Устанавливаются априорные оценки решений одномерных неоднородных гиперболических уравнений с интегральной нагрузкой в главной части, имеющей вид a(s) = sp, при p = 1, 0.5 и -1, с неоднородными начальными и однородными граничными условиями. Здесь s - интеграл по пространственной переменной от квадрата модуля производной решения уравнения по х. Приводятся примеры линеаризации нагруженных уравнений подстановкой правых частей оценок вместо a(s).
On linearization of hyperbolic equations with integral load in the main part using an a priori estimate of their solutio.pdf Введение Моделирование ряда физических, биологических, экологических процессов приводит к начально-краевым задачам для уравнений гиперболического типа, содержащих в главной части интегральную нагрузку, под которой понимается некоторая функция a(s), содержащая интеграл некоторой степени искомого решения или его производной. Таким является, например, уравнение utt - a(s)uxx = 0, s = J |ux| dx. Q Одним из первых исследований этого уравнения была работа [1], в которой при Q = [0, l] «указывается прием решения некоторых краевых задач при помощи бесконечных систем дифференциальных уравнений». К числу более поздних работ, связанных с данным уравнением, относятся [2, 3]. В статьях [4, 5] и других исследуются вопросы однозначной разрешимости начально-краевых задач в многомерном случае, при этом в [5] уравнение дополнено младшими членами, один из которых является нелинейным. Многомерное неоднородное уравнение utt - a(s)uxx = f, s = || Vu| dx, Qc Rn, Q рассматривалось в работах [6, 7]. В настоящее время подобное уравнение с младшими членами интенсивно исследуется. Среди большого количества последних работ можно указать [8-10]. В этих и других источниках практически важные нагруженные уравнения содержат функцию a(s), аргумент которой, как нетрудно заметить, представляет собой норму производной искомого решения в пространстве L2(Q). Это приводит к мысли о возможности использования априорной оценки производной решения задачи в указанной норме для линеаризации исходного уравнения. Такой подход был использован в [11, 12] и некоторых других работах автора, в которых интегральная нагрузка содержится в младших членах уравнения и является нормой его решения в пространстве Lp(Q), p > 3. Целью настоящей работы является установление априорных оценок второй смешанной задачи с однородными граничными условиями для неоднородного 17 Математика / Mathematics гиперболического уравнения с интегральной нагрузкой в главной части. Рассматривается линейный случай a(s) = s, а также нелинейные случаи a(s) = и a(s) = s 1. Приводятся примеры, в которых с целью линеаризации первоначального уравнения интегральная нагрузка заменяется некоторой известной функцией от t, определяемой посредством правой части априорной оценки. 1. Линейная интегральная нагрузка a(s) = s Рассмотрим уравнение с линейной интегральной нагрузкой в котором utt -|Iм* II2,0 uxx = f t). = ||ux| dx = s, 0 = [0,l], (1) xl12,0 0 при условиях u(x,0) = фх(х), ut(x,0) = ф2(х), 0 < x < l, ux(0,t) = ux(l,t) = 0, 0 < t < T. (2) Теорема 1. Пусть функция u e Hx(0) такая, что ut e L2(0) является решени ем задачи (1), (2), ф1д.,ф2, f e L2(Q). Тогда функция llu 4 xl 12,0 ограничена константой, зависящей только от t. Доказательство. Рассмотрим скалярное произведение (1) и функции ut: (utt, ut)-1\\ux\\\\2 0 (uxx, u ) = (f, ut). Для отдельных членов имеем (utvu)=1 j-|(utfdx=1 dbt\\l2,0, (f,ut)=jfutdx, 1 г d 1 d ,, м2 2 dt" x'^,°. -(uxx ,ut ) = -j - (uxut)dx + j uxutxdx = - (uxut ^ x=0 + 9 \\~U 2dx =--l|u 2 0dt 0 о Заметим также, что II ||2 / Ч II ||2 1 d м ||2 1 d м2 \\2 1 d и ц4 - uA2,0 (uxx,ч)=I kll2,0 2 dtIM2,0 = 4,(^2,о) = 4 d ^2,0. Приведенные преобразования приводят к равенству 1 d ,, м2 1 d ,, ||4 2 ~іАЩ" 2-0 + 4 dr' 2,0 = j futdx, 0 интегрируя которое получаем t 2 lut| 12,0 +llux|l 4,0 = 4jj futdxd ^ + ЧІ u (x,0)L2,0 +llux (x, 0)l2,0 . 0 0 Функцию под интегралом в правой части оценим по модулю и воспользуемся неравенством Коши с е = 0.5: ( 1 ^ 4 j fut\\dx < 2 sj| f\\2 dx + - j |ut |2 dx 112,0+21 N,112,0 • 0 V 0 18 Бозиев О.Л. О линеаризации гиперболических уравнений с интегральной нагрузкой в главной части что позволяет перейти к неравенству 2IIut\\\\2,a +1КIIU - 21\\ut\\\\la dx + jllAl2,a dx + 2IIФ2 £ a + IK IIU ■ (3) 0 0 Опуская второе слагаемое левой части, получим м2 2,0 - JIKII2,0 dх + а5ЦA12,a dХЧІФ2ІІ2,a + MKII2,a ■ 0 0 Применяя к последнему одно из обобщений неравенства Гронуолла [13. С. 11], имеем t х Г*х u t,Q - 05je'^lAl2,a dх0dх + (Mia + °-5 IIФіXa) a -a + 0 0 + °4ll АІ20 dX + l ІФ2ІІ20 + 0 5 II Фі x||2, a ■ 0 Это означает, что Қ>(0 = 0.5j| t ( e V 0 0 М2,a -Ko(t), A d x+(Nl2,a+a5ll Фі^І 2,a)et ■ 2, a d x0 +1A I2,a Возвращаясь к неравенству (3), опустим в левой части первое слагаемое, м2 а в правой части заменим ||ut || на Ko(t). В результате получим оценку (4) h II2,a - K(t), K (t) = 2j K0(x)dx +jll A l2,a dx + 2II фИ2,о +ІІФ: 2, a +ІІфі^І 2, a, 0 0 выполняющуюся для всех t e [0, T]. Теорема 1 доказана. Из (4) следует, что ІКІІ 2,a^/K(t) ■ Выбирая равенство в данном выражении, подставим его правую часть в (1) и получим линейное уравнение utt -'ЩАuxx = А(x t)■ (5) Пример 1. Пусть в условиях (2) l = 1, Фх (X) = х(X -1), Ф2 (X) = X, f (x, t) = xt^ (6) Тогда ІІФ: 1x I і2,0 Л \\ ] 1 it 11 з j(2х -1)2 dx = -, ||ф^и2,о =Jx2dx=т, jll А12о x=jjx2 x2dxd x= ѵ 3 0 Ѵ0 t x 00 t x t -1 jex j||AHq dx»dx+j||AHq dx = -((t3 - 3t2 + 6t -6)et +13 + б) 0 (7) 00 0 19 Математика / Mathematics K0 (t) = 1 ((t3 - 3t2 + 6t + 1)et +13 + б), t 1 JK0 (x)dx = - ((t3 - 6t2 + 18t - 17)et + 0.25t4 + 6t + 17) о 18 K(t) = - ((t3 - 6t2 + 18t -17)et + 025t4 +13 + 6t + 24). Отметим, что K(t) > 0 при t > 0. Подставляя в (5), переходим к линеаризованному уравнению ^](t3 - 6t2 + 18/ -17У + 0.25t4 +13 + 6t + 24u 3 = xt. 2. Нелинейная интегральная нагрузка a(s) = °Js При условиях (2) рассмотрим уравнение с нелинейной интегральной нагрузкой Utt ~\\ КП 2,Q Uxx = f(Ht). (8) Теорема 2. Пусть функция u е HX(Q) такая, что ut е L2(Q) является решени ем задачи (8), (2), ф1х, ф2, f е L2(Q). Тогда функция llu 3 xll2,Q ограничена константой, зависящей только от t. Доказательство. Запишем скалярное произведение (8) с ut: (Utt,ut )-1|Ux ||2 Q(Uxx,Ut ) = (f,Ut ) и заметим, что 1 d 1 l|2 и ||2 d и и urL _ = urL _ -ЫЛ,, _ 1 xlI2,Q II xll2,Q ^ II xlI2,Q 11II 3 dt ' 3 j}ux\\ Hq=j futdx. -|| ux|| 2,Q (Uxx ,Ut )=| Iux что приводит к соотношению 1 dn „2 --u Интегрирование последнего дает t HI 2,Q = 6JJfV 0 Q Функцию под интегралом в правой части оценим по модулю и применим к нему неравенство Коши с е = 0,5: ( , Л 3|lUt|l2,Q + 2WUx(2,Q = 6JJfutdxd* + 3\\\\Ut (x,0)||2,Q + 2 lux (X,0)£q . =15ІІ A L+31 utl I2,q. 6 J| fut\\dx < 3 I eJ|f\\2 dx + y Jlut12 dx Q V Q S Q Это позволяет перейти к неравенству HIut II2,Q + HIux II2,Q < 3 JllUHI2,Q dX +15 Jllf Il2,Q dx + HIФ2 (x)ll2,Q + HIФ1Х (x)|32,Q . (9) 0 0 Опуская второе слагаемое левой части, получим 20 Бозиев О.Л. О линеаризации гиперболических уравнений с интегральной нагрузкой в главной части и і|2 і|3 til2,0 ^ ЛWI2,0 d% + °-5Л f 12,0 dХЧ|Ф2іі2,0 + 3 IKll2,0 • О 0 Применяя к последнему неравенство [13. С. 11], имеем и м2 bt\\ Ко( )• t f T eT 'V о ) Возвращаясь к (9), опустим в левой части первое слагаемое, а в правой части м2 Ko(t) = 0.5 j 2,0 d To +1 / 12,0 0 dT+(wiL + fl ІФьІ 12,0)e • заменим u '112,0 на Ko(t). Это приводит к оценке м3 Ux||2,0 ^ К(t) (10) К(') = I.5 I ДКК + 0-5||K 12,0) d т+|ф212,0 +flKH32,0, ѵо ) 3 выполняющейся для всех t е [0, T]. Теорема 2 доказана. Из (10) следует, что ІЫІ2,0 * ^ Выбор равенства в данном выражении позволяет перейти от (8) к линейному уравнению U' - 3К(t)Uxx = f (x ')• (11) Пример 2. Пусть имеет место (6). Воспользовавшись (7), получаем І|ф1х| 1Q =v27-1 * 0.19245, K0(t) = - ((t3 -3t2 + 6t + 2.3094У +13 + б), , 18v ’ t 1 jK0(T)dt = - ((t3 - 6t2 + 18t - 15.69)c' + 0.25t4 + 6t + 17), 0 18 K(t) = 1 ((t3 -6t2 +18t -15.69)et + 0.25t4 + 0.6667t3 + 6t + 24.5396). Подстановка в (10) приводит к линейному уравнению ut - 0.43683(t3 - 6t2 +18t - 15.69)et + 0.25t4 + 0.6667t3 + 6t + 24.5396«^ = xt. 3. Нелинейная интегральная нагрузка a(s) = s 1 При условиях (2) рассмотрим уравнение Utt-|lUx||-q Uxx = f (^ t). (12) Теорема 3. Пусть функция и е H*(Q) такая, что ut е L2(0), ||ux||2 > 0, является решением задачи (12), (2). Пусть, кроме того, ф1д.,ф2,/е L2(0), |^1x(x)^Q > 0. II l|2 Тогда функция ||ux||2Q ограничена константой, зависящей только от t. 21 Математика / Mathematics Доказательство. Заметим, что в скалярном произведении (12) и функции ut (Utt. щ )-1\\ux\\\\2а(ихх. Ut ) = ( f. Щ ) -2 имеет место равенство х||2.Q V хх Это позволяет записать уравнение d_ dt К. Ut) = I N12,0 d^Uxt,Q = d lnl lU^l2,Q • (l HI 2,q+lnl kll 2,q)=2 J fUtdx, Q интегрируя которое получим t Ik II 2,0=2JJfUtdxd 2+l lUt (х,0)||2.0+lnl k (х,0)іі2.0 • 0 Q Применяя неравенство Коши, перейдем к неравенству " "2 !+ HWlL * flHlL d Чііf 12.0 d ХЧ|ф2(х)і2.0+ ЧК (Х)|| U Ik II 2,q+lnl lUxll 2,q 2 2.Q • (13) Опуская второе слагаемое левой части, получим іыі wi 2оd '||2 ,d х+|Ф2іі20+ ЧІФ: 0 0 Очередное применение неравенства [13. С. 11] дает 1ХІІ2.Q • І|2 \\Ut\\\\2Q * K0(t) . K>(t) = J t ( e V 0 0 2.0 d '0 +1. fll 2q d t+(WI2 q+4 ІФіхІ 12. q) e‘ • Возвращаясь к (13), опустим в левой части член ||u|| , а в правой части заменим его на K0(t). В результате получим соотношение 112 Q. кі! * J2 (2 2+illf 12 Q d 2+ІІФ2(x)ll2, Q+ln I ІФіх(х)ІІ Из него следует оценка (14) (15) ■I м2 КII2.Q * K(t). k(t)=exp j(k0(2) +iif\\i2.q)d2+ііф2(х)і2.0+ч|Фіх(х)і2.0 V 0 выполняющаяся для всех t e [0,7]. Теорема 3 доказана. Выберем в (14) верхнюю границу оценки и подставим в (12), получим Utt - ^^хх = f (х.t). Пример 3. Пусть имеет место (6). С помощью (7) имеем 22 ln| |ф nil20 =-1 0986. K0(t) = - (t) =1 ((t3 -3t2 + 6t -12.8875)et +13 + б) Бозиев О.Л. О линеаризации гиперболических уравнений с интегральной нагрузкой в главной части t , J K0(x)d т = - ((t t о 9 к (t) = - (t - - 6t2 +18t - t0.8875)et + 0.25t4 + 6t + 24.8875), 6t2 +18t -17)et + 0.25t4 +13 + 6t + 24.1222). Отметим, что K(t) Ф 0 при t > 0. Подстановка в (15) приводит к линейному уравнению - 9 ((t - 6t + 18t - 17)e + 0.25t +1 + 6t + 24.1222) = xt. Заключение В работе установлены априорные оценки (4), (10) и (14) производных решений начально-краевых задач для одномерных неоднородных уравнений гиперболического типа с интегральной нагрузкой a(s) = sp в главной части при p = 1, 0,5 и -1 соответственно. Во всех случаях граничные условия второго рода являются однородными. Полученные оценки предназначены для линеаризации первоначальных уравнений путем замены интегральной нагрузки некоторыми функциями от t, полученными из правых частей соответствующих оценок. Данный способ линеаризации позволяет аппроксимировать исходное нагруженное уравнение ассоциированным с ним линейным уравнением с сохранением в основном физического смысла процесса, моделируемого нагруженным уравнением. Точное или приближенное решение линеаризованного уравнения, найденное при исходных начальных и граничных условиях, можно принять за приближенное решение исходного нагруженного уравнения. Это решение также может быть использовано для запуска итерационного процесса последовательных приближений к точному решению нагруженной задачи.
Бернштейн С.Н. Об одном классе функциональных уравнений с частными производ ными // Известия АН СССР. Сер. математическая. 1940. Вып. 1. С. 17-26.
Woinowsky-Krieger S. The effect of axial forces on the vibrations of hinged bars //j. Appl. Mech. 1950. № 17. P. 35-36.
Dickey R.W. Infinite systems of nonlinear oscillation equations related to the string // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. № 23. P. 459-468.
Crippa H.R. On local solutions of some mildly degenerate Hyperbolic equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1993. V. 21 (8). P. 565-574.
Frota C.L., Medeiros L.A., Vicente A. Wave equation in domains with nonlocally reacting boundary // Differential and Integral Equations. 2011. V. 24 (11/12). P. 1001-1020.
Похожаев С.И. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений // Математичсеский сборник. 1975. Т. 96 (138), № 1. С. 152-166.
Похожаев С.И. Об одном квазилинейном гиперболическом уравнении Кирхгофа // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 1. С. 101-108.
Nishihara K. Exponential decay of solutions of some quasilinear hyperbolic equations with linear damping // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1984. V. 8 (6). P. 623-636.
Ngoc L.T.P., Long N.T. Linear Approximation and Asymptotic Expansion of Solutions in Many Small Parameters for a Nonlinear Kirchhoff Wave Equation with Mixed Nonhomogeneous Conditions // Acta Appl Math. 2010. V. 112. P. 137-169. doi: 10.1007/s10440-009-9555-9
Ono K. Global solvability for mildly degenerate Kirchhoff type dissipative wave equations in Bounded Domains //j. Math. Tokushima Univ. 2021. V. 55. P. 11-18.
Бозиев О.Л. Приближенное решение нагруженного гиперболического уравнения с однородными краевыми условиями // Вестник Южноуральского государственного университета. Сер. Математика, физика, механика. 2016. Т. 8, № 2. С. 14-18. doi: 10.14529/mmph160202
Бозиев О.Л. Решение нелинейного гиперболического уравнения приближенно-аналитическим методом // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 51. С. 5-14. doi: 10.17223/19988621/51/1
Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М. : Наука, 1976. 151 с.