Аналитическое определение числа, парадокс Рассела и теориятипов | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2012. № 2 (18).

Аналитическое определение числа, парадокс Рассела и теориятипов

Рассматривается определение числа у Г. Фреге. Подход Г. Фреге сравнивается совзглядами И. Канта. Демонстрируется оригинальность и приоритет фрегевскогоподхода. Рассматриваются недостатки определения числа у Г. Фреге, выявленныеБ. Расселом. Дается критическая оценка исследований Б. Рассела.

The analytic definition of number, Russells paradox and theoryof types.pdf Математика в «Критике чистого разума» И. Канта«Все математические суждения имеют синтетический характер» [1.C. 14] - это, с точки зрения Канта, означает, что математическое знание не-возможно получить только путем аналитической работы рассудка. Матема-тика требует выхода за пределы понятий рассудка к созерцанию. Известныйпример Канта состоит в следующем: «На первый взгляд может показаться,что положение 7 + 5 = 12 есть чисто аналитическое суждение, вытекающеесогласно закону противоречия из понятия суммы семи и пяти. Однако, при-сматриваясь ближе, мы находим, что понятие суммы семи и пяти содержит всебе только признак соединения этих двух чисел в одно, причем вовсе не ука-зывается, каково то число, которое охватывает слагаемые. Понятие двенадца-ти вовсе еще не мыслится вследствие того, что я только мыслю о соединениисеми и пяти; и сколько бы я ни анализировал свое понятие такой возможнойсуммы, я бы не встретил в нем числа 12. Для этого необходимо выйти за пре-делы этих понятий, взяв на помощь наглядное представление, например, своипять пальцев… При этом я беру сначала число семь и затем, привлекая напомощь к понятию пяти наглядное представление пальцев своей руки, я при-соединяю постепенно к числу семь с помощью этого образа единицы, взятыедля составления числа пять, и таким образом вижу, как возникает двена-дцать» [1. C. 40]. Конечно, Кант не имеет здесь в виду то, что образованиепонятия числа зависит от конкретного эмпирического опыта пересчета паль-цев руки, палочек, яблок и т.д. Если бы это было так, то математическое зна-ние состояло бы из апостериорных синтетических суждений и имело бы слу-чайный характер. Кант убежден, что «… настоящие математические положе-ния всегда суть априорные, а не эмпирические суждения, потому что они об-ладают необходимостью, которая не может быть заимствована из опыта» [1.C. 39]. Понятие числа возникает на основании обращения к чистой формечувственного созерцания - времени. Фиксация временных синтезов в рамкахчистой формы чувственного созерцания обеспечивает, во-первых, априорныйхарактер математического знания, поскольку не зависит от конкретных эм-пирических примеров, и, во-вторых, гарантирует необходимость этого зна-ния, поскольку любой конкретный опыт пересчета предметов, данных в со-зерцании посредством органов чувств, будет соответствовать тем закономер-ностям, которые характерны для самой формы чувственного созерцания.Аналитическое определение числа у Г. ФрегеНесмотря на то, что Кант сохраняет за математикой статус априорного инеобходимого знания, указание на созерцание как на источник математиче-ского познания, во-первых, резко разделяет математику и логику, которые вданном случае трактуются как знания, имеющие различную природу, и, во-вторых, ставит математическое знание в зависимость от априорных синтети-ческих суждений, эпистемологический статус которых представляется от-нюдь не бесспорным в современной философии.Одна из важных заслуг Г. Фреге в философии математики состоит в том,что он попытался дать чисто аналитическое определение числа, устраняя изматематики обращение к эпистемологическим процедурам, связанным с со-зерцанием, и демонстрируя тем самым общую природу математического илогического знания, выраженного в аналитических суждениях.В общем виде определение числа у Фреге возникает на основании идеивзаимно однозначного соотнесения между предметами, составляющими объ-емы понятий: «… мы свели взаимно однозначное соотнесение к чисто логи-ческим обстоятельствам и теперь можем дать следующее определение: Вы-ражение 'Понятие F равночисленно понятию G' равнозначно выражению'Существует отношение φ, которое взаимно однозначно соотносит предметы,подпадающие под понятие F, с предметами, подпадающими под понятие G'»[2. C. 208].Стоит подчеркнуть, что в данном определении равночисленности не со-держится круга, ибо взаимно однозначную соотнесенность предметов, вхо-дящих в объемы понятий, можно фиксировать без их пересчета, для которогомы уже должны были бы использовать числа: «Если официант хочет бытьуверен, что он положил на стол ножей столько же, сколько тарелок, ему нетнадобности считать каждый из них; если только он справа от каждой тарелкирядом положил нож, тогда каждый нож на столе находится рядом справа оттарелки. Тарелки и ножи взаимно однозначно соотнесены друг с другом…»[2. C. 205].На основе определения равночисленности объемов понятий можно ввестиобщее определение числа. Число есть то, что соответствует совокупностипредметов, подпадающих под каждое из понятий, объемы которых находятсяво взаимно однозначном соотнесении.Используя данное общее определение, можно задавать определения кон-кретных чисел. Например, предметы, составляющие объемы таких понятий,как 'спутник Юпитера', 'сторона света', 'угол квадрата', 'конечность соба-ки', могут быть взаимно однозначно соотнесены. Тогда то, что соответствуетсовокупности предметов, подпадающих под каждое из понятий 'спутникЮпитера', 'сторона света', 'угол квадрата', 'конечность собаки', есть число,и имя этого числа - 'четыре'.Тем не менее последнее определение имеет изъян. Оно основывается наэмпирических данных, устанавливающих объемы соотносимых понятий, ипотому не может считаться аналитическим. Определение конкретных чиселдолжно быть выстроено на таком фундаменте, который бы не имел никакогоотношения к опыту.Руководствуясь вышеизложенными соображениями, Фреге вводит опре-деление 0, которое оказывается строго аналитическим: «0 - это число, соот-ветствующее понятию 'не равное себе'» [2. C. 210]. Под понятие 'не равноесебе', в соответствии с его содержанием, должны подпадать не равные себепредметы. Однако поскольку суждение 'а ≠ а', исходя из логического законанедопущения противоречия, является аналитически ложным, постольку не-обходимо истинно то, что не существует не равных себе предметов. Следова-тельно, под понятие 'не равное себе' не подпадает ни один предмет. В такомслучае то, что соответствует совокупности предметов, подпадающих под по-нятие 'не равное себе', есть число, и имя этого числа - 'ноль'. Такое опреде-ление не использует ссылку ни на эмпирическое, ни на чистое созерцание,оно основывается исключительно на логическом законе недопущения проти-воречия: «Все, что со стороны логики и для строгости доказательства можнотребовать от понятия, это его точные границы, чтобы для каждого предметабыло определено, подпадает он под него или нет. Этому требованию всецелоудовлетворяют понятия, содержащие противоречия, типа 'не равное себе';ибо для каждого предмета известно, что он под такое понятие не подпадает»[2. C. 210].Фрегевское определение числа 1 также является важным, поскольку онопозволило установить универсальный способ аналитического определениячисел, который затем был использован и в иных, отличных от фрегевской,концепций в философии математики. «1 - это число, соответствующее поня-тию 'равное 0'» [2. C. 213]. Единственным предметом0 ∅1 {∅}2 {∅, {∅}}3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}}4 {∅, {∅}, {∅, {∅}},{∅, {∅}, {∅, {∅}}}}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Парадокс РасселаВ 1902 г. Б. Рассел написал Г. Фреге письмо, в котором указывал на логи-ческие затруднения, возникающие при отсутствии каких-либо ограниченийна образование множеств (классов): «Вы утверждаете, что функция можетбыть неопределяемым элементом. Я тоже так считал, но теперь этот взглядкажется мне сомнительным из-за следующего противоречия: Пусть w будетпредикатом 'быть предикатом, не приложимым к самому себе'. Приложим лиw к самому себе? Из любого ответа вытекает противоречие. Стало быть, мыдолжны заключить, что w не является предикатом. Также не существуеткласса (как целого) тех классов, которые, как целое, не являются членамисамих себя. Отсюда я заключаю, что при определённых обстоятельствах оп-ределяемое множество не образует целого» [4. P. 130-131].Так был сформулирован парадокс, который в дальнейшем в логическойлитературе называли парадоксом множества всех непредикативных мно-жеств, или парадоксом класса всех стандартных классов. Существуют двавида классов: стандартные и нестандартные. Стандартным называется класс,который не включает себя самого в качестве собственного элемента. Напри-мер, класс всех яблок является стандартным. Он включает в себя конкретныеобъекты материального мира - яблоки, но не включает в качестве собствен-ного элемента себя самого, поскольку класс всех яблок сам яблоком уже неявляется. Таких классов подавляющее большинство: класс всех людей, классвсех деревьев, класс всех столов и т.д. Поэтому они и именуются стандарт-ными. Однако существуют и специфические, нестандартные классы. Нестан-дартным называется класс, который включает себя самого в качестве собст-венного элемента. Например, класс всех предметов, не являющихся яблока-ми, является нестандартным. Он включает в себя все предметы, не являю-щиеся яблоками, а именно, людей, деревья, столы и т.д. Но при этом и самкласс предметов, не являющихся яблоками, также может быть рассмотренкак предмет, не являющийся яблоком. Поэтому данный класс включает себясамого в качестве собственного элемента.Б. Рассел считает проблематичным образование класса всех стандартныхклассов. Класс всех классов, не являющихся членами самих себя, оказываетсяпротиворечив в том смысле, что в отношении него мы с одинаковой претен-зией на истинность можем сформулировать два противоречащих друг другусуждения. Истинным является как суждение 'Класс всех стандартных клас-сов есть стандартный класс', так и противоречащее ему 'Класс всех стан-дартных классов есть нестандартный класс'. Если мы допустим, что классвсех стандартных классов стандартен, то он должен стать членом самого се-бя, ведь это класс, включающий в себя все возможные стандартные классы.Но в таком случае мы приходим к выводу, что этот класс является нестан-дартным. Если мы допустим, что класс всех стандартных классов являетсянестандартным, то мы должны рассмотреть его в качестве члена себя самого.Но членами данного класса являются только стандартные классы, и поэтомумы приходим к выводу, что данный класс тоже является стандартным.С подачи Рассела в более популярной формулировке данная проблемачасто фиксируется в парадоксе под названием 'Брадобрей'. Брадобрей - де-ревенский цирюльник, в чьи обязанности входит брить только тех жителейдеревни, которые не могут бриться сами. Встает вопрос, может ли брадобрейбрить себя самого? Если мы предполагаем, что может, то он попадает в класстех людей, которые не могут бриться сами, и поэтому мы приходим к выво-ду, что данное действие в отношении себя он осуществить не в состоянии.Если мы предполагаем, что не может, то он становится членом той группылюдей, в отношении которых он осуществляет свою деятельность, и поэтомумы приходим к выводу, что он может себя побрить.Теория типов, переопределение числового ряда и аксиома бесконечностиРассел видел причину открытого им самим парадокса в смешении инди-видов и классов. В том случае, если элементом класса становится сам этоткласс, мышление оказывается под угрозой парадоксов. Для устранения этойугрозы Рассел и сформулировал теорию типов. Данная теория указывала нанеобходимость дифференциации классов по типам и запрещала смешениеклассов разных типов между собой: «Общность классов в мире не можетбыть классом в том же самом смысле, в котором последние являются класса-ми. Так мы должны различать иерархию классов. Мы будем начинать с клас-сов, которые всецело составлены из индивидов, это будет первым типомклассов. Затем мы перейдём к классам, членами которых являются классыпервого типа: это будет второй тип. Затем мы перейдём к классам, членамикоторых являются классы второго типа; это будет третий тип и т.д. Для клас-са одного типа никогда невозможно быть или не быть идентичным с классомдругого типа» [5. C. 90].Поскольку в определении числа у Фреге Рассел усматривает недопусти-мое, с его точки зрения, смешение элементов, относящихся к разным типам,постольку производные от Фреге построения числового ряда представляютсяему неудовлетворительными. Смешение, на которое указывает Рассел, в са-мом деле нетрудно обнаружить в числовом ряде фон Неймана, приведенномвыше. Например, двойка здесь определяется как множество, элементами ко-торого являются множества, относящиеся к разным типам: {∅, {∅}}.У самого Фреге подобного рода смешение не столь очевидно, и все жеего тоже можно обнаружить в определении единицы. Фреге определяет 1 както, что соответствует понятию 'равное 0'. Однако сам 0 определялся черезпонятие 'не равное себе'. Мы могли бы развернуть фрегевское определениеединицы следующим образом: 1 есть число, которое соответствует совокуп-ности предметов, подпадающих под понятие «равное 'не равное себе'».Единственным предметом, который составляет объем этого понятия, оказы-вается понятие 'не равное себе'. В данном случае предметом, подпадающимпод понятие, оказывается не индивидный объект, который бы удовлетворялсвойствам, зафиксированным в понятии, а само понятие. Этот факт действи-тельно представляет собой пример смешения элементов различных логиче-ских типов. Если снова обратиться к фон Нейману, то мы и здесь обнаружи-ваем подобное положение дел в отношении определения единицы: {∅}. Вданном случае элементом множества является не индивид, а тоже множество,что с точки зрения теории типов является логически некорректным.Неслучайно, что переопределение числового ряда у Рассела начинаетсяименно с единицы: «Он сохраняет общий фрегеанский подход к числу с точ-ки зрения классов, находящихся во взаимно однозначном соответствии. Со-храняет он и определение нуля как класса неравных самим себе объектов.Модификация определения начинается с числа один» [6. C. 60]. Число 1 со-ответствует совокупности объектов каждого из тех классов, которые взаимнооднозначно соотнесены с классом, содержащим один объект. Число 2 соот-ветствует совокупности объектов каждого из тех классов, которые взаимнооднозначно соотнесены с классом, состоящим из объекта, использованногопри определении числа 1, плюс новый объект. Число 3 соответствует сово-купности объектов каждого из тех классов, которые взаимно однозначно со-отнесены с классом, состоящим из объектов, использованных при определе-нии числа 2, плюс новый объект. «Определение, построенное таким спосо-бом, избегает парадокса, поскольку соблюдает требование теории типов.Объекты, используемые при определении чисел, принадлежат одному и томуже типу» [6. C. 60].Вместе с тем, преодолев одну трудность, Рассел столкнулся с иной: «Оп-ределение каждого последующего числа в последовательности натуральныхчисел требует нового объекта. Но поскольку натуральный ряд бесконечен,постольку должно предусматриваться и бесконечное количество объектов»[6. C. 61]. Таким образом, расселовское определение числового ряда потребо-вало введения дополнительного онтологического постулата, выраженного ваксиоме бесконечности, которая представляет собой «… допущение о том,что любому заданному числу n соответствует некоторый класс объектов,имеющих n членов» [6. C. 61].Критическая оценка расселовской диагностики парадоксовДо сих пор исследование, представленное в данной статье, имело ней-тральный характер. Оно нацеливалось не на апологию или опровержение тойили иной позиции, а только на их экспликацию. Теперь же нам бы хотелосьпредставить собственные критические соображения в рамках обсуждаемыхпроблем.Думается, что есть повод усомниться в правильности расселовской диаг-ностики причин парадоксов. Рассел считал, что причина парадокса, сформу-лированного им в письме к Фреге, состоит в смешении индивидов и классов.Парадокс, по Расселу, возникает из-за того, что осуществляется попытка по-местить класс, состоящий из индивидов, в себя же самого в качестве еще од-ного индивида. Именно подобного рода действия и запретила расселовскаятеория типов.Однако то, что подлинная причина парадокса Рассела состоит не в фактесмешения индивидов и классов, несложно продемонстрировать на примерекласса всех нестандартных классов. Класс всех нестандартных классов такжепредполагает смешение индивидов и классов, и тем не менее он не являетсяпарадоксальным в том смысле, в каком Рассел считает парадоксальным классвсех стандартных классов. В самом деле, пусть класс всех нестандартныхклассов является нестандартным. В таком случае у нас нет оснований заклю-чать, что мы тут же должны признать его стандартным. Класс всех нестан-дартных классов содержит в качестве элементов все возможные нестандарт-ные классы. Если класс всех нестандартных классов мы признаем нестан-дартным, то он становится своим собственным элементом без каких-либопротиворечий. Классу всех нестандартных классов не могут быть приписаныодновременно два противоречивых свойства (быть стандартным и быть не-стандартным), как это имело место в случае класса всех стандартных классов.Если мы посмотрим на приведенные выше парадоксы, такие как парадоксобразования предиката 'быть предикатом, неприложимым к самому себе',парадокс класса всех стандартных классов, парадокс 'Брадобрей', то мы уви-дим, что все они имеют одно общую черту. В каждом из этих случаев осуще-ствляется попытка замкнуть на себя самого, обратить по отношению к себесамому некоторое свойство, имеющее какую-либо негативную характеристи-ку. Так, ставятся вопросы о том, приложим ли к себе самому предикат 'бытьпредикатом, неприложимым к самому себе', содержит ли себя самого классвсех классов, не содержащих самих себя в качестве собственных элементов,может ли брадобрей побрить себя самого при том условии, что он долженбрить только тех, кто не может бриться самостоятельно. По сути, основаниемвозникновения парадоксов во всех этих случаях является то, что можно былобы назвать 'негативной автореферентностью'. Как только мы задаем вопрос отом, применимо ли к суждению, в котором задается негативное свойство поотношению к некоторым объектам, само это негативное свойство, возникаетпарадокс.Г. фон Вригт называет вышеописанное явление 'существенной отрица-тельностью' [7. C. 477]. Отрицательный характер определенных понятий ста-новится существенным в том случае, если их использование в рассужденииприводит к парадоксам. Фон Вригт видит в этом общее основание несколь-ких хорошо известных парадоксов: «Можно сказать, что антиномии Греллин-га, Рассела и Лжеца устанавливают или демонстрируют 'существенную от-рицательность' некоторых понятий» [7. C. 477].Все это не означает, что смешение индивидов и классов не играет ника-кой роли в образовании парадокса Рассела. Действительно, парадокс возни-кает в ситуации данного смешения, и, если это смешение устранить, парадоксисчезнет. Однако указанное смешение вряд ли можно назвать подлиннойпричиной данного парадокса. Можно было бы сказать, что смешение инди-видов и классов является необходимой, но не достаточной причиной возник-новения парадокса Рассела. Данное смешение - это только своего рода пита-тельная среда, в которой возникает парадокс. Достаточная же причина воз-никновения парадокса Рассела состоит в том, что обсуждаемое смешениепроисходит именно в той ситуации, в которой классу, смешивающемуся синдивидами, приписывается отрицательное свойство.ВыводыЕсли сказанное в предыдущем параграфе верно, то можно поставить подсомнение и необходимость столь радикальных мер по устранению парадок-сов, которые предлагала теория типов. Если смешение индивидов и классовможет приводить, а может и не приводить к парадоксам, то не будет ли болеепродуктивным точнее установить причину возникновения противоречий изапретить только какие-то частные случаи обсуждаемого смешения, нежелиустанавливать на него полный запрет?Положительный ответ на поставленный вопрос может повлечь, в своюочередь, пересмотр расселовской оценки фрегевского определения числа ипроизводных от него способов построения числового ряда. Действительноли, например, числовой ряд фон Неймана, который допускает смешение ин-дивидов и классов, содержит в себе угрозу возникновения парадоксов? Покрайней мере, в определениях конкретных чисел, которые были представле-ны выше, у фон Неймана невозможно заметить ничего противоречивого. Наэто можно возразить, что угрозу противоречия несут не определения кон-кретных чисел, а сам способ, с помощью которого эти определения задаются.Но в таком случае мы должны повторить снова, что этот способ определениячислового ряда, предполагающий смешение элементов, относящихся к раз-личным типам, требует более тщательного анализа, ибо не является необхо-димым то, что его использование приведет к противоречию. Подобного родаисследования нам представляются актуальными для философии математикипотому, что оправдание фрегевского и производных от него определений чи-сел может позволить оставить арифметику в сфере чисто аналитических ис-тин, без каких-либо внешних онтологических допущений, таких как аксиомабесконечности, которую предполагает расселовское определение числовогоряда.

Ключевые слова

число, класс, множество, парадокс, теория типов, аксиома бесконечности, number, class, set, paradox, theory of types, axiom of infinity

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Ладов Всеволод АдольфовичНациональный исследовательский Томский государственный университетдоктор философских наук, профессор кафедры онтологии, теории познания и социальной философии философского факультетаladov@yandex.ru
Эннс Ирина АндреевнаНациональный исследовательский Томский государственный университеткандидат философских наук, доцент кафедры истории философии и логикиirnns609@yandex.ru
Всего: 2

Ссылки

Кант И. Критика чистого разума. СПб.: Тайм-аут, 1993.
Фреге Г. Основоположения арифметики // Фреге Г. Логико-философские труды. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2008. С. 125-238.
Целищев В.В. Философия математики. Новосибирск: Наука, 2002. Ч. 1.
Frege G. Philosophical and Mathematical Correspondence. Oxford: Basil Blackwell, 1980.
Рассел Б. Философия логического атомизма. Томск: Водолей, 1999.
Суровцев В.А. Автономия логики: Источники, генезис и система философии раннего Витгенштейна. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001.
Вригт Г.Х. фон. Гетерологический парадокс // Вригт Г.Х. фон. Логико-философские исследования: Избранные труды. М.: Прогресс, 1986. С. 449-482.
 Аналитическое определение числа, парадокс Рассела и теориятипов | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2012. № 2 (18).

Аналитическое определение числа, парадокс Рассела и теориятипов | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2012. № 2 (18).

Полнотекстовая версия