A numerical method of solving the Cauchy problem for one differential equation with the Caputo fractional derivative.pdf Введение Основы дробного исчисления были заложены еще в XVIII в., но широко оно стало применяться в последние 15 лет. Об этом свидетельствуют работы [1-3]. Приведем небольшой перечень задач, где применимы и эффективны дифференциальные уравнения с дробными производными: обратные задачи механики, пластина в вязкой жидкости, диффузия в пористых средах, динамика турбулентной среды, задача о падении тела в атмосфере, задача теплопереноса, теория фазовых переходов, задача о релаксации, космофизика и многие другие задачи физики [3]. Задача Коши для дифференциального уравнения с дробными производными применяется во многих областях науки и техники. Это явилось причиной разработки для ее решения различных методов, как аналитических, так и приближенных. Поиск точного решения дифференциальных уравнений с дробными производными аналитическими методами является задачей сложной и малоэффективной, поэтому большое количество работ посвящено приближенным численным методам решения. Численные методы решения задачи Коши рассмотрены в работах [4-6]. В [4] анализируются разностные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дифференцирования, доказана устойчивость разностной схемы. В [5] рассматривается задача Коши для системы трех дифференциальных уравнений с производными дробного порядка Капуто, исследуются вопросы существования и единственности решения рассматриваемой задачи и способ его отыскания. В [6] изучен разностный метод (2 - а)-го порядка точности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с оператором дробного дифференцирования Римана-Лиувиля. Получена оценка предложенного численного метода, из которой следует сходимость. Доказательству устойчивости и сходимости разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто, посвящены работы [7, 8]. В данной работе исследуется задача Коши с дробной производной Капуто в случае, когда порядок а = a(t) - некоторая непрерывная функция. Для конкретных представлений функции a = a(t) проведен вычислительный эксперимент, показывающий, что предложенный численный метод сходится к точному решению задачи. 32 Омарова А.Г. Численный метод решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения 1. Постановка задачи В области D = [0, T] рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто [9. С. 597]: (1) u (0) = u(0), где f (t,u) = {f (t,u,..,um)}”j, u(t) = {ut(t)}™=l, - непрерывные по всем аргументам u '(s) -^ds - дробная функции в замкнутой области D, 3“(t)u(t) = 1 Г(1 -a(t ))0(t - s) производная Капуто, a(t) - непрерывная функция, удовлетворяющая условию 0 < a(t) < 1, t > 0. Так как функции f, i = 1,2,...,m, непрерывные во всей области D, то имеют место неравенства |f| 0 - некоторая константа. Предположим, кроме того, что в области D для функций f выполняется условие Липшица по аргументам (щ, u2,.., um), т.е. \\f (t, ul', u2,.., u'm ) - f (t, u" u2. um ^ ^ L{\\ u'l - u1"l + I u2 - u2 \\ +...+ I u'm - u"m l} для всех точек (t,u[,u'2,..,u'm) и (t,u",u"..,u") в области D, где L является константой Липшица. Если выполнены сформулированные выше условия, то существует единственное решение u1 = u1(t), u2 = u2(t), .., um = um(t) системы (1), определенное при всех И ^ to = min(T / M) и принимающее при t = 0 заданные начальные значения [10]. 2. Численный метод решения задачи Коши для дифференциального уравнения с дробной производной Построим численное решение задачи (1). Для этого в области D введем по переменной t равномерную сетку с шагом т > 0: шт = {tn = пт,n = 0,1,2,...N,Nт = T}. Точное решение задачи (1) обозначим через un = u(tn), а приближенное решение обозначим уп, п = 0,1,2,..N. Тогда для дробной производной при t = tn имеет место равенство дТ u(tn) = 1 :Z ( у*+1 - у* )(£a +1) - Cl(tn))+О(т). ,, / , • . к + 1 к , V п-* + 1 п-к ^ (2) Г(2 -a(tn ))т *=0 Воспользовавшись аппроксимацией (2), систему уравнений (1) заменим системой разностных уравнений 1 ' ' ........................ (3) Г(2 -a(tn ))т *= I (у*+1 - у* )(tn-a+1) - tfn)) - f(n yn)=0, у0 = u0, n = 0,1,2,..N-1. 33 Математика / Mathematics Преобразуя систему разностных уравнений (3), получим явные рекуррентные формулы: Ѵс = и, У = Ѵо + Г (2-a(t0))T f(t0, y0), (4) n-1 Уи+1 = y„ + Г (2-a(tn ))An nf (tn, yn) -та('")-1 X (У*+і - У* )(«) - )) k=0 n = 0,1,2, ..N -1. Когда a(t) =1 для всех t е D, из (4) получим расчетные формулы Эйлера. Определение 1. Будем говорить, что метод (3) сходится при t = tn, если \\Уп - ми| ^ 0 при 0. Метод сходится на отрезке [0, T], если он сходится в каждой точке t е |0.У| [11]. Исследуем сходимость разностного метода (3). Пусть а - любое произвольное значение функции a(t). Обозначим через zn = yn - ип погрешность метода. Покажем, что zn ^ 0 при т ^ 0. Если уп = у + ип подставим в равенство (3), получим разностное уравнение для погрешности -1>*+і -0(СС -Cl) = Г{2-а)т *=0 1 п = fiOZn +ип)~ ~л £(«*+1 ~Uk)(Cl+1 -Cl)- Г (2- а)т к=0 Правую часть равенства (5) представим в виде суммы ^ + ѵП2), где 1 (5) ^П1) =■ 1 Ё (м*+і -ик )(С1+1 - С-1)+), (6) Г( 2-бс)т *=0 =f(t„,u„+z„)-f(t„un). Функция у® называется невязкой, или погрешностью аппроксимации, разностного уравнения (3) на решении исходного уравнения (1). Будем говорить, что разностный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, если Ч>. (1) 0 при т^ 0. [11]. Разложим u(tk+1) = u(tk +т) в ряд Тейлора: 2 (7) u(tk+1) и u(t*) + zu'(tk) +-и(%к), где ^ - некоторая точка, расположенная в интервале (tk, tk +т). Подставляя (7) в (6), получим ^ _ Л Л,' { + \\ I і-1 . ■к+1 ѵП[) = m m - Ём "un) + °(T) = °(T)- Из этого равенства следует, что разностный метод (3) аппроксимирует задачу (1) с первым порядком. Покажем, что функция у(2) удовлетворяет условию Липшица. Так как ѵП2) = f (tn.Уп ) - f (tnun ) = f (tnun + zn ) - f (tnun ), 34 Омарова А.Г. Численный метод решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения w(2)| =1 f (t u + z ) - f (t u )| < L\\u + z - u 1= L | z |. T n I \\J n, n , n, n y\\ \\ n n n\\ ' n ' Следовательно, т^Ч+і + (4 “ Ka +tla')zn+- (Cl - Ka + C-i ) Zj = хГ(2 - a) vl2) + ХГ(2 - d) ц/ т.е. n+1 =-Z n A-o, /^Л-a . Л-a n-k+2~ n-k+1-+Tar(2-d)vf +хаГ(2-а)ѵ®, 1-a (8) к=1 X n = 0,1,..., -1. Преобразуя выражение под суммой равенства (8), получим Л-а _^Л-сх - Л-а ln-k+2 ~ Zln-k+l ~т~1п-к W(CL) +0(Т2) xa+1d(l-a) (X+l + 0(x3+a) = xa+1d(l-oc) a(l-a) V f _ + 0(Ti+a) =--i-(- +

Скачать электронную версию публикации