Обобщение теорем Глускина - Хоссу и Малышева на случай еильно зависимых n-арных операций | ПДМ. Приложение. 2018. № 11. DOI: 10.17223/2226308X/11/7

Обобщение теорем Глускина - Хоссу и Малышева на случай еильно зависимых n-арных операций

Доказываются аналоги теорем Глускина - Хоссу о строении n-групп и Малышева о строении n-квазигрупп с условием слабой обратимости справа и слева применительно к случаю сильно зависимых операций над конечным множеством.

An extension of gluskin - hoszu's and maly-shev's theorems to strong dependent n-ary operations.pdf Пусть n ^ 0 и X - непустое множество. n-Полугруппой называется n-арная операция f (x1,... ,xn) = [x]^,... , xn] на множестве X, удовлетворяющая тождествам ассоциативности [x1, . . . , xi-1, [xi, . . . , xi+n-1], xi+ni . . . , x2n-1] [x1, ... , xj-1, [xj, ... , xj+n-1], xj+ni . . . , x2n-1], 1 ^ i < j ^ n. Если при этом n-полугруппа является n-квазигруппой, т. е. для каждого i = 1,... ,n унарная функция f (a1,... , ai-1,xi, ai+1... , an) является подстановкой по переменной xi при всех a-\^,..., ai-1, ai+1... ,an £ X, то она называется n-группой. Строение n-группы над произвольным, не обязательно конечным, множеством X описывается следующей теоремой Л. М. Глускина и М. Хоссу. Теорема 1. Для любой n-группы [x-\^,... ,xn] найдутся некоторая групповая операция «*» на множестве X, автоморфизм 9 группы «*» и a £ X, такие, что 9n-1(x) = = a * x * a-1, 9(a) = a и справедливо тождество [x]_,... ,x„\ = x1 * 9(x2) * 92(x3) * ... * 9n-2(xn-1) * a * xn, xj, £ X, i = 1,... ,n. Заметим, что данную теорему обычно называют обратной теоремой Глускина - Хоссу, а прямая теорема утверждает, что всякая n-квазигруппа такого вида является n-группой. С историей и различными обобщениями этой теоремы можно познакомиться в обзоре [1]. В работе [2] Ф. М. Малышевым рассматривается несколько более общая ситуация, из которой может быть выведена теорема 1. Операция [x1,... , xn] называется i-слабо обратимой справа, i = 1,..., n - 2, если для всех a G 61,62 G Хп-г из равенства [a, b1] = [a, b2] следуют равенства [b1,x] = [b2, x] для всех x G Xг. Аналогично определяется i-слабая обратимость слева. Теорема 2 [2]. Пусть n ^ 3. Если n-квазигруппа является 1-слабо обратимой слева (справа), то при некоторой подстановке а, групповой операции «*» на множестве X и автоморфизме в группы «2 G Xп-г из условия /(a, b^) = /(a, b2) следуют равенства /(b^, x) = /(b2, x) для всех x G X\ Аналогично определяется i-частичная обратимость слева сильно зависимых функций слева. Лемма 1. Для сильно зависимой функции / следующие условия равносильны: а) / является i-частично обратимой справа и слева; б) / допускает представление в виде бесповторных суперпозиций /(xb ..., = g1(x,h(y ,a )) = g2(h(x,y ),a ) при всех (x1,..., xn) = (x, y, z) G Xг x Xn-2г x Xг и некоторых сильно зависимых операциях g1, g2, h. Замечание 1. В случае квазигрупп свойства i-слабой обратимости справа и слева равносильны. Для сильно зависимых функций для выполнения условия п. б приходится требовать одновременно выполнимость обоих свойств. Напомним, моноидом называется ассоциативная бинарная операция с единицей. Основным результатом является следующее обобщение теоремы Ф. Н. Малышева. Теорема 3. Пусть n ^ 3, X - конечное множество. Если сильно зависимая функция / является 1-частично обратимой справа и слева, то при некоторой подстановке а, моноиде «*» на множестве X и автоморфизме в моноида «*» справедливо тождество а(/(x1,... ,xn)) = x1 * e(x2) * e2(x3) * ... * en-1(xn), xг G X, i =1,...,n. Доказательство основано на теореме Ф. Н. Сохацкого [4] о решении обобщённого уравнения общей ассоциативности для сильно зависимых операций. Как следствие из предыдущей теоремы, получается следующее обобщение теоремы Глускина - Хоссу на случай сильно зависимых функций. Теорема 4. Если сильно зависимая n-арная операция [x1,...,xn] на конечном множестве X удовлетворяет тожеству ассоциативности [[Ж!, . . . ,xn],xn+b . . . ,X2n-1] = [хЪ [х2, . . . , Xn+1], Xn+2, . . . ,X2n-1L то для некоторого моноида «*» на множестве X, автоморфизма в моноида «*», такого, что вп-1(х) = a*x*a-1, a G X - обратимый элемент моноида «*», в(а) = a, справедливо тождество [ж1, ..., xn] = х1 * в(х2) * в2(х3) * ... * вп-2(хп-1) * a * xn, Xi G X, i = 1,..., n. В заключение приведём обобщение обратной теоремы Глускина - Хоссу. Теорема 5. Если для сильно зависимой n-арной операции [x1,... , xn] справедливо представление [X1, . . . ,Xn] = Ж1 * в(х2) * в2(хз) * ... * en-2(xn-1) * a * Xn, где «*» - моноид на множестве X; в - автоморфизм моноида «*», такой, что вп-1 (х) = = а-1 * х * a, a G X - обратимый элемент моноида «*», в(а) = а, то она является n-полугруппой.

Ключевые слова

weak invertible operation, strong dependent operation, n-ary semigroup, n-ary group, слабо обратимая операция, сильно зависимая операция, n-арная полугруппа, n-арные группа

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Черемушкин Александр ВасильевичФГУП «НИИ «Квант»доктор физико-математических наук, научный консультантavc238@mail.ru
Всего: 1

Ссылки

Сохацкий Ф. Н. Обобщение двух теорем Белоусова для сильно зависимых функций k-значной логики // Исследования по теории бинарных и n-арных квазигрупп. Математические исследования. Кишинев: Штиинца, 1985. №85. С. 105-115.
Малышев Ф. М. Теорема Поста - Глускина - Хоссу для n-квазигрупп // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2016. Т. 8. C. 59-62.
Малышев Ф. М. О теореме Поста - Глускина - Хоссу для конечных квазигрупп и самоинвариантные семейства подстановок // Математический сборник. 2016. Т. 207. Вып. 2. С. 81-92.
Гальмак А. М., Воробьев Г. Н. О теореме Поста - Глускина - Хоссу // Проблемы физики, математики и техники. 2013. Вып. 1(14). С. 55-59.
 Обобщение теорем Глускина - Хоссу и Малышева на случай еильно зависимых n-арных операций | ПДМ. Приложение. 2018. № 11. DOI: 10.17223/2226308X/11/7

Обобщение теорем Глускина - Хоссу и Малышева на случай еильно зависимых n-арных операций | ПДМ. Приложение. 2018. № 11. DOI: 10.17223/2226308X/11/7