Исследование группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой рода три | ПДМ. Приложение. 2018. № 11. DOI: 10.17223/2226308X/11/36

Исследование группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой рода три

Установлены условия, при которых группа автоморфизмов оптимальной кривой рода три над конечным полем с дискриминантом из множества {-19, -43, -67, -163} изоморфна группе автоморфизмов АГ-кода, асоциированного с такой кривой.

Investigation of automorphism group for code associated with optimal curve of genus three.pdf В последнее время в современной криптографии актуальным направлением развития считается исследование и использование криптосистем на основе кодов. Их преимущество заключается в высокой скорости криптографического преобразования информации, однако существуют трудности в их практическом применении из-за большого объёма ключа. Поскольку известные схемы, построенные на кодах Рида - Соломона, могут быть взломаны с полиномиальной сложностью, перспективным представляется использование алгебро-геометрических кодов (АГ-кодов). АГ-коды предложены В. Д. Гоппой в 1977 г. В современной теории кодирования они называются геометрическими кодами Гоппы, с их помощью можно доказать существование длинных линейных кодов, являющихся лучшими, нежели коды, достигающие границы Варшамова - Гилберта. Благодаря геометрическим кодам Гоппы получено много новых интересных кодов на специальных кривых с большим числом рациональных точек. В теории кодирования весьма часто представляют интерес коды, имеющие большую группу автоморфизмов. В свое время Х. Штихтенот, внеся коррективы в работы Гоппы, заключил, что автоморфизмы кривой рода 0 индуцируют автоморфизмы ассоциированного с этой кривой кода [1]. Те же рассуждения удалось применить К. Ксингу к некоторым эллиптическим и эрмитовым кривым [2, 3]. Возникает вопрос, чем же так примечательна группа автоморфизмов АГ-кода? Оказывается, знание группы автоморфизмов кода или даже части этой группы даёт информацию о структуре кода и зачастую может быть использовано в алгоритме декодирования. Пусть C - гладкая неприводимая проективная кривая рода g, определённая над конечным полем Fq. Определение 1. Если число рациональных точек кривой C/Fq удовлетворяет границе Хассе - Вейля - Серра #C(Fq) = q +1 ± g[2^q], то кривая называется оптимальной. Введём понятие дискриминанта конечного поля, поскольку далее будем рассматривать оптимальные кривые над конечными полями с заданными дискриминантами. Определение 2. Число d(Fq) = d = |_2\/(q)J2 - 4q называется дискриминантом конечного поля Fq. Учитывая эквивалентность по Ж.-П. Серру [4] между категорией обычных абе-левых многообразий и категорией -модулей, где к = Q(>/d), применяя далее теорему Торелли [5] и рассматривая конечные поля с дискриминантами d(Fq) G G { - 19, -43, -67, -163}, можем использовать таблицу классификации эрмитовых модулей с заданными дискриминантами, откуда следует, что порядок группы автоморфизмов оптимальной кривой рода три над конечным полем с указанными дискриминантами равен 6. Следующая теорема описывает структуру группы AutFq (C). Теорема 1 [6]. Пусть C - оптимальная кривая рода три над конечным полем Fq с дискриминантом d(Fq) G { - 19, -43, -67, -167}. Тогда AutFq (C) = D3, где D3 -диэдральная группа порядка 6. Существование оптимальных кривых рода три над рассматриваемыми конечными полями доказано в [7]. Следующая теорема даёт явное описание оптимальных кривых. Теорема 2 [7]. Оптимальная кривая C рода три над конечным полем Fq с дискриминантом d G { - 19, -43, -67, -163} задаётся следующими уравнениями: z2 = а0 + a1x + а2ж2 + в0у, y2 = x3 + аж + b, или z2 = а0 + а1ж + а2ж2 + (в0 + в1х)у, у2 = ж3 + аж + b, или z2 = а0 + а1ж + а2ж2 + а3ж3 + (в0 + в1ж)у, у2 = ж3 + аж + b, где а0, а1, а2, в0, въ а, b G Fq. Отметим, что в условиях предыдущей теоремы кривая C является двойным накрытием оптимальной эллиптической кривой, заданной уравнением у2 = ж3 + аж + b. Переходя к исследованию группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой, полученной выше, введём ряд обозначений: - J С PC1) \ P», где G E, а G P1 при отображениях f : C ^ E и E ^ P1; отметим, что f - двойное накрытие оптимальной эллиптической кривой E; - n = | J - D = £ P = P + P2 + ... + Pn; p eJ - C^(D,rPTO) -АГ-код, ассоциированный с дивизорами D и rP^ (очевидно, что supp(D) П supp(rP^) = 0); - Aut(CL(D, rP^)) - группа автоморфизмов кода CL(D, rP^). Переобозначим группу автоморфизмов кривой в терминах группы автоморфизмов функционального поля этой кривой, ассоциированной с дивизорами D и rP^, как AutD;rPTO (C/Fq ). Согласно [8], любой элемент группы AutD>rPTO (C/Fq) индуцирует автоморфизм соответствующего кода Cl(D, rP^). Таким образом, AutD>rPTO (C/Fq) С Aut(CL(D, rP»)). Однако благодаря следующей теореме получаем изоморфизм между соответствующими группами автоморфизмов. Теорема 3. Пусть C/Fq - оптимальная кривая рода три, определённая над конечным полем с дискриминантом из { - 19, -43, -67, -163}; элементы ж,у, z G C(Fq) такие, что = kP^, (у)те = mP^ и (z = IP^, где m> I > k. Пусть D = £ P, p eJ где J С PjC1) \ P^. Если n > max(3r, 2(1 + (k - 1)/u), 2 (m + (k - 1)/n)}, причём ^ = min(k - 1, Z : zz Е L(rP^)}, n = min(k - 1, £ : y? Е L(rP^)}, то Aut(CL(D, rP^)) - AutD>rpTO(C/F,).

Ключевые слова

automorphism group of curve, AG-code, automorphism group of code, optimal curve, discriminant of finite field, группа афтоморфизмов кривой, группа автоморфизмов кода, АГ-код, оптимальная кривая, дискриминант конечного поля

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Малыгина Екатерина СергеевнаБалтийский федеральный университет им. И. Кантакандидат физико-математических наук, доцентEkkat@inbox.ru
Всего: 1

Ссылки

Stichtenoth H. Algebraic Function Fields and Codes. Springer, 2009.
Alekseenko E., Aleshnikov S., Markin N., and Zaytsew A. Optimal curves over finite fields with discriminant -19 // Finite Fields and Their Applications. 2011. No. 17(4). P. 350-358.
Milne J. S. Abelian Varieties. 2008. www.jmilne.org/math/
Alekseenko E. and Zaytsew A. Explicit equations of optimal curves of genus 3 over certain fields with three parametrs // Contemporary Math. 2015. No. 637. P. 245-256.
Xing C. Automorphism group of elliptic codes // Communication in Algebra. 1995. No. 23(11). P. 4061-4072.
Xing C. On automorphism groups of the Hermitian codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1995. No. 41(6). P. 1629-1635.
Lauter K. Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields. With an appendix by J.-P. Serre // Algebraic Geometry. 2001. No. 10(1). P. 19-36.
Stichtenoth H. On automorphisms of geometric Goppa codes // J. Algebra. 1990. V. 130. Iss. 1. P. 113-121.
 Исследование группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой рода три | ПДМ. Приложение. 2018. № 11. DOI: 10.17223/2226308X/11/36

Исследование группы автоморфизмов кода, ассоциированного с оптимальной кривой рода три | ПДМ. Приложение. 2018. № 11. DOI: 10.17223/2226308X/11/36