A formula of the summing for Chebyshevs' polynomialand it's application.pdf В [1] установлено, что экспоненциальный полином Бранжа( )( ) ( ),11 2 2 21s s rn rs nrn r n rY en r s r r−− − τ=− ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ƒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠Σ ,где( 1) ( 1)!m m m m nn n⎛ ⎞ − − +⎜ ⎟ =⎝ ⎠…- биномиальный коэффициент, имеет производ-ную( )( )12, 32 122 , ,, 2 ;! , 2 1n ss n ks e m k k mY m F en s k m m− − τ−τ⎛ ⎞ ⎡ + − − ⎤  ⎜ ƒ ⎟ = − ⎢ ⎥⎝ − ⎠ ⎣ + − ⎦,m = n − s +1, k = s −1 ,принимающую отрицательные значения при ƒ(0,) . Здесь ( )ka == a(a +1)...(a + k −1) - символ Похгаммера,( ) ( ) ( )( ) ( )3 20, ,;, !jj j jj j ja b c a b c xF xd e d e j=⎡ ⎤⎢ ⎥ = ⋅⎣ ⎦Σ- гипергеометрический ряд Гаусса.В данной работе получим этот результат, то есть что ( ( )),s n , 0Y ƒ s n − s < , ис-пользуя элементарные конформные отображения и теорему сложения для одногокласса ортогональных многочленов. При этом выясняется место и роль степенейрешения уравнения Левнера с постоянной управляющей функцией.1. Функция( ) 21 2coszH zz zγ =− γ⋅ +(1)отображает круг E = {z _; z < 1} на плоскость, разрезанную по вещественнойоси от точки214cos2−γдо − и от точки214sin2γдо + .6 И.А. Александров, Г.А. ЮфероваФункция( )( ( ) )( )21 1 4,4K z ezK z e−τ−τ− +ζ = ζ τ = , 0 < ƒ < +,где ( )( )21zK zz=−, отображает тот же круг на единичный круг с разрезом по ве-щественной оси от точки 1 − до точки ( )2e 1 1 eτ −τ− − − .Образуем семейство функций ( ( )) ,H zθ ζ τ , полагая в (1)ꕸcos(ꕸ1e ) e ꕸcos−τ −τγ= − + θ.Лемма 1. Справедливо функциональное соотношениеH ( ( , z )) e−τH ( z )θ γ ѓД ѓС = , 0 < ѓС < +Ѓ‡ , zЃё E .Доказательство. Функция e H ( z )−τγ отображает круг E на плоскость, разре-занную по двум лучам:2,4cos2e−τ ⎛ ⎤⎜−Ѓ‡ − ⎥ ⎜ ѓБ ⎥⎝ ⎦,2,4sin2⎡ e−τ ⎞⎢ +Ѓ‡⎟ ⎢ ѓБ ⎟⎣ ⎠, лежащим на веществен-ной оси.Функция H ( ( , 1))θ ѓД ѓС − переводит точку z = −1 в точку( ( ))( )( )1, 11, 1 2cos, 1Hθ ζ τ − =ζ τ − + − θζ τ −.Поскольку( )( )( ) 1, 1 2 1 2, 1eτ ζ τ − + = −ζ τ −и 2 2 sin sin2 2e−τ ѓБ ѓЖ= ,то ( ( ))( ) 2 21, 12 1 2 2 1 2sin 4cos2 2eHe−τθτѓД ѓС − = =−⎛ ѓЖ ⎞ ѓБ − − ⎜ − ⎟⎝ ⎠.Точке z = 1 соответствует ( ( ))2,14sin2eH−τθ ζ τ =γ.Видим, что функции ( ( )) ,H zθ ζ τ и e H ( z )−τγ отображают круг E на одну и туже область. Так как ( ( )) ( ) , 1 1H e−τHθ γ ζ τ ± = ± и H ( ( ,0)) e−τH (0) 0θ γ ζ τ = = , тосогласно теореме Римана H ( ( , z )) e−τH ( z )θ γ ζ τ = . Лемма доказана.2. Разложим функцию H ( z )γ в ряд по косинусам кратных дуг. Следуя [2], об-разуем последовательность { ( )} m , m 0W zЃ‡=τ , определенную в [0,+Ѓ‡)Ѓ~ E , полагая( )( )( )0 2,,1 ,e zW zzτζ ττ =−ζ τ, ( ) ( ) ( ) 1 , , , m mW z z W z+ τ = ζ τ τ , m = 0,1,...Формула суммирования для полиномов Чебышева и ее применение 7Лемма 2. Имеет место формула( ) ( ) ( ) 01, 2 m , cosmH z W z W z mЃ‡ѓБ== τ + Σ τ ⋅ θ .Доказательство. Действительно,( ) ( ( ))22 2 21 1, Re1 1 2cos 1 1iie e eH z eH zeτ τ θτγ θ θζ −ζ ζ + ζ= ζ τ = ⋅ = ⋅− ζ − θ⋅ζ + ζ − ζ − ζ.Если ζ при0 < ѓС < +Ѓ‡ , nЃё N \ {1} , l = 1,...,m−1. Будем использовать полиномы Лежандра( ) mP t , определяемые как коэффициенты разложения по степеням z производящейфункции [3, с. 396, форм. 6.821]( )2011 2mmmP t ztz zЃ‡==− +Σ ,и полиномы Гегенбауэра ( ) pmC t , определяемые как коэффициенты разложения постепеням z производящей функции [3, с. 406]( )( )2011 2p mp mmC t ztz zЃ‡==− +Σ , p > 0 .Полиномы Лежандра ( ) mP t можно представить формулой( ) ( ) 2 11!2mmmm mdP t tm dt= ⎡ − ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦(ее часто принимают как определение ( ) mP t ). Они обладают свойствами ортого-нальности( ) ( )110m nP t P t dt−Ѓз = , m Ѓ‚ n .Поскольку ( )12122 1 nP t dtn−=+Ѓз ,то ортонормированной системой полиномов Лежандра является система полино-мов( )2 12mmP t+, m = 1, 2,...Лемма 3. Имеет место функциональное соотношение( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 22 2 2 2 1 1 1 1,01 1 1 11 1 ,n nn j jj n n j n j jjU xy x y C xy x yD x y C x C y P + +− −=+ − − ζ = + − − ζ == Σ − − ζ (3)Формула суммирования для полиномов Чебышева и ее применение 9где постоянная( )( )( ) 2,4 ! ! 2 1( 1)!jj nn j j jDn j− +=+ +.Доказательство. Представим функцию( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2,01 1 1 1 ,nn n m n mmU xy x y C xy x y A x y P=+ − − ζ = + − − ζ = Σ ζ (4)в виде разложения по полиномам Лежандра. Здесь коэффициенты даются форму-лами( ) ( ) ( )12 2,12 1, 1 12 j n n jjA xy U xy x y P d−+= Ѓз + − − ζ ζ ζ .Преобразуем их, воспользовавшись тем [3, с. 276, форм. 4.63], что если F ( x)- произвольная функция с непрерывными производными до (n + 1)-го порядкавключительно, то( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )1 12 2 211 122111 1 ... 11 .! 1 3 ... 2 1p pjp jjjx FxC xdxp p p j d F xx dxj p p p j dx−−−+−− =+ ⋅ ⋅ + −= ⋅ −+ + ⋅ ⋅ + −ЃзЃзПоложив в этой формулеx = ζ , ( ) ( ) 2 21 1nF ζ =U xy + − x − y ζ , p 1 = ,получим( ) ( ) ( )12 2 2,12 1, 1 1 12 1 2 !jjj n j j ndA xy U xy x y dj j d −= −ζ + − − ζ ζ+ ζЃз .Поскольку [3, с. 407, форм. 6.931]( )( )( )( )Г2Гjp j p jj n n jd p jC t C td p+−+=ζ,то при k = j , p 1 = имеем( ) ( ) ( ) 1 12 !j jj jj n j n n jd dC t U t jC td d+− = =ζ ζ.Поэтому( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 21 1 2 ! 1 2 1 2 1 1j j jj jj n n jdU xy x y j x y C xy x yd+−+ − − ζ = − − + − − ζζи для ( ),j n ,A x y имеем формулу( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2, ,2, 1 1 ,2 1j jj n j n A xy x y V xyj= − −+,где ( ) ( ) ( )12 1 2 2,1, 1 1 1j jj n n jV xy C xy x y d +−−= Ѓз − ζ + − − ζ ζ (5)10 И.А. Александров, Г.А. Юферова- симметричный полином степени (n j ) − относительно переменных x и y, то есть( ) ( ), ,j n , j n ,V x y = V y x .Покажем, что функция ( ),j n ,V xy и функция ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1, , j n n j n j S xy C xC y + +− −=удовлетворяют гипергеометрическому дифференциальному уравнению Гаусса( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1− x wЃЊЃЊ x − 2 j + 3 x ⋅wЃЊ x + n − j n + j + 2 w x = 0 . (6)Относительно ( ),j n ,S xy это свойство легко проверяется, поскольку ( ) pnC t -решение дифференциального уравнения [3, с. 408, форм. 6.96]( ) ( )2 22 1 201 1j t n p ny y yt t+ +ЃЊЃЊ + ⋅ ЃЊ+ =− −. (7)Обратимся к функции ( ),j n ,V xy . Подставим в левую часть уравнения (6) вме-сто w функцию ( ),j n ,V xy . Проведем необходимые предварительные действия.Пусть( ) 2 2η x = xy + 1− x 1− y ζ .Поскольку( )2211yx y xx−ѓЕЃЊ = − ѓД−, ( )22 211 1yxx x− ѓДѓЕЃЊЃЊ = −− −,то( ) ( )2211yx x xx−ѓЕЃЊ = ѓЕ − ѓД−, ( ) ( ) ( ( )) ( )( ) 2 2 2 2 2ѓЕЃЊ x 1− x = 1− ѓЕ x − 1− y 1− ѓД .Пусть( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))( ) ( ) ( ( ))22 1 1211 2 32 .j jn j n jjn jd dT x x C x j x C xdx dxn j n j C x+ +− −+−= − η − + η ++ − + + ηТак как ( ( ))( )( )11jj n jn jd dCC x xdx d++ −−ѓЕѓЕ = ѓЕЃЊѓЕ,( ( ))( ( ))( )( ( ))( )2 2 1 11 22 2j jj n j n jn jd d C x dC xC x x xdx d d+ ++ − −−ѓЕ ѓЕѓЕ = ѓЕЃЊ + ѓЕЃЊЃЊѓЕ ѓЕ,то( ) ( )( ( ))( ) ( ) ( )( ( ))( )( ) ( ( )) ( ( ))( ( ))( ) ()( ( ))( )( ) ( ( )) ( )( )( ( ))( )( ( ))2 1 12 2 222 1 11 222 1 2 11 2 22 2(1 ) (1 ) 2 32 1 2 312 1 1 2 2 .1j jn j n jj jj n j n jn jj jj n j n jn jd C x dC xT x x x x x j x xd dd C x dC xn j n j C x x j xd dd C x y dC xn j n j C x y jd x d+ +− −+ ++ − −−+ ++ − −−ѓЕ ѓЕ= − ѓЕЃЊ +⎡⎣ − ѓЕЃЊЃЊ − + ѓЕЃЊ ⎤⎦ + ѓЕ ѓЕѓЕ ѓЕ+ − + + ѓЕ = −ѓЕ − + ѓЕ +ѓЕ ѓЕѓЕ − ѓЕ+ − + + ѓЕ − − −ѓД + + ѓДѓЕ − ѓЕФормула суммирования для полиномов Чебышева и ее применение 11Сумма первых трех слагаемых в правой части равенства равна нулю, посколь-ку j 1 ( )n jC +− η является решением уравнения (7). Имеем( )( ( ))( )( ( )) 2 1 2 12 2 22 21( ) 2 2 1 1 11j jn j n j y dC x d C xT x j x yx d d+ +− − − ⎡ ѓЕ ѓЕ ⎤= ⎢ + ѓД − − − − ѓД ⎥− ⎢⎣ ѓЕ ѓЕ ⎥⎦.Вернемся к функции ( ),j n ,V xy . В результате её подстановки в левую частьуравнения (6) получим( ) ( )( ) ( )( ( ))( )( ( ))1 22211 1 2 112 2 2 2211112 2 1 1 1 1 .jj jj n j j n jyT x dxdC x d C xj x y dd d−+ +− + −−−−ѓД ѓД = Ѓ~−⎡ ѓЕ ѓЕ ⎤Ѓ~ ⎢ + ѓД − ѓД − − − − ѓД ⎥ ѓД⎢⎣ ѓЕ ѓЕ ⎥⎦ЃзЃзПрименив к интегралу от второго слагаемого формулу интегрирования по час-тям, получим( )( ( ))( )( ( )) 1 2 1 1 11 12 2 2 221 11 1 1 1j jj n j j n j d C x d dC xx y dd d d+ ++ − + −− −ѓЕ ⎡ ѓЕ ⎤− − − ѓД ѓД = − ѓД ⎢ ⎥ =ѓЕ ѓД ⎢⎣ ѓЕ ⎥⎦Ѓз Ѓз( )( ( ))( )( )( ( ))11 1 112 21 11 22 1j jj n j j n j dC x dC xj dd d+ ++ − −− −η η= −ζ + + −ζ ζ ζη ηЃзи в итоге убеждаемся в том, что( ) ( ) ( ( ))12 1,1, 1j jj n n jV xy C x d +−−= Ѓз − ζ η ζ- решение уравнения (6).Функция ( ),j n ,V xy в силу свойств решений уравнения (6) и отличается от( ),j n ,S xy только постоянным множителем, то есть( ) ( ) ( ) 1 1 1 1j,n , j,n n j n jV xy D C xC y + +− −= . (8)Найдем вид,n jD . Полагая в (5) y 1 = , имеем( ) ( ) ( )12 1,1,1 1j jj n n jV x C x d +−−= Ѓз − ζ ζ ,что вместе с (8) при y 1 = приводит к равенству( ) ( ) ( )1 11 1 2 2,1 01 1 2 1j jj n n jDC d d +−−= Ѓз − ζ ζ = Ѓз − ζ ζ .Подсчитаем интеграл( )1202 1jjQ = Ѓз − ζ dζ .Положив ѓД = cosϕ , имеем j 2 j 1 Q I += , где12 И.А. Александров, Г.А. Юферова22 12 10sinjjI dπ++= Ѓз ϕ ϕ .Дважды применим правило интегрирования по частям. Приходим к формулеприведения ( ) 2 1 2 12 1 2j j j I jI + −+ = . Пользуясь ею, находим( )4 ! !2 1!jjj jQj=+.Иначе j Q можно найти, представляя ( )21j− ζ по формуле бинома Ньютона изатем выполняя почленное интегрирование полученного полинома.Итак, учитывая, что [3, с. 408, форм. 6.95]( )( )( ) ( )11 1 !12 1 ! !jn jn j n jCn j j n j+−⎛ + + ⎞ + += ⎜ ⎟ = ⎝ − ⎠ + −,находим( )( ) ( )( )2, 12 2 4 ! !1 1 !jjj n jn jQ j n jDC n j +−⋅ −= =+ +и, согласно (8),( )( ) ( )( )( ) ( )22 1 1 1 1 1,! !,1 21 !jj n n j n jj n jV x C xC yn j+ + +− −−=+ +.Для коэффициентов ( ),j n ,A x y в формуле (4) имеем( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 1 1 1 1,4 ! !2 1, 1 11 !j j jj n n j n jj n j jA xy x y C xC yn j+ +− −− += − −+ +.Лемма доказана.Приведенное доказательство выполнено после ознакомления с работой [4].Лемму 3 можно доказать иначе, воспользовавшись формулой [3, с. 407, форм.6.923]( )( )[ ( )]( ) [ ( )]( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 120Г 2 1cos cos sin sin cosГ2 !Г2 2 1 sin sin cos cos cos ,Г 2nn kk k k kn k n k kkCn k kk C C Cn kλλ−λ+ λ+− −=ѓЙ−ѓХ ѓЖ+ ѓХ ѓЖ ϕ= Ѓ~ѓЙ− ѓЙ+Ѓ~ ѓЙ+ − ѓХ ѓЖ ѓХ ѓЖ ϕѓЙ+ +Σгде , , ϕ ѓХ ѓЖ - действительные,12ѓЙ Ѓ‚ , доказанной в [5].5. Теорема Коэффициенты ( ) ,m l Q τ в разложении (2) функции (cos )mU γ не-отрицательны.Доказательство. Положим в (3) x y 1 e−τ= = − , ζ = cosθ . Учитывая, чтоcos (1 e ) e cos−τ −τγ= − + θ, получим( ) ( ) ( )21 1,0cos 1 cosnjn jn n j jjU D e C e P − τ + −τ−=ѓБ = ⎡ − ⎤ ѓЖ Σ ⎢⎣ ⎥⎦ , (9)Формула суммирования для полиномов Чебышева и ее применение 13где коэффициенты при (cos )jP θ , очевидно, неотрицательны. Для завершения до-казательства воспользуемся формулой [3, с. 394, форм. 6.8.12 (4)]( )( ) ( )( ) ( )( ) 202 ! 2 2 !cos cos 24 ! !jj jll j lP j ll l j =−θ = − θ−Σ ,подстановка которой в (9) позволяет увидеть, что (cos )mU γ представляется мно-гочленом от cosθ с неотрицательными коэффициентами. Вместе с (2) это пока-зывает, что ( ) ,0m l Q τ > при 0 < ѓС < +Ѓ‡. Теорема доказана.Следствие 1. Имеет место неравенство ( ( )),s n , 0YЃЊ ѓС s n − s < , 0 < ѓС < +Ѓ‡ ,nЃё N \ {1} , s = 1,2,..., n .Действительно, из статьи [2] известно, что ( ) ( ( )), ,n n s s n , Q Y s n s −ѓС = − ЃЊ ѓС − . Таккак ( ) ,0 n n s Q −ѓС > , то ( ( )),s n , 0YЃЊ ѓС s n − s < . Следствие доказано.Следствие 2. Экспоненциальный многочлен Бранжа ( ) ,s nY τ на (0,+Ѓ‡) поло-жительно определен.Действительно, в силу следствия 1 и ( ( )),, 0 s n Y +Ѓ‡ s n − s = имеем( ( )),, / 0 s n Y ѓС s n − s > . Следствие доказано.Опираясь на доказанную теорему и ее следствия, можно доказать - первым этосделал Бранж - что известный функционал Милина на классе S не принимает от-рицательных значений. Поэтому в силу леммы Лебедева - Милина модуль n-гокоэффициента функций класса S удовлетворяют неравенству nc ≤ n , справедли-вость которого предполагалась Бибербахом (гипотеза Бибербаха, 1916 г.).

Скачать электронную версию публикации