Рекуррентное построение дискретных вероятностных распределений случайных множеств событий | ПДМ. 2014. № 4(26).

Рекуррентное построение дискретных вероятностных распределений случайных множеств событий

Исследуется класс дискретных вероятностных распределений II рода случайных множеств событий. В качестве инструмента построения таких распределений предлагается использовать ассоциативные функции. Излагается новый подход к определению дискретного вероятностного распределения II рода случайного множества на конечном множестве из N событий на основе полученного рекуррентного соотношения и заданной ассоциативной функции. Преимущество предлагаемого подхода заключается в том, что для определения вероятностного распределения вместо полного набора 2 вероятностей достаточно знать N вероятностей событий и вид ассоциативной функции. Данный подход продемонстрирован на примере трёх ассоциативных функций. Приводятся теоремы, устанавливающие вид и условия легитимности полученных вероятностных распределений случайных множеств событий.

Recurrent formation of discrete probabilistic distributions of random sets of events.pdf Введение Теория случайных множеств рассматривается как естественное обобщение теории случайных векторов, которые играют ключевую роль в многомерном статистическом анализе. Случайные множества данных можно рассматривать как неточные/неполные наблюдения, которые часто встречаются в современном технологическом обществе [1]. Центральным объектом нашего исследования является специфическое случайное множество, а именно - случайное конечное множество событий. Случайные множества событий позволяют выявить общие статистические закономерности распределения событий в различных системах объектов нечисловой природы. Вероятностное распределение случайного множества событий - это удобный математический аппарат для описания всех способов взаимодействия элементов моделируемой этим множеством системы между собой. В работе исследуется проблема построения вероятностных распределений случайных множеств событий и предлагается метод решения этой проблемы с помощью аппарата ассоциативных функций. В п. 1 приводятся основные сведения о ключевых объектах исследования - случайных множествах событий и вероятностных распределениях, их характеризующих, и инструменте исследования - аппарате ассоциативных функций. В п. 2 излагается суть предлагаемого рекуррентного подхода построения дискретного вероятностного распределения II рода случайных множеств событий на основе заданной ассоциативной функции, определяется вид соответствующего рекуррентного соотношения. В п. 3 предложенный подход демонстрируется на трёх известных ассоциативных функциях. Приводятся теоремы, устанавливающие вид и условия легитимности полученных вероятностных распределений. 1. Основные понятия и обозначения 1.1. Случайное множество событий Наряду со случайными величинами в теории вероятностей и ее приложениях рассматривают случайные объекты произвольной природы, например случайные точки, векторы, функции, поля, множества и наборы множеств. Для описания такого типа объектов используется понятие случайного элемента [2]. Определение 1. Пусть (П, F, P) -вероятностное пространство, (U, A) -измеримое пространство, где U - произвольное множество, а A - некоторая а-алгебра его подмножеств. Будем говорить, что функция K = K(w), определённая на П и принимающая значения в U, есть F/A-измеримая функция, или случайный элемент (со значениями в U), если для любого A Е A верно {ш : K(ш) Е A} Е F. Отметим, что в случае, когда U - конечное множество, можно ограничиться понятием алгебры подмножеств 2U. Зафиксируем некоторый конечный набор событий x С F. Случайный элемент, значения которого являются подмножествами конечного множества x, т. е. элементами 2х, будем называть случайным множеством событий [1], заданным на конечном множестве x С F. Определение 2. Случайное множество событий K на конечном множестве событий x С F определяется как отображение K : П ^ 2х, измеримое относительно пары алгебр ^F, 22^ в том смысле, что для всякого X Е 22* существует прообраз K-1(X) Е F, такой, что P(X) = P(K-1(X)). Выражение K(ш) = {x Е x : ш Е x} может быть истолковано как «случайное множество наступивших событий», поскольку элементарному исходу эксперимента ш Е П ставится в соответствие некоторое подмножество событий X С x, которое содержит все те события, которые наступили в данном испытании. 1.2. Два основных способа представления вероятностного р а с п р е д е л е н и я с л у ч а й н о г о м н о ж е с т в а с о б ы т и й Случайное множество событий K, заданное на конечном множестве событий x, определяется своим дискретным вероятностным распределением. Если мощность рассматриваемого множества событий |x| = N < то, то имеется 2N видов вероятностных зависимостей между событиями этого множества, т. е. ровно столько, сколько у этого множества подмножеств. Дискретное вероятностное распределение (далее просто вероятностное распределение) случайного множества событий K, заданного на конечном множестве избранных событий x С F, - это набор 2N значений вероятностной меры P на событиях из 2X. Как известно, такое распределение можно задать шестью эквивалентными способами [3 - 5]. В настоящей работе исследуются только два из них. PI. Вероятностное распределение I рода случайного множества событий K на x - это набор {p(X),X С x} из 2N вероятностей вида p(X ) = P(K = X ) = p(( n x) n( n xa) , V VxeW Vxexc / / где Xc = x \ X; xc = П \ x. Вероятностное распределение I рода всегда легитимно, т. е. обладает свойствами 0 ^ p(X) ^ 1, X С x; (1) E p(X) = 1. (2) xcx PII. Вероятностное распределение II рода случайного множества событий K на x - набор {pX, X С x} из 2n вероятностей вида px = P(X С K) = P ( П И , X С x. Vxex J Вероятностное распределение II рода {px, X С x} случайного множества событий K на x удовлетворяет системе из 2N неравенств Фреше - Хефдинга 0 ^ PX ^ Px ^ pX ^ 1, где pX = max 1. (6) Vxex / у \yex\{x} J J Например, pxy = P (x П y) = AF (px,py), pxyz = P (x П y П z) = AF (px, AF(py,pz)) = AF (px, P (y П z)), и далее аналогичным образом. Напомним, что вероятность II рода для пустого множества событий всегда известна и равна 1. Формула (6) позволяет построить вероятностное распределение II рода случайного множества событий, где в качестве входных параметров выступают N вероятностей событий и вид ассоциативной функции. В результате формируются 2N - N - 1 вероятностей II рода, удовлетворяющих границам Фреше - Хефдинга, которых не хватало до полного набора. Однако полученные распределения могут быть нелигитимными в смысле определения 3. Следовательно, для каждого семейства ассоциативных функций необходимо определять условия легитимности построенных распределений. 3. Демонстрация рекуррентного построения вероятностных распределений случайных множеств событий Проиллюстрируем предложенный рекуррентный подход на трех ассоциативных функциях, изученных в работах [8, 9, 12, 13]: - AF(a, b) = a ■ b; - AF (a, b) = min{a, b}; - AF (a, b) = max{a + b - 1, 0}. Покажем для каждой из них, к какому вероятностному распределению случайного множества событий она приводит. Исследуем легитимность этого распределения. Теорема 1. Пусть заданы вероятности событий = P(x) > 0, x Е x. Тогда ассоциативная функция AF (a, b) = a ■ b (7) определяет независимо-точечное случайное множество событий с легитимным вероятностным распределением II рода. Доказательство. Доказательство теоремы следует непосредственно из определения независимо-точечного случайного множества [5, 14]. Исходя из этого определения, значениями независимо-точечного случайного множества K служат подмножества X С x наступивших событий, независимых в совокупности. Поскольку события из x независимы в совокупности, то для всех X С x справедливо Px = P п x = п P(x) = П Px. (8) Vxex / xeX xeX С другой стороны, для X С x по формуле (6) получаем Px = AF|px, P( П И) = П Px. (9) V \yex\{x} J J xeX Из (8) и (9) следует, что ассоциативная функция (7) определяет независимо-точечное случайное множество событий. Известно [5, 14], что для независимо-точечного случайного множества событий распределение вероятностей I рода имеет вид P(X) = П P(x) П P(xc) = П Px П (1 - Px), X С x, xeX xexc xeX xexc и это распределение всегда легитимное. Таким образом, формула (6) с ассоциативной функцией (7) всегда позволяет построить одно легитимное распределение, которое определяет независимо-точечное случайное множество событий. ■ Теорема 2. Пусть заданы вероятности событий = P(x) > 0, x Е x. Тогда ассоциативная функция AF (a, b) = min{a, b} (10) определяет случайное множество вложенных событий с легитимным вероятностным распределением II рода. Доказательство. Упорядочим события в x = {х1, х2,..., xN} в порядке возрастания их вероятностей pxi ^ px2 ^ ... ^ . Применение формулы (6) даёт Pxixj = P (xi П Xj) = min {pxi = Pxi, г < j, Pxixj= P (xi П Xj П xfc) = min {pxi ,pXfc} = Pxi, i < j < k. Из (11) следует, что xi С xj С xk. Действительно, если x С y, то P(x П y) = P(x); если x С y и y С z, то x С y С z и P(x П y П z) = P(x). Рассмотрим упорядоченный набор индексов I С {1, 2,...,N}, соответствующий некоторому подмножеству X С x, элементы которого упорядочены в порядке возрастания вероятностей событий. Тогда формула (6) примет вид Px = P ( П xA = minjpxi} = Pxm, где m = min i. (12) Vie/ / ie/ ie/ Формула (12) определяет вероятностное распределение случайного множества K, заданного на множестве x С F из N вложенных друг в друга событий x1 С x^ ... Gxn . Обратимся теперь к вопросу легитимности полученного вероятностного распределения II рода случайного множества вложенных событий (12). По формулам обращения Мебиуса (4) перейдём к вероятностному распределению I рода и получим N +1 ненулевую вероятность P(x) = P П xi = Pxi; P(x \{xi}) = P( П xi I = Px2 - Pxi; \ie{1,...,N} J \ie{2,...,N} p(x \{xi ,x2})= P П x^ = Px3 - Px2 ; \ie{3,...,N} p(x \ {xi,x2, . . . ,xfc-i}) = P( f| x^ = Pxfc - Pxfc_i; (13) vie{fc,...,N} p(xn-ixn) = P (xn-i П xn) = _1 - _2; p(xn) = P (xn) = - _1; p(0) = P( П xC ) =1 - pxn . \ie{i,...,N} J Остальные 2N - N - 1 вероятности равны нулю. Из (13) видно, что полученное распределение I рода удовлетворяет условиям (1) и (2), следовательно, формула (6) с ассоциативной функцией (10) всегда позволяет построить одно легитимное распределение, которое определяет случайное множество вложенных событий. ■ Теорема 3. Пусть заданы вероятности событий px = P(x) > 0, x Е x. Ассоциативная функция AF(a,b) = max{a + b - 1, 0} (14) определяет 1) случайное множество с непересекающейся структурой зависимостей с легитимным вероятностным распределением, если вероятности событий px = P(x), x Е x, удовлетворяют неравенству Е Px ^ 1; (15) x€X 2) случайное множество событий с легитимным вероятностным распределением, если вероятности событий px = P(x), x Е x, удовлетворяют неравенствам |x| - 1 ^ Е Px ^ |x|. (16) x€X Доказательство. В [12, 13] получен вид n-местной функции С n AF(аь ..., an) = max < £ aj - n + 1, 0 Для всех X С x, |X| > 1, из (6) и (3) следует px = AFlpx, P( П И) =max^ px - |X | + 1, o) . (17) V \yex\{x} J J Uex J Рассмотрим следующие ситуации. 1) Пусть в (17) все вероятности pX равны нулю, т. е. ma^^ px - |X| + 1, 0 > = 0 Uex J для всех X С x, таких, что |X | > 1. По формулам обращения Мебиуса (4) перейдём к вероятностному распределению I рода: p(x) = px для всех x Е x, p(X) = 0 для всех X С x, таких, что |X | > 1, (18) p(0) = 1 - Е Px. x€X Очевидно, что полученное распределение (18) удовлетворяет свойству (1), если p(0) ^ 0. Следовательно, распределение будет легитимным тогда и только тогда, когда Е px ^ 1. x€X 2) Пусть в (17) все pX = 0, X С x, |X| > 1. Тогда из (17) и условия (1) следует 0 < Е px - |X| + 1 ^ 1 или, что эквивалентно, |X| - 1 < £ px ^ |X|. xex xex По формулам обращения Мебиуса (4), используя принципы сет-суммирования [3], получим легитимное вероятностное распределение I рода: p(X) = 0 для всех X С x мощности |X| < |x| - 1, p(x \ {x}) = 1 - px для всех x Е x, (19) p(x)= Е px - |x| + 1. x€X Таким образом, ассоциативная функция (14) определяет случайное множество событий с легитимным вероятностным распределением (19), если вероятности событий px = P(x), x Е x, удовлетворяют системе из 2|X| - 1 неравенств |X| - 1 < Epx ^ |X|, X С x. (20) xex Покажем, что если выполняется неравенство (16), то справедлива вся система (20). Действительно, пусть |x| - 1 ^ £ px ^ |x|. Оценка сверху £ px ^ |X| для всех xex xex X С x следует из свойства вероятности px ^ 1. Оценка снизу для X С x получается следующим образом: Е px = Е px + Е py ^ |x| - 1 ^ Е px ^ |x| - 1 - Е py ^ xex xex yex\x xex yex\x ^ E px ^ |x| - 1 - (|x| - |X|) ^ £ px ^ |X| - 1. xex xex Из (20) также следует, что для получения легитимного распределения требуется, чтобы все px были больше нуля, за исключением, может быть, px. Действительно, пусть для некоторого X, такого, что 1 < |X| < |x|, вероятность px равна нулю, а все остальные вероятности, полученные с помощью ассоциативной функции (14), отличны от нуля. Из (17) и (20) следует, что £ px = |X | - 1. Добавим к множеству X любое xex событие у из x \ X. Тогда для множества X U {у} из (20) получаем |X| ^ Е px + py ^ |X| + 1 ^ |X| ^ |X| - 1 + py ^ |X| + 1 ^ 1 ^ py ^ 2, xex что противоречит свойству вероятности 0 ^ py ^ 1. Рассмотрим ситуацию, когда £ px = |x| - 1, т.е. px = 0. Из (20) следует, что xeX все px > 0 для X С x. По формулам обращения Мебиуса (4), используя принципы сет-суммирования [3], получим легитимное вероятностное распределение I рода: p(X) = 0 для всех X С x мощности | X| < | x| - 1 , p(x \ {x}) = py - |x| + 2 для всех x Е x, p(x) = 0. yeX\{x} Теорема доказана. ■ Из теоремы 3 можно сделать следующий вывод: рекуррентное построение легитимного вероятностного распределения случайного множества событий с использованием ассоциативной функции (14) возможно только при выполнении определённых ограничений на входные вероятности событий. При этом возникают только три вида результирующих случайных множеств событий с соответствующими вероятностными распределениями: 1) случайное множество непересекающихся событий, если выполнено условие (15); 2) случайное множество событий, принимающее значения с ненулевой вероятностью лишь на подмножествах мощности |x| - 1 и |x|, если |x| - 1 < Е px ^ |x|; xeX 3) случайное множество событий, принимающее значения с ненулевой вероятностью лишь на подмножествах мощности | x| - 1 , если px = | x| - 1 . xeX Заключение Предложен новый подход к определению дискретного вероятностного распределения II рода случайного множества на конечном множестве из N событий на основе заданной ассоциативной функции. Преимущество предлагаемого подхода заключается в том, что для определения вероятностного распределения вместо полного набора 2n вероятностей достаточно знать N вероятностей событий и вид ассоциативной функции. Данный подход продемонстрирован на примере трёх ассоциативных функций. Рассмотренные в работе функции хорошо известны и широко применяются как в нечёткой логике [8, 12, 13], так и в теории вероятностей [9-11]. Рекуррентное построение дискретного вероятностного распределения на основе данных ассоциативных функций привело к известным вероятностным распределениям случайных множеств событий с независимо-точечной (8), вложенной (13) и непересекающейся (18) структурой зависимостей, что подтверждает корректность предложенного подхода. Случайные множества с такими структурами зависимостей играют ключевую роль в теории случайных множеств событий, поскольку описывают «крайние» ситуации [15]. Стоит отметить, что предложенный рекуррентный подход с использованием ассоциативных функций (7) и (10) приводит всегда к одному из соответствующих легитимных вероятностных распределений случайного множества событий, в то время как рекуррентное построение легитимного вероятностного распределения случайного множества событий с использованием ассоциативной функции (14) возможно только при выполнении определённых ограничений на входные вероятности событий. При этом возникают только три вида результирующих случайных множеств событий с соответствующими вероятностными распределениями. Перспективными представляются дальнейшие исследования характеристик построенных вероятностных распределений случайных множеств событий в зависимости от аргументов ассоциативных функций (7), (10), (14), а также изучение новых классов вероятностных распределений, построенных с использованием известных однопа-раметрических семейств ассоциативных функций, например Али - Михаэля - Хака, Франка и др. [8].

Ключевые слова

случайное множество событий, дискретное вероятностное распределение, ассоциативная функция, random set of events, discrete probability distributions, associative function

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Семенова Дарья ВладиславовнаИнститут математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета, г. Красноярсккандидат физико-математических наук, доцент, доцентdariasdv@gmail.com
Лукьянова Наталья АлександровнаИнститут математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета, г. Красноярскстарший преподавательnata00sfu@gmail.com
Всего: 2

Ссылки

Nguyen H. T. An Introduction to Random Sets. Boca Raton: Taylor & Francis Group, LLC, 2006. 240 p.
Ширяев А. Н. Вероятность-1. М.: МЦНМО, 2004. 519с.
Воробьев О. Ю., Воробьев А. О. Суммирование сет-аддитивных функций и формула обращения Мебиуса // Доклады РАН. 2009. Т. 336. №4. С. 417-420.
Semenova D. V. On new notion of quasi-entropies of eventological distribution // Proc. Second IASTED Intern. Multi-Conf. Automation Control and Inform. Technology. Novosibirsk: ACTA PRESS, 2005. P. 380-385.
Vorobyev O. Yu. and Lukyanova N. A. Properties of the entropy of multiplicative-truncated approximations of eventological distributions //J. Siberian Federal University. Math. & Physics. 2011. V.4. No. 1. P. 50-60.
Semenova D. V. and Lukyanova N. A. Random set decomposition of joint distribution of random variables of mixed type // Proc. IAM. 2012. V. 1. No. 2. P. 50-60.
Semenova D. V. and Shangareeva L. Yu. Associative Ali-Mikhail-Haq's random set // Proc. scientific-applied conf. «Statistics and its Applications». Tashkent: National University of Uzbekistan, 2013. P. 88-94.
Alsina S., Frank M, and Schveizer B. Associative Functions: Triangular Norms and Copulas. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006. 237p.
Nelsen R. B. An Introduction to Copulas (second edition). N.Y.: Springer Science+Business Media, Inc., 2006. 270p.
MengerK. Statistical metrics // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1942. No. 8. P. 535-537.
Schweizer B. and Sklar A. Probabilistic Metric Spaces. N.Y.: North Holland, 1983. 275 p.
Klement E. P., MesiarR., and Pap E. Triangular Norms. Boston: Kluwer Academic Pub., 2000. 220 p.
Logical, Algebraic, Analytic, and Probabilistic Aspects of Triangular Norms / eds. E. P. Klement and R. Mesiar. Amsterdam: Elsevier, 2005. 481 p.
Орлов А. И. Нечисловая статистика. М.: МЗ-Пресс, 2004. 513 с.
Goldenok E. E., Lukyanova N. A., and Semenova D. V. Applications of wide dependence theory in eventological scoring // Proc. IASTED Intern. Conf. Automation Control and Inform. Technology, Control, Diagnostics, and Automation. Novosibirsk: ACTA Press Anaheim|Calgary|Zurich, 2010. P. 316-322.
 Рекуррентное построение дискретных вероятностных распределений случайных множеств событий | ПДМ. 2014. № 4(26).

Рекуррентное построение дискретных вероятностных распределений случайных множеств событий | ПДМ. 2014. № 4(26).