Имплицитные допущения в теории истины и в математике | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2019. № 47. DOI: 10.17223/1998863Х/47/8

Имплицитные допущения в теории истины и в математике

Показано, что обоснование принятия принципа рефлексии в случае теории истины и использование автономной прогрессии в случае выявления имплицитных допущений при принятии математической теории свидетельствуют в пользу возможности экспликации логико-синтаксическими средствами семантических по содержанию концепций истины и имплицитных допущений принятия математических теорий. Это является весомым аргументом в пользу как дефляционной концепции истины, так и утверждения о возможности экспликации семантического содержания формально-математических концепций синтаксическими средствами теории.

Implicit commitment in truth theory and in mathematics.pdf Ставшие классическими для современной философской логики ограничительные результаты К. Геделя и А. Тарского зачастую трактуются, среди прочего, как окончательная демонстрация невозможности выражения семантических характеристик теории синтаксическими средствами. Вместе с тем казавшиеся прежде незыблемыми результаты в последние десятилетия подвергаются значительной ревизии. Так, стремление преодолеть иерархический подход А. Тарского к определению понятия истины породило весьма широкое и бурно развивающееся направление безтиповых теорий истины, пионером которого можно считать С. Крипке. Ниже мы предлагаем анализ возможности выражения синтаксическими средствами семантических характеристик теории применительно к проблеме выявления имплицитно принимаемых обязательств, возникающих в результате принятия математической теории и аксиоматической теории истины. Принятие системы S может предполагать, что некоторые компоненты процесса обоснования не выразимы и даже не формализуемы в самом языке S, т.е. являются имплицитными. Суть понятия «имплицитные обязательства» заключается в том, что принятием теории S мы обязываемся к принятию набора формальных или квазиформальных утверждений, которые невыразимы или недоказуемы в самой S. Разработка концепции имплицитных обязательств восходит к 50-60-м гг. ХХ в., и одним из классических прояснений ее назначения является утверждение С. Фефермана: «До какой степени содержание математической мысли может быть проанализировано в формальных терминах? Теоремы Геделя показывают неадекватность единственной формальной системы для этого, за исключением ограниченных частей математики. Несмотря на это, в то же самое время они указывают на возможность систематического производства все больших и больших систем, чья приемлемость имплицитно содержится в исходной теории. Средством для этого является то, что стало известно под названием принципы рефлексии» [1. P. 1]. Исходная постановка проблемы имплицитных допущений С. Феферма-ном была тесно связана с его программой оснований математики. Избегая этой связи с целью представить имплицитные допущения как более общую проблему, примем ее следующую формулировку: принятие формальной системы S обязывает к принятию дополнительных ресурсов, недоступных в самой исходной системе S. Необходимо отметить многообразие трактовок того, что следует понимать под «дополнительными ресурсами», к принятию которых нас обязывает принятие формальной системы. Некоторые, вслед за С. Феферманом, имеют в виду концептуальные ресурсы, которые недоступны непосредственно в S в силу «геделевского феномена», такие, например, как принцип рефлексии или утверждение о непротиворечивости. Им противостоит точка зрения, согласно которой, чем бы ни являлись те ресурсы, к принятию которых нас обязывает принятие S, они должны быть выразимы в языке самой исходной системы S [2]. Наиболее распространенная точка зрения связана с тем, что прояснение имплицитного принимаемых дополнительных ресурсов должно быть в явном виде связано с обращением к содержанию понятия истины [3, 4]. Обоснованность принятия принципа рефлексии оказывается одним из ключевых аспектов как в обсуждении имплицитных допущений принятия формальной системы, так и в определении того, каким содержанием обладает понятие истины. Наиболее популярная в последние десятилетия дефляционная концепция истины, согласно которой это понятие не имеет никакого семантического и метафизического содержания, а является исключительно логико-математическим по своей природе, столкнулась с серьезными возражениями в связи с обоснованностью одной из наиболее популярных своих формулировок - дисквотационной теорией истины, согласно которой единственная функция этого понятия - это функция раскавычивания. Классической формулировкой дисквотационной концепции истины является известная теория ТВ, которая включает в себя все аксиомы РАТ, т.е. арифметики Пеа-но, сформулированной в языке LT, в том числе все примеры схемы индукции с предикатом истины. Возражения против дисквотационной концепции истины указывают на то, что, во-первых, композиционный характер истины не выражен аксиомами дисквотационной теории, а во-вторых, что дисквотаци-онная концепция не выражает в полной мере ту роль, которую понятие истины играет в математических и метаматематических рассуждениях [4, 5]. Если композиционная теория истины способна обосновать использование принципа рефлексии, то дисквотационная слишком слаба для этой цели. Сформулируем более строго концепции, к которым нам далее придется обращаться. Прежде всего, это касается принципа рефлексии. Необходимо различать следующие его формулировки [6. Ch. 22]: Локальный принцип рефлексии (Rfnx) представляет собой схематичный принцип формы Provx(9) ^ (ф), где ф пробегает по предложениям некоторого языка L, S является теорией, сформулированной на языке L, а Prov^ - канонический предикат доказуемости для S. Единообразный принцип рефлексии (RFN,) представляет собой схематичный принцип формы Vx : Prov^(x)) ^ (ф), где ф(х) пробегает по формулам с одной переменной некоторого языка. Глобальный принцип рефлексии (GRPs) является аксиомой формы Уф е L : Provs^) ^ Тф. Наконец, принцип рефлексии выражает одно из основных свойств понятия истины, его своего рода распределенность по логическим символам: Уф, у е Lpa : Т(ф Л у) -о- [Т(ф) Л T(y)]. Интересующая нас проблема возникает в следующей связи. Наиболее простым выражением дефляционной концепции истины является дисквота-ционная теория. Утверждение, что единственной функцией понятия истины, ясно представленной в концепции А. Тарского, высказывалось множество раз. Один из наиболее известных его защитников, У. Куайн, пишет: «Предикат истины является инструментом раскавычивания. Мы можем согласиться с единичным предложением, повторив его, обойдясь без помощи кавычек или предиката истины; но если мы хотим утверждать некоторое бесконечное множество предложений, которое мы можем разграничивать только говоря о предложениях, тогда начинается использование предиката истины» [7. P. 307]. Теория ТВ не влечет композициональный принцип: дисквотационная теория имеет дело с конечным количеством Т-предложений, тогда как компо-зициональный принцип относится к бесконечному множеству предложений. Более того, как указывают С. Шапиро и Дж. Кетланд, в случае достаточно сильной исходной теории S мы рассчитываем, что теория истины позволит доказать Геделево предложение Gs теории S и локальный принцип рефлексии (Rfns). Если мы берем в качестве исходной теории Арифметику Пеано, от ТВ мы ожидаем возможности доказать GРА и И&РА. Но этого не произойдет по причине консервативности теории ТВ по отношению к исходной РА. Фактически это служит основанием для предпочтения композициональной теории СТ, включающей в принцип композициональной в качестве аксиомы. СТ не консервативна по отношению к РА и в ней может быть доказан глобальный принцип рефлексии (GRP^), а на его основе и доказуемых в СТ Т-предло-жений РА может быть доказан локальный принцип рефлексии И&РА, недоказуемый в исходной теории РА. Пока мы имели дело с типовыми теориями истины. Данный тип теорий истины является наиболее распространенным, и не в последнюю очередь в силу влияния традиции. А. Тарский положил начало типовому подходу в теориях истины. Выделение типов языков - языка-объекта и метаязыка - рассматривается в его семантической теории как средство предотвращения парадоксов. Это решение становится попросту магистральным для современной логики. В подходе А. Тарского язык можно уподобить тому, сто в современной теории называется дедуктивно системой или теорией; в сематической теории аксиомы и правила языка-объекта не важны, принципиальную роль играют аксиомы и правила метаязыка. Например, в типовых теориях ТС и СТ языком-объектом является язык L арифметики с ассоциированной системой РА, а метаязыком - тот же самый язык, расширенный единственно добавлением предикатного символа Т для предиката истины. В любом случае объектная теория - это подтеория метатеории, сформулированной в языке LT. Тем самым задается иерархия теорий, в которой теория RTY является метаязыком для RT

Ключевые слова

имплицитные допущения, теория истины, принцип рефлексии, implicit commitment, reflection principle, truth theory

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Хлебалин Александр ВалерьевичИнститут философии и права Сибирского отделения Российская академия наук; Новосибирский государственный университеткандидат философских наук, заместитель директора по научной работе; доцентsasha_khl@mail.ru
Всего: 1

Ссылки

Feferman S. Reflection on incompleteness // The Journal of Symbolic Logic. 1991. Vol. 56, № 1. Р. 1-49.
Tennant N. Defationism and the Goodel phenomena // Mind. 2002. Vol. 111. Р. 551-582.
Cieslinski С. Truth, Conservativeness, and Provability // Mind. 2010. Vol. 119. Р. 409-422.
Shapiro S. Proof and Truth: Trough thick and thin // Journal of Philosophy. 1998. Vol. 95. Р. 493-521.
Ketland J. Defationism and Tarski's Paradise. // Mind. Vol. 108. 1999. Р. 69-94.
Halbach V. Axiomatic theories of truth. Cambridge University Press. 2014.
Quine W.V. Philosophy of Logic. Cambridge, MA : Harvard University Press, 1970.
Horsten L., Leigh G. Truth is simple // Mind. 2017. Vol. 126. Р. 195-232.
Halbach V. Disquotational Truth and Analyticity'// Journal of Symbolic Logic. 2011. Vol. 66. Р. 1959-1973.
Fujimoto K. Autonomous progression and transfinite iteration of self-applicable truth // The Journal of Symbolic Logic. 2011. Vol. 76, № 3. Р. 914-945.
Cantini A. Logical frameworks for truth and abstraction. Elsevir, 1996.
 Имплицитные допущения в теории истины и в математике | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2019. № 47. DOI: 10.17223/1998863Х/47/8

Имплицитные допущения в теории истины и в математике | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2019. № 47. DOI: 10.17223/1998863Х/47/8