Разрядно-инъективные преобразования модуля над кольцом Галуа | ПДМ. Приложение. 2013. № 6.

Разрядно-инъективные преобразования модуля над кольцом Галуа

Предлагается новый способ построения большого класса нелинейных подстановок над кольцом Галуа.

Digit-injective transformations of a module over a Galois ring.pdf Предлагается способ построения нелинейных подстановок h на модуле nRm, m ^ 1, над кольцом Галуа R = GR(q2,p2), q = pr, представимых с помощью линейных разрядно-инъективных преобразований этого модуля и соответствующих p-адическому разрядному множеству P = r(R) = [a G R : aq = a} кольца R. Каждый элемент a G R однозначно представляется в виде [1] а = a0 + pai, as = ys(a) G P, s G [0,1}. Здесь ys : R ^ P — разрядные функции в разрядном множестве P. Тогда (P, ф, ■) — поле с операцией хфy = Y0 (x+y). Для матриц A G Rm,n также справедливо разложение A = Ao + pAi, As = Ts(A) g Pm,n, s G [0,1}. А. А. Нечаевым предложен следующий способ построения подстановок. Назовём матрицу K размеров mxn над кольцом Галуа R разрядно-инъективной (РИ-матрицей), если любая ненулевая строка a G Rm однозначно восстанавливается по строке Y1(aK) G Pn. Теорема 1. Пусть G G Pmm, U G Rmm. Тогда матрица K = U(E | E + pG) является разрядно-инъективной и отображение h : Rm ^ Rm, действующее на произвольной строке x G Rm по правилу h(x) = z, где z = zi + pz2 G Rm, (zi | z2) = 7i(xK) G P2m (1) является подстановкой. Для множества подстановок вида (Eh)k , где Е — регулярное представление группы (Rm, +) в симметрической группе S(Rm), изучаются следующие параметры: показатель 2-транзитивности d2(Eh) (минимальное k, при котором 2-транзитивно множество (Еh)k ) и порождаемая группа [2, 3]. Получены следующие результаты. Теорема 2. Для любой подстановки h вида (1) верно неравенство d2(Eh) ^ 4. Теорема 3. Пусть R = GR(q2,p2),m = 1 ,p> 2. Тогда если разрядное множество P = r(R) удовлетворяет условию (7i(a + e) 0 Yi(b + e) : a,b E P} = P, то для любой подстановки h вида (1) справедливо равенство d2(Eh) = 4. Если при этом R = Zp2, то группа (Eh) содержит знакопеременную группу Ap2. Теорема 4. Пусть R = GR(q2, 4), m > 1. Тогда если все миноры матрицы U0 в (1) ненулевые, то для подстановки h из (1) справедливо равенство d2(Eh) = 4. Автор выражает глубокую благодарность профессору А. А. Нечаеву за постановку задачи и внимание к проводимым исследованиям.

Ключевые слова

разрядно-инъективная матрица, РИ-матрица, подстановка, кольцо Галуа, digit-injective matrix, Dl-matrix, permutation, Galois ring

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Аборнев Александр ВикторовичООО «Центр сертификационных исследований» (г. Москва)aabornev@inbox.ru
Всего: 1

Ссылки

Кузьмин А. С., Нечаев А. А. Линейные рекуррентные последовательности над кольцами Галуа // Алгебра и Логика. 1995. Т. 34. №2. С. 169-189.
Глухов М. М. О 2-транзитивности произведения регулярных групп подстановок // Труды по дискретной математике. М.: Физико-математическая литература, 2000. С. 37-52.
Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. Т2. М.: Гелиос АРВ, 2003. 416 с.
 Разрядно-инъективные преобразования модуля над кольцом Галуа | ПДМ. Приложение. 2013. № 6.

Разрядно-инъективные преобразования модуля над кольцом Галуа | ПДМ. Приложение. 2013. № 6.