Исследование устойчивости решений векторной инвестиционной булевой задачи в случае метрики Гельдера в критериальном пространстве | ПДМ. 2012. № 4(18).

Исследование устойчивости решений векторной инвестиционной булевой задачи в случае метрики Гельдера в критериальном пространстве

Проведён анализ устойчивости парето-оптимального портфеля многокритериального дискретного (булева) варианта инвестиционной задачи Марковица с макси-минными критериями эффективности Вальда. Получены нижняя и верхняя достижимые оценки радиуса устойчивости такого портфеля в случае, когда в критериальном пространстве параметров задачи задана метрика Гельдера l ,

Investigation of the solution stability of vector investment boolean problem in the case of Holder metric in a criteria space.pdf Введение Большинство управленческих решений принимается в условиях неопределённости и риска, что обусловлено рядом факторов: отсутствием полной информации, наличием противоборствующих тенденций, элементами случайности и т. п. Для управления финансовыми инвестициями Г. Марковицем [1, 2] (см. также [3]) разработана оптимизационная модель, демонстрирующая, как инвестор, выбирая портфель активов, может максимально повысить ожидаемый уровень доходности (экономическую эффективность). Хорошо известно, что сложность вычисления подобных величин сопровождается большим количеством ошибок, приводящих к высокой степени неопределённости начальной информации. Тем самым появляется необходимость учёта неточности и некорректности входных параметров, которые свойственны реальным ситуациям решения практических задач оптимизации. Возникающий при этом вопрос о предельном уровне изменений (возмущений) числовых параметров исходной задачи, сохраняющих оптимальность выбранного решения (портфеля), приводит к ключевому понятию радиуса устойчивости. Конкретное содержание данного понятия зависит от выбора принципа оптимальности (если задача многокритериальная), множества параметров задачи, подверженным возмущениям, а также от структуры, определяющей отношения «близости» в пространстве параметров, т. е. от метрики, заданной в этом пространстве. Нахождению формул или оценок радиуса устойчивости парето-оптимальных решений векторных (многокритериальных) задач дискретной оптимизации посвящен ряд работ (см., например, [4-7]). Настоящая работа продолжает начатые в [8-12] исследования, посвященные анализу устойчивости решений векторных задач выбора инвестиционных проектов с нелинейными целевыми функциями. В этих работах для инвестиционной задачи с минимаксными критериями рисков Сэвиджа получены нижняя и верхняя достижимые оценки радиуса устойчивости парето-оптимального или лексикографически оптимального инвестиционного портфеля в случаях, когда в трёхмерном пространстве параметров задачи заданы метрики ^ и в разнообразных комбинациях. Данная работа посвящена оценкам радиуса устойчивости парето-оптимального портфеля векторного булева варианта инвестиционной задачи Марковица с максиминными критериями экономической эффективности Вальда в случае, когда в критериальном пространстве параметров задачи задана метрика Гельдера /р, 1 ^ p ^ то. 1. Основные определения Рассмотрим векторный дискретный (булевый) вариант задачи управления инвестициями Марковица. Для этого введём ряд обозначений: = {1, 2,... , n} — альтернативные инвестиционные проекты (активы); Nm — возможные состояния рынка (рыночные ситуации, сценарии развития); — виды (показатели) экономической эффективности инвестиционного проекта; x = (xi, x2,..., xn)T — инвестиционный портфель, где 1, если проект j реализуется, 0 в противном случае; X С En \ {0(n)} —множество инвестиционных портфелей, где E = {0,1}; |X| ^ 2; 0(n) —нулевой вектор пространства Rn; ejjfc — ожидаемая оценка экономической эффективности вида k G инвестиционного проекта j G в случае, когда рынок находится в состоянии i G Nm; E = [ejjfc] — трёхмерная матрица размера m х n х s с элементами из R. Отметим, что существует несколько подходов к оценке экономической эффективности инвестиционных проектов (NPV, NFV, PI и др.), по-разному учитывающих влияние неопределенности и риска (см., например, [13- 16]). Поэтому полезной в практических применениях может быть рассмотренная в настоящей работе постановка инвестиционной задачи, которую охарактеризуем как задачу принятия решений при наличии многих критериев (видов эффективности проектов). На множестве инвестиционных портфелей (булевых векторов) X зададим векторную целевую функцию f (x, E) = (fi(x, Ei), /2(x, E2),..., fs(x, Es)), компонентами которой являются максиминные критерии Вальда [17] / (x, Efc) = min Eifcx = min E ejxj x max, k G Ns, iewm iewm j|Nn j j xex где Efc G Rmxn — k-е сечение матрицы E = [ej ] G Rmxnxs; Eifc = (e^, e;2fc,..., eirafc) — i-я строка этого сечения. Таким образом, следуя критерию Вальда, инвестор, предвидя непредсказуемость состояния рынка, проявляет крайнюю осторожность, оптимизируя эффективность портфеля E^x (по критерию k) в предположении, что рынок находится в самом невыгодном для него состоянии, а именно тогда, когда эффективность минимальна. Очевидно, что подобный пессимистический подход в оценке рыночной ситуации целесообразно использовать только тогда, когда речь идёт о необходимости достижения гарантированного результата. Под векторной (s-критериальной) инвестиционной булевой задачей Zs(E), s G N, с критериями Вальда будем понимать задачу поиска множества парето-оптимальных инвестиционных портфелей (множества Парето) Ps(E) = {x G X : ^x' G X (g(x',x,E) ^ 0W & g(x',x,E) = 0(s))}, где g(x',x,E) = (gi(x',x,Ei),g2(x',x,E2), ...,gs(x',x,Es)), gfc(x', x, Efc) = /(x', Efc) - /(x, Efc) = max min (E;/fcx' - Eifcx), k G Ns. i'GNm Легко видеть, что в частном случае при m =1 векторная инвестиционная задача Zs(E) превращается в s-критериальную задачу линейного булева программирования ZB (E) : Ex ->• max, ^ xex где X С En; E = [e1jk] G R1xnxs — матрица со строками Ek = (e11k, e12k,..., e1nk) G Rn, k G Ns. Такой случай можно интерпретировать как ситуацию, при которой состояние рынка не вызывает сомнений (m = 1 ). В пространствах портфелей и состояний рынка Rm зададим линейную метрику /1, а в критериальном пространстве эффективности Rs — метрику Гельдера /р, 1 ^ p ^ то, т. е. полагаем l|Eifc||1 = Е lj|, i G Nm, k G Ns, ||Efc|| 11 = ||(||E1fc||1, ||E2fc||1,..., ||Emk|| 1)M1 = E E |eijk|, k G Ns, | E| 11p = M(MElM 11, ||E2|| 11,... , ||Es||11)||p, (1) где, как обычно, норму Гельдера /р вектора a = (а1, а2,... , as) G Rs определим форму- ( \ 1/Р ( Е |aj |p I , если 1 ^ p< то, max{|aj| : j G Ns}, если p = то. Очевидны неравенства ||Eifc||1 ^ ||Efc|| 11 ^ ||E||Пр, i G Nm, k G Ns. Известно, что метрика /p, заданная в пространстве Rd, порождает метрику lq в сопряжённом пространстве (Rd)*, причём числа p и q связаны условиями 11 - + - = 1, 1 0, то x0 является парето-оптимальным портфелем возмущённой задачи Zs(E + E'), т.е. x0 G Ps(E + E') при E' G ^p(Y). Лемма 3. Пусть 1 ^ p ^ то, x0 = x*, 8 = (8Ь 82,... , 8s), 8k > 0, k G Ns, 8k >g+(x0,x*,Efc), k G Ns. (5) Тогда при любом числе е > 2||8||p существует такая возмущающая матрица E0 G Пр(е), что x0 G Ps(E + E0). Доказательство. Для доказательства достаточно построить такую возмущающую матрицу E0 G Пр(е), где е > 2||8||р, с сечениями Ej°, k G Ns, чтобы для каждого индекса k G Ns выполнялось неравенство gk(x0,x*,Efc + E°) < 0. (6) Для этого введём обозначение i(k) = argmin{Eikx0 : i G Nm}, k G Ns, и рассмотрим два возможных случая (при фиксированном индексе k G Ns). Случай 1. x0 ^ x*. Тогда ввиду неравенств x* = x0 = 0(n) существует такая пара различных индексов (u, v) G Nn x Nn, что x^ = 0, x^ =1, x°J = x* = 1. Вновь используя компоненты вектора 8 (см. (5)), элементы любого k-го сечения Ek = [e0jk] G Rmxn возмущающей матрицы E0 = [e0jk] G Rmxnxs зададим по правилу 8k, если i = i(k), j = u, ejk = { —8fc, если i = i(k), j = v, 0 в остальных случаях. /k(x0, Ek + Ek) = min|(Ej(k)k + E^)x0, m|n (E* + E£)x0) = /(x0, Ek) — 8k; I i=i(k) J /k(x*,Ek + Ek0) =miJ(Ei(k)k + E°k)k)x*, mn (E* + E£)x*j = /k(x*,Ek). Тогда имеем E°(fc)fcx0 = —8k; E°(fc)fcx* = 0; E°fcx0 = Eikx* = 0, i G Nm \{i(k)}; ^k111 = 28k, ||Ek|11 = 28fc, k G Ns Отсюда легко убеждаемся, что ||E0||11р = 218|р < е и для любого индекса k G Ns справедливы следующие равенства: , с^--, ^ ^о , )xH = /, (x0, Ek)- 50) = min|(Ei(k)k + E°k)k)x*, mjn (Eik + )x* j = /k(x* Поэтому ввиду (5) получаем требуемое неравенство (6): gk(x0,x*,Ek + Ek) = gk(x0,x*,Ek) — 8k ^ g+(x0,x*,Ek) — 8k < 0, k G Ns. Случай 2. Пусть неравенство x0 ^ x* не выполняется, т. е. существует такой индекс u G Nn, что xU = 1 и xU = 0. Используя компоненты вектора 8 (см. (5)), зададим элементы любого k-го сечения E0 = [e0jk] G Rmxn возмущающей матрицы E0 = [e0jk] G Rmxnxs по правилу 0 = J —28k, если i = i(k), j = u, ijk [ 0 в остальных случаях. Тогда имеем E0(fc)fc x° = —; E0(fc)fcx* = 0; x0 = Ekx* = 0, i e Nm \{i(k)}; ||E0|ii = , k e Ns. Отсюда получаем, что ||E0||11p = 2||$||p < е. Кроме того, для любого k e Ns справедливы равенства / (x0, Efc + E0) = miJ(Ei(fc)fc + E0(k)k)x0, min (Eifc + E0fc)x0) = /(x0, Efc) - 24; /k(x*, Efc + E°) = miJ(Ei(fc)fc + E0(k)k)x*, min (Eifc + E0fc)x*j = /(x*, Efc). I j=j(fc) J ^ = mi^(Ei(fc)fc + E°(fc)fc)x*, min (Eifc + E°fc)x* j = Д(x* Поэтому, используя соотношения (5), выводим неравенство (6): gk(x0, x*, Efc + E0) = gfc(x°,x*,Efc) - 24 ^ g+(x°,x*,Efc) - 24 < 0, k e Ns. Лемма доказана. ■ Замечание 1. Легко видеть, что утверждение леммы 3 в случае 1 верно и для е > ||$||р. Этим обстоятельством мы воспользуемся, когда будем доказывать достижимость нижней оценки (см. теорему 2). и При y > 0 матрицу W = [u, v] e Rmx2, m ^ 2, со столбцами u = (u1, ,..., um)T v = (v1, v2,..., vm)T назовем Y-особой, если выполняется неравенство min (uj + Vj) — min u < y. i€Nm i€Nm Лемма 4. Всякая матрица W = [u,v] e Rmx2, m ^ 2, с нормой ||W||11 = ||(|u|1, ||v|1)|1 < 2y, где y > 0, является Y-особой. Доказательство. Проведем индукцию по числу m ^ 2. Сначала докажем утверждение леммы при m = 2. Пусть W = /u1 V1 u2 v2 Убедимся, что неравенство min{u1 + v1, u2 + v2} — min{u1, u2} < y (7) следует из неравенства ||W||11 < 2y, т.е. из неравенства Ы + |u2| + м + |V2| < 2y. (8) Не исключая общности, будем полагать, что u + V1 ^ u2 + V2. (9) Рассмотрим два случая. Случай 1. u1 ^ u2. Тогда неравенство (7) ввиду (9) принимает вид v1 < y . Доказательство этого неравенства проведем от противного. Пусть V1 ^ Y. (10) Из (9) и (10) имеем —u1 + u2 + v2 ^ y, а из (8) и (10) выводим |u1| + |u2| + |v2| < y. Полученные неравенства приводят к противоречию 0 ^ |u2| — u2 + |V21 — V2 < — (u1 + |u1|) ^ 0. Случай 2. u1 > u2. Тогда неравенство (7), согласно (9), превращается в неравенство u1 + v1 — u2 < y. Пусть, напротив, u1 + V1 — u2 ^ y. (11) Отсюда, учитывая (9), имеем v2 ^ y, и в силу (8) получим |u1| + |u2| + |v1| < y. Это неравенство вместе с (11) дают противоречие 0 ^ |u11 — u1 + |V11 — V1 < — (u2 + |u2|) ^ 0. Далее будем предполагать, что утверждение леммы верно при m ^ 2. Покажем, что матрица W = [u,v] G R(m+1)x2 со столбцами u = (u1, u2,... , um+1)T, v = (v1, v2,... , vm+1)T и нормой ||W||11 < 2y является Y-особой. Положим i1 = argmin{u + v : i G Nm+1}, i2 = argmin{u : i G Nm+1}, и пусть индекс h G Nm+1 таков, что h = i1, h = i2. (12) Через W' G Rmx2 обозначим матрицу, полученную из матрицы W путем удаления строки с номером h. Тогда ||W'|11 ^ ||W|11 < 2y и по предположению индукции матрица W' является Y-особой, т. е. выполняется неравенство min (u + Vi) — min u < y. iewm+i\{h} iewm+i\{h} Кроме того, учитывая (12), нетрудно убедиться, что справедливы равенства min (ui + vi) = ui1 + vi1 = min (ui + vi), min ui = ui2 = min ui. iewm+i iewm+i\{h} iewm+i iewm+i\{h} Следовательно, матрица W является Y-особой. ■ 3. Оценки радиуса устойчивости Для парето-оптимального портфеля x0 задачи Zs(E) введем обозначение Р = ^s(x0,p,m)= min |g+(x0,x,E )|р. xtx \{x } Очевидно, что p ^ 0. Теорема 1. При любых m, s G N и 1 ^ p ^ то для радиуса устойчивости ps(x0,p,m) инвестиционного портфеля x0 G Ps(E) задачи Zs(E) справедливы следующие оценки: ps(x0,p,m) ^ ps(x0,p, m) ^ 2ps(x0,p, m). (13) Доказательство. Пусть x0 G Ps(E). Сначала докажем справедливость нижних оценок (13). Не уменьшая общности, будем считать, что p > 0 (в противном случае неравенство p ^ p очевидно). В соответствии с определением числа p для любого портфеля x = x0 справедливо неравенство ||g+(x0,x,E)||р ^ p, а поэтому в силу леммы 1 верна формула (4). Тогда (согласно лемме 2) x0 G Ps(E + E') при любой возмущающей матрице E' G Пр(p). Следовательно, ps(x0,p,m) ^ ps(x0,p,m). Далее докажем справедливость верхней оценки (13) при любом числе p G [1, то]. Пусть е > > 0, а портфель x* = x0 таков, что ||g+(x0, x*, E) ||р = p. (14) Тогда, учитывая непрерывную зависимость нормы lp вектора от его координат, подберем такой вектор 8 G Rs с положительными компонентами, удовлетворяющими неравенствам (5), что е/2 > ||8||р > p. Отсюда, согласно лемме 3, при е > существует такая возмущающая матрица E0 G Пр(е), что портфель x0 G Ps(E) не является парето-оптимальным портфелем возмущенной задачи Zs(E+E0). Тем самым доказано, что для любого числа е > справедливо неравенство ps(x0,p, m) < е. Следовательно, ps(x0,p, m) ^ 2ps(x0,p,m) при любом числе p G [1, то]. ■ Замечание 2. Нетрудно видеть, что при обосновании нижней оценки p допустима принадлежность нулевого вектора 0(n) множеству портфелей X. Отсутствие нулевого вектора необходимо лишь при установлении верхней оценки, поскольку доказательство неравенства ps(x0,E) ^ основано на использовании леммы 3. Следствие 1. Радиус устойчивости ps(x0,p,m) больше 0 (парето-оптимальный портфель x0 устойчив) тогда и только тогда, когда p > 0. Докажем достижимость нижней оценки радиуса устойчивости при m = 1. Следствие 2. При любых s G N и 1 ^ p ^ то для радиуса устойчивости ps(x0,p, 1) инвестиционного портфеля x0 G Ps(E) s-критериальной задачи булева программирования ZB (E) справедлива формула ps(x0,p, 1) = (x0,p, 1). Доказательство. Пусть портфель x* = x0 таков, что выполняется равенство || [E (x0 — x*)]+Mp = p. Тогда при е > p очевидно, что существует вектор 8 = (81, 82,... , 8s) G Rs, компоненты которого удовлетворяют неравенствам f15) 8k > [Ek(x0 — x*)]+, k G Ns p < ||8||p < е. Пусть индекс l G Nn такой, что x* = x^1. Рассмотрим возмущающую матрицу E0 = [e1jk] G R1xnxs, элементы которой зададим по правилу 0 " 1jk 0 в остальных случаях. Тогда Ek(x0 — x*) = —8k, k G Ns; ||E°||1 = 8k, k G Ns; ||E011p = ||8|p < е. 8k(x* — x0), если j = l, k G Ns, Поэтому ввиду (15) запишем (Efc + Ek)(x0 - x*) = Efc(x0 - x*) - 4 ^ [Efc(x0 - x*)]+ - 4 < 0, k e Ns. В результате получаем, что для любого числа е > существует такая возмущающая матрица E0 e (е), что портфель x0 e Ps(E) перестает быть парето-опти-мальным портфелем возмущённой задачи ZB(E + E0). Это значит, что ps(x0,p, 1) ^ Следовательно, в силу теоремы 1 радиус устойчивости парето-оптимального портфеля задачи Z^(E) равен = ^s(x0,p, 1). ■ 4. Достижимость нижней оценки (при m ^ 2) Теорема 2. При любых ^ > 0, m ^ 2, 1 ^ p ^ то существует такой класс векторных инвестиционных задач Zs(E), s e N, что для радиуса устойчивости портфеля x0 e Ps(E) любой задачи из этого класса справедлива формула ps(x0,p, m) = = ^s(x0,p, m). Доказательство. Пусть портфель x* = x0 таков, что выполняется равенство (14). Тогда при е > очевидно, что существует вектор $ = (4,$2,... ,$s) e Rs, компоненты которого удовлетворяют неравенствам (5) и < ||$||p < е. Далее будем предполагать, что существует индекс I e Nn с условием x0 = 1, x* = 0. Рассмотрим возмущающую матрицу E0 = [e0jk] e Rmxnxs, элементы любого k-го сечения E^ k e Ns, которой зададим по правилу 0 = j -, если i = i(k), j = /, jjk 1 0 в остальных случаях, где i(k) = argmin{Ejkx0 : i e Nm}. Тогда для каждого индекса k e Ns очевидны соотношения 00 Ej(k)kx = -°fc; E0kx0 = 0, i e Nm \{i(k)}; Ej0fcx* = 0, i e Nm; ||E0||n = ; ||E0|up = < е. Отсюда с учётом неравенств (5) получаем gk(x0, x*, Ek + E0) = min (Ejfc + Ejk)x0 - min (Ejfc + E0fc)x* = = /k(x0, E) - - /k(x0,Ek) = gk(x0,x*,Ek) - 4 ^ gfc+ (x0,x*,Efc) - 4 < 0, k e Ns. Следовательно, для каждого индекса k e Ns верно неравенство (6). В результате получаем, что для любого числа е > существует такая возмущающая матрица E0 e Пр(е), что портфель x0 e Ps(E) перестает быть парето-оптималь-ным портфелем возмущённой задачи Zs(E + E0). Это значит, что ps(x0,p,m) ^ Следовательно, в силу теоремы 1 радиус устойчивости парето-оптимального портфеля любой задачи введенного класса равен = (x0,p, m). ■ Приведем числовой пример, свидетельствующий о существовании задач того класса, который указан в доказательстве теоремы 2. Пример 1. Пусть m = 3, n = 3, s = 2, X = {ж°,ж*}, ж° = (1,1, 0)T, ж* = (0,1,1)T, E G R3x3x2 —матрица с сечениями 2 1 1 3 1 3 Ex = 13 1 3 1 , E2 = 12 1 1 \4 2 4/ \4 2 4; Тогда f (x°, E) = (3, 3), f (ж*, E) = (2, 2), x° G P2(E), l = 1, 0, m ^ 2 и 1 ^ p ^ то существует такой класс векторных инвестиционных задач Zs(E), s G N, что для радиуса устойчивости портфеля ж° G Ps(E) любой задачи из этого класса справедлива формула ps(x°,p,m) = 2^s(x°,p,m). Доказательство. Пусть ж° G Ps(E), ^ > 0 и m ^ 2. Согласно теореме 1, достаточно построить класс задач Zs(E) с условием ps(x°,p,m) ^ 2^. Покажем, что такой класс существует при X = {ж°,ж*}, где ж° G Ps(E), x° ^ ж*, ж° = ж*. Непосредственно из определения числа ^ следует равенство (14). Далее будем предполагать, что все строки Eik, i G Nm, любого сечения Ek, k G Ns, матрицы E G Rmxnxs одинаковы. Обозначив такую строку через e, будем считать, что Eik(ж° - ж*) = е(ж° - ж*) > 0, i G Nm, k G Ns. Тогда имеем gk(ж°, ж*, Ek) = fk(ж°, Ek) - fk(ж*, Ek) = е(ж° - ж*) > 0, k G Ns. (16) Учитывая это, из (14) получаем е(ж° - ж*) =

Ключевые слова

векторная инвестиционная задача, парето-оптимальный инвестиционный портфель, критерий эффективности Вальда, радиус устойчивости портфеля, метрика Гельдера, vector investment problem, Pareto-optimal investment portfolio, Wald's efficiency criteria, stability radius of portfolio, the Holder metric

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Емеличев В. А.Белорусский государственный университет, г. Минскemelichev@bsu.by
Коротков В. В.Белорусский государственный университет, г. Минскwladko@tut.by
Всего: 2

Ссылки

Markowitz H. Portfolio selection // J. Finance. 1952. V. 7. No. 1. P. 77-91.
Markowitz H. M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. New York: Willey, 1991. 400 p.
Шарп У. Ф., Александер Г.Дж., БейлиД.В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2003. 1028 с.
Емеличев В. А., Кузьмин К. Г. О радиусе устойчивости эффективного решения векторной задачи целочисленного линейного программирования в метрике Гёльдера // Кибернетика и системный анализ. 2006. №4. С. 175-181.
Емеличев В. А., Кузьмин К. Г. Об одном типе устойчивости многокритериальной задачи целочисленного линейного программирования в случае монотонной нормы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. №5. С. 45-51.
Емеличев В. А., Карелкина О.В. Конечные коалиционные игры: параметризация концепции равновесия (от Парето до Нэша) и устойчивость эффективной ситуации в метрике Гельдера // Дискретная математика. 2009. Т. 21. Вып. 2. С. 43-50.
Emelichev V. and Podkopaev D. Quantitative stability analysis for vector problems of 0-1 programming // Discrete Optimization. 2010. V. 7. No. 1-2. P. 48-63.
Емеличев В. А., Коротков В. В. Оценки радиуса устойчивости лексикографического оптимума векторной булевой задачи с критериями рисков Сэвиджа // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2011. Т. 18. №2. С. 41-50.
Емеличев В. А., Коротков В. В., Кузьмин К. Г. Многокритериальная инвестиционная задача в условиях неопределенности и риска // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. №6. С. 157-164.
Емеличев В. А., Коротков В. В. О радиусе устойчивости эффективного решения многокритериальной задачи портфельной оптимизации с критериями Сэвиджа // Дискретная математика. 2011. Т. 23. Вып. 4. С. 33-38.
Емеличев В. А., Коротков В. В. Постоптимальный анализ многокритериальной инвестиционной задачи Марковица // Информатика. 2011. №4. С. 5-14.
Emelichev V. and Korotkov V. On stability radius of the multicriteria variant of Markowitz's investment portfolio problem // Bull. Acad. Sci. Moldova. Mathematics. 2011. No. 1. P. 83-94.
Portfolio Decision Analysis: Improved Methods for Resource Allocation (International Series in Operations Research and Management Science) / eds. A. Salo, J. Keisler, A. Morton. New York: Springer, 2011. 424 p.
Бронштейн Е. М., Качкаева М. М., Тулупова Е. В. Управление портфелем ценных бумаг на основе комплексных квантильных мер риска // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. №1. C. 178-183.
Царев В. В. Оценка экономической эффективности инвестиций. СПб.: Питер, 2004. 464 с.
Виленский П. Л., Лившиц В. Н., Смоляк С. А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: теория и практика. М.: Дело, 2008. 1104 с.
Wald A. Statistical Decision Functions. New York: Wiley, 1950. 179 p.
Emelichev V. and Korotkov V. Post-optimal analysis of investment problem with Wald's ordered maximin criteria // Bull. Acad. Sci. Moldova. Mathematics. 2012. No. 1. P. 59-69.
Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998.
Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 707с.
 Исследование устойчивости решений векторной инвестиционной булевой задачи в случае метрики Гельдера в критериальном пространстве | ПДМ. 2012. № 4(18).

Исследование устойчивости решений векторной инвестиционной булевой задачи в случае метрики Гельдера в критериальном пространстве | ПДМ. 2012. № 4(18).

Полнотекстовая версия