О базисных инвариантах некоторых конечных подгрупп в SL3(C) | Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 81. DOI: 10.17223/19988621/81/4

О базисных инвариантах некоторых конечных подгрупп в SL3(C)

Работа посвящена изучению алгебр инвариантов конечных унитарных групп G' = G∩SL3(C), где G - конечная унитарная неприводимая примитивная группа, порожденная отражениями в унитарном пространстве U3. Известно, что система образующих алгебры инвариантов группы G' получается из системы образующих алгебры инвариантов группы G присоединением всех полуинвариантов группы G специального вида. В статье построены образующие алгебр инвариантов всех указанных групп G'.

On basic invariants of some finite subgroups in SL3(C).pdf Введение. Постановка задачи Введем в n-мерном унитарном пространстве Un ортогональную систему ко_ n ординат: (e,, i = 1, n} - ортонормированный базис, вектор x = ^ xte,. Отражением i=l а порядка l в пространстве U" называется унитарное преобразование порядка l, множество неподвижных точек которого является плоскостью ha размерности n - 1. Эту плоскость называют гиперплоскостью отражения или симметрии. Пусть G - конечная неприводимая унитарная группа, порожденная отражениями а относительно гиперплоскостей отражения ha с общей точкой в начале координат. Обозначим через R = C[x1; ..., xn] кольцо многочленов от n переменных над полем комплексных чисел C. Действие группы G на кольце R определим с помощью равенства gf= gf (x) = f (g _1 x), где g e G, f(x) = f(xlxn) e R . Многочлен f e R называется полуинвариантом (относительным инвариантом) группы G, если существует такая функция х : G ^ C* (характер группы G), что gf = X(g)f для всех g e G. Если х = 1, то f называется инвариантом группы G. Известно [1], что множество всех инвариантов группы G образует алгебру IG, которая порождается n алгебраически независимыми многочленами fm (базисные инварианты) степеней mi , i = 1,2,.,n (показатели группы). 40 Рудницкий О.И. О базисных инвариантах некоторых конечных подгрупп Описание полуинвариантов группы G дано в работе [2]. Приведем его здесь. Пусть H - множество всех гиперплоскостей hc и O - орбита группы G в H. Положим fo = П 1*, h*eO где /п е R - линейная функция, для которой hc - множество ее нулей. Многочлен fO определяется орбитой O с точностью до скалярного множителя. Если l = e(hc) - порядок отражения с, то положим e(O) = e(hc), где hc - некоторый элемент из орбиты O. Справедлива следующая теорема [2. С. 100]. Теорема. (i) Функции fO являются полуинвариантами группы G. Точнее, если ^sa + 6)e3 , 27a4 13176688. такой что f4(xo) = fi4(xo) = 0. Тогда f2i(xo))2 = 5f6(xo))7 и 8 Далее, возьмем вектор х = e + ee2 + (еС )e3, такой чтоf4(xi) = 0. Здесь и далее рассматриваются арифметические корни из вещественных чисел, Z - первообразный корень 16-й степени из единицы. Тогда с помощью явных вычислений можно найти коэффициент 4 Р Математика / Mathematics fi4 = 382£xl - 793 xfx2 + 143(16 - 21a)£x10x4 - - 143(16 + 95 a)£ xf x6 + 572(21 + 9 a)£ j a)^ x: xj x; + 8008(13-11a)^ x6 x6 x2 + 20020(5 + a)^ x г< j j < k здесь и далее, если не оговорено иное, индексы i, j, к принимают значения 1, 2, 3 и удовлетворяют неравенствам, указанным под знаком суммы. Пусть S - множество, состоящее из 42 единичных нормальных векторов плоскостей (1): a 1 _ +e., ±-(e ± e), ±-(e ± e ±ae.). 1 2 1 J 2 ‘ Нетрудно убедиться в том, что множество S инвариантно относительно действия группы W(Js(4)) и S = W(Js(4)ye2. Таким образом, есть только одна орбита O группы W(J3(4)) в множестве плоскостей (1) и, следовательно, лишь один полином -24 a£ (-1) ^x,15 - 4290(19 - 5 a)£ xfxjx,2 + fo = f21 = 16^ (-1) "x'7 x)xk + 2 ■-15 x5 x -x j xk - 6 4 4 x. x. x., г J k' - (46 + 27 a)£ (-1)p x]xk + 13(2 - 3 a)^ (-1) X xjxk + +7(22 + 39 a)£(-1) p 13 5 3 - 26(10 - 7a)£(-1)px,ux7x3 -143(2 - 3a)£(-1)px) \\p 9 7 5 ' x,. xjxk, a 1509902464 Если обозначить 16 14 6664 4 42 Рудницкий О.И. О базисных инвариантах некоторых конечных подгрупп то справедливо следующее соотношение: / О2 = 196(/м)3 + 216(/ )7 + f F. (2) Итак, 1°' = С/4, /6, /14, /21] с соотношением (2) для образующих. Отметим, что данный результат также получен в [2], но в системе координат, где базисные векторы - собственные векторы преобразования Коксетера-Киллинга группы Щ./з(4)). 2. Рассмотрим группу W(J3(5)). Она имеет порядок 2 160 и порождается отражениями второго порядка относительно 45 плоскостей с уравнениями [4] (З) х. = 0, х. + Xj = 0 (i < j), i, j = 1,3, хі ± (ю - у)X + X = 0, юх; + ую2x ± гх, = 0, первообразный корень третьей сте- -1 л/5 +1 П -1 + ел/3 где r = у =-= 2cos-, ю =- 2 5 2 пени из единицы, индексы (i, j, k) = (1, 2, З) - циклически; l, m, t = 1, 2, 3. Образующие алгебры IWJ5) степеней mi = 6, 12, 30 [1] имеют следующий развернутый вид [4]: f = 4у х6 - 3(5 + ел/І5)У х4х2 +12(5 -е>/І5)xfх22х32, fi2 = 148£хІ2 -66(5 + Wi5)Xх10х2 --165(7 - 5ел/1?)У х8 х4 + 308(7 + З^Д?)^ х* х6 + i < j +660(19 + ^Д5)У х8х2х2 -18480У х6х4х2к - 4620(3 + ^Д5)х4х4х34, j /І5) x X(-1)Px15x3k -1044(2447 - - 745ел/І5)Х(-1)px25x17x3k - 4350(419 + 219^^5)X(-1)p3 pxp + + 3(44651 -12285^15)x^(-1)Px7xt5 + 44(9697 -2327ел/І5)^(-1)p x9p - - 3(85197 + 33301еѴІ5)Х(-1)px,29x11 xt5 + 406(19963 - - 1165^Д?)Х(-1)p7x13xp -8091(439 -ШелД?)^(-1)p5pp + + 3915(1263 + 2119^15)^(-1)P x17x5 -110055(127 + 23е>Д?)Х(-1)P px5 - - 55(40717 -1835^15)^(-1)PPx\\ - 58(77483 - - 6877елД?)Х(-1)P7pxt7 + 2349(1895 -2881^Д5)^(-1)ppp + + 5220(6239 + 1015е%Л?)Х(-1)Px15x\\ + 660330(107 + 3елД?)^(-1)p x17p -- 1131(9521 + 28Wj?)X(-1)Px11 x[ -44 Рудницкий О.И. О базисных инвариантах некоторых конечных подгрупп - 4350(9283 + 2235ел/І5)^(-1)pxf3x13x9k +110055(329 -- 143^Д?)^(-1)pxf x15x9 + 550275(55 - 49е>/І5)£(-1)pxfx17x{ --10005(7411 -85е%/І5)^(-1)pxf x13x“ -340170(271 + +39^15)^ (-1) pxf x15 x!1 - 570285(67 - 5е>/І5)£ (-1) p17 x15 p3, здесь, как и ранее, p = 2 или 1, если индексы (i, j, к) принимают значения соответственно четных (циклических) или нечетных перестановок чисел (1, 2, 3). Рассмотрим группу G' = W(J3(5))HSL3(C) порядка 1 080. Как и ранее, любой однородный инвариант группы G' является полуинвариантом группы W(J3(5)), и наоборот, а любой полуинвариант f группы W(J3(5)) представим в виде f = f45)kfi, где к = 0, 1 и f е iW(J3(5)). Следовательно, Ғ' = Cf6, fn,f3o,fp]. Более того, (f45)2 - инвариант группы W(J3(5)) степени 90, и его можно однозначно представить в виде: (f45)2 = Р(Г30)3 + 5f30(/i2)5 + f6F, где F е IW (J"(5)) - полином степени 84; в, 5 - неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициентов в и 5 возьмем два вектора 1 х. = е. +ее, + - 11 2 2 ^24(15 -W15)е3 -^38 + 6^І5 +4162 + 114^15е 3 Здесь при нахождении корня из комплексного числа берем первообразный корень соответствующей степени из единицы. Имеем f6(Xi) = 0,fl2(Xi) ф 0,f30(Xi) Ф 0, (i = 1, 2),f45(xi) Ф 0,f45(X2) = 0. Из системы (/45(хі ))2 = Р(/30(хі ))3 + 5/ю(к )(fi2(xi ))5, получим n 7 + еѴІ5 . 7 + W15 P =--, 8 = -- 99625166806274298995200 Если ввести обозначения =-(~ 12 780 25429834044875520000 и fw=----/,,,, то справедливо 79270760 следующее равенство: fl = 5(7 + sVl5) 7з„3 + 900(7 + 8л/І5)730725 + //. (4) Таким образом, алгебра инвариантов группы G’ = W(J3(5))nSL5(C) порождается многочленами f6, /12, f3 0 и f45, для которых справедливо соотношение (4). 3. Группа W(L3) порядка 648 порождается отражениями третьего порядка относительно 12 плоскостей с уравнениями [5] Хі = 0, xi + ш jX2 + шкхз = 0, i, j, к = 1, 2, 3. (5) Базисные инварианты группы W(L3) имеют степени Ші = 6, 9, 12 [1] и могут быть заданы следующим образом [5]: /б =Хx/ - 10Хx,3x,3, (6) *'< J /9 = (x1 3 /12 =X .12 X23)(Xj3 - x33)(x23 - Xз3), 110У x.9x 3 + 462У x.6x 6 , J , J (7) (8) Поскольку группа W(L3) содержит подгруппу скалярных умножений на 1, ш, ш2, то W(L3)-инвариантное множество S единичных нормальных векторов плоскостей (5) состоит из 72 векторов [5]: 45 Математика / Mathematics ±ю1 e,, , ю1 г . . k ч ±^(et + ю e2 + ю ез). (9) Существует одна орбита O группы W(L3) в множестве плоскостей (5) (S = W(Li)e). Значит, существует только один, с точностью до постоянного множителя, полуинвариант fO группы W(L3). Он имеет степень 12 и следующий вид: (10) г Г1 Х"' 10 , лѴ 7 4 4 4 4 Jo = fn = L X xjxk + 3L xi xjxk - 21 xi x2 x3. j kXj = 0, i, j, k = 1, 2, 3 (i < j) (14) и отражениями третьего порядка относительно 12 плоскостей (5). Алгебра инвариантов IW (Мз) группы W(M3) порождается многочленами степеней 6, 12, 18 [2]. В качестве базисных инвариантов можно взять многочлены (6), (8) [5] и многочлен (15) fs = ^ x18 - 408^ x,15x3 + 9282^ x,12 x6 - 24310^ x,9 x9. i /is - 1229 “^18" Таким образом, алгебра инвариантов IG' - C[f6, fi, f\\2, f '12, f18] при выполнении соотношений (16) и (17) для образующих. Заключение В статье, построены в явном виде образующие всех алгебр инвариантов групп G' = GflSL3(C), где G - конечная унитарная неприводимая примитивная группа, порожденная отражениями в унитарном пространстве U3, а также установлены соотношения между образующими.

Ключевые слова

унитарное пространство, отражение, группа отражений, инвариант, полуинвариант, алгебра инвариантов, базисные инварианты

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Рудницкий Олег ИвановичКрымский федеральный университет им. В.И. Вернадскогокандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа Физико-технического институтаoirud58@gmail.com
Всего: 1

Ссылки

 О базисных инвариантах некоторых конечных подгрупп в SL<sub>3</sub>(C) | Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 81. DOI: 10.17223/19988621/81/4

О базисных инвариантах некоторых конечных подгрупп в SL3(C) | Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 81. DOI: 10.17223/19988621/81/4