Л. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве (2) | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2011. № 2 (14).

Л. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве (2)

Рассматривается теория классов, основанная на концепции тождества объектов, предложенная Б. Расселом и А. Уайтхедом. Анализируется критика данной концепции Л. Витгенштейном и Ф.П. Рамсеем, с точки зрения которой сравниваются предложенные ими решения возникающих в концепции тождества проблем. Показано, что концепция тождества как уравнивание знаков, используемых в математических выражениях (Л. Витгенштейн), контрастирует с понятием тождества, используемого как интегративная часть специфических математических тавтологий (Ф.П. Рамсей).

L. Wittgenstein and F.P. Ramsey on identity (2).pdf Данная статья является продолжением статьи [1], в которой преимущест-венно рассматривалась критика Л. Витгенштейном, представленная им в Ло-гико-философском трактате (ЛФТ) [2], теории тождества из PrincipiaMathematica (PM) [3] А. Уайтхеда и Б. Рассела, а идеи Ф.П. Рамсея рассмат-ривались как возможное дополнение данной критики и как попытка развитияэтой критики с учётом предложенного в ЛФТ перевода записи, использую-щей тождество в PM, в запись без тождества. Запись без тождества, даже ес-ли учитывать все достижения из ЛФТ, испытывает значительные затрудне-ния, что и демонстрирует Рамсей, используя предложения Витгенштейна какпрямо, так и со значительными модификациями в способах записи и их ин-терпретации. Значительные затруднения, рассмотренные в предыдущей ста-тье, показывают, что, предложенный Витгенштейном перевод может бытьосуществлён только лишь с уходом в бесконечность допущений.Здесь в первую очередь рассматриваются те положения из РМ, которыекак раз и подверглись критике в ЛФТ, и на основании их содержания анали-зируются подходы Витгенштейна и Рамсея к истолкованию содержания ма-тематики, которое первый трактует как уравнивание знаков (лингвистиче-скую конвенцию), позволяющее использовать подстановку одних выраженийвместо других, а второй в своих Основаниях математики (ОМ) [4] - как осо-бый тип тавтологий, характеризующих взаимосвязи в рамках символическойсистемы, основанных на истинностных значениях пропозиций. Важностьразличения этих подходов позволяет охарактеризовать эволюцию направле-ния логицизма в основаниях математики, считающего, что математика явля-ется продвинутой частью логики.Рассмотрим, прежде всего, с какой целью в PM вводится знак '=', кото-рый, напомним, в соответствии с принципом отождествления неразличимыхЛейбница определяется следующим образом (определение *13.01):x = y =def : (ƒ) : ƒ!x.  . ƒ!y,т.е. «данное определение означает, что x и y будут называться тождествен-ными, когда каждая предикативная функция, которая удовлетворяется x, так-же удовлетворяется y» [3. С. 245].Исключительно важная роль знака тождества в РМ связана с тем, что сего помощью вводится общее понятие класса, конкретные классы и опреде-ление конкретных чисел (в частности, 0, 1 и 2) [3. Т. 1. С. 266-277, 396-429],которое потом развивается в общее определение понятия кардинального чис-ла как класса всех равночисленных классов, т.е. классов, элементы которыхнаходятся во взаимно-однозначном соответствии [3. Т. 2. С. 67-114]. Рас-смотрим эти функции знака '=' последовательно.Начнём с того, что под классом Рассел и Уайтхед понимают совокуп-ность элементов, удовлетворяющих какую-то пропозициональную функцию,т.е. функцию, определенную на некоторой предметной области, которая сво-им значением имеет истину и ложь. Таким образом, каждая пропозициональ-ная функция определяет некоторый класс, который составляют те и только теаргументы функции, для которых она является истинной [3. Т. 1. С. 265]. Так,функция 'x - разумен', заданная на множестве живых существ, определяеткласс людей, поскольку только для элементов данного класса она являетсяистинной. В формальной записи из PM функция ƒх , скажем, соответствую-щая свойству разумности, определяет класс х (ƒx), класс тех элементов х,которые обладают этим свойством, т.е. класс людей.При этом вполне возможно, что один и тот же класс может определятьсяразличными функциями. Функции, определяющие один и тот же класс, т.е.являющиеся истинными для одних и тех же аргументов, называются фор-мально эквивалентными. Так, например, функции 'x - разумен' и 'x - имеетмягкую мочку уха', определённые на множестве живых существ, являютсяформально эквивалентными, поскольку истинны для одних и тех же аргу-ментов, а значит, определяют один и тот же класс. То есть функции ƒх иƒх , соответствующие данным свойствам, могут определять один и тот жекласс, т.е. классы х (ƒx) (класс разумных существ) и х (ƒx) (класс существ,имеющих мягкую мочку уха) могут совпадать, т.е. являться одним классом, аименно, классом людей.Однако функции, даже если они формально эквивалентны, с точки зренияопределения истинностных значений высказывания, в которые они входят,могут играть разную роль. Во-первых, если истинность высказывания опре-деляется только с точки зрения возможных аргументов функции, т.е. зависиттолько от определяемого функцией класса, то такая функция называется экс-тенсиональной. Во-вторых, если истинность высказывания зависит от осо-бенностей того, как задаётся сама функция, то такая функция называется ин-тенсиональной. Так, например, в высказываниях «Сократ - разумен» и «Вселюди разумны» (или формально «ƒa» и «(х).ƒх») функция 'x - разумен' (т.е.функция ƒх ) - экстенсиональна, поскольку, если мы заменим её на функцию'x - имеет мягкую мочку уха' (т.е. на ƒх ), истинностное значение соответст-вующих высказываний не изменится. Действительно, «Сократ имеет мягкуюмочку уха» и «Все люди имеют мягкую мочку уха» будут столь же истинны-ми, как и высказывания «Сократ - разумен» и «Все люди разумны», посколь-ку истинность данного высказывания зависит исключительно от аргументовфункции, составляющих один и тот же класс. Другими словами, экстенсио-нальность функций определяется тем, что если они формально эквиваленты(т.е. имеет место ƒx . x . ƒх), то они заменимы в любых контекстах (в частно-сти, (х)ƒx .  . (х)ƒх).В отличие от экстенсиональных функций, интенсиональные функцииэтим свойством не обладают. Так, если мы возьмём высказывание «Иван счи-тает, что все люди разумны», то здесь функция 'x - разумен' является интен-сиональной, поскольку Иван не обязан знать, что все люди имеют мягкую моч-ку уха, а следовательно, высказывание «Иван считает, что все люди имеютмягкую мочку уха» не обязательно будет истинным. В данном случае заменаƒх на ƒх может приводить к изменению истинностного значения всего вы-сказывания, а следовательно, функция ƒх является интенсиональной.Таким образом, экстенсиональные функции в PM определяются какфункции, которые взаимозаменимы во всех контекстах, а именно, относи-тельно свойства экстенсиональности функции f от функции ƒ! z  имеет местоследующее утверждение:ƒ!x . x . ƒ!х : ƒ,ƒ : f(ƒ! z  ) .  . f(ƒ! z  ),т.е. формально эквивалентные предикативные функции экстенсиональны,если они выполняются для одних и тех же аргументов во всех контекстах.Экстенсиональные функции чрезвычайно важны, поскольку «когдафункция ƒ! z  экстенсиональна, её можно рассматривать как нечто присущееклассу, определяемому ƒ! z  , поскольку её истинностное значение не изме-нится, пока не изменится класс» [3. Т. 1. С. 266]. Поскольку с точки зренияРассела и Уайтхеда, все интересные с точки зрения математики функции яв-ляются экстенсиональными, постольку в математике ими можно и ограни-читься. Это важно в связи с тем, что таким образом достигается значительноеупрощение, поскольку вместо экстенсиональных функций можно тогда гово-рить об определяемых этими функциями классах, хотя Рассел с Уайтхедом исчитают классы логическим фикциями. Упрощение достигается в частноститем, что вместо различных экстенсиональных функций, определяющих одини тот же класс, можно говорить о самом этом классе, поскольку классы, оп-ределяемые такими функциями, тождественны или равны. Равенство междуклассами определяется путём буквального применения приведённого вышеопределения *13.01 к определяющим функциям с соответствующей модифи-кацией, учитывающей, что уравниваются не индивиды, а логические фикции,состоящие из этих индивидов (утверждение *20.15):|⎯ :. ƒx . x . ƒх :  . z  (ƒz) = z  (ƒz),т.е. «два класса идентичны, тогда и только тогда, когда определяющие ихфункции формально эквивалентны. Это основное свойство классов» [3. Т. 1.С. 267].Знак "=" применяется в РМ не только для установления отличительныххарактеристик классов, но и при задании особых классов, в частности пусто-го и универсального. В этом случае тождество выступает в качестве опреде-ляющей класс функции. Универсальный класс ('' в символике РМ, предло-жение *24.01) определяется следующим образом: =def х (х = х),т.е. универсальный класс задаётся как класс самотождественных индивидов.Здесь определяющая класс функция сводится к равенству индивидов, обла-дающих одними и теми же свойствами. Универсальный класс можно было бызадать и каким-то другим свойством, которым обладают все индивиды, но впользу равенства говорит то, что оно, в отличие от любых других свойств,хорошо описывается формально, поскольку задаётся однозначным определе-нием. Действительно, так как предметы равны, если все их свойства одинако-вы, то для единственного предмета это утверждение превращается в аналити-ческое тождество. Как утверждается в РМ: «Любое другое свойство, прису-щее всему, работает так же хорошо, как и "х = х", но это единственное из та-ких свойств, которое мы до сих пор изучали» [3. Т. 1. С. 293], следовало быдобавить, что до сих пор это свойство изучалось именно потому, что егоможно определить значимым образом.Аналогичным образом определяется нуль-класс или пустой класс, кото-рый рассматривается как дополнение к универсальному и который можнозадать через отрицание определяющего универсальный класс свойства (т.е. =def х (х  х)). Определённые таким образом универсальный и пустой клас-сы, а также общее определение класса позволяют развить стандартную буле-ву алгебру классов, представляющую собой математизированную интерпре-тацию традиционной логики [3. Т. 1. С. 265-289, 293-306]. Все соотношения,предлагаемые классической аристотелевской силлогистикой, выполняютсяточно так же, как выполняются все соотношения, предлагаемые булевой ал-геброй классов.Универсальный и нулевой классы позволяют интерпретировать традици-онную логику. Но этого недостаточно для цели, которая ставится в РМ. Вве-дение знака "=" связано не столько с тем, чтобы определить класс вообщеили такие классы, как универсальный или нулевой, хотя нулевой класс и иг-рает в дальнейшем определении в РМ кардинальных и ординальных чиселважную роль. Это связано, прежде всего, с тем, что с его помощью, вернее спомощью обозначаемого им свойства, или, лучше сказать (согласно приве-дённым выше определениям), с помощью определимых им классов, можноввести классы, содержащие точно определённое количество индивидов, по-скольку классы с точно определённым количеством индивидов позволяютзатем вести понятие конкретных чисел и на этой общей основе разъяснить иопределить общее понятие числа.Действительно, если мы просто ограничиваемся понятием класса, пред-полагая, что он не универсальный и не нулевой, то возникает вопрос: «Аможно ли на приведённых основаниях определить класс, содержащий точноеколичество индивидов, и при этом количество индивидов находилось бы впределе от  до ?». То есть можно ли задать такую определяющую классфункцию, которая бы точно определяла количество предметов. Рассел иУайтхед считают, что такие функции можно задать, как раз используя опре-деляемое ими в *13.01 тождество объектов.Прежде всего, в РМ вводится единичный класс, т.е. класс, содержащийтолько один индивид. Это важно, поскольку класс, не содержащий индиви-дов, уже есть, а именно класс , а все следующие классы должны содержатьбольшее количество индивидов. И резонно, что таким следующим классомдолжен быть класс, содержащий хотя бы один индивид. Единичный класс,т.е. класс, содержащий один элемент, в РМ вводится так: «Мы вводим новуюдескриптивную функцию ƒ'x, означающую "класс термов, идентичных термух" или, что то же самое, "класс, единственный элемент которого есть х" [3.Т. 1. С. 405]. Таким образом,ƒ'x = def у  (у = х)»,т.е. "ƒ'x" определяется через указание единственности объекта, входящего вкласс, так как этот класс задаётся как класс всех тех элементов у, которыеидентичны элементу х, т.е. единичный класс определяется как класс всех техобъектов, которые идентичны некоторому выбранному элементу. Здесь, как ив случае с универсальным классом, видимо, можно было бы использоватьдругое свойство, т.е. опять-таки равенство использовать не обязательно, еслибы только можно было найти свойство, которое однозначно определяет классс единственным элементом. И хотя в РМ на это явно не указывается, можносказать, что тождество, выражаемое как "=", используется в силу простоты,задаваемой формальным определением *13.01.Подобным образом, с использованием равенства, определяется класс, со-стоящий из двух элементов. В этом случае класс задаётся как объединениеэлементов, тождественных некоторому х, и элементов, тождественных неко-торому у (в символике РМ ƒ'x  ƒ'у). При этом для того чтобы обеспечитьналичие именно двух элементов в данном классе, добавляется условие,опять-таки использующее тождество, а именно, необходимо, чтобы х  у,поскольку, в противном случае, опять получился бы единичный класс. Разли-чие элементов задаётся через их нетождественность. То есть класс, содержа-щий два элемента, в полном выражении записывается, например, так: у  (у = х) z  (z = =v), при этом необходимо указать, что х  v. Так мы получаем класс,состоящий из пары элементов. Нетрудно заметить, что подобным образомможно получить не только пары, но и любые классы, состоящие из нужногонам количества элементов. Более того, в РМ рассматриваются не только про-сто пары, но и упорядоченные пары, что сделать (опять-таки используя ра-венство) совсем не трудно. Нужно только пару определить таким образом,чтобы было ясно, какой элемент идёт первым. А значит, поскольку можнозадать любые классы с нужным количеством элементов, можно задать и лю-бые классы, где эти элементы упорядочены.Таким образом, отталкиваясь от понятия формально эквивалентных экс-тенсиональных функций, в системе РМ можно перейти к классам, и не просток классам, но к классам с точно определённым количеством элементов и даже кклассам, где эти точно определённые элементы упорядочены. А это уже крайневажно, поскольку с точки зрения классов в РМ вводятся основные понятия ма-тематики, а именно, понятия кардинального и ординального числа.Остановимся только на кардинальных числах. Общее определение поня-тия кардинального числа, как класса всех классов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии, вводится в начале второго тома РМ: «Карди-нальное число класса ƒ, которое мы будем обозначать "Nc'ƒ", определяетсякак класс всех классов, подобных ƒ» [3. Т. 2. С. 57]1. Ещё ранее, в первомтоме РМ, на основании определения конкретных конечных классов вводятсяконкретные кардинальные числа. В частности, в определениях:*54.01. 0 = def ƒ' ,*52.01. 1 = def ƒ{(х) . ƒ = ƒ'x},*54.02. 2 = def ƒ{(х,y) . х  у . ƒ = ƒ'x  ƒ'у}вводятся 0, 1 и 2, что в соответствии с приведёнными выше определениямиконкретных классов означает, что 0 - это пустой класс, 1 - это класс всехединичных классов, 2 - это класс всех двухэлементных классов. Определенияподобного рода нетрудно продолжить для других чисел. Во втором томе дляудобства определения конкретных кардинальных чисел, с точки зрения об-щего определения понятия кардинального числа и введённого в конце второ-го тома понятия индуктивного числа для того, чтобы задать порождениекласса всех кардинальных чисел, в обозначение, конечно, вводится подобиеклассов, но для существа делафактически делая невозможным адекватное определение понятия класса ипроизводных от него понятий1. Уже тезис Витгенштейна, что «два объектаразличаются только тем, что они разные» [2. 2.0233], утверждает, что дваобъекта, имеющие все свойства одинаковыми, могут быть различны (и в этомнет никакого логического противоречия), а следовательно, неверным оказы-вается и определение *13.01 со всеми вытекающими для всех остальных оп-ределений последствиями.Для Витгенштейна здесь нет проблем, поскольку он в принципе считает,что «теория классов в математике совершенно излишня» [2. 6.031]. Это свя-зано с тем, что с его точки зрения способы задания классов в РМ не являютсялогически необходимыми, поскольку уже задание универсального и пустогокласса зависит от того, могут ли объекты обладать свойством самотождест-венности. Ответ на этот вопрос зависит скорее от свойств нашего физическо-го мира, нежели от логики, которая говорит только о возможности его описа-ния, но равенство обозначений в рамках описания не говорит ничего необхо-димого о самом мире. Однако, как считает Витгенштейн, «общность, упот-ребляемая в математике, - не случайная общность» [2. 6.031]. Поэтому фреге-расселовское определение конкретных чисел он заменяет понятием чисел какпоказателей операций [2. 6.021], осуществляемых при переходе от одногопредложения к другому. При этом общее понятие числа определяется какобщая форма построения всех таких показателей [2. 6.03], когда определенаобщая форма всех возможных предложений [2. 6], основанных на таких по-строениях (подробнее см. [7. C. 247-259]). Эти построения не выходят зарамки символического конструирования пропозициональных функций, и наэтой основе считаются Витгенштейном не выходящими за рамки аналитиче-ского, необходимого знания, т.е. они ничего не говорят о мире, но являютсялишь преобразованием языковых выражений.В соответствии с таким подходом к понятию числа интерпретируются ипредложения математики, относительно которых Витгенштейн считает, чтоони «не .4286 выражают никакой мыслигенштейном с уровня объектов на уровень знаков. Тождество, используемое вЛФТ, больше не является тождеством в смысле РМ. Знак '=' не имеет онто-логического измерения, он ничего не может сказать об отношениях объектов.Этот знак имеет лишь лингвистический, конвенциональный характер. Какутверждает Витгенштейн, «в жизни ведь нет никаких математических пред-ложений, в которых мы бы нуждались, но математические предложения мыупотребляем только для того, чтобы из предложений, не принадлежащихматематике, выводить другие, равным образом не принадлежащие математи-ке» [2. 6.211]. Например, предваряя пример Рамсея, мы можем сказать, что изтого, что у меня есть 2 + 2 шляпы, я могу вывести, что у меня 4 шляпы, приэтом, конечно, данные пропозиции нужно представить в соответствующемвиде, чтобы вторую можно было представить как результат преобразованийпервой. Но всё равно '2 + 2 = 4' в данном случае, есть лишь способ преобра-зования одного выражения в другое.Как уже говорилось, Рамсей согласен с критикой Витгенштейна, болеетого, он её развивает в определённых аспектах и пытается, применяя согла-шения Витгенштейна, реализовать в формальной системе, не использующейзнака тождества, что достаточно затруднительно [1]. Рассмотрению этой кри-тики достаточно много места посвящено и в ОМ, как, впрочем, и недостаточ-ности решения, предлагаемого Витгенштейном.Начнём с критики. Действительно, Рамсей, касаясь возможности разли-чия вещей, имеющих все свойства общими, утверждает: «Это вполне воз-можно, даже если, фактически, этого никогда не происходит. Возьмём двевещи а и b. Тогда ничего самопротиворечивого нет ни в том, чтобы а облада-ло любым самонепротиворечивым множеством элементарных свойств, ни втом, чтобы этим множеством обладало b, ни, следовательно, в том, чтобы а иb имели эти свойства общими. Стало быть, поскольку это логически возмож-но, существенно иметь такой символизм, который позволял бы нам рассмат-ривать эти возможности, а не исключать их посредством определения» [4.С. 39]. То есть определение *13.01 из РМ, исключающее такую возможность,логически неоправдано. Вероятные аргументы, оправдывающие такую воз-можность, имеют содержательный, а не логический характер.Пожалуй, единственный аргумент, который может сойти за логический,заключается в том, что уже именование объектов разными именами влечётразличие обозначаемых этими именами объектов. Кажущийся на первыйвзгляд логическим аргумент от необходимости различения объектов уже по-тому, что они обозначаются разными знаками, с точки зрения Рамсея, тако-вым не является: «Бесполезно выдвигать возражения, что невозможно разли-чить две вещи, у которых все свойства общие, поскольку дать им различныеимена влекло бы, что обладание этими именами уже является различнымисвойствами. Ибо, хотя, так сказать, это и совершенно верно, что я не могу поуказанной причине знать какие-то две отдельные неразличимые вещи, однакоя вполне могу рассматривать такую возможность или даже знать, что есть двенеразличимые вещи, не зная, что они собой представляют. Возьмём анало-гичную ситуацию: поскольку людей на земле больше, чем волос на головелюбого человека, постольку я знаю, что должны быть по крайней мере двачеловека с одним и тем же числом волос, но я не знаю, какие именно это лю-ди» [4. C. 39]. То есть я вполне могу использовать разные имена для вещей,обладающих одними и теми же свойствами, так как совершенно не обяза-тельно знать, что это за вещи, поскольку я могу использовать и используюразные имена, и в этом нет никакого противоречия. Аргумент от различиявещей в силу различия их имён работает скорее в пользу точки зрения Вит-генштейна, поскольку, используя выражение 'а = b', мы утверждаем, что ис-пользуем разные обозначения одного и того же объекта, а не то, что разныеобъекты в каком-то смысле равны, так как если они равны, нужно было быиспользовать 'а = а', а если не равны, то нужно было бы использовать 'а  b'.Стало быть, если всё-таки возможно иметь символизм, не использующийзнака тождества в смысле РМ, а из аргументации Витгенштейна следует, чтоего можно и следует разработать, то его необходимо разработать хотя бы длятого, чтобы освободить логику от допущений, связанных в РМ с определени-ем *13.01. Но насколько это можно осуществить в соответствии с принципа-ми ЛФТ?Следуя Витгенштейну, Рамсей утверждает: «Когда и 'а', и 'b' являютсяименами, единственное значение, которое может быть придано 'а = b', состо-ит в том, что оно указывает на то, что мы используем 'а' и 'b' в качествеимён одной и той же вещи или, более обще, как эквивалентные символы» [4.С. 27]. Но насколько оправдана такая интерпретация? Используя равенство, вэтом случае мы указываем на уравнивание выражений, т.е. формулы вроде'а = b' указывают на то, что 'а' и 'b' являются равными символами. С этимможно было бы согласиться, но, как считает Рамсей, хотя «в этом есть опре-делённое удобство, например, при рассмотрении '2 + 2 = 4'. Поскольку 'Уменя есть 2 + 2 шляпы' и 'У меня есть 4 шляпы' являются одной и той жепропозицией, '2 + 2' и '4' являются равными символами. В таком виде этот,очевидно, смехотворно узкий взгляд на математику и ограничивает её допростой арифметики… Я посвятил некоторое время развитию такой теориили два выражения связаны знаком равенства, то это означает, что они взаимо-заменимы» [2. 6.23]. В случае примера со шляпами уравнение "2 + 2 = 4" таки работает. Можно предположить, что так работают и другие уравнения ма-тематики. Возьмём, например, выражение'x2 - 3x + 2 = 0 : x : x = 2 .  . x = 1'.Оно может относиться к такой форме и говорить об уравниваемых зна-ках. В интерпретации Витгенштейна оно указывало бы на то, что 'Если " x2 -- 3x + 2" означает 0, то "x" означает 2 или 1'. «Математика, - как считаетРамсей, - была бы тогда, по крайней мере частично, деятельностью по конст-руированию формул, которые таким способом соответствуют вербальнымпропозициям» [4. С. 28]. Такую теорию трудно, а, может быть, и невозможнобыло бы развить в деталях. Но Рамсей считает, что её не просто можно, но инужно отвергнуть по другим основаниям.В ОМ основные затруднения, связанные с таким подходом, относятся киспользованию математических выражений в обычных утверждениях, «онивозникают, как только мы прекращаем трактовать математику как изолиро-ванную структуру и рассматриваем математические элементы в нематемати-ческих пропозициях» [4. C. 29]. Такие выражения можно легко найти там, гдематематические отношения характеризуют отношения между предметамиреального мира. Возьмём, например, высказывание «Число англичан, возве-дённое в квадрат, на два больше, чем число французов, возведённое в куб».Как формально проанализировать данное высказывание? Допустим, напри-мер, что пропозициональная функция ƒх истинна только для англичан, апропозициональная функция ƒх истинна только для французов. Используя,пока для удобства обозначения, теорию классов из PM, можно было бы ска-зать, что эти функции соответственно определяют классы х (ƒх) и х (ƒх) каккласс англичан и класс французов. Тогда число класса англичан можно опре-делить с помощью выражения 'х (ƒх)  m', а число класса французов как'х (ƒх)  n' (где 'm' и 'n' определяются lкак соответствующие числазаменой переменной на константы. Последние же являются эмпирическимипропозициями, значит, таковым является и результат применённой к нимоперации. Всё указывает на то, что данное выражение является эмпириче-ской, а не математической пропозицией. Но какую здесь роль тогда играеткомпонент 'm2 = n3 + 2'? Если мы принимаем точку зрения Витгенштейна ирассматриваем компонент как лингвистический, т.е. относящийся только кспособам выражения или, вернее, к способам уравнивания символов, тогда ивсей пропозиции мы должны придать лингвистический смысл. То есть, со-гласно ЛФТ, математической псевдопропозиции m2 = n3 + 2 можно придатьсмысл, «только относя её к символам, делая тем самым всю пропозицию от-части относящейся к символам» [4. С. 29]. Но, пожалуй, вряд ли можно со-гласиться, что высказывание «Число англичан, возведённое в квадрат, на двабольше, чем число французов, возведённое в куб» является лишь символиче-ским соглашением. Здесь мы действительно нечто утверждаем о мире, и наосновании этого утверждения, кстати, можно было бы, например, делать вы-воды об этническом составе населения Европы, не считая, что пропорции,характеризующие такой состав, относятся лишь к нашим языковым конвен-циям. Во всяком случае, вопрос «Каково число англичан?» вполне осмыслен,и если на это вопрос я отвечу, что «число англичан, возведённое в квадрат, надва больше, чем число французов, возведённое в куб», то этот ответ такжевполне осмыслен, т.е. он нечто говорит о действительности, не являясь вы-ражением простой языковой конвенции.Нельзя сказать, чтобы Рамсей совершенно не соглашался с Витгенштей-ном в понимании математических выражений. Математические псевдопропо-зиции действительно отличаются от эмпирических. Как бы не трактовались вэтом случае логические и математические операции, для Рамсея «ясно, одна-ко, одно: математика не состоит из подлинных предложений или утвержде-ний о фактах, которые могут быть основаны на"q", связанные как "p  q", дают тавтологию, то ясно, что q следует из р» [2.6.1221]. Особенностью тавтологий является то, что они для любых распреде-лений истинностных значений принимают значение «истина». Тавтологиивместе с противоречиями, т.е. пропозициями, принимающими значение«ложь» при любых распределениях истинностных значений у их компонент(ясно, что отрицание тавтологии даёт противоречие, и наоборот), образуютто, что Витгенштейн называет предложениями логики. Особенностью логи-ческих предложений является то, что они ничего не говорят о действительно-сти, «их истинность узнаётся из символа самого по себе» [2. 6.113]. Логиче-ские предложения характеризуют свойства знаковой системы, организуяпредложения, которые нечто говорят о действительности и которые считают-ся подлинными предложениями. В отличие от последних, имеющих смыслименно потому, что они являются образами действительности, «в логике ка-ждое предложение является формой доказательства» [2. 6.1264], т.е. формойсвязи одних осмысленных предложений с другими. Логика как наука естьтеория, представляющая логические предложения в систематическом виде.Логическая теория в этом смысле является не более чем реестром форм дока-зательств, облегчающая распознавание тавтологий там, где они усложнены[2. 6. 1262].В качестве тавтологий, т.е. псевдопредложений, характеризующих свой-ства знаковой системы, можно попытаться истолковать и псевдопредложенияматематики. Если бы мы понимали математические уравнения по такому жетипу, как тавтологии, то следовало бы математические операции уподобитьлогическим. Тогда вывод, использующий математические выражения, вполнесоответствовал бы выводу, использующему логические операции. В этомслучае и логические, и математические операции рассматриваются как спо-соб построения разных форм описания одного и того же. С этим трудно несогласиться, поскольку аналогия вполне уместна. Выражения формы '2 + 2 == 4' должны трактоваться как тавтологии, тогда «'2 + 2 = 4' само является неподлинной пропозицией, в пользу которой требуется опытная очевидность,но тавтологией, которую как тавтологию может видеть, кто способен полно-стью схватить её значение» [4. C. 24]. Эти выражения были бы не простоуравнениями в смысле Витгенштейна, т.е. выражениями, на основании кото-рых мы просто подставляем одни знаки вместо других, но выражениями, ха-рактеризующими те свойства знаковой системы, которые позволяют приво-дить в систематическую связь подлинные предложения, нечто говорящие одействительности. Точно так же, как и в случае с предложениями логики,выражения математики можно было бы представить в виде упорядоченнойсистемы. Тогда математика представляла бы собой реестр форм доказа-тельств, использующих специфические математические тавтологии. Функцияматематики как теории уподоблялась бы функции логики как теории, т.к. ма-тематика становится способом распознавания математических тавтологий,поскольку «когда в математике мы продвигаемся дальше, пропозиции стано-вятся столь усложнёнными, что мы непосредственно не можем видеть, чтоони являются тавтологиями, и должны убедиться в этом, выводя их из болееочевидных тавтологий. Исходные пропозиции, на которые мы в конечномсчёте выпадаем, должны быть такими, что для них не нужно требовать ника-кой очевидности, поскольку они являются явными тавтологиями» [4. С. 24].Вместе с тем совершенно очевидно, что математические тавтологии чем-то должны отличаться от логических тавтологий. Как считает Рамсей, «тав-тологии, из которых состоит математика, вероятно, могут в свою очередь от-носиться к тавтологиям не витгенштейнианского типа, но какого-то другого»[4. C. 24]. Но в любом случае их использование должно облегчать вывод, де-монстрируя, что определённая связь одного выражения с другим, являясьтавтологией в таком смысле, позволяет получить первое выражение из друго-го. Связь предложений, как и в случае с логическими тавтологиями, показы-вала бы то, что связь предложений обеспечивается соотношением их истин-ностных значений. Рамсей утверждает: «Возможно, что есть другие видыформул, которые могут использоваться, чтобы облегчить вывод; например,те, которые мы могли бы назвать тождествами типа 'a = b', обозначающими,что 'a' и 'b' могут быть подставлены вместо друг друга в любую пропозициюбез её изменения. Я имею в виду, не без изменения её истинности или ложно-сти, но без изменения того, чем является пропозиция. В этом смысле '2 + 2 == 4' вполне может быть тождеством, поскольку 'У меня есть 2 + 2 шляпы' и'У меня есть 4 шляпы' являются одной и той же пропозицией, так как онисогласуются и не согласуются с одним и тем же множеством предельных ис-тинностных возможностей» [4. С. 24-25].Пока мы оставляем в стороне детальное рассмотрение вопроса о том, какэто можно было бы реализовать и как это действительно реализует Рамсей.Остановимся только на том, что понимание математических уравнений кактавтологий, во всяком случае, позволяет объяснить проблему того, как трак-товать приведённое выше высказывание «Число англичан, возведённое вквадрат, на два больше, чем число французов, возведённое в куб», не сводяего к реализации простой языковой конвенции, а рассматриваясодержательно высказывание «Число англичан, возведённое в квадрат, на двабольше, чем число французов, возведённое в куб» выражалось бы просто как"( m,n) . х (ƒх)  m . х (ƒх)  n", а добавление 'm2 = n3 + 2' просто уточнялобы условия истинностной оценки данного высказывания либо не изменяя егоистинностного значения, либо делая его противоречивым при соответствую-щих значениях m и n. Таким образом, выражение 'm2 = n3 + 2' характеризова-ло бы просто свойства логической системы, проявляя себя в качестве тавто-логии в одном случае и в качестве противоречия - в другом. Как считаетРамсей, подобная трактовка математических тождеств избегает проблем, свя-занных с интерпретацией их как уравнений, принятых в ЛФТ, поскольку «за-труднение, которое казалось фатальным для теории тождества, вообще избе-гается теорией тавтологий» [4. С. 30], если математическая псевдопропози-ция трактуется как тавтология или противоречие, относящаяся только к воз-можности соответствующей истинностной оценки пропозиции, в которуюона входит как компонент1.Таким образом, трактовка математических псевдопропозиций как тавто-логий вполне возможна и даже, в некотором смысле, необходима, если нужноизбежать крайностей их трактовки как просто языковых конвенций, предла-гаемых Витгенштейном. И задача, которую ставит перед собой Рамсей, за-ключается в том, чтобы «решить, состоит ли математика из тавтологий (вточном смысле, определённом Витгенштейном) или формул некоторого дру-гого сорта» [4. С. 25]. И хотя Рамсей считает, что вся математика состоит изтавтологий, для доказательства этого необходим детальный анализ, которыйпозволил бы оправдать такие новые тавтологии именно как тавтологии. Вприведённом примере анализа высказывания «Число англичан, возведённое вквадрат, на два больше, чем число французов, возведённое в куб» математи-ческая тавтология, входящая в него как компонент, трактовалась с точки зре-ния классов. Но должна ли она истолковываться именно так? Трактовка m и nкак классов равночисленных классов возвращает к критике, которой подвер-глась РМ со стороны Витгенштейна. И здесь, если требуется сохранить клас-сы, следует многое изменить не только в трактовке тавтологий, но и в трак-товке самих классов.Витгенштейн перевёл понимание знака '=' на уровень языковой конвен-ции, но реализация такого подхода полностью невозможна, поскольку не всеутверждения математики можно трактовать с позиций такой конвенции.Трактовка математических утверждений Рамсеем как тавтологий заставляетвновь вернуться к классам. Такой подход потребовал от Рамсея значительноймодификации некоторых понятий из РМ, в частности, понятия функции, оп-ределяющей класс, которую он заменяет понятием экстенсиональной функ-ции (function in extension), но это уже тема следующей статьи.1 Тавтологии и противоречия в качестве средства интерпретации тождества для улучшения спо-собов перевода записи, использующей знак '=', в способ записи, не использующий таковой, Рамсейиспользует уже в черновиках к ОМ, представленных в составе его архивного наследия [8. С. 155-169],пытаясь реализовать конвенцию Витгенштейна [1]. Но только в ОМ сами выражения с тождествомначинают трактоваться как тавтологии и противоречия.

Ключевые слова

теория классов, тождество, уравнение, тавтология, понятие числа, символическая система, theory of classes, identity, equation, tautology, concept of number, symbolical system

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Суровцев Валерий АлександровичТомский государственный университетдоктор философских наук, профессор кафедры истории философии и логикиsurovtsev1964@mail.ru
Всего: 1

Ссылки

Суровцев В.А. Л. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2009. № 4(8). С. 89-103.
Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М.: Канон+; РООИ Реабилитация, 2008.
Уайтхед А.Н., Рассел Б. Основания математики: В 3 т. Самара: Самарский университет, 2005-2006.
Рамсей Ф.П. Основания математики // Рамсей Ф.П. Философские работы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 15-64.
Фреге Г. Основоположения арифметики // Фреге Г. Логико-философские труды. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2008. С. 125-238.
Marion M. Wittgenstein and Ramsey on Identity // From Dedekind to Godel. Essays on Development of the Foundation of Mathematics. N.Y.: Kluwer Academic Publishers, 1995. P. 344-371.
Суровцев В.А. Автономия логики: источники, генезис и система философии раннего Витгенштейна. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001.
Ramsey F.P. Notes on Philosophy, Probability and Mathematics. Napoli: Bibliopolis, 1991.
 Л. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве (2) | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2011. № 2 (14).

Л. Витгенштейн и Ф.П. Рамсей о тождестве (2) | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2011. № 2 (14).

Полнотекстовая версия