Аксиома сводимости, теория типов Ф.П. Рамсея и реа-лизм в математике | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2007. № 1.

Аксиома сводимости, теория типов Ф.П. Рамсея и реа-лизм в математике

В статье рассматриваются обоснованность аксиомы сводимости, метод её элиминации, предложенный Ф.П. Рамсеем, и онтологические основания этого метода. Анализируются «рамсифицированная» теория типов и трактовка принципа порочного круга при формулировке логических парадоксов.

Аксиома сводимости, теория типов Ф.П. Рамсея и реа-лизм в математике .pdf Аксиома сводимости является отличительной чертой теории типов, предложенной Б. Расселом. Однако Рамсей не относит эту аксиому к числу логических принципов, отдавая её истинность на «милость судьбы». Формулировка этой аксиомы у Рассела удовлетворяет необходимому критерию ма -тематических положений, она действительно обладает требуемой общностью формы. Однако если мы следуем критерию достаточности, который Рамсей заимствует у Витгенштейна и который связан с требованием, чтобы логические принципы были тавтологиями, то этот критерий не выполняется. Аксиома может быть истинной, но нет ничего невозможного и в истинности её отрицания, а значит, она не является тавтологией.Если ограничиться конечным числом индивидов или конечным числом функций, то истинность этой аксиомы кажется почти неизбежной. В этом случае любой класс можно было бы, например, задать, как делалось выше, с помощью равенства, которое является предикативной функцией в смысле Рассела. Однако при рассмотрении случая, где число индивидов и функций бесконечно, содержание аксиомы становится проблематичным. Она, разумеется, может быть истинной, поскольку нет ничего невозможного или самопротиворечивого в том, чтобы каждый класс индивидов задавался некоторой предикативной функцией. Но она может быть и ложной. Для этого достаточно продемонстрировать возможность конструирования такой непредикативной функции, которую нельзя свести к предикативной. И такую функцию можно построить.Так, допустим, что совокупность гфедикативньгх функций бесконечна, тогда вполне возможно, чтобы существовал такой индивид а из опять же бесконечной совокупности индивидов, который обладал бы следующей особенностью: он выполняет все предикативные функции, что и некоторый индивид из той же совокупности, за исключением функции, которая рассматривается в данный момент. Возьмём теперь непредикативную функцию (ф).ффх ° ф\а. Рамсей утверждает, что при принятых условиях для этой функции аксиома сводимости работать не будет [1. С. 60]. В своих работах он не даёт обоснования этому утверждению. Но проинтерпретировать его мысль не трудно. Действительно, согласно аксиоме сводимости непредикативной функции (ф).ф!х ° ф\а должна соответствовать преди-Данная статья является продолжением статьи: Суровцев В.А. Теория типов Б. Рассела и язык математики // Филология и философия в современном культурном пространстве: проблемы взаимодействия. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. - С. 81-103. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), проект № 07-06-00185-а.кативная функция, скажем t//!x. Но согласно поставленному условию \р\х как раз и будет функцией, рассматриваемой в данный момент, следовательно, будет существовать индивид, согласующийся с а во всех функциях, кроме t//!x. То же самое будет и с любой другой функцией, претендующий на роль предикативного аналога (фф.ф!х ° ф!а. Правда, здесь важно условие бесконечности области функций и области индивидов, потому что в противном случае можно было бы задать пфедикативный аналог функции (фф.ф!х ° ф!а, перечисляя те индивиды, которые согласуются с а относительно (//!х, и указывая на тот, который не согласуется. Но само это перечисление выражалось бы функцией, для которой согласно выраженным выше условиям существовал бы индивид, согласующийся с а во всех функциях, за исключением этой. В случае бесконечной области индивидов и функций это продолжалось бы до бесконечности, т.е. каждая попытка представить предикативный аналог, указанной выше непредикативной функции давала бы опять непредикативную функцию, что требовало бы построения нового предикативного аналога уже этой непредикативной функции и т.д. Следовательно, предикативный аналог (фф.ф!х ° ф!а при заданных условиях синтаксически построить в принципе невозможно и, по крайней мере в данной интерпретации, аксиома сводимости не работает.Возможность как истинности, так и ложности показывает, что аксиома сводимости «является эмпирической пропозицией, другими словами, не является ни тавтологией, ни противоречием и, следовательно, не может ни утверждаться, ни отрицаться логикой или математикой» [1. C. 60]. Поэтому от этой аксиомы нужно избавиться, сохранив по возможности те результаты, которые получены с её помощью. Необходимость в аксиоме сводимости в рамках теории типов Б. Рассела была вызвана стремлением согласовать разветвлённую теорию типов с практикой математических рассуждений. Таким образом, обоснованность введения аксиомы сводимости связана с обоснованностью того варианта теории типов, к которому в конечном счёте пришёл Рассел. И этот вариант Рамсей предлагает модифицировать.Поскольку разветвлённая теория типов была предложена для единообразного решения парадоксов, обратимся, прежде всего, к ним. В отличие от Рассела, который все парадоксы выводит из принципа порочного круга, Рамсей разделяет их на две группы. К Группе А относятся парадоксы Рассела, Кантора, Бурали-Форти и им подобные, т.е. все те парадоксы, для решения которых достаточно простой теории типов; к Группе В относятся парадоксы лжеца, Ришара, Грелин-га и т.д., для решения которых потребовалось расширить простую теорию типов до разветвлённой. Фундаментальную важность такого различия Рамсей видит в следующем: «Группа А состоит из противоречий, которые, если против них не принять меры предосторожности, встречались бы в самих логических и математических системах. Они включают только логические или математические термины, такие как класс и число, и показывают, что здесь должна быть какая-то ошибка с нашей логикой или математикой. Но противоречия группы В не являются чисто логическими и не могут быть сформулированы в одних логических терминах, ибо все они содержат некоторую отсылку к мысли, языку или символизму, которые являются не формальными, но эмпирическими терминами. Поэтому своим возникновением они могут быть обязаны не ошибочной логике илиматематике, но ошибочным идеям, касающимся мысли и языка. Если это так, их не следует относить к математике или логике, если под 'логикой' мы подразумеваем символическую систему, хотя они, конечно, относятся к логике в смысле анализа мысли» [1. C. 31].Рамсей отказывается выводить все парадоксы из единственного принципа порочного круга, как делает Рассел. На самом деле теория типов Prin-е1р1а Ма{НвтаИса состоит из двух различных разделов: «Противоречия группы А устраняются указанием на то, что пропозициональная функция не может значимо принимать саму себя в качестве аргумента, и разбиением функций и классов на иерархию типов в соответствии с их возможными аргументами. Так, утверждение, что класс является членом самого себя, не истинно и не ложно, но бессмысленно» [1. C. 34]. Здесь достаточно развести по разным типам функции и соответствующие им аргументы, не различая порядки функций от аргументов одного и того же типа. Таким образом, этот раздел ограничивается простой теорией типов и не нуждается в разветвлённой.Источником парадоксов второй группы является не символическая система логики и основанная на ней математика, а лингвистический или, как предпочитает говорить Рамсей, эпистемический элемент: «Противоречия группы В не являются чисто логическими; все они содержат некоторый эпистемологический элемент, такой как ложь, значение или наименование. (Под эпистемическим я подразумеваю связь с отношением знака к обозначаемой вещи, которое включает отношение мыслящего или мысли к своему объекту.) Следовательно, появление таких противоречий, помимо того, что оно может быть обязано ошибочности самой логики, может быть обязано просто некоторому противоречию, скрытому в наших идеях значения и мысли или в том способе, которым мы используем наши слова. В этом и заключается отстаиваемая мной точка зрения, а именно, что противоречия группы В относятся к эпистемологии, но не к символической логике, и их не нужно принимать в расчёт при конструировании правил символической логики, частью которой является теория типов... Различие функций на предикативные, первопорядковые и т.д., пробегающих по одной и той же области аргументов, было основано Расселом не только на необходимости избежать эти противоречия, но также на его принципе порочного круга, непосредственным следствием которого, как казалось, они являлись» [2. C. 85]. Стало быть, если здесь и необходимо какое-то различие, оно не должно иметь отношения к различию функций и аргументов, важному для целей собственно логики и математики. Значит, и здесь разветвлённая теория типов, как она представлялась Расселу, оказывается излишней.Иными словами, раз парадоксы имеют различный источник, то совершенно не обязательно создавать теорию, которая решала бы их единообразно, основываясь на принципе порочного круга. И если первый раздел Prin-cipia Ма{НетаИеа, связанный с решением парадоксов группы А, представляется Рамсею неизбежным, то второй раздел при соответствующей трактовке теории типов из оснований математики вполне можно исключить. Таким образом, задача Рамсея заключается в следующем: во-первых, необходимо показать, что функции одного и того же типа при выведении математики из логики не требуют различения на порядки; во-вторых, необходимо показать, что различие функций одного и того же типа на порядки не имеет к такому выведению никакого отношения. Нетрудно заметить, что тем самым ненужной оказывалась бы и аксиома сводимости, поскольку исчезала бы причина, по которой её требовалось ввести.Устранение аксиомы сводимости из оснований математики не единственное следствие развиваемого Рамсеем подхода. Устранение аксиомы сводимости есть отрицательный результат, приводящий к ненужности разветвлённой теории типов. То, что последняя не нужна, дополняется позитивным результатом, дающим способ решения парадоксов на совершенно ином основании. Здесь различие логического и эпистемологического элемента в средствах выражения даёт построение новой теории типов, не просто альтернативной теории типов Principia Ма{квтаИса, но изменяющей её в существенных моментах. Достижение этого позитивного результата требует изменения содержания некоторых базовых понятий, с помощью которых строится разветвлённая теория типов.Решение, предлагаемое Рамсеем, основано на теории Витгенштейна, относящейся к способам построения высказываний [3]. Наиболее важными здесь являются три последовательно вытекающих друг из друга момента.1..Витгенштейн различает высказывание (пропозицию) и способы его выражения. Действительно, пропозиция - это согласование условий истинности атомарных высказываний, а поскольку выразить такие согласования можно различным образом, то необходимо отличать саму пропозицию от способов выражения этих согласований. Используя для согласования различные логические союзы, мы лишь по-разному строим одну и ту же пропозицию.2.Отсюда вытекает, что логические союзы есть лишь способ построения выражений согласования и не имеют собственного значения. То есть комбинация логических союзов выражает одну и ту же пропозицию, если в конечном счёте с высказываниями p, q и т.д., из которых она построена, согласуются одни и те же условия истинности. В общем случае любая комбинация p, q и т.д. с логическими союзами выражает одну и ту же пропозицию, если они согласуются с одинаковыми условиями истинности. Поэтому комбинации вида '~(~p . q)', 'p v ~q', '~p з ~q' и т.д. есть лишь символы для выражения одной и той же пропозиции.Таких комбинаций может быть бесконечное множество. Более того, среди них могут быть такие, которые мы не только не построили актуально, но и не можем построить за конечное число шагов. Однако, как считает Рамсей, возможность такого построения зависит от наших познавательных способностей и не может оказывать влияние на объективное содержание формальной логики. Если задана пропозиция с условиями согласования истинностных возможностей, то логикой должна предполагаться вся область возможных выражений, не важно, строятся ли они за конечное число шагов или же могут быть построены, допуская лишь бесконечное.2..Бесконечная область возможных выражений важна тогда, когда она не ограничена логическими союзами, а включает выражения общности. Напомним, что с точки зрения Витгенштейна, мы используем выражения общности, чтобы охватить бесконечный или, возможно, конечный, но необозримый класс высказываний. Эта необходимость возникает тогда, когда, например, в ряду атомарных высказываний вида Lfd, 'f>', Lfd ... не хватает имён для индивидов. В этом случае для того, чтобы выразить пропозицию, устанавливающую согласования истинности для конъюнкции таких высказываний, мы используем выражение '(х)/^ .3.Отметим, что если бы класс индивидов а, b, с ... был конечен, то выражение '(х)JX, в любом контексте можно было бы заменить на конъюнкцию '/а . fb . fc ...', поскольку тогда согласования условий истинности соответствующих атомарных высказываний совпали бы. Здесь мы получаем различные способы выражения одной и той же пропозиции, которые мы можем актуально построить.Сложности возникают при бесконечной области индивидов. Здесь может недоставать не только имён для индивидов, но и способов построения высказываний, в которые эти индивиды входят᳗ Так, уже в простейшем случае L(хX)fx\ если нет возможности указать все имена индивидов, мы не в состоянии привести пример бесконечной конъюнкции, имеющей те же самые условия истинности.Но здесь, как считает Рамсей, возможность актуального построения связана с ограниченностью наших познавательных способностей. Логика, однако, не должна быть ограничена познавательными способностями человека. В общем случае независимо от списка имён (конечного или бесконечного) и способов утверждения высказываний мы должны предполагать, что любое высказывание может утверждаться как с помощью выражений общности (типа 'все' или 'некоторый'), так и с помощью логических союзов (конъюнкции, дизъюнкции и т.п.). Возможность согласования условий истинности атомарных высказываний не должна зависеть от способности строить лишь конечные последовательности символов. Если пропозиция устанавливает согласование условий истинности атомарных высказываний вообще, то в принципе это должно выражаться как конечным, так и бесконечным образом. Здесь должно работать правило, что логика имеет дело с любой возможностью, как конечной, так и бесконечной. Первая отличается от второй лишь недостатком времени и места у того, кто с ними работает. Поэтому конечность или бесконечность последовательности высказываний вида Lfd, Lfb\ fd ... роли не играет. И в том и в другом случае подразумевается одно и то же, хотя в символических системах это и выражается различными способами. Если первое, как правило, выражается с помощью логических союзов, то второе использует выражения общности.3. Для Рассела определяющее значение имело деление функций и построенных из них пропозиций на элементарные и неэлементарные. Первые используют только логические союзы и, стало быть, могут быть построены за конечное число шагов, если известны рассматриваемые в качестве аргументов атомарных функций индивиды. Так, при конечности класса {а, b, с ...} любое высказывание об этом классе выразимо комбинацией атомарных высказываний Уа\ fb', fd ... с логическими союзами. Но если класс {а, b, с ...} бесконечен или необозрим, то высказывание, нечто утверждающее обо всех или некоторых его элементах, должно включать выражения общности. Такие высказывания Рассел считал неэлементарными, поскольку они, помимо элементов, включают указание на весь класс.Но проведённое Витгенштейном различие между пропозициями и их выражениями вкупе с утверждаемой независимостью логической теории таких пропозиций от возможности построения их выражений приводит Рамсея к тому, что «некоторые примеры пропозиций могут быть элементарными, а некоторые - неэлементарными, так что элементарность на самом деле является характеристикой не пропозиции, но её способа выражения. ' Элементарная пропозиция' подобна ' высказанному слову'; подобно тому, как одно и то же слово может быть и сказано и написано, так и одна и та же пропозиция может быть выражена как элементарно, так и не элементарно» [1. C. 42]. То есть '(x)fe' и Lfa . fb . fc ...' могут соответствовать одной и той же пропозиции, и различие затрагивает здесь не её саму, поскольку речь идёт лишь о согласовании возможностей истинности атомарных высказываний, но способы её выражения, где символ 'fa . fb . fc ...' является элементарным, а символ '(х)JX, - нет. Так, «предположим, что создан список из всех индивидов'а', 'b', ... , 'z'. Тогда, если бы ффх была элементарной функцией, то 'фа .фЬf была бы элементарной пропозицией, а '(х) . фх' - неэлементарной;но они выражали бы согласование с одними и теми же возможностями и, стало быть, были бы одной и той же пропозицией. Или возьмём пример, который действительно может встретиться, 'фа' и 'фа : ($х) . фх' являются одной и той же пропозицией, поскольку ($х) . фх ничего не добавляет к фа. Но первая является элементарной, а вторая - неэлементарной» [1. С. 42].Предыдущие замечания относились к функциям и пропозициям первого порядка, но их можно распространить на функции и пропозиции более высоких порядков. Правда, здесь необходимы некоторые изменения.Для Рассела элементарные высказывания есть результат приписывания индивидов функциям первого порядка, элементарными являются также все высказывания, образованные из предыдущих с помощью логических союзов.Например, из функций ф х, ух ... можно образовать элементарные высказывания типа фа, у/а, фЬ, ~yb, ... фа.уа, ~(фаv~yb) ... и т.д. Если содержательные особенности функций и аргументов безразличны для некоторых или всех случаев, то элементарными будут и высказывания типа p, q ... фa.p, фavp ... и т.д. Неэлементарные высказывания возникают тогда, когда необходимо указать на все или некоторые индивиды, класс которых, возможно, необозрим. Например, (х)фх, (х):фх.ух, (х)фх.р, ($х):ух.р ... и т.д. будут неэлементарными.Понятия элементарности и неэлементарности, используя подход Витгенштейна, можно распространить на функции и пропозиции любого порядка.Напомним, что этот подход для любой пропозициональной функции первого порядка отсылает не к множеству индивидов, а к множеству высказываний. Так, область значения фх образуют не индивиды a, b, c но высказывания фа, фЬ, ф которые обладают определёнными условиями истинности. Здесь функция фх указывает не на объективную совокупность индивидов, но на совокупность высказываний, условия согласованности истинности которых можно указать различными способами, как элементарным, так и неэлементарным. В этом случае ' а', ' b', ' c' . должны рассматриваться как значки (или имена) индивидов, которые могут входить как в символ 'фа.фЬ.ф так и в символы других видов, например '~(~фаv~фbv~фc ...)'. При этом мы можем использовать и неэлементарный символ '(х).фх', когда не хватает имён для индивидов, но, как указывалось выше, это для логики несущественно. И в том и в другом случае функция ф х указывает на совокупность высказываний, имеющих одно и то же согласование истинностных возможностей.Отсылка к символам, а не к индивидам для Рамсея является наиболее существенной, поскольку она позволяет рассмотреть выражения общности единообразно, независимо от того, к какому порядку выражений они применяются.Возьмём, например, функцию второго порядка _Дф х), пробегающую поразличным значениям ф х, выразить которые мы можем как ф х, ф х, ф х ... Каждое из этих выражений является символом, который указывает на совокупность элементарных пропозиций, являющихся их возможными значениями, где место переменной занимает имя индивида. Так, областью значенийвыражения 'ф х' является совокупность высказываний ф\а, ф\Ь, фlC ..., для которой согласование условий истинности может указываться как элементарно (т.е. имея вид 'фа.фф.ф^ ...'), так и не элементарно (т.е. имея вид '(х).ф 1х'). Точно так же областью значения ф х является совокупность высказываний фа, фЬ, ..., согласованность которых выражается как элементарно (т.е. имея вид 'фа. фЬ. фc ...'), так и не элементарно (т.е. имея вид '(х).ф2х'). То же самое относится к ф х и т.д.Так как для ф] х, ф х, ф х ... имена индивидов 'a', 'b', 'c' ... не варьируются, мы можем рассматривать совокупности высказываний, для которых варьируем функции, например ф\а, фа, фа фф, фЬ, фЬ фc, ф^о, фc ...Функция Дфх) как раз и указывает на такие множества высказываний. Выражая согласование условий истинности таких высказываний, мы можем использовать как символ вида ф\а.фа.фа ... фф.фЬ.фЬ ... ф\C.фc.фc так и символ вида '(ф).(фа) . (ф).(фЬ) . (фф.(фе) . т.е. это согласование может быть выражено как элементарно, так и не элементарно. Если при этом недостаёт имён для индивидов, можно вновь воспользоваться переменной, записав выражение согласования условий истинности как '(ф, х).(фх)'. Это неэлементарное выражение используется тогда, когда невозможно актуально (т.е. за конечное число шагов) построить символ первого вида, но, как указывалось выше, для логики это безразлично.Подход Витгенштейна, т.е. подход, где в качестве значения функций рассматриваются высказывания, легко распространить на функции любого вида.Для функций типаДф х ).p,Дф х )vp ..., например, это очевидно. Но рассмотренные до сих пор функции были одноместными. Однако нет никаких пре-В.А. Суровцев48 пятствий для того, чтобы перейти к и-местным функциям. Здесь самый простой случай, когда переменные относятся к одному и тому же типу. Так,фф х, у) указывает на согласование истинностных возможностей высказываний вида ффа,Ь), ф(Ь,а) ф(а,c) ... Это согласование мы можем выразить как элементарно для обоих переменных, если их значения обозримы, так и не элементарно для каждой или обоих из переменных. В первом случае согласованию будет соответствовать выражение вида ''фа^.фЬ^.фа,^) во втором - '(х):фх,а).фх,Ь).фх^) ...' или '(х):фа,х).фЬ,х).ф(c,x) ...', в третьем -'(ху):фху)'.Перейдём теперь к функциям вида Дф х у). Здесь аргументы относятся к разным типам. Однако соответствующее множество пропозиций будет строиться как и в предыдущих случаях, правда, с учётом некоторых особенностей, заставляющих при подстановке на место переменных выражений разных типов усложнить построение области определения подобной функции.Начнём с предположения, что фх указывает на согласование истинностных возможностей соответствующих высказываний не элементарно, тогда как для у допустимо как неэлементарное, так и элементарное выражение.Тогда на область значения /(фх у), т.е. на совокупность высказываний, для которых эта функция устанавливает согласование истинностных возможностей, если заданы имена 'a', 'b', 'c' ..., можно указать символом'(фу):(фху)' в первом случае и символом '(ф):/фх,а) ./(фх,Ь) ./(фх,c) во втором.Остановимся на втором случае. Поскольку 'a', 'b', 'c' ... остаются константами, выражения, в которые они входят, можно проиндексировать, сопоставив ряду 'a', 'b', 'c' ... ряд 1, 2, 3 ... и записав '(ф):/фх ,а) ./фх ,Ь) . _/(фх,c) как '(ф):/1 (фX) ./2(фх) ./3(фх) Теперь, каждый конъюнкт из'(ф)/1(ф х) ./>(ф х) ./3(ф х) ...', где он выражен не элементарно, можно записать элементарно, согласно алгоритму, указанному четырьмя абзацами вышедля одноместн^гх функций от функций. Так, например, конъюнкт '(ф)./1(фх)', при заданных 'a', 'b', 'c' записывается в виде 'f1(ф1а).f1(ф1b).f1(ф1c)конъюнкт '(ф).>2(ф х)' - в виде ф]a)./2(ф]b).f2(ф]c) ...' и т.д.Таким образом, неэлементарное выражение '(ф/фх) . /2(ф х) . /3(ф х) ...' согласования истинностных возможностей, устанавливаемого функцией/(ф х у), в конечном счёте можно представить элементарно в виде'fl(фa)/l(фb)/l(фc)... .f2(фa).f2(фb).f2(фc)... .fз(фa).fз(фb).fз(фc)'.Отметим, что к подобным согласованиям всегда можно присоединить простые высказывания вида p, q ., если встречающиеся в них имена независимы от таковых в выражениях типа /1(ф1а) и т.п. При согласовании пропозиции '(ф):/1 (фх) ./2(ф х) ./3(фх) ... . p . q результат будет то же самый, что и при согласовании пропозиции '/1(ф1а)./1(ф1Ь)./1(ф1е)^ . f2(фla)/2(фlb)/2(фlc)... ./зф^/зф^щф^)p . q . -Представленные выше соображения нетрудно распространить как на аргументы различного типа, так и на функции различной местности. Однако заметим, что с точки зрения возможности конечного построения согласования истинностных возможностей высказываний, включающих функции от функций и от индивидов, могут выглядеть проблематичными. Но эта проблематичность затрагивает строящего их логика, но не логику как объективную науку. Заданный выше алгоритм действительно показывает, каким образом любое высказывание (о конечной, или же бесконечной области индивидов, как считает Витгенштейн, и, что самое важное, к нему присоединяется Рамсей) производно от атомарных высказываний. В любом случае согласование условий истинности каждого высказывания, какого типа аргументы и функции оно не включало бы, зависит от возможностей истинности атомарных высказываний, которые могут быть определены для разных случаев либо конечно, либо бесконечно, что относится к объективности формальной логики как науки.Таким образом, введение общности в структуру функции ничего не меняет в её значении. Действительно, используя истинностные функции типа конъюнкции, мы всегда можем избавиться от общности, редуцируя функцию более высокого порядка к функции более низкого порядка. Использование общности затрагивает лишь способы выражения функций, характеризуя их как элементарные или неэлементарные. И поскольку разветвлённая теория типов для Рассела базировалась именно на том, что наличие и отсутствие общности затрагивает различие в значении функции, в отсутствие этого различия всякая необходимость в разветвлённой теории типов исчезает.Развитие представленного подхода, очевидно, требует модификации понятий, используемых Расселом. Рамсей сохраняет различие функций на элементарные и неэлементарные. Так, функции вида f х, у) и /(фх у) являютсяэлементарными, а функции вида (х) .fx, у) и (ф) . /фх у) - нет, поскольку вторые, в отличие от первых, содержат выражения общности. Хотя следует учесть, что для Рамсея это различие затрагивает способы выражения, а не значение функций, как для Рассела. Сложнее дело обстоит с понятием предикативной функции. Напомним, что для Рассела предикативная функция -это функция, которая не содержит мнимых переменных более высокого порядка, чем её действительные аргументы. Так, (х) . fx, у) является предикативной функцией от у, а функция (ф) . /(фх у) - нет. Поскольку наличие или отсутствие общности для Рамсея характеризует лишь разные способы выражения, но не сами функции, расселовское понятие предикативной функции здесь, очевидно, не работает. И именно это понятие требует модификации.Рамсей считает, что вводимое Расселом различие между предикативными и непредикативными функциями связано с принятым им общим методом построения пропозициональный функций. Что здесь является важным? Под пропозициональными функциями от индивидов понимаются символы вида„ЛЛЛЧЛЛЛ „/( х, у , z ...), где х, у , z ... индивидные переменные. С каждой пропозициональной функцией от индивидов соотнесено множество атомарных высказываний, получаемых из пропозициональной функции заменой индивидных переменных именами индивидов. Так, если f( х ) - одноместная функция от индивидов, то с ней соотнесены пропозиции f(a), f(b), /(c) и т.д., где а, Ь, c - имена индивидов. Если имён для индивидов нет, мы можем указать на конъюнктивную или дизъюнктивную общность соотнесённых с функцией пропозиций с помощью новой пропозиции, использующей выражение общности, такой как (х) . fx) или (Зх) . fx). Этот же подход можно распространить на функции от индивидов любой местности. Так, например, с двухместной функциейf х, у) мы можем соотнести пропозиции вида /(а, Ь), придав константное значение переменным х и у, или пропозиции вида (x).fx, а), придав сначала константное значение переменной у и образовав одноместную функцию от индивидов f( х , а), а затем указав с помощью общности на совокупность соотнесённых с этой одноместной функцией пропозиций.Казалось бы, подобный подход можно распространить и на функции отфункций. Например, для одноместной функции от функций /(фх) можнобыло бы задать общность пропозиций, указывая с помощью (х)./фх) и (Зх). /(фх) на их конъюнкцию и дизъюнкцию соответственно. Но, как считает Рамсей, подобный подход страдает от «плачевной двусмысленности». Дело в том, что область значения функции от индивидов образует объективную общность пропозиций, что связано с объективностью области индивидов, тогда как область значения функций от функций не образует объективной общности, поскольку функции рассматриваются как символы и зависят от принятых способов построения. Эту двусмысленность можно попытаться устранить, уподобив функции от индивидов функциям от функций, говоря не о функциях от индивидов, а о функциях от имён индивидов, поскольку имена также являются символами. Но проблемы это не решает, так как общность имён всё равно определяется объективной областью индивидов, которые с ними соотнесены. Для функций же такой объективной общности, не зависящей от способов их построения, нет, на что, в частности, указывает то, что неограниченное использование функций от функций может приводить к парадоксам, что требует принятия определённых синтаксических ограничений на их построение, как поступает Рассел. Эти синтаксические ограничения выражаются в различении функций на порядки, даже если они относятся к одним и тем же аргументам, и введении особого понятия предикативной функции, чего не было бы, если бы функции понимались как нечто большее, чем символы определённого вида.Подход к конструированию функций, принятый в Principia Mathematica, Рамсей называет субъективным, субъективным в том смысле, что он ориентирован на определённые виды грамматических конструкций. Однако, как было показано в начале параграфа, само по себе различие в грамматических конструкциях для различия самих функций роли не играет, поскольку, использование редукции по методу Витгенштейна показывает, что различие в порядках функций затрагивает лишь способы выражения, но не их объективное значение. В противовес подходу Principia Mathematica Рамсей предпредлагает объективный метод задания общности функций, который был бы ориентирован не на то, как они построены, но на то, каково их объективное значение.Можно сказать, что в этом отношении Рамсей оборачивает возможный способ решения указанной выше двусмысленности. Дело не в том, чтобы уподобить функции от индивидов функциям от функций, рассматривая функции от имён индивидов, но в том, чтобы функциям от имён индивидов уподобить функции от функций: «Знаки, которые могут быть подставленыкак аргументы в 'фх ', функции от индивидов, определяются их значениями; они должны быть именами индивидов. Сходным образом я предлагаю определять символы, которые могут быть подставлены как аргументы в '/фх)', не по способу их конструирования, но по их значениям» [L С. 44]. Другими словами, Рамсей предлагает задавать общность функций не с точки зрения того, как их можно построить, но с точки зрения того, какое значение мы пытаемся выразить, быть может, и используя разные способы выражения. Сделать это достаточно трудно, поскольку в отличие от имён, которые обозначают индивиды, т.е. единичные объекты, с которыми имена соотносятся однозначным образом, значение функций более сложно, поскольку может быть поставлено в зависимость от возможных видов пропозиций, которые могут быть построены с их помощью. Как показывает метод редукции, представленный выше, эти пропозиции могут быть выражены как элементарно, так и не элементарно, как используя предикативные функции в смысле Рассела, так и нет. Здесь следует учесть также и то, что могут существовать пропозиции, которые мы не можем выразить за конечное число шагов. Дело в том, чтобы все пропозиции представить с точки зрения единого значения, допускающего разные способы выражения: «Мой метод состоит в том, чтобы рассмотреть, как мы можем их сконструировать и определить с помощью описания их смысла или сути; и, поступая так, мы могли бы быть способны включить в это множество пропозиции, для которых у нас нет способа конструирования, точно так же, как мы включаем в область значений фх пропозиции, которые не можем выразить из-за недостатка имён для рассматриваемых индивидов» []. С. 44]. Такой метод задания функций Рамсей называет объективным и противопоставляет его методу, принятому в Principia Mathematica.В конечном счёте, учитывая представленный метод редукции, для Рамсеяпроблема сводится к тому, чтобы «в качестве значений /(фх) зафиксировать некоторое определённое множество пропозиций так, чтобы мы могли утверждать их логическое произведение или сумму» [L C. 44]. В решении этой задачи Рамсей отталкивается от понятия атомарной функции от индивидов, которые понимаются им как пропозициональные функции, полученные из атомарных высказываний заменой имён индивидов на индивидные переменные. Затем на атомарные функции от индивидов распространяется идея истинностных функций. Это осуществляется следующим образом. Допустим, у нас есть атомарные функции ф](х) и ф2(х). Из них можно образовать конъюнкцию ф(х) . ф(х) и определить её как цКхх), которая для каждого имени индивида а задаёт пропозицию ц*(а), являющуюся конъюнкцией ф(а) и ф(а). Этот подход можно распространить на истинностные функции любого вида, построенные с помощью различных логических союзов, что, впрочем, не существенно ввиду взаимоопределимости последних. Эти функции могут включать не только атомарные функции, но и другие пропозиции. Пусть, например, уАх) определена как (ф](х) v р) . ф2(х). Интересно здесь то, что эта же функция может быть определена как ~(~ф](х) v ~р) . ф2(х), так и многими другими способами, поскольку первое и второе определение имеют одинаковые условия истинности. Таким образом, поскольку, с точки зрения подхода Витгенштейна, которому следует Рамсей, функции, имеющие одинаковые условия истинности, не различаются, способ построения ц/(х) никакой роли не играет, учитывается только её объективное значение.Это важно в связи с тем, что число атомарных функций, на которые распространяется идея истинностных функций, может быть не только конечным, но и бесконечным. В этом случае, когда за конечное число шагов истинностную функцию выразить невозможно, используются выражения общности и истинностная функция становится неэлементарной в смысле Рассела. Но ввиду того, что элементарность и неэлементарность затрагивает для Рамсея лишь способ выражения, поскольку неэлементарные функции в принципе (хотя и не актуально) редуцируемы к элементарным, на объективное значение истинностных функций это влияния не оказывает.Отталкиваясь от подобных соображений, можно ввести новое понятие предикативной функции, которое Рамсей определяет так: «Предикативная функция от индивидов - это функция, которая является любой истинностной функцией, аргументами которой, конечными или бесконечными по числу, являются все или атомарные функции от индивидов, или пропозиции» [L C. 45]. Аналогичное определение нетрудно задать и для функций от функций, следует лишь учитывать требования простой теории типов. Заметим, что такое понятие предикативной функции неизмеримо шире аналогичного понятия из Principia Mathematica. В частности, все предикативные функции в смысле Рассела оказываются предикативными в смысле Рамсея. Для элементарных функций это очевидно. Для неэлементарных функций от индивидов это следует из метода редукции, поскольку, например, функция (у)/ху) представляет собой лишь конъюнкцию (хотя, возможно, бесконечную) функций вида fx,a), fx,b) ... Более того, в число предикативных включаются не только функции, которые могут быть построены разными способами, но и функции, для конструирования которых средств Principia Mathematica не хватает. В данном случае главное в том, что учитывается их объективное значение, для выражения которого не хватало средств у конструирующего их логика, но которое должно быть учтено объективностью логики как науки.Но как обстоит дело с непредикативными функциями в смысле Рассела? С точки зрения Рамсея, непредикативные функции Principia Mathematica типа(ф) . /фх ,х) также оказываются пфедикативными. Действительно, как показано выше при описания метода редукции, любая такая функция может быть представлена как конъюнкция атомарных функций, переменных для ф, но постоянных длях, в виде (фх . ф2х . фзх . ...). Если обратиться к содержательному примеру, то функция ' х имеет все свойства философа' при соответствующем понимании свойств философа представима как логическое произведение (возможно, бесконечное) вида '(х - интеллектуально честен) . (х - логичен) . .'. Поэтому, «ясно, что посредством обобщения, независимо от типа мнимых переменных,

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Всего: 1

Ссылки

Рамсей Ф.П. Философские работы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003.
Ramsey F.P. Notes on Philosophy, Probability and Mathematics. Napoli: Bibliopolis, 1991.
Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М.: Иностр. лит., 1958.
Рассел Б. Математическая логика, основанная на теории типов // Логика, онтология, язык. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. 5. Köhler E. Ramsey and the Vienna Circle on Logicism // Cambridge and Vienna: Frank P. Ramsey and the Vienna Circle. Springer, 2006.
 Аксиома сводимости, теория типов Ф.П. Рамсея и реа-лизм в математике             | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2007. № 1.

Аксиома сводимости, теория типов Ф.П. Рамсея и реа-лизм в математике | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2007. № 1.

Полнотекстовая версия