ОЦЕНКИ ИСКАЖЕНИЯ МОДУЛЕЙ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ С S-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ | Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 2(10).

ОЦЕНКИ ИСКАЖЕНИЯ МОДУЛЕЙ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ С S-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

В настоящей работе исследуются геометрические свойства отображений с s-усредненной характеристикой. Для таких отображений доказаны теоремы об оценке искажения модуля семейства кривых и модуля образа семейства кривых. Полученные результаты дают возможность установить эквивалентность геометрического и аналитического определений отображений с s-усредненной характеристикой и позволяют расширить математический аппарат при их исследовании.

ESTIMATIONS OF DISTORTION OF THE MODULES FOR THE MAPPINGS WITH S-AVERAGED CHARACTERISTIC.pdf Метод модулей является мощным средством для изучения различных свойств пространственных отображений. Метод опирается на неравенства, описывающие поведение модуля семейства кривых, когда семейство преобразуется данным отображением, а также на некоторые оценки для модулей. Основные результаты в этом направлении описаны в работах Vaisala [1], Шабата [2], Сычева [3] при изучении пространственных гомеоморфных отображений; Martio, Ricman, Vaisala [4], Решетняка [5], а также Полецкого [6] при изучении пространственных негомео-морфных отображений; Стругова [7], Кругликова [8], Малютиной [9] при изучении отображений с искажением, ограниченным в среднем и при изучении отображений с 5-суммируемой характеристикой.Цель данной работы - показать, что метод модулей можно распространить на класс отображений с s-усредненной характеристикой.Пусть D - область в К" и отображение / :D ->■ М" - открытое, непрерывное, изолированное, / е Wn loc (D). Можно считать, что якобиан отображения J (x, J) сохраняет знак почти всюду в D (для определенности возьмем J (x,f) > 0).Известно (см. напр. [3, 9]), что для отображения f eWlloc(D), определены следующие величины:КЛх,Л = ^П-,(1)Kj(x,f) - внутренняя дилатация отображения f, l(x,f) = min\f'(x)h\;\h\=\Работа (частично) профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238 и по контракту П937 по ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы.6А.Н. Малютина, МЛ. Елизарова^(х'/) = тМ'(2)J{x,f) K0(x,f) - внешняя дилатация отображения f, L(x,f) = max\f'(x)h\;\h\=\а также выполнены неравенстваK(x,f)Zmm(Kj(x,f),K0(x,f))ZП■ R" , где у: [0,1] ->■ R" - произвольная кривая семейства Г. Обозначим через ds элемент длины на кривой у .Определение 1. Пусть Гей" - некоторое семейство кривых. Функция р : R" ->■ R называется допустимой метрикой для Г (р л Г ), если она неотрицательна, измерима по Борелю и \ pels > 1 для V у е Г, где dsx= £>' - отображение с К*0s -усредненной характеристикой [11], s > 1. Пусть А сД - борелевское множество такое, что N (f,A) < да. Тогда существует ограниченная, неотрицательная, аддитивная, абсолютно непрерывная функция Ф*0 s борелевских множеств в D, такая, что для любого семейства кривых Гс А выполнено неравенствоМ'п(Г) < N'-1 {/, А) ■ Ф^(А) -М'-)^ (/Г).О цен ни искажения модулей для отображений с s усредненной харантеристиной7Доказательство. Предположим, что р*л/Т . Определим функцию р : R"^-R1следующим образом:р(х):Р* (/(*)№/)о,1+Ы'2\(s-\)/s(1+Ы2)'хеА,х-' (/Г),Ti* t Л\ . Д.,'ж/(>-1)которое и доказывает нашу теорему.Определение 2. Пусть X, Y - два произвольных топологических пространства, /: X ->Y - непрерывное отображение. Точка a e X называется точкой ветвления отображения/ если / не является топологическим ни в какой окрестности точки а. Совокупность точек ветвления обозначим By [4].Пусть ГсО - семейство кривых,/: D ->£>' - открытое, непрерывное, изолированное отображение, GcD- нормальная область. Образ семейства кривых при отображении / обозначим Г =/ Г. Можем считать [1], что все кривые у*е Г спрямляемы. Поэтому на у* в качестве параметра можно выбрать длину ее дуги s*. Пусть у*= f(y(t)). Функция s*(f) строго монотонна и непрерывна. Следовательно, существует t(s*) - обратная функция, тоже монотонная и непрерывная. Поэтому на у* можно ввести параметр s*. Далее будем считать, что все кривые из Г и Г параметризованы таким образом.Пусть / - отображение с К* s -усредненной характеристикой, / е Wln loc (D).Говорят, что GcD - нормальная область, если f(dG) = df(G). Пусть хе G,f(G) = G*, у e/(G)\/ (Bfr\G), f~l(y) = {*,■}. Тогда, согласно [6], существуют V< = G (xj, f, r) - окрестности точек х,, такие, что /]„ - гомеоморфизм. Поэтомуможно рассматривать отображения ht : В" (у, r)^>G, причем f° ht - тождественное отображение. Если ht e Wxn loc (вп (у, г) 1 и / - отображение с К* s -усредненной характеристикой, то /г, - квазиконформное в среднем отображение в В" (у, г), где В" {у, г) шар с центром в точке у и радиусом г.Теорема 2. Пусть D с R" - ограниченная область, D' cR" - область. Пусть /: D -*D' - отображение с К* s -усредненной характеристикой, s > (и-1)-1. Пусть GcD - борелевское множество, такое, что N(f, G) < со. Тогда существует ограниченная, неотрицательная, аддитивная, абсолютно непрерывная функция Ф* sборелевских множеств в D, такая, что для любого семейства кривых Та G выполнено неравенствоМ'п(Г) > cm(Д Я) Ф^"1 (G) -М^+1)(/Г), где c(DJl) - константа, зависящая от области D.Оценки искажения модулей для отображений с s-усредненной характеристикой9Доказательство. Пусть Гс D - семейство кривых, G с D открытое множество, такое, что yeG для \/уеГ. Пусть рлГ . Можно считать, что \p"(x)dax > е f(G)\f(Bf) и/^(у) = {х,}, то существуют Vj - окрестности точекXjeG, такие, что отображения f]=f\v - гомеоморфны. Отображения h,=fjдифференцируемы почти всюду и ШЛ = Г1 (х;, /), где /г; =sup/?;(>>)cu.УУ |ео|c(D,R)[max-K i i2 \(w-a)/aP(*y> I 1 + Ыi+kr(W)cfei+krТак как область D ограничена, то в силу (10) получаем, чтоР (y)dsy > maxЛ(1 + Ы )-ГJ,' J, j I x,,/ v;l+xУчитывая, что величина 1+| у \ > 1, имеемp(Xj) ds*I p (>-)> I max ' -J. j l(Xj,f) 1 +10А.Н. Малютина, МЛ. ЕлизароваТак как в каждой точке Xj пересекается ровно да, кривых из Г, тогдаp(y(s)) ds*(y(s)) l + lJp'w^JyЕсли на у выбрать в качестве параметра ее длину se[0; b], b < 1, тогда по [13] ds/ds*=\ y'(s*)\. Отсюда, после замены переменных, получаемf р*О0 > f р(у(*))-^- = f р(у(5))Лх > 1.*v1 + kvуУI IуТаким образом, р„ л Г».Перейдем теперь к оценке модуля семейства/Т.Ма(/Г), J [p'OOpa, = J [P'W]1-^-./(G)/(G)(1 + Ы )Из определения функции р*(у), получаем, чтоРа(^;)гР (*,-)1N{yJ)dy.М,,(/Г) = са(ДЛ) max , J\/(G) > '"(*,./) (1 + |X|2)"Далее, после замены переменных, согласно [10],Ра(*,)М,(i+W2)"G } '(*;>/)1 + |х|2и использования теоремы 3 из [14], наше неравенство примет следующий вид:М„i(fr)£>' - отображение с Kos- и K^s-y средне иными характеристиками, s> 1. Пусть GcB - борелевское множество, такое, что N(f, G) < со. Тогда существуют ограниченные, неотрицательные, аддитивные, абсолютно непрерывныефункции Ф*0 s и Ф* s борелевских множеств в Д такие, что для любого семейства кривых Г с: G выполнено неравенствоС-ж(Д R) ■ ф;-1 .М% (/Г) 1. Пусть G с D - борелевское множество, такое, что N (f, G) < со. Тогда для любого семейства кривых Гс Gc-ns(D,R)-Kj -М^(/Г) £>' - открытое, непрерывное, изолированное отображение. Если у* - кривая в/(D), то поднятием (см. [6]) у* в D называется кривая уеД такая, что/° у = у*. Дуга кривой у - это сужение отображения у на отрезок, содержащийся в [0,1]. Частичным поднятием у* назовем поднятие ее дуги. Два частичных поднятия yi и у2 кривой у называются существенно различными, если Н\ (yiny2) = 0, где H\(s) - одномерная мера Хаусдорфа множества s.Теорема 3. Пусть D cR" - нормальная область, Д с R" - область. Пусть f : D->D' отображение с Kos- и K^s-y средне иными характеристиками, s>n-l. Пусть Гс D - семейство кривых, причем любая кривая у* е /Г имеет, по крайней мере, m существенно различных поднятий, принадлежащих Г. Тогда справедливы неравенства:М'„ (/Г) < KS1S .M'jf (Г), М'„ (/Г) < Ksos .M'JV(Г),где р = s/(s-l).Доказательство. Пусть Д с 15 - семейство множеств, таких, что Д с DM и[J Д = D . Возьмем функцию р л Г . Можно считать, что

Ключевые слова

estimation of distortion of the module, module of a family of curves, mappings with s-averaged characteristic, оценка искажения модуля, модуль семейства кривых, отображения с s-усредненной характеристикой

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Малютина Александра НиколаевнаТомский государственный университеткандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и лаборатории математического анализа механико-математического факультетаNDM@main.tusur.ru
Елизарова Мария АлександровнаТомский государственный университетаспирантка кафедры теории функций механико-математического факультеталаборатория математического анализаelizarova_m@sibmail.com
Всего: 2

Ссылки

Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.
Гольдштейн В.М., Водопьянов С.И. Метрическое пополнение области при помощи конформной емкости, инвариантное при квазиконформных отображениях // ДАН СССР. 1978. Т. 238. № 5. С. 1040 - 1042.
Чернавский А.В. Конечнократные открытые отображения многообразий // Мат. сборник. 1964. Т. 65. № 3. С. 357 - 369.
Малютина А.Н., Елизарова М.А. Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с s-усредненной характеристикой // Вестник ТРУ. Математика и механика. 2009. № 4(8). С. 46-52.
Rado T., Reichelderfer R.V. Continuous transformation in analisis. Berlin - Gottingen -Heidelberg: Springer Verlag, 1955. 442 p.
Малютина А.Н., Кривошеева И.И., Баталова Н.Н. Баталова Н.Н. Искажение сферического модуля семейства кривых // Исследования по математическому анализу и алгебре. Вып. 3. Томск: Изд. ТРУ, 2001. С. 179 - 195.
Кругликов В.И., Пайков В.И. Некоторые геометрические свойства отображений с искажением, ограниченным в среднем. Донецк: Донецк ун-т, 1982. 43с. (Деп. в ВИНИТИ 06.09.82 № 4747-82 Деп).
Стругов Ю.Ф. Отображения, квазиконформные в среднем. Новосибирск, 1979. 39 с. (Препринт АН СССР, Сиб. отд. Ин-т математики).
Полецкий Е.А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат. сборник. 1970. Т. 83(125). №2(10). С. 261 -273.
Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.
Martio О., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ans. Acad. Sci. Fenn. 1969. No. 448.
Шабаш Б.В. Метод модулей в пространстве // ДАН СССР. 1960. Т. 130. № 6. С. 1210 -1215.
Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. 152 с.
Vaisala J. Lectures on n-dimentional quasiconformal mappings // Lectures and Notes in Math. Berlin-Heidelberg-N.Y.: Springer Verlag, 1971. 144 p.
 ОЦЕНКИ ИСКАЖЕНИЯ МОДУЛЕЙ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ С S-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ | Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 2(10).

ОЦЕНКИ ИСКАЖЕНИЯ МОДУЛЕЙ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ С S-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ | Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 2(10).

Полнотекстовая версия