ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ОБЯЗАТЕЛЬСТВАНЕУСТРАНИМОСТИ МАТЕМАТИКИ | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2009. № 4 (8).

ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ОБЯЗАТЕЛЬСТВАНЕУСТРАНИМОСТИ МАТЕМАТИКИ

Проанализирована оправданность использования тезиса о неустранимости математики из состава естественно-научной теории в качестве аргумента в пользу математического реализма. Показано, что использование классической формулировкиаргумента о неустранимости влечет признание проблематичных онтологическихследствий. Обосновывается вывод о необходимости уточнения предпосылок аргумента о неустранимости и обозначены пути дальнейшего исследования феноменаприменимости математики как аргумента в споре реализма / антиреализма.

ONTOLOGICAL COMMITMENT OF MATHEMATHICAL INDISPENSABILITY..pdf Важнейшим вопросом философии математики, несмотря на потрясаю-щее многообразие обсуждаемых на разных этапах ее развития тем - как су-губо технических по своей природе, но имплицитно претендующих на об-щефилософскую значимость, так и изначально включающих в себя изряднообязывающие метафизические положения, остается вопрос о природе мате-матических объектов. Именно прояснение онтологии математики выступаетнекоей конечной целью рассуждений о статусе континуум-гипотезы или ак-сиомы выбора, о значении истинности недоказуемых в рамках формальнойсистемы утверждений, о неединственности теоретико-множественной экс-пликации чисел. Тесная связь семантики, эпистемологии и онтологии в слу-чае философии математики оборачивается столкновением с онтологически-ми обязательствами при анализе тех проблем, которые, казалось бы, совер-шенно не связаны с проблемой существования математических объектов.Фактически можно утверждать о неразрывном единстве онтологии, эписте-мологии и семантики в философии математики: ведется ли речь о природеуказания математическими терминами или об эпистемологическом доступе кобъектам познания, мы всякий раз при обсуждении подобных проблем упи-раемся в вопрос о природе математических сущностей. И наоборот, рассуж-дение о способе существования математических объектов влечет постановкуцелого ряда проблем эпистемологического и семантического характера.Упомянутая неразрывная связь эпистемологии и онтологии в философииматематики делает фактически невозможным - или оставляет незавершен-ным - анализ любой проблемы, если из него не выводятся следствия как он-тологического, так и эпистемологического характера.Современные дебаты в области онтологии математики являются под-тверждением заявленной связи онтологии, эпистемологии и семантики языкаматематики. Так, большая часть дискуссий группируется вокруг трех аргу-* Исследование проведено в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научныеи научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, мероприятие 1.4.Онтологические обязательства неустранимости математики61ментов. Первые два из них восходят к П. Бенацеррафу и представляют собойаргумент о неопределенности теоретико-множественной экспликации нату-ральных чисел [1] и аргумент о проблематичности эпистемологического дос-тупа к математическим сущностям, если они понимаются как существующиенезависимо от познающего субъекта [2]. Третий аргумент восходит к У. Ку-айну [3] и связан с неустранимостью математических терминов из языканаиболее успешных естественно-научных теорий. Если первые два аргумен-та П. Бенацеррафа допускают заключение от семантических и эпистемоло-гических результатов к проблеме объективности существования математиче-ских сущностей, являясь источником аргументов в пользу антиреализма, тоаргумент о неустранимости математики из языка естественно-научных тео-рий ныне рассматривается как один из наиболее весомых доводов в пользуреалистской позиции в онтологии математики. При этом каждый из трех ар-гументов включает в себя целый спектр имплицитно принимаемых предпо-ложений семантического и эпистемологического характера, лежащих в ос-новании выдвигаемых аргументов. Особенно интересными являются такиепредположения в случае аргумента У. Куайна о неустранимости математикииз языка естественно-научных теорий. Он выделяется из общего числа аргу-ментов в двух отношениях: прежде всего, он является «прямым» аргумен-том, не опосредованным никакими техническими результатами, требующи-ми для обоснования своей философской релевантности какой-либо дополни-тельной интерпретации; во-вторых, по выражению Х. Филда [4. С. viii], этоединственный аргумент в пользу реализма, не вызывающий каких-либо со-мнений. Ниже мы постараемся выявить и проанализировать как сами пред-посылки, лежащие в основании аргумента о неустранимости, так и то, в ка-кой степени они помогают сделать аргумент релевантным для отстаиванияреалистской интерпретации онтологии математики.Широко известным феномен применимости математики в естественно-научном познании стал благодаря вышедшему далеко за пределы академиче-ского сообщества выступлению Е. Вигнера, основным содержанием которо-го, в интересующем нас аспекте, явились констатация удивительной плодо-творности использования математического аппарата в фундаментальных фи-зических теориях и заявление о непостижимости этого феномена: «Матема-тический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физи-ческих законов, это чудесный дар, который мы не понимаем и которого незаслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться,что и в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоватьсяим. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будетнепрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые голово-ломные проблемы» [5. С. 198]. Одной из первых реакций на заявлениеЕ. Вигнера явилось убеждение в том, что объяснение применимости матема-тики в естественных науках должно волновать не столько физиков, которыемогут ограничиться выражением восхищения и удивления, сколько филосо-фов, ибо является подлинно философской проблемой. И философски инте-ресным феномен применимости математики становится именно в силу того,что предположения онтологического характера - предположения об объек-тивном существовании математических сущностей - кажутся вполне естест-А.В. Хлебалин62венной реакцией на удивительную плодотворность математики в описаниифундаментальной структуры мира. Применение математики эффективно всилу того, что, помимо электронов, кварков, гравитационных полей и прочихсущностей, постулируемых успешной научной теорией, существуют функ-ции, множества, трансфинитные числа и прочие математические сущности,референция к которым производится используемыми при формулировке на-учных теорий математическими терминами.Но несмотря на «очевидность» такого онтологического решения пробле-мы применимости математики, выявление философской значимости аргу-мента необходимо начать с прояснения используемых в нем понятий. Преж-де всего, в уточнении нуждается само понятие применимости. Несмотря насвою кажущуюся ясность и однозначность, оно содержит возможность раз-ных толкований: «В силу того, что существует много смыслов «применения»и «применимости», существует много вопросов о применимости математи-ки, которые должны были быть, но не были различены философами. В ре-зультате мы не всегда знаем, в чем заключается проблема, с которой мыимеем дело» [6. P. 1]. Фактически применимость математики в естественныхнауках включает в себя не одну, а множество проблем, которые кроются вомногообразии интерпретаций понятия применимости. Так, применение ма-тематического языка в рассуждениях об эмпирической реальности сразу ста-вит два вопроса: вопрос о логико-семантической форме и вопрос о метафи-зических предпосылках таких рассуждений. Проблема логико-семантической формы встает в силу того, что в языке математики слова дляобозначения чисел функционируют как имена собственные, тогда как в опи-сании эмпирической реальности они часто функционируют как прилагатель-ные: «Эта неопределенность, кажется, делает невозможным рассуждения обэмпирической ситуации с использованием математики» [6. С. 1]. Семантиче-ская проблема применимости заключается в возможности объяснить функ-ционирование математических терминов в качестве имен собственных в раз-личных контекстах. М. Стейнер, указывая на эту проблему, считает, что онабыла успешно решена Г. Фреге, согласно которому, математические терми-ны указывают не на абстрактные сущности, а на эмпирические понятия.Иная проблема встает в связи с дескриптивной интерпретацией понятияприменимости: во многих случаях математика играет решающую роль в со-вершении успешных предсказаний; в этой связи проблема заключается не втом, что математика может быть использована для формулировки физиче-ских законов, а в том, как математика, развивающаяся согласно собствен-ным - «эстетическим», по терминологии М. Стейнера, - канонам, может иг-рать решающую роль при выявлении структуры реальности. Именно деск-риптивное понимание применимости непосредственно связано с онтологи-ческой проблематикой, и именно такое понимание применимости математи-ки будет интересовать нас в дальнейшем.В подобном же уточнении нуждается понятие неустранимости, исполь-зуемое при формулировке как уточняющее по отношению к понятию приме-нимости. Несмотря на то, что У. Куайн не употребляет понятия «неустрани-мость», а использует более каноническую формулировку тезиса, говоря оквантификации успешных научных теорий, именно это понятие использует-Онтологические обязательства неустранимости математики63ся для уточнения характера применимости математики к описанию эмпири-ческой реальности, и сама характеристика математики как неустранимой изнаучной теории стала уже канонической. Фактически У. Куайн настаиваетна том, что использование в словаре научных теорий математических утвер-ждений является существенным и они не могут быть устранены: невозможнотак переаксиоматизировать научные теории, содержащие математическиеутверждения, чтобы устранить референцию (или квантификацию) к матема-тическим сущностям и получившаяся в результате теория сохранила бы всеатрибуты успешной научной теории, такие как предсказательная возмож-ность, простота, изящность и др. Именно неустранимость как фундамен-тальная характеристика способа функционирования математических пред-ложений в составе физической теории заостряет указанные выше логико-семантический и метафизический аспекты проблемы применимости матема-тики: математический язык не просто присутствует в составе теории какодин из возможных способов описания эмпирической реальности, выборкоторого обусловлен субъективными соображениями, например удобствомиспользования или исключительной определенностью словаря. Напротив, всвете аргумента о неустранимости само наличие математической формули-ровки теории характеризуется как необходимое, неизбежное условие успеш-ности физической теории. Необходимость использования математическогоязыка для описания эмпирической реальности при этом обосновывается он-тологически: если математика является неотъемлемой частью наших наибо-лее успешных естественно-научных теорий, то мы обязаны допустить суще-ствование класса математических сущностей, обращение к которым необ-ходимо для успешного описания физической реальности.Традиционно именно У. Куайну и Х. Патнэму [7, 8] приписывается пер-венство в экспликации философской значимости отмеченной Е. Вигнеромроли математики в эмпирических науках. Формулировка аргумента о неуст-ранимости математики из языка естественно-научной теории самими авто-рами непосредственно связывается с реалистской позицией в онтологии ма-тематики. В общем виде аргумент Куйна - Патнэма может быть представленследующим образом:1. Мы вынуждены признать онтологические обязательства по отноше-нию к тем и только тем сущностям, которые не устранимы из наших успеш-ных научных теорий.2. Математические сущности не устранимы из наших успешных научныхтеорий.3. Мы обязаны признать онтологические обязательства по отношению кматематическим сущностям.Фактически аргумент говорит о том, что поскольку математические ут-верждения в составе фундаментальных научных теорий позволяют предска-зывать и точно описывать такие феномены, предсказание которых было быневозможным без использования математических теорий, мы обязаны при-знать существование математических сущностей, указываемых используе-мыми математическими понятиями. Поясняя свою позицию по отношению креалистской интерпретации онтологии математики в связи с ее эффективно-стью при описании эмпирической реальности, сами авторы поясняют, какаяА.В. Хлебалин64именно часть математики влечет онтологические обязательства. Так, Х. Пат-нэм говорит о «теоретико-множественных «нуждах» физики» [8. С. 346],признавая онтологические обязательства по отношению ко всем сущностям,постулируемым аксиоматизируемой теорией множеств. У. Куайн фактиче-ски соглашается с ним, заявляя о том, что большая часть других математиче-ских теорий не отягощает нас никакими онтологическим обязательствами,выходя за пределы канонического языка науки [3]. Вместе с тем все те об-ласти математики, которые непосредственно не используются при описанииэмпирической реальности, сами, тем не менее, приложимы к тем областямматематики, которые, в свою очередь, входят в состав естественно-научногознания. Открытым остается вопрос о том, достаточно ли такого опосредо-ванного участия в описании реальности для возникновения онтологическимобязательств. Несмотря на весьма любопытную проблему, встающую в связис этим, возможность своеобразной «транзитивности» онтологических обяза-тельств непосредственно не связана с обсуждаемым статусом аргумента онеустранимости. Интересующие нас посылки аргумента о неустранимостиматематики лежат в несколько ином направлении.Двумя фундаментальными предпосылками, делающими реальным рас-смотрение применимости математики в качестве возможного источника ар-гументов для решения онтологических проблем философии математики, яв-ляются идея натурализованной эпистемологии и холистский подход к анали-зу научной теории. Несмотря на то, что весьма затруднительным будет найтив современной философии понятие с более неясным значением, чем «нату-рализм», его общая трактовка предполагает отказ признавать за философиейкакой-либо особый, привилегированный эпистемологический статус по от-ношению к научному познанию. Наука для сторонника натуралистскогоподхода является «единственной подлинной историей мира», и именно онаговорит нам если не о том, какого рода сущности населяют мир, то о том, всуществование какого рода сущностей оправданно верить. Именно лучшиенаучные теории определяют то, во что оправданно верить, исчерпывая со-бою «подлинную историю мира». Холизм, в свою очередь, является требо-ванием рассматривать подтверждение научной теории эмпирическими фак-тами не на уровне отдельных предложений или фрагментов теории, а какединое целое. То есть если имеется эмпирическое свидетельство в пользутеории, то оно подтверждает не отдельный фрагмент теории, а всю ее. В свя-зи с проблемой применимости математики холизм означает, что наличиеэмпирического подтверждения теории является релевантным для подтвер-ждения истинности используемых в ней математических утверждений.Одна из наиболее известных попыток лишить применимость математикив естественных науках каких-либо онтологических обязательств, тем не ме-нее, связана не с критикой указанных предпосылок аргумента У. Куайна, а сотрицанием истинности второй посылки в формулировке самого аргумента.Фикционалистская программа Х. Филда имеет своей непосредственной це-лью демонстрацию устранимости математики из языка науки. Согласно про-грамме Х. Филда, математические предложения в составе естественно-научной теории буквально являются ложными, а указания на математиче-ские сущности - фиктивными. Математический аппарат может быть полно-Онтологические обязательства неустранимости математики65стью элиминирован из научной теории, а следовательно, у нас нет никакихонтологических обязательств по отношению к математическим сущностям.Сам Х. Филд так характеризует свой проект: «Я не предлагаю переинтерпре-тировать какую-либо часть математики; вместо этого я намериваюсь пока-зать, что требуемая для применения к физическому миру математика невключает чего-нибудь, что даже prima facie содержит указание на (или кван-тификацию) абстрактные сущности, вроде чисел, функций или множеств. Вотношении той части математики, которая содержит указание (или кванти-фикацию) на абстрактные сущности - а она содержит фактически во всейобычной математике - я принимаю фикционалистскую позицию: т.е. я невижу основания рассматривать ее как истинную». [4. С. 1-2]. Более того,помимо общего заявления указанной позиции, Х. Филд демонстрирует воз-можность элиминации математического языка на примере ньютоновскойтеории гравитации [4].Х. Филд утверждает, что для успешного применения математики к опи-санию эмпирической реальности вовсе не требуется истинности математиче-ских предложений. Фактически условием применимости математики являет-ся консервативность математической теории: математическая _______теория М яв-ляется консервативной, если для любого класса утверждений S и частногоутверждения С С не является следствием M+S, если только С не являетсяследствием S. Если удается показать консервативность математики, то ис-тинность или ложность математических теорий становится совершенно ир-релевантной для применимости математики к описанию эмпирической ре-альности: если математическая теория является ложной, но консервативной,это не приведет к ложности номиналистского утверждения, соединенного снекоторой номиналистской эмпирической теорией, если только ложное ут-верждение не является следствием самой эмпирической теории.Позиция Х. Филда является, безусловно, одной из наиболее интереснойпопыток решения проблемы применимости математики в естественно-научной теории. Несмотря на радикальность заявлений и коренной пере-смотр взглядов на истинность математических утверждений и выводимых изнее онтологических следствий, требуемых фикционалистским подходом,экстремизм Филда приобретает определенную респектабельность в связи спроблемой платонизма в математике. Предполагающая отношение соответ-ствия трактовка онтологических обязательств истинности математическихутверждений оборачивается признанием объективного существования мате-матических сущностей. Но, помимо «онтологических джунглей», произра-стающих в платонистском мире, реалистская позиция по отношению к онто-логии математической теории требует признания независимости свойств ма-тематических сущностей от способа их описания. Именно проблематичностьязыковой независимости математических сущностей лежит в основанииструктуралистской критики «полнокровного платонизма» П. Бенацеррафом.Фикционализм Х. Филда свободен от подобного рода критики в той же сте-пени, в какой он свободен и от эпистемологического аргумента П. Бенацер-рафа. Тем не менее свобода от критических аргументов против оппозицион-ной теории не может рассматриваться в качестве достаточного условия ис-тинности защищаемого подхода. Центральное для фикционализма Х. ФилдаА.В. Хлебалин66положение о том, что именно понятие консервативности математическойтеории, а не классическое понятия истины является основанием для экспли-кации применимости математики в естественно-научном познании, на нашвзгляд, нуждается в дополнительной аргументации. Отдельной проблемой всвязи с этим, остро нуждающейся в своем решении, на наш взгляд, являетсяпроблема скрытого использования понятия истины в самой попытке заме-нить его понятием консервативности. Так, сам Х. Филд указывает на то, чтопонятие консервативности тесно связано с понятием необходимой истины:«консервативность можно легко помыслить как 'необходимую истину без ис-тины'». Понятие истины в этом определении присутствует существенным об-разом, и его элиминация из данного контекста может оказаться весьма про-блематичной. Но даже помимо возникающей в связи с утверждением доста-точности консервативности в качестве условия применимости математики кописанию эмпирической реальности можно указать на существенный недоста-ток фикционалистского подхода: он совершенно не проясняет того, почемуиспользование математики приводит к формулировке наиболее успешных(прежде всего наиболее простых и обладающих наибольшей предсказательнойвозможностью) научных теорий. Фикционалистский подход фактически непроясняет возможность дескриптивного использования языка математики.Теперь уже полученный Х. Филдом результат - демонстрация возможно-сти устранения из физической теории математических терминов, использо-вание которых предполагает указание / квантификацию математическихсущностей и вместе с тем невозможность объяснения дескриптивной функ-ции математического языка в целом, - требует объяснения. Холистская инатуралистическая предпосылка аргумента о неустранимости математикипозволяет объяснить дескриптивную применимость математики, но влечетонтологические обязательства, которые могут быть отчасти поставлены подсомнение фикционалистской стратегией Х. Филда. Но ценой за избавлениеот них оказывается капитуляция при объяснении философски наиболее ин-тересной проблемы, встающей в связи с применением математики к описа-нию реальности. Выходом из сложившейся ситуации, на наш взгляд, являет-ся модификация как самой холистской предпосылки, так и необходимоеуточнение аргумента о неустранимости. При этом источником уточненияхолистской предпосылки выступает натуралистская предпосылка аргумента.Так, П. Мэди предлагает следующую стратегию: натуралистский принципдопускает различение в языке научной теории двух компонентов - один изних является буквально истинным, другой же - только полезным: «Мы дажедолжны предположить, что только термины из полезной части языка теориифактически являются неустранимыми в том смысле, что не существует стольже хорошей теории, описывающей тот же феномен, но без них» [9. С. 281].Основанием для различения «истинной» и «только полезной» частей языкатеории могут служить многочисленные примеры из истории науки, напри-мер история становления атомистической теории в химии [9]. При этом раз-личение языка на истинную / полезную части оборачивается тем, что неуст-ранимость математики не является основанием признания ее истинности.В связи с проведенным различием частей языка теории встает вопрос отом, в какую из них попадает математика. Прежде _______всего, при ответе на этотОнтологические обязательства неустранимости математики67вопрос необходимо отметить тот факт, что математика применяется в теори-ях, включающих в себя гипотезы, содержащие указание на сущности, пред-положение о существовании которых абсурдно. Например, предположение обесконечности глубины воды в теории волн: неустранимость гипотезы бес-конечной глубины из успешной научной теории вовсе не означает признаниясуществования такой сущности, как вода с бесконечной глубиной. Приме-ров, подобных приведенному, может найдено сколь угодно много. Присут-ствие в формулировке таких теорий математических терминов, стоящих вуказательной позиции, приводит нас - в случае принятия первой посылкиаргумента У. Куайна - к признанию онтологических обязательств по отно-шению к каждому из них. Такая ситуация является попросту абсурдной, хотябы на том основании, что в результате признания первой посылки мы можемполучить противоречивую онтологию: соединение - позволим себе это неос-торожное введение термина - «наивного холизма» и «наивного натурализ-ма» в духе У. Куайна, лежащих в основании аргумента о неустранимостиматематики, рискует обернуться тем, что в результате мы получим холист-ски интерпретируемую онтологию, в которой мы вынуждены будем призна-вать существование взаимоисключающих сущностей - например простран-ства, обладающего дискретной и континуальной структурой одновременно(поскольку в одной теории оно может характеризоваться одним образом, а вдругой - совершенно иначе; но коль скоро в холистски понимаемом языкеразличия между теориями, входящими в его состав, онтологически не реле-вантны, мы обязаны признать в случае нашего вымышленного примера воз-можность существания сущности, обладающей взаимоисключающими свой-ствами). Приведенных примеров - присутствие математики в гипотезах, он-тологические обязательства которых требуют признания сомнительныхсущностей и возможность возникновения в онтологии сущностей со взаимо-исключающими свойствами, - достаточно для демонстрации неоправданно-сти первой посылки аргумента о неустранимости. Невозможность элимина-ции математических терминов из успешной теории не оборачивается при-знанием существования референта термина.Вместе с тем признание за математическим языком в структуре естест-венно-научной теории исключительно «полезной» функции и отказ призна-вать его истинным требует дальнейшей экспликации свойства его «полезно-сти» в перспективе объяснения дескриптивной функции математическогоязыка по отношению к эмпирической реальности. На наш взгляд, поискиадекватного решения встающей проблемы необходимо искать в направленииэкспликации онтологической значимости понятия консервативного расши-рения теории, которая должна проводиться с учетом установленного разде-ления языка научной теории на «полезную» и «истинную» части.

Ключевые слова

неустранимость математики, онтологические обязательства, консервативность, фикционализм, натуралистская онтология научной теории, indispensability of mathematics, ontological commitment, conservativity, factionalism, naturalistic ontology of scientific theory

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Хлебалин А.В.
Всего: 1

Ссылки

Benacerraf P. What numbers could not be // Benacerraf P., Putnam H. Philosophy of mathematics: selected readings. Cambridge: Cambridge University Press, 1983. P. 272-295.
Benacerraf P. Mathematical truth // Benacerraf P., Putnam H. Philosophy of mathematics: selected readings. Cambridge: Cambridge University Press, 1983. Р. 401-421.
Quine W.V.O. Success and limits of mathematization. // Quine W.V.O. Theories and thing. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1981. P. 135-159.
Field H. Science without numbers. A defence of nominalism. Princeton: Princeton University Press, 1980. 130 p.
Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971. С. 182-199.
Steiner M. The applicability of mathematics as a philosophical problem. Harvard University Press, 1998. 215 p.
Putnam H. What is mathematical truth? // Putnam H. Mathematics matter and method: Philosophical papers. Cambridge: Cambridge University Press, 1979. Vol. I. P. 60-79.
Putnam H. Philosophy of logic // Putnam H. Mathematics matter and method: Philosophical papers. Cambridge: Cambridge University Press, 1979. Vol. I. P. 323-359.
Maddy P. Indispensability and practice // Journal of philosophy. 1992. № 89. P. 275-289.
 ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ОБЯЗАТЕЛЬСТВАНЕУСТРАНИМОСТИ МАТЕМАТИКИ | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2009. № 4 (8).

ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ОБЯЗАТЕЛЬСТВАНЕУСТРАНИМОСТИ МАТЕМАТИКИ | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2009. № 4 (8).

Полнотекстовая версия