Философские предпосылки математических дискуссий в контексте критики условий применения математики по Колмогорову | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2020. № 56. DOI: 10.17223/1998863X/56/4

Философские предпосылки математических дискуссий в контексте критики условий применения математики по Колмогорову

В статье обосновано предположение, что ученые недооценивают философские концепции, так как последние неявно используются в исследованиях. На примерах полемик о применимости математики - частотной интерпретации Мизеса и условий Колмогорова - показано, что их критика была вызвана различными представлениями о природе вероятности, а не формальным несовершенством. Показано, что в рамках частотной интерпретации требование Колмогорова не является зависимым.

The Philosophical Premises of Mathematical Discussions in the Context of the Critique of Kolmogorov's Conditions fo.pdf Хотя современные научные исследования интенсивно используют концепции причинности, онтологии и др., представители науки недооценивают роли философских предпосылок в современной науке. Так, в известной дискуссии ученых, где обсуждался вопрос о влиянии философии на создание научных теорий, ими отмечалась значимость философии от античности до Канта [1]. Однако никто из диспутантов не высказался о значимости современных философских исследований для развития науки, более того, некоторые из них отрицали какое-либо положительное влияние этих исследований на науку. Почему ученые скептически относятся к положительному влиянию современных философов на науку? Так, известный математик Шейфер высказывался о несомненном положительном воздействии истории и философии науки на развитие знания в математике, но при этом подчеркивал, что современные философы не оказывают какого-либо влияния на науку своего времени. По мнению Шейфера, философы в различных областях знания, в частности специалисты в философии математики, занимаются исследованиями классической науки, при этом проблемы актуальной науки остаются вне внимания философов. Его критика связана с тем, что в области философии стохастической математики было написано несколько десятков монографий, однако во всех них, за исключением двух, исследовались проблемы классической теории вероятностей, но в большей степени анализировались вопросы влияния культуры на развитие теории вероятностей, а не само научное знание. В двух других книгах рассматривались проблемы, относящиеся к началу современной теории вероятностей, однако не исследовались актуальные проблемы современной стохастической математики [2, 3]. В целом критика Шейфера оказывается справедливой, так, для того чтобы заниматься методологическими проблемами, актуальными для какого-либо раздела науки, нужно одновременно быть сильным специалистом как в этой области науки, так и в философии. Быть профессионалом одновременно в двух областях знания достаточно сложно, но не невозможно. Так, истории науки известны такого рода ситуации, причем относящиеся именно к теории вероятностей. Во-первых, в качестве примера участия философов в современных исследованиях, в частности в актуальной дискуссии в области математики, можно привести обсуждение частотной интерпретации теории вероятностей Мизеса [4]. Прежде чем рассматривать основания для критики Мизеса философами, приведем кратко основные постулаты его концепции. 1) Теоретическая вероятность в первом постулате Мизеса определяется на основе бесконечной сходящейся последовательности частот. 2) Согласно второму постулату любая некоторым разумным образом выбранная подпоследовательность частот сходится к одному и тому же пределу, что и вся последовательность. В жесткой критике интерпретации Мизеса приняли участие многие исследователи, прежде всего математики, но не только, так, определение вероятности у Мизеса критиковали философы: Рейхенбах, Поппер. Например, Рейхенбах отвергал второй постулат Мизеса, так как он описывает независимые последовательности данных, что ограничивает применение теории вероятностей, Поппер, наоборот, считал, что для приложений имеет значение второй постулат [5, 6]. Во-вторых, некоторые современные философы одновременно успешно занимались научной деятельностью, например, известный специалист в философии науки Суппес серьезно занимался наукой. Известны его работы, относящиеся к байесовизму в теории вероятностей, интерпретации теории вероятностей - пропенсити, применению теории вероятностей в психологии и физике [7]. Итак, не всегда философские исследования оказываются неактуальными. Кроме того, критика Шейфера не является справедливой по следующим основаниям. Во-первых, сам Шейфер, критик современной философии науки, в своей работе, посвященной созданию обобщенной интерпретации теории вероятностей, использовал понятие причинного отношения [8]. И это неслучайно, так как в науке, в частности медицине, всегда были популярны идеи причинных связей и механизмов, а в биологии популярны классификации на основе причинных отношений, кроме того, в последнее время причинные отношения используются при построении экспертных систем. Во-вторых, не только понятие причинного отношения применяется в науке, например, в науке часто используется идея онтологии. Почему философские концепции недооцениваются в науке? Частично это связано с тем, что сложно точно определить влияние философских идей на науку, так как они часто используются неявно. Например, философские концепции использовались неявно в известных математических баталиях, связанных с определением роли вероятностных интерпретаций в науке, в частности в математике. В дискуссиях, относящихся к применению математики, часто критикуются формальные и технические несовершенства в работах оппонентов, однако при этом основания критики напрямую не указываются. В качестве примера такой критики приведем частотную интерпретацию Мизеса. Так, в известной критике частотной интерпретации Мизеса оппоненты указывали формальные недоработки, однако за пределами критики оказывались принципиальные различия в методологических позициях диспутантов. В чем заключалось несходство методологических позиций Мизеса и его оппонентов? Во-первых, Мизес был одним из основателей прикладной математики, и он рассматривал теорию вероятностей в качестве естественнонаучной дисциплины. Оппонентами Мизеса являлись чистые математики, для которых теория вероятностей входит в состав чистой математики. Во-вторых, Мизес был последовательным сторонником частотной интерпретации. Критиками Мизеса являлись представители двух интерпретаций: субъективистской и пропенсити. Сначала приведем некоторые положения и особенности концепции Мизеса, критикуемые с позиций чистой математики. 1) Первый постулат критикуется, так как в нем смешаны эмпирические и теоретические термины, что не принято в чистой математике. Однако в теории Мизеса это определение является операциональным, так как обеспечивает определение теоретической вероятности на основе частот, определяемых экспериментальным путем. 2) Второй постулат получил жесткую критику, так как выбор подпоследовательностей у Мизеса не был описан конструктивно, а лишь продемонстрирован на примерах. Неалгоритмическое описание выбора вызвано тем, что Мизес был сторонником интуицизма, в котором допустимы не полностью определимые объекты. 3) Теория Мизеса критикуется, так как первоначально не была полностью аксиоматизируемой, однако неаксиматизируемость в контексте приложений не является недостатком. 4) Согласно оппонентам, некоторые законы теории вероятностей, в частности закон повторного логарифма, не выполняются в концепции Мизеса. Действительно, в работе Вилля было показано, что в концепции Мизеса для коллективов с бесконечными последовательностями невыразим закон повторного логарифма [9]. Однако в реальных ситуациях исследователю доступны последовательности лишь конечной мощности, для которых справедлив этот закон. Теперь рассмотрим некоторые положения концепции Мизеса, критикуемые сторонниками концепций субъективизма. Субъективисты критиковали концепцию, так как она неприложима для определения сингулярных вероятностей, однако для Мизеса теория вероятностей - это наука о массовых явлениях, и она предназначена для определения частотных характеристик событий, а не для вероятностей единичных событий. Отметим, что взвешенный разбор оснований критики Мизеса был предложен Ламбангеном, он показывает, что теория Мизеса под напором мощной критики устояла, и практически все критические замечания были вызваны различными взглядами на природу вероятности [10]. Критика Мизеса и аргументы в пользу его теории в достаточной степени представлены в литературе [11]. В то же время критические замечания, относящиеся к одному из требований Колмогорова -применения теории вероятностей, в известной литературе не представлены. Требование Колмогорова имеет следующий вид: «Можно практически быть уверенным, что если комплекс условий S будет повторен большое число раз n и если при этом через m обозначено число случаев, при которых событие A наступило, то отношение m/n будет мало отличаться от P(A)» [12. С. 13]. Почему исследование условия Колмогорова представляет интерес? Во-первых, требование Колмогорова имеет историческую значимость, так как было предложено в его книге, в которой была сформулирована аксиоматика теории вероятностей. Во-вторых, выполнимость этого условия означает корректное определение теоретической вероятности на основе частот, что обеспечивает обоснованное применение теоремы Бернулли. В-третьих, оно значимо в контексте примера математической баталии, где критика связана не с математическим несовершенством некоторых утверждений, а с различными взглядами оппонентов на природу вероятности. Основный тезис настоящей статьи состоит в обосновании того, что условие Колмогорова не является заключением теоремы Бернулли в рамках частотной интерпретации. Прежде чем рассматривать частотные аспекты этой теоремы, имеет смысл напомнить теорему. Теорема Бернулли. Проводится n независимых испытаний события A, и m экспериментов оказались успешными. Известно, что теоретическая вероятность появления события А в каждом эксперименте равняется p(A), а m/n -это частота события А, s - это точность вычислений. Тогда при бесконечном числе экспериментов выполняется следующее равенство: lim P(|m / n - p(A)

Ключевые слова

неявные философские предпосылки, частотная интерпретация, субъективистская интерпретация, теорема Бернулли, независимость, устойчивость частот, implicit philosophical premises, frequency interpretation, subjectivist interpretation, Bernoulli's theorem, stability of frequencies

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Резников Владимир МоисеевичИнститут философии и права СО РАНкандидат философских наук, доцент, старший научный сотрудник отдела философииmathphil1976@gmail.com
Всего: 1

Ссылки

Jorge J. Can philosophy help to innovate and develop scientific theory? URL: https://www.researchgate.net/post/Can_philosophy_help_to_innovate_and_develop_scientific_theory (дата обращения: 08.11.2018).
Hacking I. Logic of statistical inference. Cambridge : Cambridge University Press, 1965. 226 p.
Plato J. Creating modern probability. Cambridge : Cambridge University Press, 1994. 323 p.
Mises R. Mathematical theory of probability and statistics. New York : Academic Press, 1964. 694 p.
Reichenbach H. The theory of probability. California : University of California Press, 1949. 492 p.
Поппер K. Логика научного исследования. М. : Республика, 2004. 448 p.
Suppes P. Representation and invariance of scientific structures. Stanford : CSLI, 2002. 536 p.
Shafer G. The unity and diversity of probability // Acting Under Uncertainty: Multidiscipli-nary Conceptions / ed. by Von G. Fustenberg. Boston : Kluwer, 1990. P. 435-462.
Ville J. Etude critique de la notion de collectif. Paris : Gauthier-Villars, 1939. 144 p.
Lambalgen M. Randomness and foundations of probability: von Mises' axiomatization of random sequencies. URL: https://pdfs.semanticscholar.org/853a/5cdd7c2e443f898dca230d31ac 4556970d76.pdf (дата обращения: 15.05.2018).
Gillies D. Philosophical theories of probability. London: Routledge, 2003. 223 p.
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М. : Наука, 1974. 120 с.
Хинчин А.Я. Частотная теория Р. Мизеса и современные идеи теории вероятностей // Вопросы философии. 1961. № 1. С. 91-102.
Shafer G., Vovk V. Probability and Finance It's Only a Game! New York : A Wiley-Interscience Publication, 2001. 414 p.
Shafer G., Vovk V. The Sources of Kolmogorov's Grundbegriffe // Statistical Science. 2006. Vol. 21, № 1. P. 70-98.
Алимов Ю.И. Альтернатива методу математической статистики. М. : Знание, 1980. 64 с.
Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М. : Академия, 2008. 360 с.
Cartwright N. The Dappled World, a study of the boundaries of science. Cambridge : Cambridge University Press, 1999. 247 p.
 Философские предпосылки математических дискуссий в контексте критики условий применения математики по Колмогорову | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2020. № 56. DOI: 10.17223/1998863X/56/4

Философские предпосылки математических дискуссий в контексте критики условий применения математики по Колмогорову | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2020. № 56. DOI: 10.17223/1998863X/56/4