Предложен и продемонстрирован на примере уравнения Риккати способ преобразования полиномиальных систем ОДУ к линейным системам ОДУ. С помощью дополнительного первого интеграла одномерное уравнение Риккати преобразовано к линейной системе из трех ОДУ с переменными коэффициентами, решая которую можно найти решение исходного уравнения Риккати в общем виде или только задачи Коши. Предлагается первый интеграл, с помощью которого можно свести решение полиномиальных систем ОДУ к нахождению решений линейных систем ОДУ. Данная процедура выгодна с точки зрения численных методов решения дифференциальных уравнений
Explicit transformation of the Riccati equation and other polynomial ODEs to systems of linear ODEs.pdf 1. Уравнение Риккати является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка [1]. Одномерные и многомерные уравнения Риккати встречаются в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии, в теории конформных отображений, в вариационном исчислении) и физики (например, в квантовой теории поля) [1, 2]. Они также нередко возникают в прикладных математических задачах. Доказано, что общего решения уравнения Риккати в виде квадратур не существует, но, если известно хотя бы одно частное решение, то находится и его общее решение. Уравнение Риккати является простейшим полиномиальным уравнением. Идея сведения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) к полиномиальной форме восходит к А. Пуанкаре [3, гл. XVI, XVII]. В этой работе он утверждал, что всякое дифференциальное уравнение (при известных условиях) может быть представлено в форме dxx/dt = X1, ... dxn/dt = Xn, где все Xt - «целые многочлены», и предложил метод получения такого представления исходного уравнения при помощи введения дополнительных переменных. В дальнейшем введение дополнительных переменных применялось различными авторами для сведения конкретных систем ОДУ к полиномиальной форме (см., например, [4, 5]), а в работе [6] были предложены условия, обеспечивающие возможность сведения к полиномиальной форме методом дополнительных переменных (МДП) нелинейных систем ОДУ общего вида. Наконец, в [7] получены алгоритм и про- М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман 6 грамма (в рамках пакета Mathematica) сведения к полиномиальной форме полных систем и, в частности, систем ОДУ, если они удовлетворяют определенным условиям. Существуют и развиваются различные методы решения полиномиальных систем дифференциальных уравнений. Например, в теориях управления и моделирования часто используются нормальные, т. е. разрешенные относительно производной, матричные дифференциальные уравнения первого порядка, правая часть которых является либо линейной, либо квадратичной относительно искомой матрицы. Для их решения можно использовать введенные в работе [8] косые ряды. Они позволяют сводить матричные уравнения к аналогичным уравнениям над матрицами более низкого порядка. Изучаются также полиномиальные решения у систем уравнений в частных производных (УрЧП) [9]. Они позволяют находить многие важные частные решения у дифференциальных уравнений. Цель данной работы заключается в том, чтобы предложить способ преобразования полиномиальных систем ОДУ к линейным системам ОДУ в явном виде. C помощью дополнительного первого интеграла одномерное уравнение Риккати мы преобразовываем к линейной системе из трех ОДУ с переменными коэффициентами, решая которую можно найти решение исходного уравнения Риккати в общем виде или только задачи Коши. Полученную линейную систему ОДУ решать гораздо легче, чем исходное уравнение Риккати. Применяемый метод преобразования является частным случаем метода, который изложен в работе авторов [10]. Для многомерных уравнений Риккати соответствующей линейной системы ОДУ мы не приводим из-за большого числа получаемых линейных уравнений (больше 100). Однако мы приводим первый интеграл, с помощью которого это можно сделать. В работах [11, 12] предложено сведение систем УрЧП к системам УрЧП меньшей размерности, в частности к системам ОДУ путем их переопределения дополнительными уравнениями связи. Были предложены различные способы переопределения как отдельных систем УрЧП, так и УрЧП общего вида. При редукции некоторых систем УрЧП, в частности унифицированных УрЧП или уравнений Навье - Стокса, на основе метода переопределения, изложенного в работе [13], возникают переопределенные параметрические системы полиномиальных ОДУ. В данной работе мы предлагаем первый интеграл, с помощью которого можно свести решение полиномиальных систем ОДУ к нахождению решений линейных систем ОДУ. В частности, если коэффициенты в этих уравнениях будут постоянные, то решение находится в явном виде. 2. Рассмотрим уравнение Риккати: dx 2 , - = ax + bx + c, (1) dt где a = a (t) Ф 0, b = b (t), c = c (t) - непрерывно дифференцируемые функции от t е[0, T], T > 0. Пусть поставлена задача Коши x|t=0 = x0. Преобразуем уравнение (1) к автономной системе из двух уравнений: - = a (t) x2 + b (t) x + c (t); dx (2) dt 1 dx (3) (13) xo, px It=0 = ^ (14) (ax2 + bx + cp px + pt = (a0x02 + b0x0 + c0 ) . К системе (10) - (13) ставится следующая задача Коши: x| 0 pt |t=0 = 0 . Имеем d (xpx) = dx dt dt p x dpx 2 + x-= -ax px + cpx . dt x x (14) можно переписать (15) Обозначим B = xpx, C = x2 px . Тогда уравнения (11) в виде dpx dt Преобразование уравнения Риккати и других полиномиальных ОДУ 7 где поставлена задача Коши х\\т=0 = x0, t|т=0 = 0. Рассмотрим функцию от переменных х, t, px , pt: Н (xt, Px, Pt ) = (a (t)x2 + b (t)x + c (t)) px + Pt. Уравнения (2) и (3) можно представить в виде dx dH dz dpx (4) (5) dt = dH dx dpt Определим функции px = px (т), pt = pt (т) из следующих уравнений: = -dH = -(2a(t)x+b(t))Px ; dx dx (6) da (t) 2 + db (t) + dc (t)' x + x + I p x () (8) dpt dH dx dt ^ dt dt dt где поставим задачу Коши px | = 1, pt |т=0 = 0 . Как известно, система уравне ний (5) - (8) является гамильтоновой [14]. Функция (4) является ее первым интегралом [14]. Следовательно, с учетом начальных данных имеем (a (t) x2 + b (t) x + c (t)) px + pt = (a0x02 + b0x0 + c0 ) , (9) где a (tpт=0 = a0, b (t)|т=0 = b0, c (t)|т=0 = c0. Из уравнения (3) с учетом начальных данных следует t = т. Тогда систему уравнений (5) - (8) можно переписать в виде dx 2 - = ax + bx + c ; dt dpx dt = -(2ax + b) px ; dpt dt da 2 db dc - x +--x +--| px dt dt dt x (10) (11) (12) ■2aB - bpx; М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман 8 da --< dt dB_ dt db dc --В - px; (16) dt dt = (a0x02 + b0x0 + c0 ) ; (17) -aC + cpx. (18) dPt dt Продифференцируем уравнение (17) по t и подставим (15), (16), (18). После преобразований получим, что dC dt = bC + 2cB (19) Таким образом, мы имеем систему из трех линейных дифференциальных уравнений (15), (18) и (19) от трех неизвестных px, В , С , где старшие их производные выражены через остальные неизвестные. Начальные данные следующие: px І о = 1, B| 0 = x0, C| 0 = (x0 )2. Зная решение (15), (18) и (19) с этими начальными данными, по формуле x = Bjpx находим решение уравнения (1). Покажем обратное. Пусть нам известно решение (15), (18) и (19) с начальными данными px|t = 1, B|t=0 = x0 , C|t = (x0 )2. Тогда должно выполнятся соотношение В2 = pC. (20) При t = 0 это равенство выполняется. Продифференцируем (20) по t. Имеем „ndB dp dC 2B- = -2-xC + pxdt dt x dt или 2B (-aC + cpx ) = (-2aB - bpx) C + px (bC + 2cB). (21) Равенство (21) очевидно является тождеством. Таким образом соотношение (20) доказано. Пусть h = Bjpx . Тогда из (20) следует, что C = h2px . Имеем также h| 0 = x0. Докажем, что тогда h является решением (1). Действительно, dB dpx dh dt d(b/px) = dtPx dt B = (-aC + cpx)px-(-2aB-bpx)B x dt (px )2 (px )2 (-ah2px + cpx)px -(-2ahpx -bpx)hpx ,2 ,, ^-----= ah + bh + c . (px ) Как известно, если a = a (t) Ф 0, b = b (t), c = c (t) - непрерывно дифференцируемые функции от t е [0,T], T > 0, то решение задачи Коши px\\t 0 = 1, B| 0 = x0 , C|t=0 =(x0 )2 для системы (15), (18) и (19) существует глобально на отрезке [0, T] [15]. Если при этом px Ф 0 для любого t е [0, T], то x = В/px будет являться решением задачи Коши x| 0 = x0 для уравнения (1) также глобально на отрезке [0, T]. где ai (t)|t=0 = a° , i = 0,1...n: (anxn + an-lxn 1 + ... + alx + a0 ) Px + Pt = a0 (x0 )n + a°-1 (x0 )n 1 + ... + ai0 x0 + a00, (25) = 1, Pt |t=0 = 0. Систему уравнений (22) - (25) 'x\\t=0 можно рассматривать как переопределенную. К этой системе можно применить подход, изложенный в работе [10], и также преобразовать ее системе линейных ОДУ. Однако количество полученных уравнений слишком много, чтобы представить в данной работе. Оценка количества этих уравнений из работы [10] следующая: NH > 54n . Аналогичным образом можно переопределить систему ОДУ, где в правых частях стоят дробно-рациональные выражения от неизвестных. Переопределенная система ОДУ будет также состоять из дробно-рациональных выражений от неизвестных и к ней можно применить метод из работы [10]. К таким системам можно преобразовать многие системы ОДУ. Пример 1. Рассмотрим систему из двух дифференциальных уравнений: dx (dy V 2 --+ x 1 - I +1 + x + y = 0; dt v dt) (26) dx dy ---+ tx + y +1 = 0. dt dt (27) dx dy - = u , - = v . dt dt (28) Преобразование уравнения Риккати и других полиномиальных ОДУ 9 Рассмотрим уравнение dx dt = anxn + an-1xn 1 +... + a1x + a0 . (22) где an = an (t) Ф 0, ai = ai (t), i = 0,1...n , - непрерывно дифференцируемые функции от t е [0, T], T > 0. Уравнение (22) называется обобщенным уравнением Риккати. Пусть поставлена задача Коши x|t=0 = х0. Аналогично можно получить, что из уравнения (22) следует, что dp dt P dt = ~(nanxn-1 +...+ai )px ; da dan n da1 nx +... + 1 dt x +--- I px dt dt 1 x (23) (24) Обозначим Подставим (28) в (26), (27) и продифференцируем полученные выражения по t. Находим, что Если определитель du „ dv 2 „ , --+ 2xv--+ uv + u + 2 yv +1 = 0; dt dt du dv v--+ u--+ x + tu + v = 0 . dt dt Д = 1 2 xv v u = u - 2 xv2 Ф 0 (29) (30) (31) М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман 10 то уравнения (29), (30) можно записать в виде (32) du _ Дu dv _ Дѵ dt Д ’ dt Д где Ди = -uv2 -1 - u - 2yv 2xv , Д v = 1 -uv2 -1 - u - 2yv - x - tu - v u ’ v > 1 1 * 1 (33) Введем новую переменную т по формуле (34) dt і dx Пусть t| т0 = 0. Тогда систему уравнений (28), (32) можно представить в виде dx dy Д du Ди dv dx dx dx Д dx Таким образом, вместо сложной системы уравнений (26), (27) мы имеем систему уравнений (34), (35), где в правых частях стоят дробно-рациональные выражения с постоянными коэффициентами и которую можно еще переопределить. Методом из работы [10] ее можно свести к решению систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Пример 2. Рассмотрим произвольную систему из n уравнений от n неизвестных функций u = (u1, u2...un) вида G (u ) = 0, (36) где G (u ) = ( G1 (u),.. Gn (u)) - некоторые достаточно гладкие функции своих аргументов. Будем искать функцию u = u (u0, t), удовлетворяющую системе уравнений G(u) = GК )(1 -1). (37) Пусть u| t=0 = u0. (38) При t = 1 числа u|t=1 будут решениями системы (36). Продифференцируем уравнения (37) по переменной t: dG (u) 5u (35) du at-=-^>. Положим, что определитель матрицы в (39) отличен от нуля. Тогда (39) du dt dG (u) du G(u0). (40) Таким образом, при фиксированном u0 мы имеем систему ОДУ (40) по переменной t с задачей Коши (38). Если система уравнений (36) полиномиальная, то система ОДУ (40) будет состоять из дробно-рациональных выражений от неизвестных. Пример 3. Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида: (41) dx a (t) + cos (b (t) x) dt x3 + c (t) где a = a (t), b = b (t), c = c (t) - дважды непрерывно дифференцируемые функ- Преобразование уравнения Риккати и других полиномиальных ОДУ 11 ции от t е[0, T], T > 0. Обозначим 1 тогда х3 + c (t) = -, u = cos (b (t) X), У dx , , - = a (t) y + uy. dt (42) (43) Продифференцируем по t уравнения (42). Имеем •2 dt „ 2 dx dc (t) 1 dy dy 2 (_ 2 dx dc (t) 3x2- + -K-L =--или - = -y2 I 3x2- + w dt dt y dt dt dt Учитывая (43), получаем -У = -3a (t) y3x2 - 3uy3x2 - ^y2 . dt dt (44) Имеем du . , 4 Jdb(t) -=-s.n(b (,)x )l -U x+b 1 f ] или = - sin (b (t) x )^ d7) x + b (t )a (t) y + b (t )uy |. (45) Возведем обе части последнего уравнения в (45) в квадрат. Тогда f I = sin2 (b (t) x) db (t) dt x + b (t)a(t)y + b (t)uy | = (1 - u2) Обозначим db (t) dt du x + b(t)a(t)y + b(t)uy | . 1 (46) ■ = w , w = -dt v (47) С учетом обозначений (47) продифференцируем уравнение (46) по t. Имеем после преобразований, dw ( db (t) ■ = -u1 dt ( dt db (t) + v (i - u2-) dt x + b (t)a(t)y + b (t)uyI + x + b (t)a(t)y + b (t)uy IG, (48) где 2 G = d 2b (t) db(t)dx d (b(t)a (t)) -x+ dt2 dt dt Имеем также из (47) dt -y+(b (t )a (t )+b (t )u))y+--()uy+b(t)wy dw dt 1 dv v2 dt (49) или dv 2 dw dt dt (50) М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман 12 Таким образом, если подставить (43), (44) в (49), (50), то вместо сложного уравнения (41) мы имеем систему из 5-ти уравнений (43), (44), (47), (48) и (50) и 5-ти неизвестных x, y , u , w и v, которая является полиномиальной. Методом из работы [10] ее можно свести к решению систем линейных ОДУ с переменными коэффициентами. 3. В данной статье мы предложили и продемонстрировали на примере уравнения Риккати способ преобразования полиномиальных систем ОДУ к линейным системам ОДУ. Этот результат может быть интересен с теоретической точки зрения. Рассмотрим полиномиальные системы ОДУ с постоянными коэффициентами. Решение таких нелинейных систем с помощью нашего метода может быть представлено в виде нелинейной функции от суммы очень большого, но конечного количества нарастающих и затухающих колебаний во времени с разными частотами, которые теоретически можно вычислить [15]. Например, для уравнения Риккати это выражение h = Б/px , где B и px - колебательные решения из системы уравнений (15), (18) и (19), так как эта система является системой линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Амплитуды этих колебаний зависят от начальных данных нелинейно. Мы можем также вычислить, в какой момент решение будет обращаться в бесконечность, т. е. область существования решения, например, задачи Коши. С точки зрения численных методов сведение к линейным системам ОДУ также выгодно. Для линейных систем ОДУ созданы мощные методы решения и программные пакеты. Количество линейных уравнений, которых необходимо решить, быстро растет с увеличением количества уравнений в исходной системе полиномиальных уравнений [10]. Однако решать численно напрямую нелинейные ОДУ гораздо труднее из-за вычислительных особенностей, например неустойчивостей, точек бифуркации и т.д.
Егоров А.И. Уравнения Риккати. М.: Физматлит, 2001. 319 с.
Зеликин М.И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. М.: Факториал Пресс, 1998. 352 с.
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями: пер. с франц. М.: ОГИЗ, 1947. 392 с.
Мерман Г.А. О представлении общего решения задачи трех тел сходящимися рядами // Бюлл. ИТА АН СССР. Наука. 1958. Т. 6. № 10. С. 713-720.
Кривов А.В., Чернышева Н.А. Интегрирование уравнений движения низкого ИСЗ методом рядов Тейлора // Кинематика и физика небесных тел. 1990. Т.6. № 2. С. 13-16.
Бабаджанянц Л.К. Продолжаемость и представление решений в задачах небесной механики // Труды ИТА АН СССР. Наука. 1978. Вып. XII. С. 3-45.
Бабаджанянц Л.К., Брэгман К.М. Алгоритм метода дополнительных переменных // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер.10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 2012. Вып. 2. С. 3-12.
Деревенский В.П. Квадратное уравнение над матричными косыми рядами // Известия вузов. Математика. 2014. № 1. С. 17-30.
Карачик В.В. Полиномиальные решения дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». 2011. Вып. 4. № 10 (227). С. 4-17.
Zaytsev M.L., Akkerman V.B. On the identification of solutions to Riccati equation and the other polynomial systems of ODEs // preprint, Research Gate, 2020. DOI: 10.13140/RG.2.2.26980.60807.
Зайцев М.Л., Аккерман В.Б. Еще один способ нахождения частных решений уравнений математической физики // Вестник ВолГУ. Серия 1, Математика. Физика. 2016. № 6(37). С. 119-127. DOI: 10.15688/jvolsu1.2016.6.11.
Зайцев М.Л., Аккерман В.Б. Редукция переопределенных систем дифференциальных уравнений математической физики // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. Т. 20. № 4. С. 43-67. DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2017.4.5.
Зайцев М. Л., Аккерман В. Б. Алгоритм нахождения решений переопределенных систем дифференциальных уравнений в явном виде // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». 2020. Т. 12. № 4. С. 5-18. DOI: 10.14529/mmph200401.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие в 10 т. Т. I. Механика. М.: Наука, 1988. 216 c.
Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. СПб.: Лань, 2003. 448 c.