А., Кокушкин В.В. Малые колебания двухслойной жидкости с учетом проницаемости разделителя // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. № 5. С. 109-116.
Пожалостин А.А. Гончаров Д.А., Кокушкин В.В. Эксиериментально-аналитический метод определения коэффициента сопротивления разделителя слоев жидкости в баке // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 130-140. DOI: 10.7463/0415.0763626.
Галицын Д.А., Троценко В.А. К расчету частот и присоединенных масс жидкости в прямоугольном контейнере с перегородками в поперечной плоскости его симметрии // Прикладная гидромеханика. 2000. Т. 2 (74). № 1. С. 20-27.
Галицын Д. А., Троценко В.А. Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками // Прикладная гидромеханика. 2000. Т. 2 (74). № 4. С. 11-23.
Кононов Ю.Н., Татаренко Е.А. Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном // Прикладная гидромеханика. 2008. Т. 10. № 1. С. 33-38.
Борисов Д.И., Руднев Ю.И. Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками // Прикладная гидромеханика. 2010. Т. 12. № 2. С. 8-19.
 Свободные колебания идеальной жидкости в прямоугольном сосуде с горизонтальной проницаемой перегородкой | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/8

Свободные колебания идеальной жидкости в прямоугольном сосуде с горизонтальной проницаемой перегородкой | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2019. № 60. DOI: 10.17223/19988621/60/8