Ален Бадью между формализмом и интуиционизмом | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2012. № 2 (18).

Ален Бадью между формализмом и интуиционизмом

Анализ формалистских и интуиционистских элементов в теории А. Бадью показывает, что она распадается на две независимые части, одна из которых относится к формализму (онтология), а другая - к интуиционизму (теория субъекта). При этом формалистские элементы служат для концептуализации этических ограничений, накладываемых на интуиционистского субъекта Брауэра.

Alain Badiou between formalism and intuitionism.pdf Формализм и интуиционизм - два соперничающих ответа на проблемуобоснования математики. Их противостояние длится уже более века.Основатель интуиционизма Брауэр не принял формальный метод, подкоторым он понимал программу Гильберта и Пеано, включаяаксиоматический подход к построению теории множеств. То же касается идругих интуиционистов, а также таких «полу-интуиционистов», какПуанкаре, отвергавших как теорию типов Рассела, так и аксиоматикуЦермело. Хотя, по оценке М. Даммета, после крушения двух программобоснования математики (логицизма - в результате открытия парадоксов,формализма - после доказательства известной теоремы Гёделя) остался, посуществу, только интуиционизм [1. С. 2], этот факт, по его же словам, не сталнемедленно и неизбежно очевидным, и позиции по сей день далеки отпримирения. Тем удивительнее переход, совершённый Аленом Бадью напути между первым [2] и вторым [3] томом «Бытия и события», отаксиоматической теории множеств к интуиционистской логике и алгебреГейтинга. Какое место занимают эти, казалось бы, несовместимые позиции вонтологии и теории субъекта Бадью?Первоначальный подход Бадью базируется на двух положениях. Первоеутверждает тождество онтологии и математики. Бадью определяетонтологию вслед за Аристотелем как учение о сущем, поскольку оно сущее,или о том, что представляет собой всякое сущее уже потому, что оно - сущее.Математика оказывается именно таким учением. Математические сущности,такие как число или треугольник, являются не объектами-сущими, аспособами бытия объектов - математика описывает не столько числа илитреугольники, сколько то, что означает быть числом или треугольником.Второе основное положение онтологии Бадью гласит: «одно или единоене есть» (l'un n'est pas) [2. С. 31]. Оно появляется в книге в ходе разрешениядревнего вопроса о том, каково сущее само по себе, единое или многое.Решение Бадью состоит в том, чтобы положить: «одно или единое не есть»,оно всегда является результатом. Сущее же как таковое (сущее, посколькуоно сущее) изначально множественно. Именно здесь появляется у Бадьюаксиоматическая теория множеств в версии Цермело - Френкеля (ZF) [2.С. 54-59]. Она оказывается наиболее подходящей по нескольким причинам.Во-первых, она имеет только одно отношение - принадлежность, которуюБадью интерпретирует как презентацию: «α принадлежит β» означает «αпрезентировано в множестве β» (как β). Во-вторых, аксиоматика ZF содержиттолько один тип переменных, и этим типом является множество. Она, такимобразом, не даёт определения элемента, который оказывается лишь произ-водным отношения, в которое вступают множества. Таким неявным способомтеория показывает, что одно не есть, что всё, что презентировано, являетсямножеством, а всякое множество есть множество множеств [2. С. 56].Операцию, результатом которой является единое, Бадью называет счётомили принятием за одно (compte-pour-un), а явление сущего прежде счёта -презентацией (présentation). Сущее же, или то, что (себя) презентирует, несводится, строго говоря, ни к единице, ни к множеству, предшествуя имобоим. С другой стороны, Бадью также говорит, что то, к чему применяетсяоперация счёта-за-одно, само не является единым, а потому является многим.Многое-без-единого оказывается формой презентации сущего, что, вчастности, означает, что единое не презентируется. В этом рассуждении мывстречаем два смысла множественности1:1) исходное многое-без-единого, к которому применяется счёт-за-одно, и2) посчитанное многое, составленное из единиц. Бадью называет первоенеконсистентным, а второе - консистентным [2. С. 33]. Согласно Бадью,аксиоматика ZF описывает неконсистентную множественность. Бадьюописывает его как «многое без единого» из платоновского «Парменида». Этобесконечно делимое образование, в котором всякое единство, приближайшем рассмотрении распадается на многое. В другом месте Бадьюпрямо соотносит его с материей из платоновского «Тимея», чуждой всякойструктурирующей идее. Эту множественность почти невозможно мыслить, итолько математике, согласно Бадью, принадлежит заслуга создания теорииэтой множественности, известной как теория множеств.Существенно при этом, что формальный подход не является для Бадьюслучайным. Он считает аксиоматическое представление единственно воз-можным в онтологии:«Я настаиваю на том, что, имея в виду теорию множеств, аксиоматизацияявляется не приёмом выражения, но внутренней необходимостью. Сущее-многое, если оно предоставляется только естественному языку и интуиции,продуцирует только псевдопрезентацию неразделённых консистентности инеконсистентности, следовательно, сущего и не-сущего, поскольку оно неотстраняется в достаточной степени от предположения о бытии единого. Ибоединое и многое - это не «единство противоположностей», поскольку первоене есть, тогда как второе является сам´oй формой всякой презентациисущего. Аксиоматизация требуется для того, чтобы, предоставленноенеявному правилу счёта, многое порождалось без понятия, то есть безпредположения бытия-одного [2. С. 54-55].1 Бадью использует термины le multiple и la multiplicité для множества в общем смысле. Я будупереводить их как многое и множественность, оставив слово «множество» для перевода более точно-го и специфического термина ensemble, которым принято обозначать множество в математике (тео-рии множеств).Ни интуиция, ни конструкция здесь не пригодны, и Бадью прямопротивопоставляет свой подход конструктивной математике. Однако, преждечем мы перейдём к рассмотрению этого противопоставления, рассмотримтеорию субъекта Бадью.В своей теории субъекта Бадью опирается на метод форсинга иливынуждения (forcing), придуманного Полом Коэном [4] для построениемоделей теории множеств с заданными свойствами (например, с заданноймощностью определённых множеств). Коэн начинает со стандартной счётноймодели ZF. В этой модели существуют подмножества, которые ей непринадлежат. Их присоединение к модели расширяет её, причём оказывается,и в демонстрации этого состоит заслуга Коэна, что надлежащим выборомподмножества возможно добиться нужных свойств расширенной модели1.Более конкретно, существует прямая связь между принадлежностью тех илииных элементов присоединяемому множеству и истинностью тех или иныхформул в расширенной модели. Для того, чтобы это было возможно,присоединяемое множество должно удовлетворять некоторым условиям,одно из которых, в частности, говорит, что оно не может быть выделено(описано) никакой формулой языка теории множеств. Такое множество (оновсегда бесконечно) Коэн называет генерическим. Коль скоро оно неописывается языком, оно для своего формирования требует субъекта-математика, явным образом указывающего, какие элементы емупринадлежат. Бадью заимствует эту структуру, но использует её по-своему. Унего субъект осуществляет набор генерического множества, полагаясь насвоё понимание, всегда несовершенное, связи элементов с событием -особым неконсистентным множеством, которое само не может принадлежатьмодели. Относительно этой связи Бадью практически ничего не говорит,кроме того, что субъект решает относительно неё на свой страх и риск. Такимобразом, субъект основывается на решении и верности событию. Мы видим,что Бадью использует метод форсинга в некотором смысле обратнымобразом по отношению к Коэну. Если Коэн набирает генерическоемножество, имея в виду требуемые свойства новой модели, то субъект Бадьюнабирает его, опираясь на свою оценку связи с событием, и лишь затемделает выводы о свойствах новой ситуации, в которой генерическоемножество будет реализовано, т.е. станет элементом. Субъект говорит наязыке будущей ситуации, в которой генерическое множество ужереализовано, но оценивает каждый раз конкретный элемент, не имея опорыдля этого в знании ситуации, в которой находится.Именно эта структура, исключительно важная для Бадью, оказывается,несмотря на то, что она возникает в рамках формальной аксиоматики,наиболее близкой интуиционизму. Рассмотрим эту связь подробнее.Брауэр рассматривал математику, прежде всего, как деятельность. Она независит от языка, который требуется лишь для передачи математическихистин и способен лишь исказить их. Поэтому математика немыслима без1 Здесь и ниже я с необходимостью опускаю многие математические детали, поскольку меня,прежде всего, интересует их значение для теории субъекта. Однако эти детали, безусловно, важны, иинтересующиеся могут найти их в указанной работе Коэна, а также Гейтинга, Крипке (см. ниже) идругих.субъекта («идеального математика») и должна пониматься как интел-лектуальная деятельность последнего. Брауэр возводит интуиционизм кКанту, называя свою версию нео-интуиционизмом. Его основные интуиции -натуральное число и континуум - сами имеют основание в темпоральности:Этот нео-интуиционизм рассматривает разделение моментов жизни накачественно различные части, которые могут объединяться только будучиразделены во времени, как фундаментальный феномен человеческогоинтеллекта, переходя при этом в абстракции от его эмоциональногосодержания к фундаментальному феномену математического мышления,интуиции чистого дву-единства (two-oneness). Эта интуиция дву-единства,основная интуиция математики, порождает не только числа один и два, нотакже все конечные порядковые числа, в той мере, в какой один из элементовэтого дву-единства может быть мыслим как новое дву-единство, продолжаяэтот процесс неопределённо долго; таким способом это даёт нам наименьшеебесконечное порядковое число ω. Наконец, эта основная интуицияматематики, в которой объединяются связанное и отдельное, непрерывное идискретное, немедленно порождает интуицию линейного континуума, т.е.того «между», которое не исчерпывается наложением новых единиц икоторое, таким образом, никогда нельзя мыслить как простое собраниеединиц [5. С. 85-86].Это интуитивное понимание существенно отличается от классического.Хотя интуиционисты, как и формалисты, принимают диагональный аргументКантора, они делают из него иные выводы. Например, те и другие согласны,что для любого счётного бесконечного множества действительных чиселможно указать число, ему не принадлежащее, но если формалист заключаетотсюда, что мощность множества действительных чисел промежутка от 0 до1 больше, чем алеф-ноль - мощности счётного множества, то дляинтуициониста это утверждение вообще не имеет смысла. То же относится ик вопросу о том, имеются ли мощности, промежуточные между мощностямисчётного множества и континуума, т.е. знаменитая континуум-проблема, длярешения которой Коэн разработал метод форсинга, столь важный для Бадью.В результате существенная часть проблематики, на которую опираетсяБадью, вообще не имеет смысла для интуиционизма.Но, пожалуй, наиболее ясно различие подходов Бадью и Брауэрапроявляется в понимании бесконечности. Интуиционизм прямо отвергаетактуальность бесконечности, всякая бесконечность в нём потенциальна.Бесконечность здесь определяется как процесс, который в силу закона своегопорождения или разворачивания не может быть закончен, поэтомубессмысленно рассматривать его как нечто завершённое. Для Бадью жеименно актуальность бесконечности существенна. Именно она являетсяпричиной, по которой аксиоматика является наиболее подходящей формойонтологии. Бесконечность не может быть сконструирована или схваченаинтуицией, и в этом Бадью согласен с Брауэром. Но для него именно поэтомуеё познание может быть основано только на решениях, выраженных ваксиомах математики: «нет никакой внематематической концепциибесконечности, только смутный образ чего-то 'очень большого'» [2. С. 164].Бесконечность, для Бадью, есть предикат сущего, более того, исклю-чительно сущего, поскольку оно сущее [2. С. 164]. Обсуждая актуальную ипотенциальную бесконечность в «Бытии и событии», Бадью различаетбесконечность чистого множества и трансцендентного Единого. Последнееесть лишь попытка мыслить бесконечное по модели конечного, т.е.неконсистентное по модели консистентного. Мы имеем здесь экзистен-циальный разрыв, который не позволяет нам вывести бесконечное изконечного. И если для Брауэра это означает, что следует отказаться отактуальной бесконечности, то Бадью находит здесь место для решения иаксиоматического полагания, т.е. место субъекта.Существенно при этом, что для него эта бесконечность реальносуществует (в отличие от воображаемой бесконечности трансцендентногоЕдиного) и требует от человека перестать понимать себя в парадигмеконечности и смертности и «опознать себя как во всех отношенияхпронизанного и окружённого вездесущностью бесконечности» [2. С. 168].Хотя субъект не может знать наверняка, актуализируема ли истина, именноставка на неё основывает субъекта как такового.Здесь, однако, следует различать индивидуального и родового(генерического) субъекта. Хотя процесс истины бесконечен, индивидуальныйсубъект является лишь его конечной частью. Хотя генерическое множествобесконечно, индивидуальный субъект принимает лишь конечное числорешений о принадлежности ему тех или иных элементов. Может поэтомуоказаться, что у этого субъекта есть что-то общее с потенциальнойбесконечностью математического процесса у Брауэра. Это, действительно,так, и чтобы это понять, рассмотрим ещё два интуиционистских понятия -последовательности выбора и потока.Вероятно, более всего интуиционизм Брауэра приближается к теориисубъекта Бадью в понятии свободно выбираемой последовательности илипоследовательности свободных выборов1. Последовательность выборовявляется конструктивным объектом, служащим для концептуализациибесконечности, коль скоро отрицается актуальная бесконечность. Онапредставляет собой последовательность объектов, конструируемую накаждом шаге выбором следующего объекта. Последовательности выборовмогут быть законосообразными, т.е. подчиняющимися какому-то закону, илисвободными, т.е. продолжающимися произвольно, без какого-либо закона.Последние даже не обязаны быть определёнными прежде своегоразворачивания: на некоторой произвольной стадии мы можем вмешаться иизменить закон этого разворачивания, если он вообще был. Не существуетспособа предсказать поведение свободной последовательности.Важно заметить, что свободные последовательности, не имеющие закона,конструктивны в интуиционистском смысле, хотя и не могут быть описаныкаким-либо алгоритмом, законом, языком. Для своего конструирования онисущественным образом требуют субъекта, его произвольного выбора. Бадью1 Free-choice sequence. Ю. А. Гастев переводит этот термин как «свободно становящаяся после-довательность». По поводу перевода см. его комментарий [6. С. 297]. Сам Брауэр использовал терминWahlfolge - буквально: последовательность выборов, выбираемая. Она может включать в себя эле-мент произвола (Willkür).в его критике конструктивизма в [2] не учитывает такого рода последова-тельности, что делает его оценку интуиционизма ограниченной.Последовательности выборов могут составлять структуру, называемуюпотоком (spread). Интуитивно он представляет собой дерево, исходящее изодного корня, и определяется двумя законами - законом потока идополнительным законом. Первый определяет допустимые для потоканачальные сегменты последовательностей и должен удовлетворять трёмусловиям: 1) пустой сегмент допустим, 2) последовательности, чьиначальные сегменты недопустимы, также недопустимы, 3) каждыйдопустимый начальный сегмент допускает бесконечное расширение покрайней мере по одному пути потока. Дополнительный закон сопоставляетдопустимым последовательностям произвольные математические объекты.Можно считать, что первый закон определяет структуру дерева, а второй -математические объекты, навешанные на каждый узел этого дерева.Брауэровские последовательности представляют собой бесконечные пути впотоке. В частности, континуум определяется Брауэром как состоящий извещественных чисел, каждое из которых представляет собой последо-вательность в потоке. Поэтому мы никогда не можем говорить о континуумекак о законченном множестве; это становящееся множество, которое всегдаможет быть расширено.Как эти разработки связаны с онтологией и теорией субъекта Бадью?Чтобы это понять, нам следует обратиться к исследованиям по формализацииинтуиционистской логики, в частности к работам А. Гейтинга и С. Крипке.Гейтинг предлагает формализацию этой логики, а Крипке разрабатывает длянеё модель. Рассмотрим общую идею этой модели, опуская детали, которыеможно найти в работе [7].Модель представляет собой множество с определённым на нём первымэлементом и отношением частичного порядка. Всё вместе этоинтерпретируется как дерево временных точек или «доказательныхситуаций» (evidential situations) [7. С. 97]. Это возможные миры, с каждым изкоторых ассоциировано по два множества предложений, считающихсяимеющими значения истинности T и F. При этом последние должныпониматься интуиционистски: T означает наличие достаточной информациидля доказательства соответствующего предложения A, а F - её отсутствие. Впервом случае мы говорим, что A подтверждено (veryfied), во втором - чтооно не подтверждено. Другими словами, F не следует путать синтуиционистской ложностью, для которой требуется, чтобы былоподтверждено отрицание A. Она означает лишь отсутствие подтверждения A.Корень определённого таким образом дерева обозначает «доказательнуюситуацию» настоящего времени, само же дерево описывает возможные пути,которые мы можем пройти в поиске доказательств тех или иных положений(сходная интерпретация интуиционистской логики, так называемоеисчисление задач, предложена А.Н. Колмогоровым). Крипке показывает, чтоэти пути описываются интуиционистской логикой. В частности, здесь неработает закон исключённого третьего: помимо истинности и ложности,имеется также ситуация «ещё не доказанности», когда мы не имеемдостаточно информации, чтобы утверждать то или другое. Чтобы утверждатьотрицание A, нам недостаточно знать, что A не подтверждено, нужно знать,что оно не может быть подтверждено ни в какое время, следующее за даннымвдоль по дереву «доказательных ситуаций».Построенная таким способом модель позволяет Крипке продемонстрироватьдва важных для нас обстоятельства. Прежде всего, он показывает, что она можетбыть переформулирована в терминах последо-вательностей выбора, тем самымустанавливая связь с интуиционизмом. А также, что для нас важнее, онинтерпретирует данную модель в терминах форсинга [7. С. 118-120].Оказывается, что коэновская процедура построения генерического множества ивынуждения истинности формул расширенной теории подчиняется неклассической, а интуиционистской логике. Она может быть представлена втерминах свободных, т.е. не подчиняющихся никакому закону, после-довательностей выборов. Таким образом, субъекты Брауэра и Бадьюоказываются сходными по своей структуре. Тот и другой говорит о творящемсубъекте, не подчинённом никакому закону и продвигающемся вперёд на свойстрах и риск. Есть, однако, и существенная разница.В обоих случаях речь идёт о субъекте конечном, но ориентирующемся набесконечность. Однако, как мы видели, понимание бесконечности у Брауэраи Бадью существенно различаются. Это приводит к различию в теориисубъекта. З. Фрезер формулирует его следующим образом: «существенноеразличие между интуиционистской последовательностью и процедуройистины Бадью [состоит в том, что] среда субъекта у Бадью не является егособственным творением» [8. С. 124]. Если брауэровская последовательностьсвободна и произвольна, то процедура истины у Бадью детерминируетсясобытием - существующим, но не являющимся в ситуации множеством (илиявляющимся лишь в форме субъекта, благодаря ему и посредством него). Этоделает возможной ту смесь формализма и интуиционизма, которую мынаходим в теории субъекта Бадью и с которой Брауэр вряд ли бы согласился,поскольку не рассматривал исчисление Гейтинга как исчерпывающуюформализацию интуиционизма. Последнее для Брауэра вообще невозможно,поскольку невозможно формализовать творческий процесс развитияматематики. В этом смысле можно, вероятно, сказать, что субъект Бадьюпредставляет собой формализуемую часть субъекта Брауэра, причёмверность событию связана с условием, благодаря которому формализациястановится возможной.В некотором смысле субъект Бадью более ограничен в своей свободе, и вэтом отношении Бадью ближе к Хайдеггеру, тогда как Брауэр - скорее, кКанту. Даже если брауэровский субъект следует закону, это закон, которыйон, подобно кантовскому моральному субъекту, принимает на себя сам.Ситуация, правда, осложняется тем, что у Бадью налагаемый на субъектазакон не может быть сформулирован. Субъект, скорее, принимает обетверности тому, что само не может появиться в ситуации; по этой причинеодним из парадигмальных примеров субъекта истины для него являетсяапостол Павел [9]. Зависимость субъекта Бадью от события не сводится кзависимости от закона, будь то навязанного или свободно принятого,поскольку генерическая процедура принципиально не подчиняется никакомузакону. Но в любом случае, «идеальный математик» Брауэра творитматематику как среду своей деятельности, тогда как субъект истины Бадьюверен свершившемуся событию и разворачивает его следствия.Наконец, заметим, что связь теории субъекта Бадью с интуиционизмомпозволяет нам понять, что бесконечность процедуры истины имеет характерне счётного множества, а брауэровского континуума. В этом смысле истинуневозможно мыслить как завершенную, пусть и в бесконечном времени(даже Бог не в состоянии обладать всей истиной). С другой стороны,брауэровский никогда не завершаемый универсум есть то, что делаетпроцедуру истины возможной.Подведём итог. Бадью строит онтологию как формалист, опираясь нааксиоматику Цермело - Френкеля, и затем вводит событие и субъекта как то,что выходит за пределы онтологии. Последнее, однако, как показываютпоздние формализации Гейтинга и Крипке, следует интуиционистскойлогике. В результате, в «Логиках миров» [3] Бадью уже явно опирается наалгебру Гейтинга и топологическую интерпретацию. Этого, как кажется,достаточно для построения теории субъекта. Мы видим в результате, чтопервый том «Бытия и события» распадается на две существенно независимыетеории, одну из которых можно отнести к формализму (онтология), другуюже - к интуиционизму (теория субъекта). При этом, как показывает примерБрауэра, возможно построение подобной теории субъекта без отсылок каксиоматической теории множеств. Однако нельзя сказать, что первая из этихтеорий Бадью не оказывает влияния на вторую. На аксиоматическую теориюмножеств и её истолкование опирается онтология Бадью и, прежде всего,идея «многого без единого». От последнего же зависит идея события какмножества, выходящего за пределы онтологии, но специфическим образомдетерминирующего субъекта (это этическая детерминация верности и долга,а не естественной причинности; другими словами, речь здесь идёт, скорее, опричине желания в смысле Лакана). Событие, таким образом, неосвобождает, как можно было бы подумать, субъекта от сущего-поскольку-оно-сущее, а, напротив, налагает на него дополнительные, этическиеограничения. Бадью демонстрирует, что эти ограничения не только неотносятся к онтологии, но и не могут мыслиться по модели онтологическойдетерминации. Но, несмотря на это, описание такой детерминации возможно,и это, в конце концов, определяет ту смесь формализма и интуиционизма,которую мы находим в «Бытии и событии».

Ключевые слова

формализм, интуиционизм, онтология, субъект, Бадью, formalism, intuitionism, ontology, subjectivity, Badiou

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Доманов Олег АнатольевичИнститут философии и права СО РАН;Новосибирский государственный университеткандидат философских наук, с.н.сdomanov @ philosophy.nsc.ru
Всего: 1

Ссылки

Dummett M. Elements of Intuitionism. Oxford: Clarendon Press, 1977.
Badiou A. L'être et l'événement. P.: Seuil, 1988.
Badiou A. L'etre et l'événement: T. 2, Logiques des mondes. P.: Seuil, 2006.
Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969.
Brouwer L. Intuitionism and Formalism // Bulletin of the American Mathematical Society. 1913. Vol. 20. №.2. P. 81-96.
Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. 556 с.
Kripke S. Semantical Analysis of Intuitionistic Logic I // Formal Systems and Recursive Functions (Proceedings of the Eighth Logic Colloquium at Oxford, July, 1963) / Ed. by J.N. Crossley, M.A.E. Dummett. Amsterdam: North Holland Publishing Co., 1963. P.
Fraser Z. The Law of the Subject: Alain Badiou, Luitzen Brouwer and the Kripkean Analyses of Forcing and the Heyting Calculus // Cosmos and History: The Journal of Natural and Social Philosophy. 2006. Vol. 2. P. 94-133.
Бадью А. Апостол Павел. Обоснование универсализма / Пер. с фр. О. Головой. М.: Московский философский фонд; СПб.: Университетская книга, 1999.
 Ален Бадью между формализмом и интуиционизмом | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2012. № 2 (18).

Ален Бадью между формализмом и интуиционизмом | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2012. № 2 (18).

Полнотекстовая версия