Linear finite functional in the weighted Sobolev space.pdf Введение Статья является продолжением работ автора [1, 2], связанных с представлением линейного функционала в весовом пространстве Соболева. В ней рассматриваются вопросы представления линейного функционала через элемент того же пространства, на котором данный функционал задан. В гильбертовом пространстве такое представление реализуется через скалярное произведение. Для пространства Wp(m) (p Ф 2) конструкция представления выглядит сложнее. К искомому выражению мы приходим через постановку и решение экстремальной задачи, в которой задействовано дифференцирование нормы. Норма в нашей работе в таком контексте рассматривается не как выпуклый нелинейный функционал, а как выражение, содержащее кратный интеграл, допускающий дифференцирование по параметру. Идея состоит в том, что если норма допускает существование производной, а экстремальная задача имеет единственное решение, то эта норма порождает некоторое функциональное уравнение, которое и приводит к представлению функционала. Например, в [3] такое функциональное уравнение, выведенное для пространства Lp, не является дифференциальным. Мы же здесь придем именно к дифференциальному уравнению, причем нелинейному и с частными производными. Норму при этом рассматриваем, отличную от норм, вводимых для пространств Соболева, например в [4-7]. Представления функционала через свертку фундаментального решения некоторого линейного дифференциального оператора с рассматриваемым функционалом получены автором ранее в работах [1, 8, 9] для пространств Соболева с весовыми и невесовыми нормами. В одних случаях рассматривались функционалы погрешности кубатурных формул [8, 9], в других - более общие конструкции - линейные финитные функционалы. Базовые утверждения данной статьи доказаны для произвольных линейных функционалов. В финальном пункте, соединяющем представление функционала через предельный элемент и представление функционала через упомянутую свертку, утверждения приведены для финитных функционалов. Условие финитности требуется для существования свертки. Результаты, полученные в данной статье, являются основой для построения оценочных неравенств конкретных функционалов на весовых пространствах Соболева. Далее, если есть возможность найти фундаментальное решение порожденного нормой уравнения или, более того, его свертку с функционалом, то можно найти и оценивающую константу. 15 Математика / Mathematics Начало направлению исследований положил С.Л. Соболев построением теории оценивания асимптотически оптимальных кубатурных формул для функций из пространства L2m) [10-22]. Это пространство гильбертово, вследствие чего уравнение для экстремальной функции является линейным. Работу с пространством Ь2(п продолжил В.И. Половинкин [23, 24]. Обобщение в направлении L2m) ^ w2(m) выполнил Ц.Б. Шойнжуров [25-27]. Уравнение здесь сохраняло линейность, но решение его получено путем, отличным от примененного С.Л. Соболевым [21]. Далее на пути обобщения W2(m) ^ Wp 1) Ц.Б. Шойнжуров применил для нормирования пространства псевдодифференциальный оператор [28, 29]. Уравнение в этом пространстве было уже нелинейным, но фундаментальное решение благодаря такой норме получалось явным. Обобщение в направлении L2m) ^ Lp(m) (p > 1) выполнил В.И. Половинкин [31-33]. В этих работах построены представления функционалов погрешности кубатурных формул с исследованием условий на существование свертки фундаментального решения полигармонического уравнения с функционалом. Ц.Б. Шойнжуров развил свои предшествующие результаты с применением новых норм [34, 35]. Укажем круг работ с задачами, аналогичными по постановке, этапам и направлениям, выполняемыми в настоящее время. Равномерная выпуклость негильбертовых пространств Соболева периодических функций как обоснование утверждений для функционалов погрешности кубатурных формул рассмотрена в наших работах [36, 37]. Экстремальные функции и представления функционалов с последующим получением явных норм используются в [38-40] для оценки погрешности оптимальных кубатурных формул. В указанных работах пространства являются гильбертовыми. Для других классов кубатурных формул экстремальные функции и свойства равномерной выпуклости пространств использованы в работах [41, 42]. 1. Исходные положения Норма функции в весовом пространстве Соболева WP(m) (Rn, ю), как и в [1, 2], задается следующим образом: Ф W(Rя, ю) л х^ a ! і \\p [ юУ - Ld> dx J ' a! 1 1 -|і/p (1) 1 n, a = (a1, ..., an), |a| = a1 + ... + an, aj e (0}uN, |a| < m, ю(х) > 0, ю1/р(х) ID^(x)l e Lp (Rn). Неравенства Кларксона, полученные в [3], послужат основой дальнейших выкладок. Приведем их в виде следующей леммы. Лемма 1 [3]. Для весового пространства Соболева справедливы первое (2) и второе (3) неравенства Кларксона: 16 1 < - 2 Ф + У 2 К5 (Rя>ю) p + ф-У 2 WPт5 (Rя,ю) W{т 5 2 < p < да , p < (2) Корытов И.В. Линейный финитный функционал в весовом пространстве Соболева ф + Ф ) (R я, ffl) p/(p-1) Ф-Ф wpm) (R я, ffl) p/( p-1) м wm) (r-, *)\\\\p+тіи к) (r- , ®)i* i/( p-i) 1 < p < 2 . (3) 2. Предельный элемент основного пространства для линейного функционала Лемма 2. Для любого линейного функционала существует единственный предельный элемент фо пространства Wp(m) (R„, ю), такой что ||фо|| = 1, и для любой функции ф е Wp(m) (Rn, ю) с единичной нормой справедливо равенство sup|(I,ф)| = (I,ф0) . МИ Доказательство. Для удобства сократим запись нормы ||ф| Wp(m) (Rn, ю)|| = ||ф||. Обозначим sup ( l, ф) = g . Из определения верхней грани следует, что существует МИ последовательность {фк}, ||фк|| = 1, такая что lim(I,%) = g. Члены последовательк^» ' ' ности принадлежат основному пространству. Докажем, что сходимость является сильной. Предположим противное, пусть {фк} расходится. Тогда должно быть нарушено условие Коши, т.е. можно указать такое е > 0, что найдутся пары чисел nk и mk, такие что ||ф^ -фл || > s, nk ^ w, mk ^ w. Индекс k у чисел nk и mk означает, что функции ф и ф взяты из последовательности {фк}, но сами номера nk и mk не зависят от номера со значением к. Применяя к функциям ф , ф неравенства Кларксона (2), (3) и учитывая единичность норм этих функций, получим ф»к +ф-к + ф»к -ф-к ф»к +ф-к p/( p-1) + ф»к -ф-к < 1, 2 < p < w . p/( p- 1) Оценим норму суммы фт и ф при любом р: т • -к p тк ' ф-к фт +ф- < 1 фтк -ф-к фтк 'ф-к p/( p-1) < 1 фтк -ф-к < 1, 1 < p < 2 . 2 < p < w , p/( p- 1) , 1 < p < 2 . Далее, ф +ф фm ф-к < 1 фт -ф-к , Y/p 2 < p < с 17 Математика / Mathematics Ф +Ф 'Гтк 'Ttik < 1 - Фmk -Ф„„ p/(p-1Л( p-1)/p 1 < p < 2 . Для равномерно выпуклой единичной сферы норма полуразности равна единице Фт, -Ф», = 1 только для пар функций, лежащих на диаметре, так что фи = -Фт : = Ф» = 1 . й* ѳ- 1 1 й* ѳй* ѳ- + й* ѳ- 2Ф ^nk 2 2 2 Для всех остальных пар функций норма полуразности строго меньше единицы: Фт -Фѣ 2 < 1 Ѵфщ, фПк : фтк *-%к . Поэтому правомерно разложение в сходящиеся ряды (отметим, что 1/p < 1, (p - 1)/p < 1): -е ,3 + -ѳ < 1 -1 p -е ,3 1 -ѳ 2 2 -ѳ ,3 + -ѳ ^ p-1 -ѳ ,3 1 -ѳ 2 p 2 + ..., 2< р < оо, p/(p-1) -е ,3 + -Ѳ .3 ( Р \\ < 1 - 1 -ѳ ,3 1 -ѳ 2 1p 2 J -е ,3 + -ѳ < 1 - ( p -1 -ѳ ,3 1 -ѳ рКр- 1) Л 2 1 p 2 J Оба ряда в скобках знакочередующиеся, поэтому согласно теореме Лейбница Фт -Фn + ..., 1 < p < 2. 2 < p < oo , 1 < p

Скачать электронную версию публикации