Л. ВИТГЕНШТЕЙН И Ф.П. РАМСЕЙ О ТОЖДЕСТВЕ | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2009. № 4 (8).

Л. ВИТГЕНШТЕЙН И Ф.П. РАМСЕЙ О ТОЖДЕСТВЕ

Рассматривается теория тождества объектов, представленная Л. Витгенштейном в «Логико-философском трактате». Анализируются детали, предложенныеФ.П. Рамсеем при технической реализации этой теории. Эти изменения приводят кзначительному усложнению первоначальной идеи, заставляя вводить в символическую систему дополнительные технические приспособления, что ставит под сомнение возможность последовательной реализации идеи Витгенштейна.

WITTGENSTEIN AND F.P. RAMSEY ON IDENTITY.pdf В Логико-философском трактате (ЛФТ) Витгенштейн высказал идею овозможности такой символической системы, которая не содержала бы знака,выражающего тождество вещей. При этом Витгенштейн отталкивался откритики некоторых фундаментальных положений Principia mathematica(PM), основополагающего труда в области математической логики и основа-ний математики А.Н. Уайтхеда и Б. Рассела, в частности, аксиомы бесконеч-ности. То, что Витгенштейн выражает в ЛФТ афористично, Ф.П. Рамсей пы-тается осуществить технически и сталкивается с рядом затруднений, чтопозднее позволило ему сказать «Я посвятил некоторое время развитию такойтеории и нашёл, что она сталкивается с тем, что представляется мне непре-одолимыми трудностями» [1. C. 28]. В результате Рамсей отказывается отидеи Витгенштейна, развивая собственную теорию, основанную на введенииспецифических пропозициональных экстенсиональных функций (propositionalfunction in extension), и представляет вызывающие сомнения утвержде-ния PM в виде тавтологий и противоречий, что послужило развитию про-граммы логицизма в основаниях математики [1. C. 54]. Однако эти трудно-сти весьма интересны ввиду ряда технических деталей, которые Рамсей раз-рабатывает для их преодоления. Ниже будут рассмотрены теория тождестваВитгенштейна и те изменения, которые вносит в неё Рамсей и которые, вконечном счёте, послужат разработке его собственной оригинальной теориитождества.Своё отношение к тождеству Витгенштейн высказывает в двух местахЛФТ [2]. В афоризмах 4.241-4.243 в контексте анализа структуры элемен-тарного предложения выражения с тождеством вида 'a = b' рассматриваютсякак уравнивание значений знаков 'a' и 'b'. 'a = b' подразумевает только то,что знак 'a' заменим знаком 'b'. Таким образом, выражения с тождеством* Исследование выполнено при поддержке Совета по грантам Президента РФ (НШ-5887.2008.6) и в рамках государственного контракта на выполнение поисковых научно-исследовательских работ для государственных нужд в рамках федеральной целевой програм-мы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», мероприятие 1.1, про-ект «Онтология в современной философии языка» (2009-1.1-303-074-018).В.А. Суровцев90являются определениями, т.е. символическими правилами замены одних вы-ражений другими. Поэтому «выражения формы 'a = b' являются толькосредством изображения; они ничего не говорят о значениях знаков 'a' и 'b'»[2. 4.242]. В этом отношении выражения формы 'a = b' не являются подлин-ными элементарными предложениями, которые Витгенштейн рассматриваеткак функцию имён, записывая в форме 'fx', 'f(x, y)' и т.д., и которые в случаеистинности указывают на то, что атомарный факт существует, а в случаеложности - на то, что атомарный факт не существует [2. 4.25]. Однако знак'=' не выражает подлинной функции и употребляется лишь для указания нато, что два знака имеют одно и то же значение [2. 4.241].Такой взгляд на тождество радикально отличается от подхода Рассела иУайтхеда в PM, где знак '=' используется для установления тождества и раз-личия объектов. Однако у Витгенштейна выражения с тождеством ничего неговорят о значении знаков, но говорят только о том, что значение знаководинаково. Отсюда вытекает существенно иное понимание частных случаеввыражений с тождеством. Возьмём, например, выражение 'а = а'. В структу-ре PM данное выражение понимается как аналитическое утверждение о са-мотождественности объекта. Сходным образом понимаются выводимые изнего выражения, например '$x.x = a', или выражения, аналогичные по фор-ме, например '(x).x = x'. Однако если в выражениях с тождеством речь идётне об объектах, т.е. не о том, на что указывают знаки, а о взаимозаменимостиили синонимичности знаков, то подобные выражения теряют смысл. Дейст-вительно, как пишет Витгенштейн, «если я, например, знаю значение анг-лийского и значение синонимичного ему немецкого слова, то я не могу незнать, что они синонимы; невозможно, чтобы я не мог перевести их одно вдругое» [2. 4.243]. То есть интерпретация тождества в качестве синонимич-ности знаков 'a' и 'b' свидетельствует о том, что оно не может использо-ваться как сообщение, выражающее действительное содержание. Что же ка-сается выражений вроде 'а = а', то они вообще ничего не могут говорить,они лишь могут засвидетельствовать графическую эквивалентность знакасамому себе, что излишне, поскольку графическая эквивалентность видна изсамой записи. Отсюда, видимо, следует, что синонимичность выраженийесть условие самотождественности объекта, а не её следствие, поскольку«если я, например, знаю значение английского и значение синонимичногоему немецкого слова, то я не смогу не знать, что они синонимы; невозможно,чтобы я не мог перевести их одно в другое» [2. 4.243]. Поэтому, как считаетВитгенштейн, «выражения вида 'а = а' или выведенные из них не являютсяни элементарными предложениями, ни другими осмысленными знаками» [2.4.243].Обоснование своей точки зрения и соотношение своей позиции с пози-цией, выраженной в PM, Витгенштейн излагает в афоризмах 5.53-5.5352. Впользу того, что тождество не является отношением между объектами, вы-двигаются три аргумента. Они могут пониматься по-разному, здесь же при-ведём лишь те моменты, которые важны для последующего обсуждения.Первый аргумент, видимо, основан на различии выражений вида'(x):fx.É.f(x, a)' и '(x):fx.É.x=a', которые кажутся одинаковыми по форме. НоЛ. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве91эта видимость обманчива. Первое выражение говорит о том, что если объектудовлетворяет функцию f , то он находится в отношении fÙк a. И действи-тельно, при определённых интерпретациях 'f' и 'f' выражение '(x):fx.É.f(x, a)'могло бы быть истинным и могло бы быть ложным. Так, например, есливзять натуральный ряд чисел и интерпретировать свойство fÙкак свойство'быть простым числом', отношение fÙ- как отношение 'быть больше', аконстанте 'a' приписать значение 0, то получится истинное утверждение, чтовсякое простое число больше нуля. При той же интерпретации с заменойзначения константы 'a' на число более 2 получаем ложное утверждение. По-скольку осмысленность предложения для Витгенштейна означает именноего возможность быть истинным и быть ложным, т.е. возможность изобра-жать существование и несуществование фактов [3, 4], данный пример указы-вает на то, что выражение '(x):fx.É.f(x, a)' на самом деле является осмыслен-ным предложением.Однако, как считает Витгенштейн, второе выражение '(x):fx.É.x=a' «го-ворит просто то, что только a удовлетворяет функцию f, а не то, что толькотакие вещи удовлетворяют функцию f, которые имеют определённое отно-шение к a» [2. 5.5301]. То есть в данном выражении речь идёт не о реальномотношении объектов, но лишь о том, что на место переменной 'x' в 'fx' мо-жет быть подставлен лишь один знак, а именно 'a'. Поэтому выражение'(x):fx.É.x=a' должно пониматься не как говорящее о фактах, но как говоря-щее о символических соглашениях. И действительно, какие факты могло быописывать такое выражение? При любом понимании свойства fÙоно моглобы иметь смысл только в том случае, если 'x' принимает единственное зна-чение (т.е. a), которое имеет отношение тождества к самому себе. Однако«можно, конечно, сказать, что как раз только a имеет это отношение к a, но,чтобы выразить это, мы нуждаемся в самом знаке тождества» [2; 5.5301].Поэтому использование знака тождества в подобных контекстах уже пред-полагает его использование в виде 'а = а', что, как указывалось тремя абза-цами выше, излишне.Таким образом, хотя '(x):fx.É.f(x, a)' и '(x):fx.É.x=a' кажутся одинаковы-ми по форме, на самом деле они совершенно различны, поскольку знаки 'f'и '=' играют в них разную роль. 'f' выражает подлинное отношение, тогдакак '=' - нет. Соответственно, '(x):fx.É.f(x, a)' является осмысленным пред-ложением об отношении объектов, тогда как '(x):fx.É.x=a' - нет.Второй аргумент связан с тем, как в PM определяется знак '='. Там опре-деление равенства следующее:«*13.01 x = y . =def : (f) : f! x . É . f!y.Данное определение означает, что x и y будут называться тождественны-ми, когда каждая предикативная функция, которая удовлетворяется x, такжеудовлетворяется y» [3. C. 245). То есть два предмета суть один предмет, есливсе их предикативные свойства одинаковы. Витгенштейн возражает: «Рассе-В.А. Суровцев92ловское определение '=' не годится, так как согласно ему нельзя сказать, чтодва объекта имеют общими все свойства» [2. 5.5302]. Это возражение затра-гивает два момента. С одной стороны, если все свойства одинаковы, то речьдолжна идти об одном объекте, а если речь идёт о разных объектах, то свой-ства должны быть разными. С другой стороны, как можно иметь одинако-выми все свойства, если речь идёт о разных объектах, поскольку только раз-личие свойств может свидетельствовать о различии объектов. Если они раз-ные, то их различие уже фиксировано, а если они не различны, то никое раз-личие зафиксировать в данном символизме нельзя. Здесь действительно воз-никает парадокс. Равенство, согласно представлению Рассела, должно сви-детельствовать, что утверждается существование двух объектов, но опреде-ление говорит, что эти два объекта суть один объект. Однако с точки зренияздравого смысла уравнивание одного двум в рамках символической системыбессмысленно, поскольку два никогда не равно одному. И если мы принима-ем данное утверждение, то оно должно иметь существенные основания. Но,с точки зрения Витгенштейна, такое уравнивание невозможно в силу прини-маемой им онтологии. А именно: два объекта различны только потому, чтоони различны, и если они различны, тогда их два. В частности, в ЛФТ ут-верждается: «объект прост» [2. 2.02] и, вследствие этого, «два объекта раз-личаются только тем, что они разные» [2. 2.0233]. То есть логически воз-можно, что все свойства объектов одинаковы, но отсюда не следует, что онипредставляют собой один объект. И действительно, утверждение, что объек-ты различны при полном совпадении их свойств, противоречия не содер-жит. Поэтому о двух объектах можно сказать, что все их свойства одинако-вы, и при этом говорить именно о двух объектах, чего нельзя сделать в сис-теме PM.Из предыдущего утверждения следует третий аргумент: «Сказать о двухпредметах, что они тождественны, бессмысленно, а сказать об одном пред-мете, что он тождествен самому себе, значит ничего не сказать» [2. 5.5303].Действительно, утверждение о равенстве двух объектов - бессмысленно (во-преки системе PM), в силу различия их свойств, поскольку они всё-такипредставляют собой два объекта, так как они, что утверждалось абзацем вы-ше, в этом случае имеют разные свойства, а утверждение о тождественностиобъекта самому себе, опять-таки, как говорилось выше, есть утверждение ографической эквивалентности знака самому себе, что должно быть видно изсамой записи этих знаков.Основываясь на этих аргументах, Витгенштейн в ЛФТ, в противовес оп-ределению тождества в системе PM, принимает следующее соглашение:«Тождество объектов я выражаю тождеством знаков, а не с помощью знакатождества. Различие объектов - различием знаков» [2. 5.53].В соответствии с принятым соглашением Витгенштейн предлагает ис-пользовать в символической системе только те выражения, которые не ис-пользуют знак тождества. Так, в случае констант, обозначающих конкретныеобъекты, предлагается писать не 'f(a,b).a = b', но 'f(a,a)' или 'f(b,b)', а вместо'f(a,b).~ a = b' предлагается 'f(a,b)' [2. 5.531].Л. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве93Аналогично для выражений с кванторами: «не '($x,y).f(x,y).x = y', но'($x).f(x,x)'; и не '($x,y).f(x,y). ~ x = y', но '($x,y).f(x,y)'» [2. 5.532].Если же тождественность или различие объектов специально не оговари-ваются, как, например, в случае выражений вроде '($x,y).f(x,y)', то предлага-ется запись '($x,y).f(x,y).Ú.($x). f(x,x)', где первый дизъюнкт указывает навозможное различие, а второй - на возможное совпадение объектов.Отсюда, в частности, вытекает, что вместо выражения '(x):fx.É.x=a'можно использовать запись '($x).fx.É.fa: ~($x,y).fx.fy', которая означает не то,что любой x, выполняющий fÙ, тождествен a, но то, что при наличии а, вы-полняющего fÙ, неверно, что нечто ещё выполняет fÙ. Аналогичное согла-шение касается выражения вроде «только один х удовлетворяет f()», котороев соответствующей записи утверждает не то, что любой объект, не находя-щийся в отношении тождества с x, не выполняет fÙ, но только то, что'($x).fx: ~($x,y).fx.fy' (т.е. только то, что x выполняет fÙ, и ничто другое невыполняет fÙ) [2. 5.5321].Таким образом, поскольку, согласно предлагаемым Витгенштейном со-глашениям, знак тождества можно исключить из способов обозначения,«знак тождества не является существенной составной частью логическойсимволики» [2. 5.533], а выражения вроде 'a = a', 'a = b . b = c. É a = c','(x). x = x', '($x). x = a' являются псевдопредложениями и «в правильнойлогической символике даже не могут быть написаны» [2. 5.534].С помощью тождества в PM выражается ряд важных содержательныхутверждений. Например, с помощью '~($x). x = x' выражается то, что пред-метов не существует. Однако с точки зрения Витгенштейна это является непросто псевдопредложением, так как включает знак тождества, оно логиче-ски неоправданно, поскольку «даже если это было бы предложением, развеоно не было бы истинным, даже если действительно "предметы существова-ли", но при этом не были бы тождественны самим себе» [2. 5.5352].Ещё более важно замечание Витгенштейна о несущественности знакатождества в связи с аксиомой бесконечности. При задании любого класса, втом числе и бесконечного, Рассел использует знак тождества для того, чтобыразличать входящие в этот класс объекты. Однако поскольку с точки зренияпринимаемого Витгенштейном соглашения о том, что различные объектыобозначаются различными знаками, необходимость в таком задании классовисчезает. Это касается и аксиомы бесконечности, утверждающей, что суще-ствует класс, больший любого заданного класса, поскольку «то, что должнавысказать аксиома бесконечности, могло бы выразиться в языке тем, чтоимеется бесконечно много имён с различным значением» [2. 5.535].Ф.П. Рамсей впервые обращается к проблеме тождества в рукописи, не-давно опубликованной в составе его архивного наследия [4]. Здесь он соли-даризируется с точкой зрения Витгенштейна, в некоторых моментах усили-В.А. Суровцев94вая его аргументацию как в формальном, так и в содержательном отношени-ях. Следуя Витгенштейну, он считает, что привычный взгляд на тождество,выраженный в PM, как на реальное отношение между объектами и, соответ-ственно, рассмотрение 'x = y' в качестве пропозициональной функции, явля-ется ошибочным. Выражение 'x = y' не является пропозициональной функ-цией, потому что её значения не могут быть пропозициями, т.е. истиннымиили ложными утверждениями о фактах. Как и Витгенштейн, Рамсей считает,что выражения вида 'а = b', которые получаются из 'x = y' заменой перемен-ных на константы, ничего не говорят о фактах, поскольку, если 'а' и 'b' сутьимена одной вещи, эти выражения не утверждают ничего более, как самото-ждественность вещи, а если 'а' и 'b' суть имена разных вещей, то эти выра-жения бессмысленны, поскольку утверждают, что две вещи суть одна. Дажеесли предположить, что в первом случае выражения вида 'а = b' являютсятавтологиями, а во втором - противоречиями, это проблемы не решает, по-скольку, вслед за Витгенштейном, тавтологии и противоречия Рамсей рас-сматривает только как истинностные функции элементарных пропозиций,которые, хотя и не говорят ничего о фактах, но не являются бессмысленны-ми. Они являются двумя крайними случаями распределения истинностныхзначений, где в случае тавтологии при любых истинностных возможностях усоставляющих её элементарных пропозиций распределение всегда даёт исти-ну, а во втором случае распределение всегда даёт ложь. Но очевидно, что вы-ражения вида 'а = b' не могут быть истинностными функциями элементарныхпропозиций, и, следовательно, данное предположение также ошибочно.На тех же основаниях, что и Витгенштейн, Рамсей отвергает определе-ние тождества в PM. Говорить о двух объектах, что они тождественны, есливсе их свойства одинаковы, - ошибочно, поскольку такое определение дела-ет невозможным утверждение, что у двух объектов все свойства одинаковы.Однако вопрос о возможности совпадения у двух объектов всех свойств -это не вопрос о том, имеет ли это место фактически, но вопрос о логическойвозможности. Причём это касается не только таких объектов, как индивиды,обозначаемые индивидными константами вроде 'а' и 'b'. Рамсей утверждает,что для пропозициональных функций это часто является истинным: «Пред-положим, что все разумные животные беспёры и двуноги, и наоборот. (Ярассматриваю это просто как пример истинного эмпирического обобщения.)Тогда, поскольку все функции от функций экстенсиональны, у "x - разумноеживотное" и "x - беспёрое и двуногое" все свойства общие. Но отсюда неследует, что эти функции тождественны, что на самом деле - это одна и таже пропозициональная функция, поскольку "Это - разумное животное" и"Это беспёрое и двуногое" суть явно разные пропозиции и, логически гово-ря, это просто случайность, что они всегда вместе истинны или ложны» [4. P.156].Отсюда следует, что в Principia Matematica доказательства, касающиесятождества, ошибочны. В частности, ошибочно доказательство, что две раз-личных вещи не могут иметь все свойства общими. Это доказательство ос-новано на том, что если a и b различны, то a должно иметь свойство, которо-го не имеет b, а именно, свойство быть тождественным с а. «Ошибка, конеч-Л. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве95но, заключается в предположении, что "быть тождественным с а" являетсясвойством. Ибо, как я уже отмечал, "x = a" не является пропозициональнойфункцией» [4. P. 156].На основании этих доводов Рамсей принимает точку зрения Витгенштей-на, что знак тождества не является существенной составной частью логиче-ской символики, и тождество объектов должно выражаться тождеством знака,а различие объектов - различием их знаков, т.е. различные знаки должныиметь различные значения. Всё это, считает Рамсей, позволяет Витгенштей-ну отрицать тождество неразличимых и записывать: «($x, y) : (j) . jx º jy»,а именно, что существуют такие различные вещи, у которых все свойстваобщие, т.е. то, что в системе Principia Matematica считается невозможным.Надо сказать, что Рамсей не просто принимает точку зрения Витген-штейна. Он расширяет её основу, рассматривая возможные возражения.Первое возражение касается утверждения того, что две вещи имеют всесвойства общими. Насколько осмысленным будет такое утверждение? Воз-можность именования этих вещей в данном утверждении различными име-нами влечёт, что они обладают разными свойствами, а именно, они наиме-нованы разными именами. Но может ли различие наименования служитьдостаточным основаниям различия вещей? С точки зрения Рамсея различиеименования не свидетельствует о различии свойств. Выше это уже было по-казано относительно пропозициональных функций вроде «x - разумное жи-вотное» и «x - беспёрое и двуногое». Добавим, что именование по-разномувряд ли означает различие свойств, поскольку это отношение касается неотношений объектов, но отношения обозначающих эти объекты знаков. Иочевидно, что это отношение не выражается функцией, где аргументом явля-ется объект, т.е. эта функция относится не к вещам, но к знакам. Значит, во-прос относится не к различию вещей, но к возможности различия знаков. Аэтот вопрос имеет логический, но не фактический характер. Действительно,различие знаков касается внешнего выражения, а не того, что выражается:«Я не могу привести два индивида, которые имеют общими все свойства, ноэто не показывает, что я не могу вообразить или поверить, что такое бывает.На самом деле я могу предположить, что на Земле есть два человека, имею-щих одно и то же количество волос на голове, не зная, кто они. Точно так жея могу предположить, что существуют две неразличимые вещи, не зная, чтоони собой представляют» [4. P. 157].Второе возражение касается того, что две вещи можно спутать, т.е. счи-тать их за одну, и поэтому рассматривать 'a = b' не как псевдопредложение,а как осмысленную пропозицию, в которую можно верить. Если исключитьслучай осознанной уверенности в том, что две различные, реальные вещи насамом деле являются одной, а именно так можно интерпретировать уверен-ность в выражениях вроде 'a = b' или '($x). x = а' (хотя такое может быть вслучаях изменённого состояния сознания или психического нездоровья, ноэтот пример Рамсей не рассматривает) как случай явной бессмыслицы, оста-ётся вариант искреннего заблуждения. Действительно, можно спутать двевещи, именуя их одним именем и приписывая одной из них то, что присущедругой. Однако, как считает Рамсей, в этом случае тождество не использует-В.А. Суровцев96ся. Искреннее заблуждение не предполагает явного отождествления разныхвещей, поскольку в этом случае «одна вещь не мыслится вместо другой, ибоэто включало бы их различие и образование пропозиции, в которой онивстречались бы раздельно под разными именами 'а' и 'b'» [4. P. 158], т.е. вэтом случае искреннее заблуждение уже не было бы заблуждением. При за-блуждении просто получается ложная пропозиция, не включающая знакатождества. Приведу пример. Допустим, я знаком с близнецами Петром иИваном, при этом Пётр женат, а Иван - нет. Я осмысленно употребляюпредложение «Пётр и Иван - близнецы», используя разные имена 'Пётр' и'Иван'. Допустим, я встречаю Ивана с женой Петра и принимаю Петра заИвана. При этом я могу высказывать суждения. И эти суждения могут бытькак истинными, так и ложными, но они никогда не будут включать то, что япринимаю Петра за Ивана, т.е. при всём моём понимании различия имён'Пётр' и 'Иван' никогда ни вслух, ни мысленно не буду произносить: «Ясчитаю Петра за Ивана» или, точнее, «Я отождествляю 'Петр' и 'Иван'».Однако самое важное возражение касается определённых дескрипций, по-скольку если 'а' или 'b' являются определёнными дескрипциями, то 'a = b'может казаться осмысленным предложением. Указывая на возможность это-го возражения, Рамсей не даёт на него ответа, но ответ можно реконструиро-вать, исходя из общих установок Рамсея и Витгенштейна, который я здесьпредставлю. Концепция определённых дескрипций Б. Рассела связана с осо-бенностями функционирования описательных фраз вроде «учитель Плато-на», «автор Веверлея» или, если брать систему PM, описание математиче-ских констант, вроде «число, выражающее отношение величины диаметра квеличине окружности». Вещи, описываемые этими фразами, имеют собст-венные имена, а именно: 'Сократ', 'Вальтер Скотт' и 'число p' соответст-венно. Рассел рассматривает определённые дескрипции как одноместныефункции, записываемые в системе PM как 'iх(fx = a)', что прочитываетсякак 'тот х, который выполняет функцию f, является а'. В этом случае утвер-ждения типа «Сократ - это учитель Платона» или «Число p - это число, вы-ражающее отношение величины диаметра к величине окружности» и т.п.,представляющие частный случай тождества, являются вполне осмысленны-ми, поскольку означают: «Тот х, который является учителем Платона, это -Сократ» или «Число х, выражающее отношение величины диаметра к вели-чине окружности, - это число p» т.п. Однако в силу ряда соображений [5] и,надо отметить, весьма существенных соображений, Рассел считает опреде-лённые дескрипции тем, что выражает свёрнутое или сокращённое описаниепредмета. С его точки зрения дескриптивные фразы, относящиеся к одномуобъекту, должны указывать на существование и единственность этого объек-та. Поэтому дескриптивная фраза вроде «учитель Платона» должна прочи-тываться как «Существует х, который является учителем Платона, и этот хединственный», а дескриптивная фраза 'число p' - «Существует число х,которое выражает отношение величины диаметра к величине окружности, иэто х единственное». Таким образом, утверждение, включающее дескрип-тивные фразы, при адекватном понимании должно включать развёрнутоевыражение описательной фразы. Например, «Сократ - это учитель Платона»Л. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве97преобразуется в утверждение, что «учитель Платона существует, он единст-вен и является никем иным, как Сократом». Существование в данном случаевыражается кванторной переменной, выполняющей указанное свойство,единственность - тем, что любая другая вещь, выполняющая данное свойст-во, совпадает с первой, а указание на Сократа выражается тождеством. Тоесть получается: «существует х, и этот х является учителем Платона, приэтом любой y, являющийся учителем Платона, совпадает с х, и этот х естьСократ». То же самое относится к 'число p'. Если мы говорим, что «чис-ло p - это число, выражающее отношение величины диаметра к величинеокружности», это подразумевает, что «существует число х, и это число х вы-ражает отношение величины диаметра к величине окружности, при этом лю-бое число y, выражающее отношение величины диаметра к величине окруж-ности, совпадает с числом х, и это х есть p».При формализации утверждения подобного рода в системе PM предста-вимы следующим образом: «$x : fx . (y) : fy É x = y . x = a», т.е. «при некото-ром х, обладающем свойством fÙ, если какой-то у обладает свойством fÙ, тоэтот у совпадает с х, и х = а». Как относиться к тождеству в этих выражени-ях? Здесь имеет место два вхождения знака тождества. Первое из них, по-видимому, должно восприниматься непосредственно в духе бессмысленныхвыражений, как его понимают и Витгенштейн, и Рамсей. Действительно,если мы принимаем соглашение, что разные вещи обозначаются разнымиименами, оно становится бессмысленным, вроде выражения '($x). x = а', по-скольку любое имя, отличное от исходного, уже обозначает иную вещь, по-этому прямое указание на это отличие является излишним. А значит, в сис-теме PM первым вхождением тождества пытаются указать на то, что уже итак ясно, если принять соглашение Витгенштейна и обозначать разнымиименами разные вещи. Остаётся второе вхождение тождества. Но второевхождение тождества, очевидно, имеет иной смысл, и этот смысл вполнесопоставим с приведённым выше утверждением Витгенштейна из ЛФТ, афо-ризм [2. 5.5301]. Процитируем его ещё раз: «'(x):fx.É.x=a' говорит просто то,что только a удовлетворяет функцию f, а не то, что только такие вещи удов-летворяют функцию f, которые имеют определённое отношение к a». То естьданное вхождение тождества не является тождеством в подлинном смысле,т.е. оно не утверждает о тождественности вещей, но говорит лишь о том, чтоединственный знак выполняет данную функцию, что опять-таки относитсяне к отношению вещей, а к отношению знаков, что может быть выполненопроизвольными символическими соглашениями, а не утверждениями о при-роде того, что обозначается. Один знак может выполнять функцию другогознака, и это всё, что может быть выражено в рамках символической системы.Значит, и здесь знак тождества является лишь символическим соглашениеми говорит не о вещах, предметах, объектах и т.п., но о том, что о них гово-рится.Защита принятого Витгенштейном соглашения, что разные вещи должныобозначаться разными знаками, а один знак всегда должен обозначать однувещь, не ограничивается у Рамсея ответами на возможные возражения. Дело_______В.А. Суровцев98в том, что при принятии этого соглашения возникает ряд затруднений. По-пытку разрешить эти затруднения можно рассматривать как вклад Рамсея врешение проблемы, известной как проблема коллизии переменных. Если мыпринимаем соглашение Витгенштейна, каким образом тогда должны интер-претироваться формулы, в которых встречаются переменные, попадающие вобласть действия разных кванторов? «Должны ли мы говорить, что x не мо-жет принимать то же самое значение, что и y, если y входит в ту же самуюпропозицию, или правило должно быть некоторым образом ограничено?» [4.P. 158].Возьмём, например, следующее выражение: «(x). fx : Ú : ($y) . jy». В ка-ком смысле следует говорить, что 'x' и 'y' не должны принимать в нём однои то же значение, т.е. на место этих индивидных переменных не должныподставляться одни и те же константы. В системе PM этот вопрос решалсябы просто, поскольку там нет ограничений на подстановку констант вместопеременных. В системе PM ограничение, позволяющее избежать коллизиипеременных, всегда можно выразить явно, используя знак тождества. Так, дляприведённой формулы «(x). fx : Ú : ($y) . jy» возможны два варианта: (1) 'y'может принимать какое-то значение, отличное от 'x', при этом 'x' может при-нимать любое значение; (2) 'x' может принимать какое-то значение, отличноеот 'y', но 'y' может принимать любое значение. Эти два варианта легко запи-сываются в системе PM, используя тождество. Для первого варианта получит-ся: «(x): fx . Ú . ($y) . y ¹ x . jy»; для второго: «($y):. jy . Ú : (x) : x ¹ y . É . fx»,что означает: «Или все вещи выполняют fx Ù, или существует какая-то вещь,выполняющая jx Ù» и «Или некая вещь выполняет jx Ù, или все вещи, кромеодной, выполняют fx Ù» соответственно. Однако если мы отказываемся отприменения знака тождества, то не всё так просто. Каким образом здесьможно применить соглашение Витгенштейна? Опять же в выражениях вроде«fa . Ú (x) . ~fx» должна быть возможность для 'x' принимать значение 'a', ибов противном случае мы не смогли бы от «fa . Ú (x) . ~fx» перейти к «fa Ú ~fа»,что является частным случаем закона исключённого третьего. Видимо, всё-таки следует сохранить тот смысл выражений вроде «(x). fx : Ú : ($y) . jy» и«fa . Ú (x) . ~fx», который был им присущ в системе PM и позволял 'x' и 'y'принимать все возможные значения. Как считает Рамсей, «мы должны бытьспособны трактовать "(x). fx" как единство, имеющее значение, не зависимоеот того, что ещё встречается в данной пропозиции» [4. P. 158].С другой стороны, сущность соглашения, принимаемого Витгенштей-ном, заключается в том, что в выражениях вроде «(x): ($y) . j(x, y)» выраже-ние 'y' не может принимать значение 'x', поскольку смысл этого выраженияподразумевает, что «для любого х существует такой отличный у, что j(x, y)».Рамсей предлагает уточнить соглашение Витгенштейна следующим об-разом: «Две различных константы не должны иметь одно и то же значение.Кажущаяся переменная не может иметь значение какой-либо буквы, встре-чающейся в её сфере, если буква не является кажущейся переменной в этойЛ. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве99сфере» [4. P. 159]. Разъясняется это следующим примером. В «($y) . j(x, y)»сферой 'y' является 'j(x, y)' и в этой сфере встречается 'x'. Хотя 'x' на самомделе может оказаться кажущейся (или связанной) переменной, она не явля-ется таковой в этой сфере, и поэтому 'y' не может принимать значение 'x'.Однако если принять «F(x)» = «($y) . j(x, y)», то 'x' в «F(x)» может прини-мать значение 'y', поскольку, хотя 'y' встречается в сфере F(x), она уже яв-ляется кажущейся (или связанной) в этой сфере.Следующее затруднение возникает в связи с определениями. Возьмём,например, «(x) . f(x, a)», что подразумевает: «Для всех х, кроме а, f(x, a)», ивведём определение: «F(x) =def f(x, a)». Тогда из «(x) . f(x, a)» получается«(x) . F(x)», что подразумевает: «Для всех х F(x)», поскольку 'a' здесь невстречается. А если опять использовать определение, то получится: «Для всехх f(x, a)», что имеет совершенно иной смысл, чем первоначальное выражение.Значит, в подобных случаях определения не являются простыми соглаше-ниями, но изменяют смысл первоначальных выражений.Даже если мы примем соглашение, что область 'x' в «(x) . F(x)» должназависеть от констант вроде a, b и т.п., это было бы крайне неудобно в двухотношениях. Во-первых, это «противоречило бы духу символического ис-числения, в котором мы не должны думать о том, что обозначают наши зна-ки» [4. C. 159]. Во-вторых, это исключало бы определения вида «F(x) ==def (y)j(x, y)», поскольку в таких случаях сфера 'x' зависела бы от всех кон-стант, поскольку они являются значениями 'y', и никакой сферы для 'x' неоставалось бы вообще. Выбраться из затруднения можно, если соглашениеВитгенштейна принять в уточнённой Рамсеем форме, а именно, сфера 'x'должна зависеть только от букв, встречающихся в её сфере, а не от констант,встречающихся в значении этой сферы. Правда, тогда изменяется смыслопределения «F(x) =def f(x, a)», поскольку «(x) . F(x)» не будет эквивалентно«(x) . f(x, a)», но будет эквивалентно «(x) . f(x, a) × f(а, a)», где второй конъ-юнкт 'f(а, a)' явно указывает на независимость 'x' в 'f(x, a)' от a. Очевидно,что подобный подход, mutatis mutandis, применим к другим аналогичнымслучаям. Однако этот подход предполагает пересмотр всех подобных опре-делений, но Рамсей не считает это «непреодолимым затруднением», во вся-ком случае такой пересмотр не может заставить отказаться от соглашения,что разные вещи должны обозначаться различными знаками.Третье затруднение связано с выражениями, включающими утверждениео нетождественности объектов вроде «($x) : x ¹ a × fx», что означает: «Суще-ствует такой х, не тождественный с а, который выполняет f». Это выражениедопускает прямую переформулировку без использования знака тождества,поскольку _______то же самое можно выразить, записав: «~fa . É . ($x) . fx .: fa . É :($x, y) : fx × fy», что означает: «Если а не выполняет f, то существует такой х,который выполняет f, а если а выполняет f, то f выполняют по крайней мередве вещи».Но можно поступить и по-другому, используя уточнённое Рамсеем со-глашение Витгенштейна. Решение данного затруднения связано просто стем, чтобы исключить 'a' из области действия 'x', что можно сделать, вклю-чив 'а' явно в сферу 'x'. Это можно сделать, например, с помощью следую-В.А. Суровцев100щего определения: «F(x, a) =def f(x)». Тогда то, что выражает пропозиция«($x) : x ¹ a × fx», можно было бы выразить просто «($x) . F(x, a)», посколькусогласно уточнённому соглашению в последнем выражении а уже исключа-ется из области действия 'x'.Рамсей предлагает ещё один способ решения данного затруднения, кото-рый задействует не определения, но тавтологии и противоречия. Кстати, этотспособ он использует и при решении других проблем, которые рассмотримниже. Всё дело в том, чтобы опять включить 'а' явно в сферу 'x'. Для упро-щения записи примем следующее определение для символа тавтологичнойфункции: для _______общего случая «T(x) =def (j) : jx . Ú . ~jx», а если используетсяконстанта, то переменная заменяется данной константой и квантор, естест-венно, исчезает (например, «T(а) =def jа . Ú . ~jа»). Тогда выражение «($x): x ¹ a × fx» представимо в виде «($x) : fx × T(а)». Здесь, опять-таки, а ис-ключается из области действия 'x', будучи включено в её сферу. При незна-чительной модификации то же самое можно сделать с помощью противоре-чия, используя определение «C(x) =def ~T(x)».Указывая в ЛФТ, что символическая система может и должна обходитьсябез знака тождества, если принять соглашение об обозначении разными зна-ками разных объектов, а одним знаком всегда одного объекта, Витгенштейн,однако, не ставит вопрос о том, можно ли преобразовать такую символиче-скую систему, как система PМ, таким образом, чтобы она соответствовалаэтому соглашению. Этот вопрос ставит Рамсей. Действительно, если бы та-кой перевод был возможен, это существенно упрощало бы дело, посколькузначимыми оставались бы все результаты PМ, независимо от того, принима-ем мы соглашение Витгенштейна или же нет.Переход из символической системы, основанной _______на соглашении Витген-штейна, в систему PМ достаточно прост, поскольку к исходным выражениямнужно будет лишь добавить утверждение о нетождественности объектов. Так,например, выражение вида «f(а, b)» переводилось бы как «f(а, b) . a ¹ b», вы-ражение вида «($x) . f(x, a)» - как «($x) . x ¹ a . f(x, a)» и т.п.Обратный перевод, т.е. перевод выражений PМ в систему, основаннуюна соглашении Витгенштейна, не вызывает затруднений в случае, если вы-ражения не содержат знака тождества. Здесь достаточно воспользоватьсяприведёнными выше правилами записи из афоризмов 5.531 и 5.532 ЛФТ,переводя, например, выражение '($x,y).f(x,y)' в выражение '($x,y).f(x,y).Ú.($x).f(x,x)' и т.п.Затруднения возникают при переводе выражений, содержащих знак тож-дества. В PМ знак тождества трактуется как обычная пропозициональнаяфункция, которая в результате перевода должна исчезнуть. Для осуществле-ния такого перевода Рамсей использует хитроумный приём. Он вводит двадополнительных определения: «x = x . =def . T(x)» и «x = y . =def . C(x, y)», где«T(x)» - тавтологичная, а «C(x, y)» - противоречивая функция. К тому же,очевидно, что отрицание дефиниендума даёт отрицание дефиниенса, и в дан-ном случае тавтология становится противоречием, а противоречие - тавто-логией, т.е. «x ¹ x» даёт «C(x)», а «x ¹ y» даёт «Т(x, y)». Используя эти опре-деления, перевод можно осуществить следующим образом. Возьмём, напри-Л. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве101мер, выражение «($x, y) : x ¹ y × f(x, y)». Поскольку знак тождества трактуетсякак обычная функция, то для его перевода мы должны воспользоваться пра-вилом, приведённым в конце предыдущего абзаца. Получится выражение«:. ($x, y) : x ¹ y × f(x, y) : Ú : ($x) : x ¹ х × f(x, х)». С помощью приведённыхвыше определений последнее выражение преобразуется в «($x, y) : Т(x, y) ×f(x, y) : Ú : ($x) : С(x) × f(x, х)». Дальнейшие преобразования осуществляютсяна основании свойств логических союзов. Рассмотрим второй дизъюнкт. Онпредставляет собой конъюнкцию, включающую противоречие, и, согласносвойствам конъюнкции, сам является противоречием. Согласно свойствамдизъюнкции противоречивый дизъюнкт мо

Ключевые слова

символическая система, тождество объектов, тождество знаков, определённые дескрипции, коллизия переменных, неопределяемые идеи, Symbolical system, identity of things, identity of sign, definite description, collision of variable, undefinable idea

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Суровцев В.А.
Всего: 1

Ссылки

Рамсей Ф.П. Философские работы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003.
Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М.: «Канон+» РООИ «Реабилитация, 2008.
Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: В 3 т. Т. I. Самара: Самарский университет, 2005.
Ramsey F.P. Notes on Philosophy, Probability and Mathematics. Napoli: Bibliopolis, 1991.
Рассел Б. Об обозначении // Рассел Б. Избранные труды. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2007. С. 17-32.
Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М.: Едиториал УРСС, 2005.
 Л. ВИТГЕНШТЕЙН И Ф.П. РАМСЕЙ О ТОЖДЕСТВЕ | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2009. № 4 (8).

Л. ВИТГЕНШТЕЙН И Ф.П. РАМСЕЙ О ТОЖДЕСТВЕ | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2009. № 4 (8).

Полнотекстовая версия